几何学在高等数学教育中的作用

第24卷 第4期 开封大学学报 V o.l 24 N o .42010年12月

J OU RNAL OF KA IFENG UN I VER SI TY

D ec .2010

收稿日期:2010-05-19

基金项目:中原工学院 解析几何 教学改革项目(200915)。

作者简介:高永良(1973-),男,河南固始人,讲师。研究方向:基础数学理论。

几何学在高等数学教育中的作用

高永良,王燕燕

(中原工学院理学院,河南郑州450007)

摘 要:几何学对于人类认识客观世界发挥了巨大作用;几何学的美是数学美的重要组成部分,几何学对于培养大学生的空间想象能力和直觉能力具有重要作用。因此在高等数学教育中应

加强几何学教学。

关键词:高等数学教育;几何学;教学改革中图分类号:G642 文献标识码:A

文章编号:1008-343X(2010)04-0076-02 数学素养作为当代大学生的基本素质之一,正在被越来越多的高校所重视。这具体体现在大学课程设置的变化上,譬如,以前文科学生是不学数学的,现在文科学生也必须学数学,只是比理工科的浅显一些。但是,作为数学重要分支之一的几何学并没有得到重视。在大学数学教学中普遍存在着几何课程和内容被压缩的现象,包括数学专业教学计划中也是如此。往往在 形 和 数 的教学中,偏重于 数 的处理而忽略 形 的意义。其原因是很多教育机构和学校对几何学在大学数学教育中的作用认识不足。对这一问题,教育界和学术界有深入探讨的必要。笔者在此结合自己的教学经历,谈谈个人的一些认识。

首先,几何学是人类认识客观世界的一个重要工具。几何学中各种空间特别是微分流形概念的建立为各种数学门类的展开提供了适当的基础和舞台。姜伯驹先生在为陈维桓教授 微分流形初步 一书作的序中指出:数学科学虽有众多分支,却是有机的统一。几何的、代数的、分析的方法相辅相成,使现代数学成为人类认识世界、改造世界的锐利武器。几何学的对象比较直观,比较接近人们的生活经验,所以更能激发开创性思维。数学历史上许多划时代的事件,如无理数的发现、公理化方法的创立、坐标方法的提出、非欧几何的诞生、空间观念的改变,还有对整体性质和行为的关注、非线性数学的兴起等等,都首先发生在几何学的沃土上。许多学科的发展也常常需要用几何学的观点进行观察和处

理,需要用几何的语言。然而,在20世纪50年代到90年代我国大学的几次教学改革中,几何课程被一再削减。当时吴光磊先生就一语双关地批评这种现

象为 得意忘形 。几何课程被忽视,削弱了我国数学教育的基础,影响了我国科技的发展。今天,数学科学的大趋势是走向综合,几何的观点、方法、语言正在大规模地向其他数学分支渗透。而在高新技术发展的过程中,几何学的原理更是得到了空前的应用,无论是计算机图形学、CT 扫描或核磁共振成像、视觉信息处理,还是机器人、虚拟现实、数字仿真技术,都广泛采用了传统的和现代的几何学理论。在当前的教学改革中,我们应该记取过去的教训,少走弯路。

目前,在大学非数学专业的教学中,几何学遭到排斥的状况仍然没有什么改变。非数学专业的学生没有专门学习空间解析几何课,只在线性代数教材第一章学到了一些向量代数的基本概念和基本结论,这导致大部分学生空间想象能力比较薄弱。在学习 概率论与数理统计 这门课的 几何概型 这一节时,由于学生画不出图形,因此求解问题出现困难。例如这一题向区间[0,a]上随机投掷三个点,问三点到原点的三个线段构成三角形的概率。设三线段的长分别为x,y,z ,则解这个问题就需要在三维空间中正确地画出样本空间和事件所对应的图形。另外,在讲到二维连续型随机变量的概率分布时,需要计算相关事件的概率,相当一部分学生不会算,积分限不知怎么写,原因是几何知识和几何思想

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匮乏。非数学专业不开设几何课的弊端,由此可见一斑。

其次,几何学的美是数学美的重要组成部分。用美不胜收、美妙绝伦来形容数学一点也不过分,因为数学美的含义是十分丰富的,如形象美、简洁美、创新美等等。而这些恰恰都在几何学中得到了很好的体现。数学是研究数与形的科学,数形的有机结合构成了万事万物的绚丽画面。那些优美的几何图案更是令人赏心悦目。二阶曲面的分类定理就非常漂亮、简洁。无论一个三元二次方程多么复杂,只要选取合适的直角坐标系,即作直角坐标变换,就可以把它化成17种简单的标准方程之一,从而它所表示的几何图形的样子就可以被想象出来。还有Gauss -Bonnet公式,用简单的形式表达了极其深刻的含义,即曲率和拓扑之间的关系。在几何中,这样的例子不胜枚举。

非欧几何的诞生是数学创新美的最好体现。欧几里得几何曾经被认为是完美的经典几何学,其公理5 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 和结论 三角形内角和等于二直角 ,似乎是绝对真理,但罗马切夫斯基得出了不同于公理5的结论: 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。 在这种几何里, 三角形内角和小于二直角 ,从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统相违背的理论并不是虚无缥缈的。当我们进行天文测量时,用罗氏几何学是很方便的,原子物理、狭义相对论中也有应用;而爱因斯坦建立的广义相对论中,只因较多地利用了黎曼几何这个工具,才克服了数学计算上的困难。每一个理论都需要不断创新,每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。我们再大胆设想一下,是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢?事实上,通过高斯曲率,可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中,还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中,数学得到了发展。这种开阔了我们的视野、开阔了我们的心胸、给我们完全不同感受的美难道不应该被珍惜吗?

第三,几何学对培养学生的空间想象能力和直觉能力起到很大作用。庞加莱按照从事数学研究的精神原则把数学家分为两类,一类是逻辑主义者,一类是直觉主义者。当然,在数学家身上,这两种精神是交融在一起的,但是,不可否认,每位数学家都有自己的癖好。庞加莱在举了一些例子之后说: 直觉不能给我们以严格性,甚或不能给我们以可靠性。 他又指出: 纯逻辑永远不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西;任何科学也不能仅从它产生出来。逻辑和直觉各有其必要的作用,二者缺一不可。惟有逻辑能给我们以可靠性,它是证明的工具;而直觉是发明的工具。 当然,培养直觉能力不是几何课程的专利,但是,由于直觉能力和空间想象能力有密切的关系,因此几何课程为直觉能力的培养提供了很好的环境。几何学提供了把握和理解数学空间的手段,注重于从总体上把握数学对象的概念、结构和相互关系;而代数学和分析学则更多的是提供解决问题的方法。对于学生来说,掌握解决问题的方法似乎更重要、更有效、更有成就感,然而他们不知道,学会在总体上把握数学的概念和结构,更能够洞察数学的内涵,培养数学的观点,提高数学的创新能力。一个典型的例子是,在函数论研究中引进L2,L 空间等概念,使得函数论研究成为泛函分析,从而达到一个全新的境界。

基于上述认识,我们应在大学数学教育中给几何学的教与学留出一片天空,突出其在数学教育中的重要作用,并在几何学的课程教学改革上进行一些有益的尝试,力争取得较好的效果。

参考文献:

[1]陈维桓.微分流形初步[M].北京:高等教育出版社,

1998.

[2]丘成桐.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社,

2004.

[3]李养成.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2000.

[责任编辑 张 焰]

Effect of Geom etry inM athe m aticalEducation

GAO Yong-liang,WANG Yan-yan

(C oll ege of S cience,Zhongyuan Un i versit y o f Technol ogy,Zh e ngzh ou450007,H e nan)

Ab stract:B ased on teach i ng practice on geo m e try,th i s arti c le suggests t he i m portant ro l e o f geom etry shou l d be laid on m athe m atical educati on.T he inc reasi ng i m portance of geo m etrical teach i ng-t he effect of geo m e try i n hu m an understand i ng o f the objective w orld, the beauty of geome try as an i m po rtant part o f t he beau t y o fm at hema ti cs and t he effect o f geome try on cultivati ng studen ts'spa tia l ability of i m ag i nati on and perception a re d i scussed i n the article too.

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