6-3弹性力学平面问题(极坐标)

f f f f

x

u u

y
2.轴对称问题的基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 相容方程 计体力时
2
2 1 1 2 2 2 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义， 过P 点分别以 方向和 方向为法线的截面 上的应力 、、 ， 作为在极坐 标系下的应力分量。 称为径向应力， y 称为环向向应力。 （2）应力分量的坐标转换
x y
2
f x f y (1 ) x y 0
f f 1 f 1
2
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 、 方向的方向余弦分别为 l1、 l2 ，其上作用的面力沿、方向的分量分别为f、f 。则其 应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。 即

三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系 类似体力分量的投影关系
O

x

P u
u u
2. 极坐标系下的应变分量
y

v

将P点分别沿 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 、 及其切应变 ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
O
y arctan x x cos x y sin y

x
x y
P y
sin cos x x x cos sin y y y

x

P


视 P- 为旧坐标，P点的应力状态为 、、 ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 f 、 f 。 将其分别向 x、y 方向投影得
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
例6-6
写出图示问题的应力边界条件
O
（1） 上边： 0，l1 0，l2 1
q0
( ) 0 0
( ) 0

l


l

物理方程
相容方程
2
1 1 2 , 0 2 2
2 2
2
（无体力）
（计体力）
f f 1 f 或 1
2
2 2sin cos 2 sin 2 2sin cos sin 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 x 2 2 2sin cos 2 cos2 2sin cos cos2 2 2 sin 2 2 2 y 2 2
( ) b 0
y
上端： 0，l1 0 ，l2 1
O
P M
x
面力向形心简化
a

b
y
或向O简化
（3） 半无限平面
当 0 时，上边
M O a
( ) 0 0 ( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
此即一阶微分关系
同理可得各阶微分关系，如
2 sin sin cos cos 2 x sin sin sin sin cos cos cos cos
x
q0
y
斜边： ，l1 0，l2 +1
( ) 0
( ) 0
O
P M

x
（2） 内侧： a，l1 1 ，l2 0


( ) a 0
( ) 0 0
a
外侧： b，l1 +1 ，l2 0
b
( ) b 0
sin sin 2 2 sin cos 2sin sin cos cos 2

y x
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
§6-5 平面问题在极坐标系下的基本方程
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对 于这类形状的物体宜采用极坐标 ( ,) 来解。
一. 直角坐标与极坐标的微分关系
x y
2 2 2
x cos
y sin
y sin 2 x x cos 2 y

y
x
当 0 时，O点受集中力偶，但无法使 用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立 外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。 由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
F
x
0
F
y
0
Mz 0
cos ad sin ad 0 cos sin d 0 a 0 sin cos d 0 a 0 a d M a ad M 0
( ) s f
（不计体力）
源自文库(u )s u
3.应力函数与应力分量
将相容方程展开得
令
d 4 2 d3 1 d 2 1 d 2 3 0 4 3 2 d d d d
d dt d 1 d d d dt dt

以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x x 0 y 1 2 y 0
xy x 0 xy 1 y 0
1 2 1 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos sin 2 sin 2 cos
f O

x

P f
y


2. 极坐标系下的平衡微分方程 由直角坐标系下的平衡微分方程推导
x sin cos cos2 sin 2 2 sin cos x 3 2 2 cos sin cos 2sin cos x sin 2 cos 2 sin cos 当 时 0 y
2 2 cos 2 sin 2 2 sin cos 2 xy sin cos cos 2 sin 2 sin cos 2 2 2 2
2 2 2 2 x y
应力分量 （不计体力）
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
应力边界条件
位移边界条件
(u ) s u (u ) s u
§6-6 平面问题在极坐标系下求解
一. 轴对称问题的应力与相应的位移
1.轴对称问题的特征
（1）截面的几何形状对称于中心轴，如圆环、圆盘、圆筒。
（2）荷载与约束对称于中心轴。 因此环向体力 f 0 ； 在边界上 ，环向的面力和位移为零；即
f 0 (u )s 0
（3）导致物体的应力、应变和位移分布也是轴对称的。即
0
0
u 0
O
由于任何通过中心轴（z 轴）的平面 均为对称面，故各分量均与 无关。即
d 1 d 2 0 d d
2 2

f 0
1 u
（不计体力）
f f 1
2
应力分量 边界条件


0 a 0 a
0 a a a 0 a
2
0
a
0
a
a 0
五. 极坐标系下的基本方程总结
1 f 0 1 2 f 0
平衡微分方程

几何方程
可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。 同前分析，当 0 时，
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。 即 当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零 或关于 ( ， ) 有势。
x yx fx 0 y x 0 xy y fy 0 y x 0
f x 0
f
f
y 0
f

代入即得
1 f 0 1 2 f 0
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
1 1 2 , 0 （展开共8项） 2 2 将O-xy坐标系旋转至 x 与 重合，即 0，此时
2 2 2
所以

y


x
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程