初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题(含答案) (72)

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题（含答案）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．

①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】（1）△OBC≌△ABD．证明见解析；（2）当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，则∠OBC＝∠ABD.然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；（2）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进

而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．

试题解析：

证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB ＝AB ，CB ＝DB ，∠ABO ＝∠DBC ＝60°，

∴∠OBC ＝∠ABD .

在△OBC 和△ABD 中，,OB AB OBC ABD CB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△OBC ≌△ABD (SAS)．

(2)∵△OBC ≌△ABD ，

∴∠BOC ＝∠BAD ＝60°.

又∵∠OAB ＝60°，

∴∠OAE ＝180°－60°－60°＝60°，

∴∠EAC ＝120°，∠OEA ＝30°，

∴以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，AE 和AC 是腰．

∵在Rt △AOE 中，OA ＝1，∠OEA ＝30°，

∴AE ＝2，

∴AC ＝AE ＝2，

∴OC ＝1＋2＝3，

∴当点C 的坐标为(3，0)时，以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形．

92．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E.

求证：(1)∠ABD＝∠FAD；(2)AB＝2CE.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据同角的余角相等即可证明结论；（2）利用ASA证明△BAD≌△ACE，即可得AD＝CE；再由AC＝2AD=2CE即可得AB＝2CE.

【详解】

证明：(1)∵∠BAC＝90°，

∴∠FAD＋∠BAF＝90°.

∵AF⊥BD，

∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF＝90°，

∴∠ABD＝∠FAD.

(2)∵CE∥AB，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，

在△BAD和△ACE中，

∵∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，∠BAC＝∠ACE＝90°，

∴△BAD≌△ACE(ASA)，

∴AD＝CE.

∵BD为△ABC中AC边上的中线．

∴AC＝2AD，

∴AC＝2CE.

又∵AB＝AC，

∴AB＝2CE.

【点睛】

本题主要考查了同角的余角相等及全等三角形的判定与性质，证明

△BAD≌△ACE是解决本题的关键.

93．如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，我们称这样的三角形为格点三角形，请你在图中画出一个与△ABC全等的格点三角形．

【答案】画图见解析.

【解析】

分析：

根据“三边对应相等的两个三角形全等”在方格纸中画出符合要求的三角形即可.

详解：

如下图所示，图中的△A′B′C′和△A′′B′′C′′都是符合题意的三角形．(符合条件的格点三角形不唯一，这里只选了两个)

点睛：画图时，可依据“一个三角形经过平移和翻折后所得新三角形与原三角形全等”进行画图.

94．如图，在ABC中，AC AB BC.

⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：2

APC B；

⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若3

AQC B，求B的度数.

【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到

∠PAB=∠B，从而得到答案；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.

【详解】

（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB，

所以∠PAB=∠B，

所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.

（2）根据题意，得BQ=BA，

所以∠BAQ=∠BQA，

设∠B=x，

所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，

所以∠BAQ=∠BQA=2x，

在△ABQ中，x+2x+2x=180°，

解得x=36°，即∠B=36°.

【点睛】

本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.

95．如图平行四边形ABCD 中，∠ABC=60°，点E、F 分别在CD、BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2．

（1）求证：D 是EC 中点；

（2）求FC 的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，故D是EC的中点；

（2）连接EF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出．