惯性定理和二次型的规范形

其中1分别有p,q个, 0有np+q个. 取C=C1C2, (6.14)
式成立; 取X=CY(C可逆)(6.15)式成立.
9 2018/1/4
定理
二次型f=XTAX可通过可逆线性变换X=PY化
为规范形。 如果两个n阶实对称矩阵A,B合同, 我们也称它 们对应的二次型XTAX和YTAY合同. 根据上面的结果不难证明: 两个对称矩阵A,B合同的充要条件是, A,B有相 同的正惯性指数和相同的负惯性指数.
f X AX
T
X PY
P正交
f Y T ( PT AP)Y Y T Y
2 2 1 y1 2 y2 2 r yr
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数
f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个 数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
4 2018/1/4
即
设有实二次型 f X AX ,它的秩为r , 有
T
两个实的可逆变换 X CY 使
2 1 1 2
及
2 2 2 2
X PZ
2 r r 2 r
f k y k y k y
1 1 2 2 r
及 f λ z λ z λ z
1 r
k 0 , λ 0 ,
10 2018/1/4
即, 对任一n阶实对称阵A, 不论取怎样的可逆阵C,
只要使
3 2018/1/4
d1 C T AC
dp
d p 1 d p q 0
0
di>0 (i=1,2,...,p+q) p+qn成立, 则p和q是由A唯一 确定的
T 1
其中d i 0(i 1, , p, p 1, , p q), 取可逆阵 1 1 1 1 C2 diag( , , , , , ,1, ,1), d1 dp d p 1 d pq
T 则C2 C2 , 并有 T C2 (C1T AC1 )C2 diag(1, ,1,1, ,1,0, ,0),
i i r
则 k ,, k 中正数的个数与 λ ,, λ 中正
1
数的个数相等.
定理 经过可逆线性变换后，二次型的秩不变
定义 二次型XTAX(所化成)的标准形中, 正平方项 的项数(即与A合同的对角阵中正对角元的个数), 称
为二次型(或A)的正惯性指数;
负平方项的项数(即与A合同的对角阵中负对角元的
个数), 称为二次型(或A)的负惯性指数;
正负惯性指数的差称为负号差. n阶实对称阵A的秩为r, 正惯性指数为p, 则负惯
性指数q=rp, 符号差pq=2pr, 与A合同的对角阵的
零对角元个数为nr.
6 2018/1/4
惯性定律
对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
2 y2 y p p 1
y2 (6.15) p q .
并把(6.15)式右端的二次型称为XTAX的规范形; 把(6.14)式中的对角阵称为A的合同规范形.
8 2018/1/4
证 根据惯性定理, 存在可逆阵C1, 使得
C AC1 diag( d1 , , d p ,d p 1 , ,d p q ,0, ,0),
6.3 惯性定理和二次型的规范形
1 2018/1/4
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为，来研究二次型
源自文库的标准形所具有的性质．
定理 (惯性定理) 对于一个n元二次型XTAX, 不论 作怎样的非退化线性变换使之化为标准型, 其中正 平方项的项数p和负平方项的项数q都是唯一确定的.
7 2018/1/4
推论 设A为n阶实对称阵, 若A的正负惯性指数分别
为 p和 q, 则 Adiag(1,...,1,1,...,1,0,...,0) (6.14) 其中1有p个, 1有q个, 0有n(p+q)个. 或者说, 对于二次型XTAX, 存在非退化线性变换
X=CY, 使得
X T AX y12