惯性定理和二次型的规范形
惯性定理与正定性
定理 3.10（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换 化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯 性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.
即，设有实二次型f xT Ax ,它的秩为r, 有两个可逆变换
x Cy 及 x Pz
I
(r )
nn
合同.
例2 二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 2x32 4x1x3 是否正定?.
定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）
设A为n1 a11 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, , a22
f
y12
y
2 p
y
2 p 1
y
2 r
1
p
1
1 r-p
yT
y.
1
0
n-r
0
I p 其中
Irp
也称为对称矩阵A在相合变换下的规范形.
Onr
例3.3 1和例3.3
2中实二次型 p
2, q
1，规范形为 12
2 2
2 3
.
例3.3 3中,
p 1, q 2. 规范形f
12
a11 a12 a1n
n
a21
a22
a2n
0.
an1 an2 ann
例3
t为何值时， f ( x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3
正定？
解
1 t 1
A t 1
2
1 2 5
1 1 0, 2 1t2 0 t 1
线性代数 实二次型的规范形及唯一性
实二次型的规范形及唯一性◼几个概念和定理◼相关例题定义1⚫几个概念和定理实二次型f 的标准形或规范形中正平方项的个数p 称为 f 的正惯性指数；负平方项的个数r -p 称为 f 的负惯性指数；二者的差p -(r -p )=2p -r 称为f 的符号差.⚫实二次型的规范形及唯一性定理1(惯性定理)任意一个实二次型f 且规范形是唯一的.经过适当的可逆线性变换必可化为规范形，定理的前一个论断已由式(2)只需证明规范形的唯一性即可.证实际上只(3)(4)证明，要证明规范形式(4)中的数p 是唯一的即可.由于规范形中的数r是确定的，设实二次型T f X AX=222211p p ry y y y +=++−−−1(,,)n f x x 经过可逆线性X BY =化成规范形()T T Y B AB Y=变换X CZ =化为而f 经另一个可逆线性变换T f X AX=222211q q rz z z z +=++−−−()T T Z C AC Z=规范形要证明()T T f Y B AB Y =得222211p p r y y y y +++−−−222211q q r z z z z +=++−−−(5).p q =用反证法.p q >，则由设()T T Z C AC Z =由于1()Z C BY −=(6) X CZ =，则1Z C X −=，从而1()C B Y −=记1C B G −=1111n n nn g g g g ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则式(6)给出了由变元1,,n z z 到1,,n y y 的可逆线性变换111112211211,,.n n n n n n nn n z g y g y z g y g y z g y g y =++⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=++⎩(7)考虑线性方程组11111110,0,0,0.n nq qn np n g y g y g y g y y y +++=⎧⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩(8)它是含有n 个未知数12,,,n y y y 且含有()q n p +−个方程的齐次线性方程组.p q >，则由假设故方程组(8)必有非零解，()()q n p n p q n+−=−−＜设为()11,,,,Tp p n y y y y +()11,,,,,Tp p n k k k k +=(9)则由式(8)的后n-p 个方程可知10p n k k +===将式(9)代入式(5)左边得2210p k k ++＞再把式(9)代入式(7)，再代入式(5)右边得2210q r z z +−−−≤由式(8)的前q 个方程可知10q z z ===这样，12,,,n y y y 的一组非零的值代入(5)的左、右两边得到不同的值，p q >是不对的.由此说明假设故必有交换.q p ≤综合上述两种情况，.p q =证毕..p q ≤同法可证,p q 的位置，在正、负惯性指数的概念之下，可以把惯性定理另外叙述如下.定理2平方项个数是唯一确定的，系数为负的平方项个数也是唯一实二次型f 的标准形中系数为正的它等于f 的正惯它等于f 的负惯性指数.性指数；确定的，关于实二次型的惯性定理的矩阵叙述如下.必合同于一个下述形状的对角矩阵B:111100B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪= ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(10)定理3任一实对称矩阵A其中B的主对角线上1 的个数p及-1 的个数r-p (r是A的秩)都是唯一确定的.推论两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件为它们有相同的秩和相同的正惯性指数(或相同的符号差).⚫相关例题求实二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++−++的规范形及正、负惯性指数、符号差.例用配方法得123(,,)f x x x 2212322y y =+故实二次型的正、负惯性指数分别为2, 0，解22123231132()()222x x x x x =++++符号差为2.2212.z z =+。
惯性定理正定二次型
f (0,,0,1,0,,0)= di0。 这与二次型正定相矛盾。
(2) 对二次型 f= xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy, 化为 f = yT(CTAC) y，其正定性保持不变。
这是因为： y00，由于C可逆,相应的 x0=Cy00 若 f=xTAx 是正定的，f =y0T(CTAC) y0=x0TAx0>0， 即 y0T(CTAC) y0 正定，反之亦然。 所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy, 将其化为标准形 yT(CTAC) y =d1y12+d2y22++dnyn2 , 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,,dn ) ， 就容易判断其正定性。
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
f= b1y12++ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 ②
f =c1 z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2(biຫໍສະໝຸດ ci>0, i=1, ,r)
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
线性代数第十五讲
§6.3 惯性定理和二次型的规范形定理 任一秩为r 的二次形AX X x x x f Tn =),,,(21均可经过适当的可逆线性替换 CY X =化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠，Tn x x x X ] [21 =， T n y y y Y ] [21 =。
推论 任一秩为r 的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001 rb b其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。
设 AX X f T =是 n 元二次型，且 秩(A )=r ：1．f 是复二次型存在可逆复线性替换 CY X =把 f 化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。
再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为22221r z z z +++。
称上式为复二次型的规范形。
定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。
推论 对任意一个秩为r 的n 阶复对称矩阵A ，必存在n 阶可逆复矩阵C ,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rT I AC C例 设A 、B 均为n 阶复对称矩阵，则A 与B在复数域上合同的充分必要条件是 )()(B r A r =。
2．f 是实二次型存在可逆实线性替换 CY X =把 f 化为22112211rr p p p p y b y b y b y b ---++++其中 0,,1>r b b 。
再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为221221r p pz z z z ---+++ 。
称上式为实二次型的规范形。
定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。
线性代数 第3节 化二次型为规范形
定理(惯性定理) 对任意二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X AX , 无论用何种可逆线性替换把它化为标准形,其中正的系 数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数) 唯一确定. T 设二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX 通过可逆线性替换 X CY 化为下列标准形
1 dr
0 , 1 1
4
二次型化为
f z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z z
2 1 2 p
2 p1
z ,
2 r
称之为二次型的规范形. 定理 任一二次型都可以通过可逆线性替换化为规 范形,且规范形是唯一的. 化二次型时，所作的线性替换不一定是正交替换.
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
继续作可逆线性替换
矩阵形式为 Y C1 Z ,
1 y1 d z1 1 y 1 z r r dr y z r 1 r 1 y z n n
1 d1 C1 0
6
推论
两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是
它们的秩和正惯性指数分别相等.
7
练习：
P244 习题六
8
T
f d y d p y d p1 y
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
p为正惯性指数, q r p 为负惯性指数,
正负惯性指数的差 p q 2 p r 称为二次型的符号差. 证略.
3
X CY ,
f d y d p y d p1 y
5
定理
任一实对称矩阵 A 与对角阵
3.3 惯性定理及定性分类
1 Q = 0 0
0 0 3 14
0 1 6 0
2 2 2 则其规范形为： 则其规范形为： f = z1 + z2 − z3
注意： 任一实对称矩阵A与对角阵 注意： 任一实对称矩阵 与对角阵
1 O 1 − 1 O − 1 0 O 0
秩 r = P+N
定理： 任一二次型可经满秩线性变换化为如下的规范形： 定理： 任一二次型可经满秩线性变换化为如下的规范形：
2 2 2 2 f ( x1 , x2 ,L xn ) = X T AX = z1 + L + z P − z P +1 − L − z P + N
证明： 证明： 任意二次型经满秩变换
即经满秩线性变换得到的新二次型仍正定。 即经满秩线性变换得到的新二次型仍正定。 结论：二次型为正定当且仅当其标准形为正定。 结论：二次型为正定当且仅当其标准形为正定。
进一步的结论： 进一步的结论： 设二次型
( 1 ) f 正定 ⇔
f ( x1 x2 L xn ) = X T AX
标准形中的n个系数均为正 标准形中的 个系数均为正
2 2 2 解： f = z12 + z2 + z3 + z4
三、实二次型与实对称矩阵的定性分类 定义3.5 定义 一个二次型 f ( x1 L xn ) 如果对于任意不全为零的实 数 x1 , x2 ,L, xn都有 f ( x1 , x2 ,L, xn ) > 0 则称二次型为 ， 正定二次型（或二次型正定），且称正定二次型的 正定二次型（或二次型正定），且称正定二次型的 ）， 系数矩阵为正定矩阵（或称对称正定矩阵）。 系数矩阵为正定矩阵（或称对称正定矩阵）。
6.3 实二次型的规范形
实二次型的规范形
10/13
二、惯性定理
定理6.2 (惯性定理) 任何一个实二次型均可经过可逆 实线性变换化为规范形, 且规范形是唯一的. 注 1852年, Sylvester 证明了 n 元实二次型的惯性定理. 定义6.3 在实二次型 f (x1, x2, , xn) 的规范形中, 正平方项的个数 p 称为正惯性指数 ;
负平方项的个数 r p 称为负惯性指数 .
实二次型的规范形
11/13
实二次型的规范形由它的秩和正惯性指数唯一确定. 两个实二次型经可逆实线性变换相互转化的充要条件 是它们有相同的秩和相同的正惯性指数. 因此, 二次型的秩、正惯性指数和负惯性指数都是二 次型在可逆线性变换下是不变的.
Hale Waihona Puke 实二次型的规范形2 2 d1 y12 d p y2 d y d y p p1 p1 r r,
其中 di 0(i 1, 2,, r ), 显然, r 是矩阵 A 的秩.
再作可逆实线性变换
1 1 y1 z1, , yr zr , yr 1 zr 1 ,, yn zn , d1 dr
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩阵表示
6.2 二次型的标准形
6.3 实二次型的规范形
6.4 正定二次型
6.3 实二次型的规范形
一、规范形的概念 二、惯性定理 三、小结
实二次型的规范形
3/13
一、规范形的概念
用可逆实线性变换化实二次型 f (x1, x2, , xn)为标准形, 适当改变变量的顺序(这也是可逆实线性变换), 得
实二次型的规范形
4/13
把标准形化为如下形式
z z z
2 1 2 p
5-3惯性定理与二次型的正定性
数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数
称为负惯性指数，它们的差称为二次型的符
号差.
比如二次型 y12 y22 y32 y42 的规范形
为，则其正惯性指数等于2，负惯性指数也是
2，符号差为 0.
二、二次型的正定性
定义6.3 设二次型 f ( x1, x2,L , xn ) X T AX
对任一非零向量 X，若 f ( X ) 0 ，则称 f 为正 定二次型，A为正定矩阵；若 f ( X ) 0 ，则称
d1, d2 ,L , d p 0, d p1, d p2 ,L , dr 0
再作可逆线性变换
z1 d1 y1
M
zp dp yp
z p1 d p1 y p1
M
zr dr yr
二次型进一步化为
f
z12 L
z2p
z2 p1
L
zr2
此式称为实二次型
f ( x1, x2 ,L , xn )
t1
1 2 5
即当 4 t 0 时，该二次型为正定二次型
5
例5 判定二次型
f 5 x12 6 x22 4 x32 4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性。
5 2 2
解：矩阵为 0 4
5 2 2
因 5 0, 5
2 26 0, 2
6
0 80 0,
2 6
2 0 4
所以 f 负定.
例6 若 A正定，则 A-1也正定.
证明：因 A正定，故存在可逆矩阵C ，使 CT AC I
两边取逆得 C 1 A1(CT )1 I
又因 (CT )1 (C 1 )T , (C 1 )T T C 1， 因此 (C 1 )T T A1(C 1)T I
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
《线性代数》学习笔记十二
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=； （2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。
线性代数上25规范形与正定性
正定矩阵的性质 1. 可逆线性替换不改变二次型的正定性. 2. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 的特征值都大于0. 3. n 元实二次型正定 ⇔ 正惯性指数 p = n. 4. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 与 I 相合. 5. 实对称阵 A 正定 ⇔ A = CTC, 其中 C 可逆. 6. 正定矩阵的行列式大于零. 反之不一定成立.
P T AP = diag ( I p , − I r − p , 0).
5
二、实二次型的正定性 正定二次型的定义 定义1 设 Q(α) = XTAX 是实二次型, 若对任何非零向量 α 都有 Q(α) > 0, 则称这个实二次型 Q(α) 为正定二次型. 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.
2 2 2 例如 Q( x1 , x 2 ,L , x n ) = x1 + x 2 + L + x n 是正定二次型. 2 Q( x1 ,L , x n ) = x1 + L + x r2 , r < n, 不是正定二次型.
例5 设 A∈Mm,n(R), 且 A 的秩为 n, 证明 ATA 正定. 证明 由 (ATA)T = ATA 知 ATA 是 n 阶实对称阵, 以 ATA 为矩阵构造二次型 XTATAX, 因为 XTATAX = (AX)TAX ≥ 0, 且 (AX)TAX = 0 ⇔ AX = 0. 由 r(A) = n 知齐次线性方程组 AX = 0 只有零解. 从而有 AX = 0 ⇔ X = 0, 即 (AX)TAX = 0 ⇔ X = 0. 故 XTATAX 为正定二次型, ATA为正定矩阵.
(2)
(3)
形如(3)式的二次型称为复系数二次型的规范形. 显然 复系数二次型的规范形是唯一的, 其中 r 由二次型的 秩唯一确定, 因此有定理1. 定理1 任意一个复系数的二次型, 总可经过一个适当的 可逆线性替换, 化成规范形, 规范形是唯一的. 复二次型的规范形中非零项的个数 r 是一个不变量, 称为二次型的秩. ⎡ I r 0⎤ 推论 任意一个复对称矩阵相合于 ⎢ ⎥ , 其中 r 是对 ⎣ 0 0⎦ 称阵的秩.
第27讲.二次型的规范形与实二次型的正定性
(7) (8)
我们要证明 p = q. 用反证法, 不妨设 p < q. 分析: 如果能 选择 X 0, 使得 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un = 0, 就可以 推出矛盾. 注意到 X = PZ = TU Z = P-1X, U = T-1X. 只 要令 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0, 就可以得到关于 X 的 4
2
对于一个实系数的二次型 Q() 若它的秩为 r,
那么经
过适当的可逆线性替换, 化成类似(1)那样的标准形, 区 别在于系数 di 是实数. 由于负实数的平方根不再是实数, 为了表达方便, 不妨设标准形如下:
2 2 2 2 d1 y1 d 2 y2 d p y2 d y d y p p 1 p 1 r r
8
例4 n 元实二次型 2 2 2 Q ( x1 , , xn ) x1 a1 x2 x2 a2 x3 xn an x1 当 a1, a2 an 满足什么条件时是正定的. y1 x1 a1 x2 y x a x 2 2 2 3 解 令 则 Q ( x1 , , xn ) y12 y2 2 yn 2 y1 x1 a1 x2 yn xn an x1 y x a x 2 2 2 3 n +1 是可逆的线 若 (-1) a1a2an +1 0, 则 性替换, 故 Q(X) 是正定的. yn xn an x1 x1 a1 x2 0 x a x 0 2 2 3 n +1 若 (-1) a1a2an +1 = 0, 则 有非零解, 故 xn an x1 0 9 Q(X) 此时是半正定的, 但不是正定的.
线性代数7-2 惯性定理及正定二次型
定义2 设有实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) f ( X ) X T AX，
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T，都有 f ( X ) 0，
则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A 为正定矩阵；
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T，都有 f ( X ) 0，
（1） f 为正定二次型（或 A为正定矩阵）； （2） f 的标准形的 n 个系数全为正； （3） A 的特征值全为正； （4） f 的正惯性指数 p n .
a11 a12 a1n
定义3
设矩阵
A
a21
a22
a2
n
，
an1
an2
ann
a11 a12 a1i
则子式
Pi
a21
a22
是正定二次型.
1 1 2
解 f x1, x2 , x3 的矩阵为 1 2 3,
2 3 它的顺序主子式
11 2
1 0,
1
1 1 0,
1
2
3 5 0,
12
23
故 5时，上述二次型是正定的.
a2i ,iFra bibliotek 1,2,, n
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A的 i 阶顺序主子式 ，即
a11 a12 a1n
P1 a11 a11 ,
P2
a11 a21
a12 , a22
,
Pn
a21
a22
a2n
.
an1 an2 ann
定理4 对称矩阵 A (aij )nn 为正定矩阵的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都为正，即
则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵 A 为负定矩阵.
5-3惯性定理和正定二次型
其 中k 是A的 左 上 角 的 k阶 子 式 (k 1, , n )
2 2 例5.11 实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) 5x1 4x1x2 4x1x3 6x2 4 x 2 3 是否正定？
例5.12
2 判定二次型 x i i 1
n
1 i j n
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
的二次型标准型称为范 规标准形，简称规范。 形
定理5.3(惯性定理 ) 对任何实二次型 f xT Ax, 存在一个非退化 的线性变换化为二次型 的规范标准形。
定 义5.5
实二次型 f x T Ax的 规 范 性 （ 标 准 形 ） 的 中正 的 平 方 项 的 个 数 负的平方项的个数
称 为f的 （A的 ） 正 惯 性 指 数 ， 记 p 为 ,
如果既不正定也不负定 ，则称 f为不定二次型，并称实 对称矩阵 A为不定的；
1.判定正定二次型与正定矩阵的充要条件
实对称矩阵A的各阶顺序 主子式均大于零
正定二次型：对于 x 0, f xT Ax 0.
n阶实对称矩阵A为正定矩阵
d1 T C AC dn (d i 0, i 1,2, , n ) 或 者CT AC E
称 为f的 （A的 ） 负 惯 性 指 数 , 记 为r p, 称s 2p r为f的 （A的 ） 符 号 差 。 其 中r r( A).
定 理5.4 Ep 设A为n阶 实 对 称 矩 阵 ， 则 A一 定 合 同 于 对 角 矩 阵 0
Er p
是否正定.
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
线代第四章正定二次型
●二次型的规范形 二次型的标准形是可以不同的， 二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理 可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是， 可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是， 如下形式的标准形是唯一的： 如下形式的标准形是唯一的：
2 f = y 12 + y 2 + L + y s2 − y s2+ 1 − y s2+ 2 − L − y r2
A的三个顺序主子式为 的三个顺序主子式为
A1 = −5 < 0,
−5 2 A2 = = 26 > 0, 2 −6
A3 = A = −104 < 0
为负定二次型。 所以 f 为负定二次型次型是正定的
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = tx12 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x1 x2
2 1 2 2
2 3
2 1 1 解法1 解法 二次型的矩阵为 A = 1 2 1 1 1 2 A的三个顺序主子式为 的三个顺序主子式为
的三个顺序主子式为
A1 = 2 > 0,
2 1 A2 = = 3 > 0, 1 2
A3 = A = 4 > 0
所以A是正定矩阵， 是正定二次型。 所以 是正定矩阵，f 是正定二次型。 是正定矩阵
为系数的标准形称为二次型的规范形 二次型的规范形。 以 1 或 -1 为系数的标准形称为二次型的规范形。 结论：二次型的规范形是唯一的。 结论：二次型的规范形是唯一的。
第三节 正定二次型 本节重点： 本节重点： 1、正定二次型的概念； 、正定二次型的概念； 2、正定二次型的性质； 、正定二次型的性质； 3、正定二次型的判定。 、正定二次型的判定。
二次型及其规范形
推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式 的对角矩阵
b1
br
0
0
其中 bi 0, i 1,2, , r 。
设 f X T AX 是 n元二次型，且 秩(A) = r：
1．f 是复二次型
存在可逆复线性替换 X CY 把 f 化为
其中 b1, , br 0 。
再令
y1
1 b1
z1 ,
,
yr
1 br
zr ,
yr 1
zr 1 ,
,
yn
zn
则 f 被进一步变为
z12 z2p z2p1 zr2
称上式为实二次型的规范形。
定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。
推论 对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A，一定 存在n阶可逆实矩阵C，使得
I p 0 0
CT
AC
0
Ir p 0
0 0 0
其中p由A唯一确定。
定义 在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是 1(或 -1)的平方项个数 p(或 r -p )称为 f 的正(或负)惯 性指数，称 2p - r为 f 的符号差。
定理 任一秩为r的二次型
f ( x1, x2, , xn ) X T AX
均可经过适当的可逆线性替换 X CY 化为 b1 y12 b2 y22 br yr2
其中 bi 0, i 1,2, , r ，X [x1 x2 xn]T ，
Y [ y1 y2 yn]T。
第七节 正定二次型(吕)
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 次型 , 并称对称矩阵 A是正定的 ;如果对任何 x ≠ 0 都有 f ( x ) < 0, 则称 f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的 . x ≠ 0, 都有 f ( x ) > 0(显然 f (0 ) = 0 ), 则称 f为正定二
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
例4 判定下列二次型的正定性． 判定下列二次型的正定性 二次型的正定性．
2 2 2 (1)f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
则把f 化成了系数为１或－１的更简单形式
2 f = y12 + L + y 2 − y 2 +1 − L − yｒ p p
称其为f 的规范型，它是唯一的．
惯性定理
( P196 定理 定理6.3.1 )
在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 在二次型的标准形中， 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数 负惯性指数. 正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数
例如 f = x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 为正定二次型
2 2 f = − x1 − 3x2
为负定二次型
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个数), 称为二次型(或A)的负惯性指数;
正负惯性指数的差称为负号差. n阶实对称阵A的秩为r, 正惯性指数为p, 则负惯
性指数q=rp, 符号差pq=2pr, 与A合同的对角阵的
零对角元个数为nr.
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惯性定律
对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
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推论 设A为n阶实对称阵, 若A的正负惯性指数分别
为 p和 q, 则 Adiag(1,...,1,1,...,1,0,...,0) (6.14) 其中1有p个, 1有q个, 0有n(p+q)个. 或者说, 对于二次型XTAX, 存在非退化线性变换
X=CY, 使得
X T AX y12
T 1
其中d i 0(i 1, , p, p 1, , p q), 取可逆阵 1 1 1 1 C2 diag( , , , , , ,1, ,1), d1 dp d p 1 d pq
T 则C2 C2 , 并有 T C2 (C1T AC1 )C2 diag(1, ,1,1, ,1,0, ,0),
f X AX
T
X PY
P正交
f Y T ( PT AP)Y Y T Y
2 2 1 y1 2 y2 2 r yr
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数
f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个 数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
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即
设有实二次型 f X AX ,它的秩为r , 有
T
两个实的可逆变换 X CY 使
2 1 1 2
及
2 2 2 2
X PZ
2 r r 2 r
f k y k y k y
1 1 2 2 r
及 f λ z λ z λ z
1 r
k 0 , λ 0 ,
其中1分别有p,q个, 0有np+q个. 取C=C1C2, (6.14)
式成立; 取X=CY(C可逆)(6.15)式成立.
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定理
二次型f=XTAX可通过可逆线性变换X=PY化
为规范形。 如果两个n阶实对称矩阵A,B合同, 我们也称它 们对应的二次型XTAX和YTAY合同. 根据上面的结果不难证明: 两个对称矩阵A,B合同的充要条件是, A,B有相 同的正惯性指数和相同的负惯性指数.
2 y2 y p p 1
y2 (6.15) p q .
并把(6.15)式右端的二次型称为XTAX的规范形; 把(6.14)式中的对角阵称为A的合同规范形.
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证 根据惯性定理, 存在可逆阵C1, 使得
C AC1 diag( d1 , , d p ,d p 1 , ,d p q ,0, ,0),
i i r
则 k ,, k 中正数的个数与 λ ,, λ 中正
1
数的个数相等.
定理 经过可逆线性变换后，二次型的秩不变
定义 二角元的个数), 称
为二次型(或A)的正惯性指数;
负平方项的项数(即与A合同的对角阵中负对角元的
即, 对任一n阶实对称阵A, 不论取怎样的可逆阵C,
只要使
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d1 C T AC
dp
d p 1 d p q 0
0
di>0 (i=1,2,...,p+q) p+qn成立, 则p和q是由A唯一 确定的
6.3 惯性定理和二次型的规范形
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一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为，来研究二次型
的标准形所具有的性质．
定理 (惯性定理) 对于一个n元二次型XTAX, 不论 作怎样的非退化线性变换使之化为标准型, 其中正 平方项的项数p和负平方项的项数q都是唯一确定的.