数学思维 第11讲 平面图形计数进阶
平面图形计数
平面图形计数平面图形计数分为规则图形计数、不规则图形计数及特殊图形计数。
一、必备知识点1、规则图形计数规则图形是指同一种图形头靠头、脚靠脚站成一排的图形。
常见的规则图形有以下4种：规则图形计数方法通常有三种：打枪法、恰含法和公式法（又名开火车）（1）打枪法（以数线段为例）首先，给线段的端点编号1、2、3、4、5，如下图：给1号一把枪，打到谁，谁就出来跟它一起组成一条线段，那么1可以打2、3、4、5，共打了4次2可以打3、4、5，共打了3次（2不能回头打1，因为1打2的线段和2打1的线段是同一条）3可以打4、5，共打了2次4可以打5，共打了1次这些点一共打了4+3+2+1=10次，所以可以组成10条线段。
【注意点】不能回头打（2）恰含法（以数长方形为例）首先，给一眼能看到的单个的长方形（这样的图形我们叫它基本图形）编号1、2、3、4，如下图所示：然后先数单个的长方形：有1、2、3、4，共4个再数两两拼起来的：有12、23、34，共3个接着数3个3个拼起来的：有123、234，共2个最后数4个4个拼起来的，有：1234，共1个所以这里的长方形一共有4+3+2+1=10（个）【基本思想】拼（3）公式法（以数长方形为例）首先，数一数基本长方形的个数（即一眼看到的），共4个，于是就把4当做火车头，开火车（及从4往下加，一直加到1）——4+3+2+1=10（个）即一共有10个长方形。
【注意点】找到火车头之后还要开火车，开火车之后加起来的数才是最后的图形个数。
2、不规则图形计数方法：恰含法、分类法（1）恰含法与规则图形的恰含法计数方法相同，这里不再赘述。
（2）分类法①按大小分②按正斜分（以数正方形为例）观察发现，这里的正方形有正着的，有斜着的，因此，先将正方形按正、斜来分类，先数正着的正着的数的时候再按大小分先数最小的（小号），有9个再数4个小的拼起来的（中号），有4个再数9个小的拼起来的（大号），有1个共9+4+1=14（个）正着的正方形斜着的正方形：小号有4个，大号有3个，共4+3=7（个）所以，一共有14+7=21（个）正方形。
第一讲 平面图形计数进阶
第一讲 平面图形计数进阶一、 单层规则图形1、 特点：基本图形手拉手肩并肩，站成一排2、 方法：开火车基本图形依次倒数加到“1” 二、 多层规则图形1、 数长方形（三步走）（1）普通：长边线段总数×宽边线段总数 （2）变形：先去掉，再添回来，后算增加的 2、 数三角形（1）普通：每层个数×层数 （2）变形：先分层，后补漏 三、 不规则图形分类法：①按大小 ②按方向——朴虹老师1.数一数，下图中共有多少条线段？解析：（1）这个图形中，每个基本线段都连在一起，并且在一个方向上，属于规则图形，可以用开火车的方法。
开火车法首先要确定火车头，即基本图形的数量。
通过观察我们知道图中最长的线段由4个基本线段组成，所以“火车头”为4。
最后我们从4开始倒数依次加到“1”，即4+3+2+1=10（条）。
所以一共有10条线段。
2. 数一数下图中共有多少个长方形？解析：我们可以把多层的规则图形转化成单层的我们熟悉的规则图形。
这个图形我们先分成两个部分，上面一层，下面一层。
上面是三个长方形连在一起排成一排，可以按照开火车的方法算出上面一层共有长方形：3+2+1=6（个）。
下面一层和上面一层的情况相同，也是6个。
最后我们在将上面和下面合在一起，发现会产生新的长方形。
竖着每一列，都有一个大的长方形。
我们可以把中间的横线忽略掉，看到下图：所以我们还是可以按照开火车的方法来算，合在一起后，产生的新的长方形，共10个。
一共有3个10，所以我们用乘法，10×3=30（个）这道题我们可以用更简单的方法。
当我们计算每层有多少个的时候，可以计算长边线段总数。
当我们算每列有几个长方形时，计算宽的线段总数。
最后将两个结果乘在一起就可以。
3. 数一数，下图中共有多少个三角形？解析：这是不规则图形，我们需要用分类的方法来数。
可以按照大小来分类。
图中三角形有单个的，也有两个、三个等组成的三角形。
为了能够不重复不遗漏，我们可以把每个部分都用序号标上去。
二年级 专题四 平面图形计数进阶
专题四 平面图形计数进阶练习1数一数，下面的图形一共有多少个三角形？练习2数一数，右图中有多少个正方形？练习3下图，共有多少个三角形？下图含有多少个三角形？练习5下图有多少个三角形？练习6只含有一个○的正方形的个数为________?乐乐老师今天要在数学课上教大家认识图形，大家都觉的很简单，可乐乐老师笑着说：“没那么简单哦”！请同学们看下图有多少个三角形？练习8大家被刚才的题目难住了，乐乐老师接着说下面的这个会简单一些，下图中长方形的个数是多少个？练习9乐乐老师看大家都答出了题目，然后在地上画了几个长方形，中间放了一个草莓，包含草莓的长方形的个数为________？牛牛说，我也给大家出一道这样的题目吧，数数看，这幅图一共有多少个三角形？练习11大家很快的答出了丁丁的题目，田田说我也来一道吧。
下图中三角形的个数为________？练习12最后丁丁也加入了进来，说这一道题不简单，谁可以解答出来呢？数数下图一共有多少个三角形？小朋友们来数数下图中一共有多少个正方形？练习1：15个。
【解析】找到基本三角形，按顺序，标序号，添“+”号。
列式：1234515++++=（个）。
练习2：90个。
【解析】10493827190⨯+⨯+⨯+⨯=（个）。
练习3：9个。
【解析】独立的三角形有7个，由4个三角形组成的三角形有1个，由7个三角形组成的三角形有1个。
因此共有7119++=个三角形。
练习4：8个。
【解析】如图：标上序号后，按图形大小分类，由1个三角形组成的有4个，由2个组成的有（1，2），（2，3），（3，4），（4，1）4个，共有8个。
练习5：8个。
【解析】6个小三角形，2个大三角形，一共有8个三角形。
练习6：10个。
【解析】分类枚举，由11⨯的正方形有2个，22⨯的正方形有6个，33⨯的正方形有2个，一共有26210++=（个）。
练习7：28个。
【解析】由一个三角形组成的：12个；由两个三角形组成的：6个；由三个三角形组成的：8个；由六个三角形组成的：2个；共有1268228+++=个。
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
奥数
第11讲平面图形计数初步例题1数数下面的密码图是由哪些图形拼成的，各用了几个？练习1观察下面的小汽车是什么图形组成的，并数一数。
例题2数一数，图1中有（）条线段，图2中有（）个角。
练习2数一数下图中有（）条线段。
例题3下图中有多少个三角形？练习3下面的图形中有多少个三角形？例题4下图中有多少个长方形？练习4下图中有多少个长方形？例题5你会数下面的图形吗？练习5下图中有多少个正方形？例题6数一数，下面的花朵是由多少个圆形花瓣组成的？练习6数一数，下面的花朵是由多少个圆形花瓣组成的？第12讲有趣的立体图形例题1找不同，把下图中不同于其他类的立体图形圈起来。
练习1找不同，把下图中不同于其他类的立体图形圈起来。
例题2把上面一排立体图形剪开，可以剪成下面哪种图形的样子？动手连一连。
练习2你知道下面的展开图是哪些图形吗？让我们来连一连吧！例题3你知道下面的立体图形各有多少个面吗？请把答案填在括号里。
练习3你知道下面的锥体们各有几个面吗？例题4下面的图形可以折成一个正方体和一个长方体吗？根据折成的图形判断，每个面上的字母跟哪些字母是相对的？练习4下面的图形是正方体的平面展开图，请你分别找出他们的三组对面。
例题5把一个正方体剪开可以得到多种不同形状的展开图，下面三个都可以折成一个正方体吗？可以的画“√”，不可以的画“×”。
练习5下面的展开图哪些可以折成正方体？可以的画“√”，不可以的画“×”。
例题6判断题你会做吗？正确的画“√”，错误的画“×”。
（1）正方体的六个面一定都是正方形。
（）（2）圆柱和圆柱体的是不同的立体图形。
（）（3）圆和球是不同的圆形。
（）练习6判断题：（1）长方体的六个面一定都是长方形。
（）（2）球和球体是不同的立体图形。
（）（3）正方形和正方体是一样的图形。
（）第13讲图形规律初步例题1根据规律接着画。
（1）○△○△○△----------- ------------。
六年级数学下册六回顾与整理第11课时图形的认识pptx课件冀教版
（ 0 ）个
把线段的一端无限延长，就得
（ 1 ）个
到一条射线。
把线段向两端无限延长，就得
（ 1 ）个
到一条直线
点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段
最短，它的长度叫作点到直线的距离，如下图中的h。
h
3．角：从一点引出两条（ 射线 ）所组成的图形叫作角。角
通常用符号 “（ ∠ ）”来表示。
三角形的分类： （1）按角分：
名称 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
图形
特征 三个角都是锐角 有一个角是直角 有一个角是钝角
三角形的分类：
（2）按边分：
名称
等腰三角形 底和腰不相等 底和腰相等
不等边三角形
图形
特征 有两条边相等 三条边都相等 三条边都不相等
等边三角形是特殊的（ 等腰 ）三角形。
5．四边形： 在同一平面内，由（ 四条线段 ）首尾顺次连接围成的封闭 图叫作四边形。
2. 填一填。 (1)以一个直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周得 到的立
体图形是( 圆锥 )；以长方形的一条边所在直线为轴旋转一周得到 的立体图形是( 圆柱)。 (2)圆锥的侧面展开图是一个( 扇形)，圆锥有( 1 )条高。 (3)右图是一个正方体纸盒的表面展开图，当折叠成正方体纸盒时， C 点与( B )点重合。
3. 一个立体图形，从前面和右面看都是 要用( 3 )个大小一样的小正方体。
，摆这个立体图形至少
【易错题】在长是6.4 cm，宽是5.6 cm 的长方形纸中，最多可以剪出 多少个半径是1 cm的圆？ 1×2=2(cm) 6.4÷2 ≈ 3(个) 5.6÷2 ≈ 2(个) 3×2=6(个) 答：最多可以剪出6 个半径是1 cm 的圆。
部编版数学六年级上册第11讲.进位制进阶
第１１讲六年级暑期数论中的计数六年级秋季数论中的规律六年级秋季进位制进阶六年级寒假数论模块综合选讲（一）六年级春季数论模块综合选讲（二）掌握进位制间的相互转化，利用n进制解决数论相关问题漫画释义知识站牌1.掌握进制间的互化，尤其是特殊进制间的简便互化；2.掌握用进位制的思想解决问题；3.探索其他进制下小数的意义．二进制在计算机中的运用由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法．然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻．究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的计数方法又是什么呢？这要从计算机的工作原理说起．计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电．计算机信息存储用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化．近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上每一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用．由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费．因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制．那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制．二进位制所需要的计数的基本符号只要两个，即0和1．可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点．总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点．用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit ），8个比特称为一个字节（byte ）．那么生活中常用的十进制数在计算机中是怎么用二进制表示呢？一、进制的认识我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
第一讲 平面图形计数进阶
第一讲 平面图形计数进阶一、 单层规则图形1、 特点：基本图形手拉手肩并肩，站成一排2、 方法：开火车基本图形依次倒数加到“1” 二、 多层规则图形1、 数长方形（三步走）（1）普通：长边线段总数×宽边线段总数 （2）变形：先去掉，再添回来，后算增加的 2、 数三角形（1）普通：每层个数×层数 （2）变形：先分层，后补漏 三、 不规则图形分类法：①按大小 ②按方向——朴虹老师1.数一数，下图中共有多少条线段？解析：（1）这个图形中，每个基本线段都连在一起，并且在一个方向上，属于规则图形，可以用开火车的方法。
开火车法首先要确定火车头，即基本图形的数量。
通过观察我们知道图中最长的线段由4个基本线段组成，所以“火车头”为4。
最后我们从4开始倒数依次加到“1”，即4+3+2+1=10（条）。
所以一共有10条线段。
2. 数一数下图中共有多少个长方形？解析：我们可以把多层的规则图形转化成单层的我们熟悉的规则图形。
这个图形我们先分成两个部分，上面一层，下面一层。
上面是三个长方形连在一起排成一排，可以按照开火车的方法算出上面一层共有长方形：3+2+1=6（个）。
下面一层和上面一层的情况相同，也是6个。
最后我们在将上面和下面合在一起，发现会产生新的长方形。
竖着每一列，都有一个大的长方形。
我们可以把中间的横线忽略掉，看到下图：所以我们还是可以按照开火车的方法来算，合在一起后，产生的新的长方形，共10个。
一共有3个10，所以我们用乘法，10×3=30（个）这道题我们可以用更简单的方法。
当我们计算每层有多少个的时候，可以计算长边线段总数。
当我们算每列有几个长方形时，计算宽的线段总数。
最后将两个结果乘在一起就可以。
3. 数一数，下图中共有多少个三角形？解析：这是不规则图形，我们需要用分类的方法来数。
可以按照大小来分类。
图中三角形有单个的，也有两个、三个等组成的三角形。
为了能够不重复不遗漏，我们可以把每个部分都用序号标上去。
第11讲 几何图形计数w
第12讲几何图形计数知识方法扫描计数是组合数学的重要内容，计数的方法有分类法，分步法，递推法和与对应法等。
1．分类计数在计数时，为了做到不重复也不遗漏，可以先将图形按某个标准分类，然后将其每一类相的方法数加，便得到了总数。
这种方法叫做分类法。
2．分步计数在计数时，为了有序地思维，我们常将其分成若干步，然后将其每一步的方法数相乘，便得到了总数。
这种方法叫做分步法。
3．递推计数为了求出计数的总数，当所研究的对象数目较大时，我们常常对较小数量的对象进行观察，计算。
如果对研究对象的个数n观察，计算后，发现由n=1的结果可以算出n=2的结果，由n=2的结果可以算出n=3的结果，等等，我们就找到了计数的规律。
这种方法叫做递推法。
4．对应计数在解决某些计数问题时，为了解决某个问题A，我们将其中的研究对象和另一个问题B中的研究对象配成对，通过解决B问题来达到解决A问题的目的。
这种方法叫做对应法经典例题解析例1．如图，直线上有6个点：A，B，C，D，E，F，以这些点为端点的线段有多少条？A C D E F解1对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．解2 因为每两点可以连一条线段，我们先取一点，有6种取法；再取第二点，有5种取法。
故一共有6×5=30种取法。
但因先取A点再取B点和先取B点再取A点得到的是同一条线段，在上述计数中被重复计算了，故实际上是30÷2=15种取法，即一共可以连45条线段。
评注：1．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=(1)2n n。
高思奥数一年级下册含答案第11讲 立体图形计数
第十一讲立体图形计数前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲墨莫墨莫卡莉娅小高把相应的人物换成红字标明的人物．还记得我们都学习过哪些立体图形吗？正方体、长方体、圆柱体、球体……数不胜数．今天我们来学习一下立体图形的计数．在地球上，一个小正方体可以在没有任何支撑的情况下悬浮在空中吗？答案当然是不可以！聪明的你赶快来看一看，下面题目中的立体图形到底由几个小正方体组成的呢？例题1数一数，它们分别由几个小正方体组成？【提示】有没有看不见的正方体？练习1数一数，它们分别由几个小正方体组成？数正方体有许多方法，其中我们可以一层一层的分层数，试试看．例题2左边方框中的立体图形和右边哪个立体图形中的小正方体个数相同呢？【提示】数一数，分别有几个小正方体！练习2左边方框中的立体图形和右边哪个立体图形中的小正方体个数相同呢？分层数的方法不仅简单快捷，而且清晰明了，不容易数重数漏．结合找规律的方法，我们更能轻松数出立体图形的个数．例题3数一数，下面这个“宝塔”由多少个小正方体组成？A BC DA B【提示】找一找，每层之间有什么规律？练习3数一数，下面这个“楼梯”由多少个小正方体组成？例题4要想把下面左边的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？【提示】左边的立体图形由几个小正方体组成的？右边的呢？练习4要想把下面左边的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？例题5要想把下面的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？【提示】补全后的大正方体是什么样的呢？例题6如图所示，将大正方体中的“L”形挖穿，你能数出现在这个立体图形有多少个小正方体吗？【提示】挖穿了几层？课外阅读长方体和正方体的故事长方体是一个聪明的小男孩儿，他生活在一个数学图形的古老部落．长老们说他们一直拥有自然女神的庇护，自然女神总是不定期地出现在他们部落，每一次，她都只见一个有缘人，如果这个有缘人能够通过她的考验，她就会满足这个有缘人的一个合理的愿望．有一天，长方体去小河边玩，已经有一些伙伴在河边嬉戏，有三角形，正方形，圆等等……长方体刚走到附近就听到三角形喊救命，原来是平行四边形掉到河里去，长方体奋不顾身地跳进了河里，拼死救人．最后长方体把平行四边形救出来了．大家都很感谢长方体．长方体坐在草原上看风景，自然女神出现了．自然女神说：“你已经通过了我的考验，告诉我，你有什么愿望？”长方体说：“我没有什么愿望．”自然女神说：“既然你不说，那我就自作主张替你做决定了．”自然女神知道长方体一个人玩，没有伙伴，就创造了正方体，正方体和长方体一样聪明，而且，正方体和长方体还十分相似，有许多共同的特点．长方体很喜欢这个新伙伴．长方体对自然女神说；“我很喜欢正方体，他有许多和我相似的地方，像我的影子，但又和我完全不一样，有自己的个性．”自然女神说：“你喜欢就好，其实，正方体是另一个特殊的你．比你自己还要特别的你．以后，你自然会明白的．”作业1. 数一数，它们分别由几个小正方体组成？2. 左边方框中的立体图形和右边哪个立体图形中的小正方体个数相同呢？3. 数一数，下面这个“楼梯”由多少个小正方体组成？C B4. 要想把下面左边的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？5. 如图所示，将大正方体中的“T”字形挖穿，现在这个图形中有几个小正方体？第十一讲 立体图形计数1. 例题1答案：5；5；9；10详解：先数出能看到的正方体个数，再数出看不见的正方体个数，相加即可．2. 例题2答案：A详解：左边方框中的立体图形的小正方体个数为10个，A 的小正方体个数为10个，B 的小正方体个数为9个，C 的小正方体个数为8个，D 的小正方体的个数为11个．3. 例题3答案：35详解：每层的小正方体个数分别为1、3、6、10、15，加起来的和为35．规律是每层分别在上一层的基础上增加2、3、4、5个小正方体．4. 例题4答案：2；17详解：第一个图中完整的大正方体中的小正方体个数为8个，左边立体图形中的小正方体个数为6个，还需要862-=（个）．第二个图中完整的大正方体中的小正方体个数为27个，左边立体图形中的小正方体个数为10个，还需要271017-=（个）．5. 例题5答案：48详解：符合要求的完整的大正方体至少需要64个小正方体组成，现在有16个小正方体，还需要再加小正方体641648-=（个）． 6. 例题6答案：52详解：完整的大正方体一共有1616161664+++=个)小正方体，“镂空”部分有333312+++= (个)小正方体，所以还剩下641252-= (个)小正方体．7. 练习1答案：5；4；6；8简答：第三个中有1个看不见的正方体，第四个中有3个看不见的正方体．8. 练习2答案：D简答：左边方框中的立体图形的小正方体的个数为7个，D 的小正方体的个数也为7个．9. 练习3答案：60简答：每层小正方体的个数分别为4、8、12、16、20，加起来的和为60．10. 练习4答案：3；13简答：第一个图中完整的大正方体中的小正方体个数为8个，左边立体图形中的小正方体个数为5个，还需要853-=（个）．第二个图中完整的大正方体中的小正方体个数为27个，左边立体图形中的小正方体个数为4个，还需要271413-=（个）．11. 作业1答案：6；8；9；10简答：观察这两层小正方体，分别数出每一层小正方体的个数，注意“看不见”的小正方体．也可分别数出每列的小正方体个数，加在一起即可．12. 作业2答案：A简答：左边方框中小正方体的个数是10个，而右边各立体图形的小正方体个数分别为：A .10个；B .13个；C .9个；D .9个．13. 作业3答案：20简答：从顶层开始数，最顶层为2个，第二层为4个，第三层为6个，第四层为8个，所以小正方体的个数为246820+++=（个）．14. 作业4答案：9简答：左边的立体图形中小正方体的个数为36918++=（个），完整的大正方体中小正方体的个数为99927++=（个）．还需要小正方体27189-=（个）．15. 作业5答案：44简答：方法一：整个大正方体中小正方体的个数为1616161664+++=（个），“T ”字形中小正方体的个数为555520+++=（个）或4444420++++=（个），所以现在有小正方体642044-=（个）． 方法二：每层剩下的小正方体有11个，共有4层，所以现在有小正方体：1111111144+++=（个）．。
二年级奥数：平面图形计数(进阶)
二年级奥数：平面图形计数（进阶）快来帮忙数一数，下图中一共有多少条线段? 数一数，每个图中有多少个角.数线段、数角——常用方法：打枪法步骤：从第一个点（线）开始，逐一往后打枪渣渣兔正在读古诗，你也来读一读，并数一数这首诗一共有多少个字.（不算标点符号）数图形，巧用乘法，变加为乘更快速哦！渣渣兔玩起了火柴棒，快来数数它用了多少根火柴棒呢！数图形①分类数，比如方向：横、竖、斜②找出相同的部分，数一数，用乘法轻松搞定注意：特殊的部分要别漏算了如果火柴棒变成了这样的造型，你再数数一共有多少根.微微老师也用火柴棒摆了一些图形，你来数一数.①观察下图，第 7 个三角形数是多少?②观察下图，第 8 个正方形数是多少?特殊数①三角形数——第几个数，就是从 1 加到几的和②正方形数——第几个数，就是几乘几的积一、数图形①分类数，比如方向：横、竖、斜②找出相同的部分，数一数，用乘法轻松搞定二、特殊数：三角形数、正方形数（1）这是（）.（打一动物）（2）罗网中心有一个点.织到第一层，一共有（）个点；织到第二层一共有（）个点……（3）现在这个网上一共有多少个点?（4）如果织到第八层，一共有多少个点?【练习 1】小朋友们看下面这首古诗，去掉标点，这首诗共有几个字?敕勒川，阴山下. 天似穹庐，笼盖四野.天苍苍，野茫茫.风吹草低见牛羊.【练习 2】下图这样摆出一个长方形，一共多了多少根小棒?【练习 3】下面的木板上，摆着一些火柴棒，小朋友请你数一数，这些火柴棒一共有多少根?【练习 4】数一数，下图中共有几个正方形.【练习 5】你知道跳棋棋盘上有多少个囿洞吗?数一数.。
小学奥数题目-四年级-计数类-图形计数进阶
本讲主要介绍一些不规则的图形的计数，数这些图形的方法也是建立分类的基础上的，当然对于数线段和数长方形而言，也是需要利用标数法的。
对于数线段来说，比较简单，只需要将每条线段上的线段条数数出来，然后一一相加即可，当然也需要注意观察，如果有线段情况是完全一样的，那么只需数一条，其他的线段的条数肯定是一样的。
数三角形，一般有三种方法，普遍适用的方法就是分类计数的方法了，可以按照三角形的组成区域进行分类，这种方法的关键就是做到不重复不遗漏对每类三角形分别计数，另外还会用到线段标数法和组合法。
数长方形和正方形就需要将图形拆分成规则的图形，或者利用补全法，将图形补充成规则的图形，然后再利用简单计数方法进行计数。
例1、下图中一共有多少条线段？1.1.数一数图中共有______条线段？2.2.数一数图中有______条线段？3.3.图中有______条线段？4.4.数一数图中有______条线段？视频描述例2、数一下图中一共有多少条线段？1.1.数一数图中有_______条线段？2.2.数一数图中共有_____条线段？3.3.数一数下图有_______条线段？4.4.数一数下图有_______条线段？视频描述例3、13届中环杯预赛有A、B、C、D四点从左至右依次排在一条直线上，以这四点为端点，可以组成6条线段。
已知，这六条线段的长度分别为14、21、34、35、48、69（单位毫米），那么线段BC的长度是_____毫米。
1.1.有A、B、C、D四点从左至右依次排在一条直线上，以这四点为端点，可以组成6条线段。
已知，这六条线段的长度分别为12、18、30、34、52、64（单位毫米），那么线段BC的长度是_____毫米。
2.2.有A、B、C、D、E五点从左至右依次排在一条直线上，以这五点为端点，可以组成十条线段。
已知，这十条线段的长度分别为12、18、30、32、50、54、62、86、104、116（单位毫米），那么线段BD 的长度是_____毫米。
新版二年级下册数学(数学思维)-第11讲 智数图形｜全国通用 (共21张PPT)
练一练
照图①的样子在图②中用彩笔涂出来。 ①
②
找一找
数一数下面的图形有几条线段？找找规律。
3条线段：2+1=3（条）
6
1
23
6条线段：3+2+1=6（条）
4
5
“基本图形+组合图形”法
数一数 数一数下面图形共有几个角？
23 1
2+1=3（个）
1
2 3
数列连加法！ 从基本图形个 数一直加到1。
3+2+1=6（个）
9个基本小正方形 4个田字格中等正方形 1个九格式大正方形
练一练
看图形，数一数。
( 10 )条线段 (12 )条线段 ( 10 )个角 ( 16 )个三角形
练一练
数出下面图形中各有几条线段。 （ 9 ）条
（ 18 ）条
（ 10 ）条 （ 12 ）条
思维小妙方
智数图形歌
图形计数有规律，基本单个加组合； 基本个数加到一，连续自然数之和， 如果叠加有几层，一层一层算清楚。
举一反三
挂手帕，数夹子。
1块手帕用（ 2 ）个夹子， 2块手帕用（ 3 ）个夹子。
10块手帕用（ 11 ）个夹子， 15块手帕用（ 16 ）个夹子。
举一反三
数图形。
（ 6 ）个正方形
（15）个正方形 （13）个三角形 （18）个六边形
举一反三
数图形。
小鱼占（13）格。 （18）个正方形。
举一反三
数一数，带“ ”的三角形有
3+2+1=6
（1）把左右两图中形状相同的部分涂成同样的颜色。
数一数下面图形共有几个角？
数出下面图形中各有几条线段。
数学平面图形的认识知识结构图
在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的 中线 在三角形中，一个内角的角平分线与这个角的对边相交，这个这 个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
三角形
特殊线段
角平分线
高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶 点与垂足之间的线段叫做三角形的高
三角形3个内角的和等于180` n边形的内角和等于（n-2）•180` 多边形 n边形的外角和等于360`
垂线段最短垂线源自点到直线的距离 基本事实：过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
同位角相等，两直线平行
直线平行的条件 内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线 基本事实： 两直线平行，同位角相等 直线平行的性质 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
平面图形的认识
三边关系
两边之和大于第三边 中线
线段的度量及画法 线段的大小比较，线段的和与差 线段、射线、 直线 线段的中点 两点确定一条直线
基本事实： 两点之间线段最短 角的度量及作法
平面图形的认识
角的大小比较，角的和鱼叉
角的平分线 角 同角（等角）的余角相等 余角、补角 同角（等角）的补角相等 对顶角 平行线 对等角相等
基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
用思维导图辨别基础的平面图形，培养孩子的空间感
用思维导图辨别基础的平面图形，培养孩子的空间感
小数老师说：
平面的图形包含长方形、正方形、三角形和圆等基本的图形，掌握识别各种形状的平面图形，从观察中辨别最基本的形状外观特征。
在一些实践活动中，比如折纸和七巧板的活动中，实际的感知图形特征。
培养面与体的空间感，在立体中感知平面。
点击可查看视频讲解
认识平面的图形，包括长方形、正方形、三角形、圆等基本的平面图形。
通过观察，辨别平面图形的基本特征，外观形状，对比不同图形的外观形状的差异。
在实际的活动中感知图形的特征，折纸拼图以及认识七巧板等活动都可以增进对图形特性的感知。
理解面在体上的基本思想，初步培养空间观念。
▍作者：大为老师。
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学习目标
1．掌握规则图形的计数； 2．掌握不规则图形的计数。
经典精讲
例题1 下图中有多少个三角形？
思维导图
【解析】
观察三角形中基本的三角形有3个，由2块图形组成共有6个， 由3块图形组成的三角形共1个，由四块图形组成的共有2个， 由五块图形组成的有0个，由6块图形组成的有1个。即3＋5 ＋1＋2＋1＝12（个）
例题4 下图中有多少个三角形？
思维导图
【解析】
按含基本图形的个数分类： 1个基本三角形组成的有6个； 2个基本三角形组成的有3个； 3个基本三角形组成的有6个； 4个基本三角形组成的0个； 5个基本三角形组成的0个； 6个基本三角形组成的1个。 故一共有6＋3＋6＋1＝16（个）三角形。
学以致用
学以致用
练习1
下图中有多少个三角形？
经典精讲
例题2
下图中有多少个长方形？
经思典维精导图讲
【解析】
本图也可以分层，每层都是一个规则图形。但分几层呢？ AB对应1层，BC对应1层，AB与BC合起来AC还对应一层。所 以，层数＝竖直的线段数（即图中A，B，C组成的线段数）。 每层个数：3＋2＋1＝6（个）；层数：2＋1＝3（层）；总 个数：6×3＝18（个）。
练习4
下图中有多少个三角形？
经解析】
最小的正方形有1个，田字格的正方形有4个，九宫格的正方形 有6个，更大的正方形有2个，总共有1＋4＋6＋2＝13（个）。
学以致用
练习5
下图含有苹果的正方形有多少个？
学以致用
练习2 下图中有多少个长方形？
经典精讲
例题3 下图含有多少个正方形？
思维导图
【解析】
小（只含一个小正方形的）：4×3＝12（个） 中（含4个小正方形的）：3×2＝6（个） 大（含9个小正方形的）：2×1＝2（个） 其：12＋6＋2＝20（个）。
学以致用
练习3
下图有多少个正方形？
经典精讲