初中数学整式

命题角度3:化简求值 【典例6】(2015·随州中考)先化简,再求值:(2+a)(2a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=- 1 .
2
【思路点拨】化简后整体代入求值. 【自主解答】原式=4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab,
1
当ab=-
2
时,原式=4+1=5.
【母题变式】(变换条件)其中a,b的值是关于x的一元 二次方程2x2-mx-1=0的两个根. 1 提示:根据根与系数的关系得到ab=- .化简后整体代 入求值得5. 2
【解析】选D.x3与x2不能合并,故A错误. a3·a4=a3+4=a7,故B错误. (-x3)2÷x5=x6÷x5=x,故C错误. (-xy)3·(-xy)-2=(-xy)3-2=(-xy)1=-xy.故D正确.
，y ， 2.(2015·淄博中考)已知 x 则 x2+xy+y2的值为 ( ) 2 2 A.2 B.4 C.5 D.7 【解题指南】把x2+xy+y2表示成(x+y)2-xy,代入求值.
第二讲 整 式
一、整式的有关概念
积
数字因数 字母指数
相同 且相同字母指数也_____ 相同 的 2.同类项:所含字母_____, 单项式. 【特别提醒】所有的常数项都是同类项.
二、整式的有关运算
运算 幂的运 同底数幂相乘 算 同底数幂相除 (m,n为 幂的乘方 正整数, 积的乘方 且m>n)
性质或法则 am·an=____ a am÷ an=____(a≠0) a (am)n=___ a
【解析】选C.3月份产值为a万元,则4月份产值为a(1-10%)万元,5月份产值为a(110%)(1+15%)万元.
【知识归纳】列代数式四规范 1.表示数与字母或字母与字母的积时,“×”可以用“·”代替或省略不写. 2.带分数与字母相乘时,要化成假分数. 3.除号用分数线表示.
4.结果带单位时,若表示结果的式子是多项式,则必须用括号把多项式括起来.
(2)根据题意得 wk.baidu.com : 则nm=3-1= . 答案: 1 3
m 2 n 5, m 1, 解得： n 2m 2 7， n 3,
3
【名师点津】整式加减步骤及注意问题 (1)一般步骤:先去括号,再合并同类项. (2)注意问题:去括号时要注意两个方面: ①括号前有数字因数时,去掉括号,因数要乘以括号内的每一项;
A.2n+1 C.n2+2n
B.n2-1 D.5n-2
【解析】选C.∵第1个图形中,小正方形的个数是:22-1=3;第2个图形中,小正方形的个 数是:32-1=8;第3个图形中,小正方形的个数是:42-1=15;…, ∴第n个图形中,小正方形的个数是:(n+1)2-1= n2+2n+1-1=n2+2n.
m+n m-n mn
ab (ab)n=____
n n
运算
性质或法则
___________________ 分别相 系数、相同字母的幂 乘, 只 单项式乘 在一个单项式中出现的字母, 单项式 连同 指数 一起作为积的一个 它的_____ 整 因式 式 的 单项式乘 ma+mb+mc m(a+b+c)=_________ 乘 多项式 法 am+an+bm+bn (a+b)(m+n)=____________
考点二 整式的相关概念及整式加减 【典例2】(1)(2015·厦门中考)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式 可以是 ( ) A.-2xy2 B.3x2 C.2xy3 D.2x3
(2)(2016·白银中考)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是________.
考点三 幂的运算 【典例3】(1)(2016·泰安中考)下列计算正确的是 ( ) A.(a2)3=a5 B.(-2a)2=-4a2 C.m2·m3=m6 D.a6÷a2=a4
(2)(2015·大庆中考)若a2n=5,b2n=16,则(ab)n= ________.
【思路点拨】(1)根据幂的运算性质进行判断. (2)逆用幂的乘方,计算出an,bn的值,再根据积的乘方进行计算.
1
011
3
3
(－ 3 ) 1 9 9.
2
【方法指导】底数互为倒数(或负倒数)的两个幂相乘: (1)若指数相同,则直接逆用积的乘方. 即am×
a a (2)若指数不相同,则先逆用同底数幂的乘法,把指数较 大的幂写成两个同底数幂的积,构成(1)中的情况再进 行计算. ( 1 )
m
[a (
1
)] =(±1)m.
m
考点四 整式乘除 【考情分析】 整式的乘除及乘法公式的层级为了解、理解并能 应用,在各地的中考考查中均有体现,特别是乘法公式 的应用是一个重要的考向,考查的方式为直接应用公式
或法则计算,公式的变形应用,公式的几何背景及计算几何图形的面积等,以选择题、 填空题的形式呈现,整式的化简求值多以解答题的形式考查.
2.(2016·青岛中考)计算a·a5-(2a3)2的结果为( ) A.a6-2a5 B.-a6 C.a6-4a5 D.-3a6 【解析】选D.本题考查同底数幂的乘法,积的乘方,合并同类项.a·a5-(2a3)2=a64a6=-3a6.
3.(2015·安顺中考)计算:(-3)2013· ( － ) 2 0 1 1 =________. 3 1 1 2 011 2 【解析】(-3)2013· ( － ) [( － 3 ) ( )] 答案:9
运算
性质或法则
相除 将系数、同底数幂分别_____, 作为 商的一个因式,对于只在被除 整 单项式除 式中 式 以单项式 含有的字母,则连同它的指数 的 作为 除 商的一个因式. 法 多项式除 先把多项式的每一项除以这个 以 单项
考点一 列代数式及求代数式的值 【典例1】(1)(2016·威海中考)若x2-3y-5=0,则6y-2x2-6的值为 ( A.4 B.-4 C.16 D.-16
)
(2)(2016·内江中考)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n个图形有________个小圆.(用含n的代数式表示)
【思路点拨】(1)代入求值. (2)根据排列规律,分中间和周围两部分求解.
【自主解答】(1)选D.∵x2-3y-5=0, ∴x2-3y=5. ∴6y-2x2-6=-2(x2-3y)-6=-2×5-6=-16.
【题组过关】 1.(2016·呼和浩特中考)某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5 月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是 ( ) A.(a-10%)(a+15%)万元 B.a(1-90%)(1+85%)万元 C.a(1-10%)(1+15%)万元 D.a(1-10%+15%)万元
(2)观察图形知,第1个图形中间有1×2个小圆,加上周围4个小圆, 第2个图形中间有2×3个小圆,加上周围4个小圆,第3个图形中间有3×4个小圆,加上 周围4个小圆,…,第n个图形中间有n(n+1)个小圆,加上周围4个小圆,即有n2+n+4个小
圆.
答案:n2+n+4
【名师点津】整体代入法求代数式值的三种方法 (1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子,只 要把已知式子的值直接代入到要求的式子中,即可得出结果.
【名师点津】整式的乘法运算中的四点注意 (1)单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式,再把所得的积 相加. (2)在运算时,要注意每一项的符号.
(3)单项式乘多项式,积的项数与多项式的项数一样. (4)不要漏乘多项式中的项,特别是多项式中含有+1或-1的项.
【题组过关】 1.(2016·威海中考)下列运算正确的是 ( A.x3+x2=x5 B.a3·a4=a12 C.(-x3)2÷x5=1 D.(-xy)3·(-xy)-2=-xy )
【自主解答】(1)选D.A.(a2)3=a6≠a5,故错误; B.(-2a)2=4a2≠-4a2,故错误;C.m2·m3=m5≠m6, 故错误;D.a6÷a2=a6-2=a4,正确. (2)∵a2n=5,b2n=16,∴(an)2=5,(bn)2=16, ∴an=± 5 ,bn=±4,∴(ab)n=an·bn=±4 , 答案:±4
)
【思路点拨】应用完全平方公式,找到a2+b2与(a+b)2及ab之间的关系,代入数值整体 求值. 【自主解答】选C.a2+b2=(a+b)2-2ab=9-4=5.
【母题变式】(改变问法)本题条件不变,求a-b的值. 提示:利用(a-b)2=(a+b)2-4ab,整体代入求值,然后再开方.得a-b=±1.
(2)把已知式子变形后再整体代入求值:如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍 数关系,各字母的项的系数对应成比例,就可以把这一部分看作一个整体,再把要求值 的代数式变形后整体代入计算求值.
(3)把所求式子和已知式子都变形,再整体代入求值:将已知条件和所求的代数式同时 变形,使它们含有相同的式子,再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式,计 算得出结果.
【思路点拨】(1)依据单项式的次数及系数进行判断. (2)根据同类项的定义列关于m,n的方程组,求出m,n的值.
【自主解答】(1)选D.此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字 母.A.-2xy2系数是-2,错误;B.3x2系数是3,错误;C.2xy3次数是4,错误;D.2x3符合系数 是2,次数是3,正确.
②括号前面是负号时,去掉括号,括号内的每一项都要改变符号.
【题组过关】 1.(2016·上海中考)下列单项式中,与a2b是同类项的是 ( ) A.2a2b B.a2b2 C.ab2 D.3ab 【解析】选A.含有相同字母,并且相同字母的指数相同的单项式为同类项.
2.(2015·通辽中考)下列说法中,正确的是 ( A.- x2的系数是 B. π a2的系数是 C.3ab2的系数是3a D. xy2的系数是
5 1
5 1
【解析】选B.原式=(x+y)2-xy
=
(
5 1 2

5 1 2
)
2
5 1 2

5 1 2
)
3 4
3 4
3 2 2
5 2 5
3 2
【解析】选D.A.- x2的系数是- ,故本选项错误;B. πa2的系数是 π,故本选项错误;C.3ab2的系数是3, 故本选项错误;D. xy2的系数是 ,故本选项正确.
3 2
3 2
2 5
3 4
2 5
3 4
3.(2015·龙岩中考)先化简,再求值:3(2x+1)+2(3-x),其中x=-1. 【解析】原式=6x+3+6-2x =4x+9, 当x=-1时,原式=4×(-1)+9=5.
命题角度1:整式的乘除 【典例4】(2015·福州中考)计算(x-1)(x+2)的结果是________. 【思路点拨】根据多项式乘以多项式的法则计算. 【自主解答】(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2. 答案:x2+x-2
命题角度2:乘法公式的应用 【典例5】(2015·邵阳中考)已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2016·淮安中考)已知a-b=2,则代数式2a-2b-3的值是 ( A.1 B.2 C.5 D.7 【解析】选A.∵a-b=2,∴2a-2b-3=2(a-b)-3=2×2-3=1.
)
3.(2016·临沂中考)用大小相等的小正方形按一定规 律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数是 ( )
5 5
【名师点津】幂的运算的应用 (1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若底数互为相反数时,要应用积的 乘方处理好符号问题,转化成同底数,再应用法则.
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面:一是运 算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.
【题组过关】 1.(2016·南京中考)下列计算中,结果是a6的是( ) A.a2+a4 B.a2·a3 C.a12÷a2 D.(a2)3 【解析】选D.A中,不是同类项不能相加减;B中,a2·a3 =a5,故错误,C中a12÷a2=a122=a10,故错误.D是正确的.