高等代数与解析几何导学

牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们
不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了
阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的
境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵
地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要
想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不
是他们的门徒的著作”。自16世纪以来，随着三
次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次
方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所
获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公
式，解决了这个世纪难题，在挪威皇宫有一尊
阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，
他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程
和椭圆函数。
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法国重要的数学家，他的工作为群论奠 定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就 读时欲证明五次多项式方程根式解的不可能 性（其实当时已为阿贝尔所证明，只不过伽 罗华并不知道），和描述任意多项式方程可 解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了 一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰 西科学院时，第一次所交论文却被柯西 （Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶 （Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大 学的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个 职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生 涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主 制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两 次下狱。他第三次送交科学院的论文又被泊 松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决 斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时 年21岁。他被公认为数学史上最具浪漫主义 色彩的人物之一。
高等代数与解析几何
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绪言
一、课程介绍
（一）代数与几何
在古代很长很长的时间 里，代数与几何就象两条铁 轨并行向前。直到笛卡尔和 费尔马诞生后，二者才实现 了历史的结合，并获得快速 发展。
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（一）代数与几何
然而，受前苏联追求完美理论体系的影响， 高等代数、解析几何成为两门独立的课程，并 与数学分析一起被认为是数学专业的三门重要 基础课程。
伴随高等教育教学改革的推进，为解决原 有教学体系中出现的突出问题，早在上世纪90 年代初，陈省身、姜伯驹等数学家就提出把高 等代数、解析几何整合为一门课程的思想。最 近几年，这项工作取得显著成效，基于“代数 为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背 景”的理念，代数与几乎又被融为一体。
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（二）课程主要内容
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高等代数与解析几何融合以后的内容模块
线性代数 多项式代数 空间几何
代数与几何结合部分 基于Maple的数学实验
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（三）历史透析
1、多项式理论的建立
一元二次方程 求根问题
一元三次方程 求根问题
一元四次方程 求根问题
一元五次方程 求根问题
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注：求解三次方程的卡尔丹公式
1、x的三个根:
x,xi ,xi .
初
解
等
求解一元二次
求解二（三）元
代
（三次）方程
线性方程组
数
一元二次（三次） 方程求根
整除 理论
因式分 解理论
求根 问题
二次型
一元n次多项 式的求根理论
n元线性方程 组求解理论
高
多元多项式与 对称多项式
解的 结构
解的一 般理论
求解 工具
等 代
数
线性变
应用
换空间
向量空 间理论
矩行 阵列
式
欧氏
空间 h
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关于解方程，数学
在传统意义下，代数主 要研究数量关系，而几何主 要研究空间形式，所以，恩 格思对数学有一个经典的定 义：
数学是研究现实世界中数量关系和空间 形式的科学。
高等代数=多项式代数+线性代数
高等代数是初等代数的自然推广和发展
解析几何研究空间中点、线h、面及其相互关系
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求解方程 axb0(a0)
一元二次（三次） 多项式的因式分
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伽罗华
Évariste Galois 1811~1832
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2、线性代数的建立（在相关章节介绍）
3、解析几何学的诞生—话说笛卡儿与费马
法国哲学家、数学家、物理学家，解析几 何学奠基人之一。
笛卡儿早年就读于拉弗莱什公学时，因孱 弱多病，被允许早晨在床上读书，养成了喜欢 安静善于思考的习惯。1612年在普瓦捷大学攻 读法学，四年后获博士学位。1618年从军，到 过荷兰、丹麦、德国。1621年回国，因法国内 乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行，1625年返 回巴黎。1628年移居荷兰，从事哲学、数学、 天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究， 并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密 切联系。他的著作几乎全都是在荷兰完成的。 1949年冬天，他应邀去为瑞典女王授课，1650 年初患肺炎，同年2月病逝。
家陈省身先生有一段耐
人寻味的描述：“一个数
学家应该了解什么是好
的数学，什么是不好的
和不大好的数学。有些
数学是具有开创性的，
有发展的，这就是好的
数学。还有一些数学也
蛮有意思，但渐渐变成
一种游戏了。所以选择
好的数学研究方向是要
紧 的 。 …… 。 那 么 什 么
是好的数学？比方说解
方程就是。搞数学就要
解方程。”
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笛卡儿
1596--1650
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费马
1601—1665
（四）应用价值
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，
以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业 余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样 样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，
一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发 表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思 想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注 挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书” 的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点， 勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余 钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸 多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数 学家之王”。
、xpxq的三个根:
xq q pq q p,
xq q p q q p ,
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xq q p q q p .
判别式
q
p
.
、 a x b x c x d (a )的求根问题
原方程 xbxcxd x y ba aypayqa.
原方程Biblioteka Baidu三个根: xy b a,xy b a,xy b a.
卡尔丹公式的推导过程充分展h示了从特殊到一般的思想。 10
关于五次方程求根问题，我们需要记住两位数学家。
阿贝尔
N.H.Abel 1802－1829
1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早
便显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到
了一个能赏识其才能的老师霍姆伯介绍他阅读