高一数学向量的加法与减法

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(整理)高一数学向量的加减法

［教材优化全析］1.向量的加法（1）引入①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：+BC =AC . A B C②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB +BC =AC .③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC +BC =AC . A BC上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则求“和”.（2）向量的加法的定义已知向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫做向量a 、b 的和.记作a +b ，即a +b =+BC =AC .求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a ，有a +0=0+a =a .（3）两个向量的和向量的作法如图（1）、（2）、（3）中，=a ，BC =b ，则+BC =AC.(1)(2)(3)A C①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”. 1°三角形法则对于两个向量共线时也适用. 2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则. 3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的全析提示向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完全一致.思维拓展两个向量的和仍是一个向量，这如同两个力的合力仍是力（向量）一样.全析提示向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.思维拓展向量是既有大小又有方向的量，向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量.起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.AB O课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a 的起点移至b的终点可求和向量.②平行四边形法则由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则.不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.当向量a、b反向时，若|a|＞|b|,则a+b的方向与a同向，且|a+b|=|a|－|b|.若|a|＜|b|,则a+b的方向与a反向，且|a+b|=|b|－|a|.（4）向量的运算律①交换律：a+b=b+a.证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b,则BC=b,DC=a.全析提示不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.要点提炼在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.全析提示当向量a、b不共线时，|a|、|b|及|a+b|构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；当向量a、b共线时，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直线上的线段相加减.要点提炼向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.因为=+=a+b,=+=b+a，所以a+b=b+a.当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|，b+a与a同向，且|b+a|=|b|+|a|，所以a+b=b+a；若a与b反向，不妨设|a|＞|b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|－|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|－|b|,所以a+b=b+a.综上所述，a+b=b+a.②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了.例如化简：（+）+=（+）+=+=.又如化简：CM+（BC+）=（CM+）+BC=CB+BC=0,也可写成CM+（MB+BC）=CM+MC=0.2.向量的减法（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作：－a.①规定：零向量的相反向量仍是零向量.②a与－a互为相反向量，即－（－a）=a.③任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.又如：与互为相反向量，+=0.④如果a、b互为相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.（2）向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b=a+（－b）.求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a－b.（3）a－b的作法由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.所以a－b就是这样一个向量，它与b的和等于a.①已知a、b,怎样求作a－b?解法一：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b,则=a －b,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.思维拓展当向量a与b共线时，求a与b 的和，不管是b以a的终点为起点，还是a以b的终点为起点，它们的和都是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，从图象上看都是相等的.要点提炼由于向量可用表示它的有向线段的起点和终点的字母来表示，根据向量加法的三角形法则，可把首尾相连的向量先结合在一起相加.全析提示向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.全析提示两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形知识求得.全析提示由于向量是以OB的终点为起点的向量，所以根据向量加法的三角形法则有=+,即a+（aA解法二：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则=a －b ，即a －b 也可以表示为从向量a 的起点指向向量b 的起点的向量.解法三：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =－b ,则由向量加法的平行四边形法则可得 OC =a +（－b ）=a －b .②如下图,若a 与b 共线时，怎样作a －b ?(1)(2)在平面内任取一点O，作=a ,=b .则为所求的向量a －b .(1)(2)B一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.平行四边形ABCD 中，若设=a ，=b ，则两条对角线都可以用a 与b 表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.如课本103页例4.AC =a +b ,DB =a －b .变式训练一：当a 、b b 垂直？－b ）=b .显然减法是加法的逆运算.思维拓展向量a －b =a +（－b ），即向量的减法可用向量加法的三角形法则或平行四边形法则来表示，是化生为熟，化未知为已知的化归思想的具体应用.要点提炼若向量a 、b 是共线向量，则a ±b 与a 、b 仍是共线向量.全析提示从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.变式训练二：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a－b|?变式训练三：a+b与a－b可能是相等向量吗？变式训练四：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？答案：一、|a|=|b|,即ABCD为菱形，对角线互相垂直.二、|a+b|=|a－b|，即ABCD 的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.三、a+b与a－b 不可能相等，因为ABCD的方向不同.四、当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.全析提示以平行四边形为起点，借助平面几何图形的性质解答上述问题.。

高一向量公式总结

向量的运算法则公式向量的运算法则公式包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。

以下是向量运算法则的具体内容：一、向量的加法1.1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.1.2向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。

2.1向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').三、、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.3.1数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.3.2数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.四、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.4.1向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；4.2向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）4.3向量的数量积与实数运算的主要不同点4.3.1向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.4.3.2向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.4.3.3|a·b|≠|a|·|b|4.3.4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.五、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.5.1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.5.2向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.六、三向量的混合积6.1向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c6.2混合积具有下列性质：6.2.1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）6.2.2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=06.2.3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)6.2.4(a×b)·c=a·(b×c)。

高一数学向量的加法与减法

向量的是（ A ） C．0 D．a＋b OA OB OC 0，则O是△ABC （2）若为△ABC内一点O，的（ D ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ A ） ① a b ab a b ② a b ab a b A．a＋a B．b+b
5.2 向量的加法与减法
向量和的特点：（1）两个向量的和仍是一个向量．（2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．
（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且
|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且
|a+b|=|b|-|a|．
5.2 向量的加法与减法
向量的运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 验证： D 若向量a与b是不共线向量，将向量 a与b的起点平移到同一 a+b+c 点O，作平行四边形 OABC．对角线 OB 是两向量和． c C b+c 三角形法则平行四边形法则 a+b b a A C a+b C a O a+b b B b B b a A a A B
5.2 向量的加法与减法
5.2 向量的加法与减法
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘
飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之
和是什么？

高一数学-向量的加法与减法精品

向量的加法与减法
1．怎样将n(n≥3)个平面向量相加？
这个问题要分为几个步骤来回答.
（1）向量的加法满足哪些运算律？向量的加法满足：交换律，即a+b=b+a；结合律，即（a+b）+c=a+(b+c).
注意，结合律总是只对三个元素而言的.当元素超过三个时，就要多次运用结合律（有时还要运用交换律）.另外，正因为有（a+b）+c=a+(b+c)，我们才可以定义三个向量a、b、c相加，按习惯将它用a+b+c表示，且a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，所以n个向量a2、a2，…，an (n≥3)相加可以写成a1+a2+…+an，并且按照向量加法的三角形法则，可以得到n个向量相加的法则是：以前一个向量的终点作为下一个向量的起点，相继作出向量a1,a2，…，an，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量就是所求的这n个向量的和.
2．教学向量的减法时，要注意些什么？
（1）向量a–b是一个向量，其方向是从b的终点指向a的终点（可记忆为从“减数”指向“被减数”）.
（2）因为三角形的任何两边之和大于第三边，可知| a±b|=|a|+|b|,其中等号当且仅当a
与b平行（即共线）时成立.
——摘自《中学数学教学参考》2001年第5期（蔡上鹤写）。

高一数学向量的加法与减法一

高一数学向量的加法与减法一课题： 5.2向量的加法与减法（一）目标：⑴掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。

⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量难点：对向量加法的定义的理解. 过程:一、复习引入物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则）如果两个力在同一直线上呢？二、新课：由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向量求和的平行四边形法则 1．平行四边形法则：由同一点A 为起点的两个已知向量b a,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向量AC 就是向量b a,的和。

这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。

由以上“两个力在同一直线上的合力”及“飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C ，则两次位移的和→→+BC AB 应该是”引出：2．向量和的定义：已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB==,，则向量AC 叫做向量b a ,的和。

记作：b a+;即AC BC AB b a =+=+这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:两个向量相加时，把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是这两个向量的和向量，AC BC AB =+（两个向量“首尾”相接）注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；推广：①可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则：②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点便可，如：OB AO AB +=练习：课本99页1、2、3、4.由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模） 3.两向量的和向量与原向量之间的关系⑴ a a a =+=+00⑵ AB +BA =0⑶ 当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a ,不同向，且||||||b a b a+<+ ⑷当向量b a ,同向时，b a+的方向与b a ,同向，且||||||b a b a +=+当向量b a ,反向时，若||||b a >，则b a +的方向与,a同向，且||||||b a b a -=+；若||||b a <，则b a +的方向与,a反向，且||||||a b b a -=+；4．向量的运算律：⑴交换律：a b b a+=+证明：当向量b a,不共线时,如上图，作平行四边形ABCD ，使a AB =，b AD =则b BC =,a DC =因为b a BC AB AC+=+=，a b DC AD AC +=+=所以a b b a +=+当向量b a ,共线时，若a 与b同向，由向量加法的定义知： b a +与a 同向，且||||||b a b a+=+a b +与a 同向，且||||||a b a b+=+，所以a b b a +=+ 若a 与b反向，不妨设||||b a >，同样由向量加法的定义知：b a +与a 同向，且||||||b a b a-=+a b + 与a同向，且||||||b a b a -=+，所以a b b a +=+ 综上，a b b a +=+⑵结合律：)()(c b a c b a++=++学生自己验证。

高一数学向量的加法与减法2

b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
C B
练习：p99-100
P102 作业：p102
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
o
制作者：李王晓翠荣艳
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三角形法则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C

高一必修一向量知识点总结

高一必修一向量知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做模，用|a|表示，向量的方向是一个单位向量所指的方向。

在笛卡尔坐标系中，一个向量可以用它在坐标系中的投影来表示，也可以用坐标表示。

一个二维向量可以表示成 (x, y)，一个三维向量可以表示成 (x, y, z)。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，那么 a + b= (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 向量的减法向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。

如果有两个向量 a 和 b，那么 a - b = a + (-b)。

3. 向量的数量积（点积）向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

如果有两个向量 a 和b，它们的数量积表示为a·b = |a| * |b| * cosθ。

其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。

4. 向量的数量积的几何意义向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角或者一个向量在另一个向量上的投影。

如果向量 a 在向量 b 上的投影是 p，那么a·b = |a| * |b| * cosθ = |b| * p。

5. 向量的数量积的性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a。

- 数量积满足分配律：a·(b + c) = a·b + a·c。

- 与数量积的夹角θ有关：当θ = 0 时，a与b同向，a·b = |a| * |b|；当θ = π 时，a与b反向，a·b = -|a| * |b|。

6. 向量的向量积（叉积）向量的向量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且方向符合右手定则。

如果有两个向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b = |a| * |b| * sinθ * n。

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

高一数学-5.2向量的加法与减法精品

5.2 向量的加法与减法【基础知识精讲】1.向量的加法已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC我们将两个向量的求和运算称为向量的加法.对于零向量与任意一个向量a，仍然有：0+a =a+0=a.特别地：+=2.向量的平行四边形法则根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是两个已知向量的和.以点A为起点作向量AB=a,AD=b，以AB、AD为邻边作□ABCD，则以A为起点的对角线就是与的和，记作+=.注意：(1)向量的和仍是一个向量(2)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜｜＜｜+｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与、相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.3.向量的加法满足交换律、结合律(1)交换律：a+b=b+a(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)4.向量的减法(1)相反的量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-，规定零向量的相反向量仍然是零向量，并且① -(-)=.②+(-)=(-)+=③+= =-(2)向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算，叫做向量的减法.5.向量减法的几何作法在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量(即连接两向量终点，箭头指向被减数，如图)6.重要不等式｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)【重点难点解析】1.关于向量加、减的平行四边形法则的说明；①两个向量的加、减的平行四边形法则是有联系的，它们都是以这两个向量为邻边作平行四边形，但这们又有区别，和向量是与这两个向量有共同起点的对角线所表示的向量，而差向量是另一条对角线表示的箭头指向被减数的向量.②当两个向量共线时，就不能用平行四边形法则，这时，需用三角形法则.2.向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的作法不同.例1在以下各命题中，不正确的命题个数为( )(1)｜a｜=｜b｜是a=b的必要不充分条件.(2)任一非零向量的方向都是唯一的.(3)｜a｜-｜b｜＜｜a+b｜(4)若｜a｜-｜b｜=｜a｜+｜b｜,则b=0(5)已知A、B、C是平面上的任意三点，则++=A.1B.2C.3D.4解：对以上5个命题逐一判断其真假.(1)∵、方向不同⇒≠;∴仅有｜a｜=｜b｜a=b；但反过来，有a=b⇒｜a｜=｜b｜.故命题(1)是正确的；(2)命题(2)正确.(3)当=时，有｜｜-｜｜=｜+｜，故｜｜-｜｜＜｜+｜不正确；(4)∵｜｜-｜｜=｜｜+｜｜,∴-｜｜=｜｜,∴2｜b｜=0,∴｜b｜=0,∴b =0故命题正确；(5)∵AB+BC+CA=AC+CA=0，故命题(5)正确.综上所述，在本例的5个命题中，只有(3)是错误，故应选择A.例2如图，求AB+BC+CD+DE+EF+FG.解：由向量加法，可知+++++=AC+CD+DE+EF+FG=AD+DE+EF+FG=++=+=例2如图，求AB-CB-DC+DE-EF+FA解：由相反向量可知=-=-FE=-EF因此，AB-CB-DC+DE-FE+FA=+++++=+=例4如图，已知=,=,=,=,=,=f,试用、、、、、f表示以下向量.(1) AC；(2) AD；(3) AD-AB；(4) AB+CF；(5) BF-BD；(6) ++.分析：本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答.解：(1) AC=OC-OA=c -a(2) =+=-+=-+(3) -=BD=OD-OB=d-b(4) +=--+=--+f(5) BF -BD=DF=BO+OF=-d+f(6) ++=+++++=例5任意画出两个向量、，与所在有向线段互相垂直，长分别是1、2作出a+b，a+a+b, a+b+b,并求出a+b, a+a+b, a+b+b的长.评析：先作出向量=,=使a与b所在直线互相垂直，以、为邻边作平行四边形OAEB，，则即为+，作=+.以、为邻边作平行四边形OBFC，则=++,作==，则OD=b+b,以OA、OD为邻边作平四边形ODGA，则=a+b+a.由于OA 所在直线与OB 所在直线互相垂直，所以线段OA ⊥OB ，OC ⊥OB ，OC ⊥OD ，从而平行四边形OAEB 、OBFC 、ODGA 均为矩形.又已知｜OA ｜=1,｜OB ｜=｜b ｜=2 所以｜OC ｜=2,｜OD ｜=4从而可求得｜+｜=｜｜=5｜++｜=｜｜=2222+=22 ｜++｜=｜｜=2241+=17【难题巧解点拔】例1 判断下列各命题的真假.(1)对任何两向量、,均有：｜｜-｜｜＜｜｜+｜｜ (2)对任何两向量、, -与-是相反向量 (3)在△ABC 中，+-=(4)在四边形中，(AB +BC )-(CD +DA )=0 (5) AB -AC =BC解：(1)假命题.∵当=时，｜｜-｜｜=｜｜+｜｜. ∴该命题不成立. (2)真命题.这是因为(-)+( -)=+(-)++(-)=+(-)++(-)=( -)+(-)= ∴a -b 与b -a 是相反向量.(3)真命题.∵AB +BC -AC =AC -AC =0 ∴命题正确.(4)假命题.∵AB +BC =AC , CD +DA =CA ∴(AB +BC )-(CD +DA )= AC -CA =AC +AC ≠0 ∴该命题不成立.(5)假命题.∵AB -AC =AB +CA =CB ≠BC∴该命题不成立.例2 设O 是正五边形A 1A 2A 3A 4A 5的中心，求证：1OA +2OA +3OA +4OA +5OA =0 分析一：设=1OA +2OA +3OA +4OA +5OA .要证=，就要证向量的方向不定.为此需要应用下面的结论：把几个非零向量同时绕一点旋转角θ，则它们的和向量也旋转角θ.证明：设=1OA +2OA +3OA +4OA +5OA .把向量i OA (i=1,2,…，5)均绕O 点逆时针旋转52π，则分别得向1+i OA (i=1,2,…,5，且A 6=A 1)此时和向量也绕O 逆时针旋转了52π，应该得到一个新向量,=2OA +3OA +4OA +5OA +1OA . ∴=.即绕O 旋转52π后，仍为，说明的方向不定，故为零向量.∴1OA +2OA +3OA +4OA +5OA = 分析二：向量i OA 与1-i OA +1+i OA 共线，可设1-i OA +1+i OA =λi OA证明：设1OA +3OA =λ2OA ,2OA +4OA =λ3OA 3OA +5OA =λ4OA ,4OA +1OA =λ5OA ,5OA +2OA =λ1OA则2(1OA +2OA +3OA +4OA +5OA =λ(1OA +2OA +3OA +4OA +5OA ) 显然λ＜2∴1OA +2OA +3OA +4OA +5OA =0 分析三：若以O 为坐标原点，1OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，然后正交分解每个向量，分别求出平行于x 轴的分量的和与平行于x 轴方向的和即可.证明：以O 为坐标原点，1OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.1=cos0·+sin0·2OA =cos52π·+sin52π· 3OA =cos54π·i +sin54π· 4OA =cos56π·+sin56π·j 5OA =cos58π·+sin58π·则1OA +2OA +3OA +4OA +5OA =(cos0+cos 52π +cos 54π +cos 56π+cos 58π) i +(sin0+sin52π +sin 54π+sin 56π+sin 58π) =0·i +0·j =0例3 试证明：对任意向量，都有：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a -b ｜≤｜a ｜+｜b ｜.并指出等号成立的条件.分析：这里可根据向量a ，b 共线与不共线两种情况进行论证.共线时是特殊情况.而不共线时可根据三角形任意两边之差总小于第三边进行论证.证明：(1)当a ，b 共线时，(i) a 、b (a 、b 非零)同向.则｜a -b ｜=｜｜a ｜-｜b ｜｜＜｜a ｜+｜b ｜；(ii)当且仅当a 、b 中至少有一个零向量时，｜a -b ｜=｜｜a ｜-｜｜｜=｜｜+｜｜；(iii)当、 (非零)反向时，｜-｜=｜｜+｜｜＞｜｜｜-｜｜｜.根据以上(i)、(ii)、(iii)三种的讨论可知：当、共线时，要证的不等式成立. (2)当a 、b 不共线时，如图，设在△ABC 中，AC =a ,AB =b 则BC =a -b ，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，两边之和总大于第三边可得：｜｜a ｜-｜b ｜｜＜｜a -b ｜＜｜a ｜+｜b ｜综上(1)、(2)可得：对任意向量a 、b 都有：｜｜｜-｜｜｜＜｜-｜＜｜｜+｜｜，当且仅当、同向或、中至少一个为时，｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜中的等号成立，当且仅当、反向或、中至少一个为，｜-｜≤｜｜+｜｜中的等号成立.说明：(1)｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a -b ｜≤｜a ｜+｜b ｜中两等号成立的充要条件是a、b中至少有一个为零向量.(2)在上述不等式中-换成可得：｜｜｜-｜｜｜≤｜+｜≤｜｜+｜｜，将这两个不等式综合在一起可写成：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜.这个不等式中等号成立的条件应引起我们的重视.例4已知向量和，求证：｜+｜=｜-｜的充要条件是：的方向与的方向垂直.分析：本题可采用数形结合的方法予以证明.证明：(1)证充分性：若a与b方向垂直，如图所示，设OA=a,OB=b,使OA⊥OB,以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则｜a+b｜=｜OC｜,｜a-b｜=｜BA｜∵四边形OBCA为矩形，∴｜｜=｜｜∴｜+｜=｜-｜(2)证必要性.若｜+｜=｜-｜设OA=a,OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形，则｜a+b｜=｜OC｜,｜a-b｜=｜BA｜∵｜+｜=｜-｜∴｜｜=｜｜∴平行四边形OBCA为矩形∴的方向与的方向垂直.【课本难题解答】课本第103页，习题5.2第6题(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7)第7题：先作出向量=,=，然后以OA、OB为邻边作平行四边形OADB，则OD=OA+OB=a+b再延长DO到C，使｜DO｜=｜OC｜.从而OC=c显然表示、、的有向线段能构成三角形.【命题趋势分析】本节主要考查向量加减法定义、加法减法的混合运算、加减法运算解决实际问题.本节内容会出中低档题，主要以选择题形式出现.【典型热点考题】例1下列命题(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中，必有AB+BC+CA=0(3)若AB+BC+CA=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点.(4)若、均为非零向量，则｜+｜与｜｜+｜｜一定相等.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解：(1)假命题当+=时，命题不成立.(2)真命题.(3)假命题.当A、B、C三点共线时也可以有++=.(4)假命题.只有当与同向时，相等，其它情况均为｜｜+｜｜＞｜+｜综合上述情况.应选B.例2若=8, =5，则的取值范围是( )A.［3，8］B.(3，8)C.［3，13］D.(3，13)解：∵=-当AB、AC同向时，｜BC｜=8-5=3当、反向时，｜｜=8+5=13当、不平行时，3＜｜｜＜13综上可知3≤｜BC｜≤13∴应选C.例3已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c则向量OD等于( )A. ++B. - +C. +-D. --解：如图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为、、，结合图形有=+=+=+-=+-∴应选B.例4已知：｜｜=3,｜｜=4,｜+｜=6求：｜-｜，向量与的夹角.解：如图，以a，b为邻边构造□ABCD，其中设a=AB,AD=b.根据｜AC｜2+｜DB｜2=2｜AB｜2+2｜AC｜2得｜-｜=2｜｜2+2｜｜2-｜+｜2=14∴｜a-b｜=14作BE⊥AD于E，设｜｜=x,则｜｜=4-x,在Rt△ABE中，｜｜2=｜｜2-｜｜2=9-x2在Rt△BED中，｜｜2=｜｜2-｜｜2=14-(4-x)2∴9-x2=14-(4-x)2解之，x=811∴cos∠24 11∴向量与的夹角为arccos2411.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.向量(+)+(+)+化简后等于( )A. B. C. D.2. 、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则( )A. a∥b且a、b方向相同B. a=bC. a=-bD.以上都不对3.化简(-)+(-)的结果是( )A. B. C. D.4.在四边形ABCD中，=+，则( )A.ABCD是矩形B.ABCD是菱形C.ABCD是正方形D.ABCD是平行四边形5.已知正方形ABCD的边长为1，AB =a,AC=c, BC=b,则｜a+b+c｜为( )A.0B.3C. 2D.226.下列四式不能化简为AD的是( )A.( +)+B.( +)+( +)C. +-D. -+7.设是的相反向量，则下列说法错误的是( )A. a与b的长度必相等B. a∥bC. a与b一定不相等D. a是b的相反向量8.设(+)+(+)= ,≠,则在下列结论中，正确的有( )①∥;②+=;③+=;④｜+｜＜｜｜+｜｜A.①②B.③④C.②④D.①③9.如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向的充要条件是( )A.｜+｜=｜｜-｜｜B.｜-｜=｜｜-｜｜C.｜-｜=｜｜-｜｜D.｜+｜=｜｜+｜｜10.已知a、b是两非零向量，命题甲：a、b不共线；命题乙：｜｜a｜-｜b｜｜＜｜a-b｜＜｜a｜+｜b｜，则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：1.已知AB=a,BC=b, CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d= .2.若向量、满足｜+｜=｜｜+｜｜，则与必须满足的条件为 .3.已知向量a、b的模分别为3，4，则｜a-b｜的取值范围为 .4.已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= .5. =“向东走4km”,=“向南走3km”,则｜+｜= .三、解答题1.已知矩形ABCD，｜AD｜=43,设AB=a,BC=b,BD=c，求｜a+b+c｜.2.已知=,=,且｜｜=｜｜=4,∠AOB=60°,①求｜a+b｜，｜a-b｜②求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.3.已知△ABC，试用几何法作出向量：BA+BC，CA+CB.【素质优化训练】1.证明：若一四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形.2.证明等式｜a+b｜2+｜a-b｜2=2(｜a｜２+｜b｜2)3.已知：A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OA+OB+OC=0,求证：O是△ABC的重心.【生活实际运用】如图，重为4N的匀质球，半径为R=6cm，放在墙与均匀的AB板之间，A端用铰链铰住，B端用水平绳索BC拉住，板长l=10cm，与墙夹角α，如果不计木板重，α为何值时，绳的拉力最小?最小值为多少?分析：本题考查向量加、减法在物理学中的应用.先进行受力分析，后求力的大小.解：设球对板AB的压力为T，BC对板的位力的F (如图)，又AB处于平衡，以A为转动轴有.|F|l·cosα=｜T｜·AD又｜｜=｜｜tan2α=ADR ,AD=2tanαR .｜｜=αcos ·l ADT2tanαR )÷lcos α)cos 2tan sin (αα∙∙∙l 令y=sin α·tan2α·cos α 则y=cos α(1-cos α)=-(cos α-21)2+41 当cos α=21,即α=60°时，y max =41.此时||min =4.8(N)答：当α等于60°时，绳的拉力最小，最小值为4.8N.【知识验证实验】在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)求重物平衡时，两根绳子的拉力的大小.解：作□OACB 的图形，使∠AOC=30°,∠BOC=60°,在△AOC 中， ∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.｜｜=｜｜cos30°=1503 (N),｜｜=｜｜sin30°=150(N) ｜OB ｜=｜AC ｜=150(N)∴与铅垂线成30°的绳子拉力是1503N ，成60°角绳子的拉力是150N.【知识探究学习】已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且｜｜=4,｜｜=6,｜｜=2,试计算|++|.解：构造平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1使=,=,1=，连结A 1C 1、AC ，则四边形A 1ACC 1是平行四边形.∴1AC =1AA +AC =1AA +AB +AD ∴1AC =++ 在□ABCD 内，∵∠BAD=3π,｜AB ｜=4,｜AD ｜=6,则｜AC ｜=219 在□A 1ACC 1内，｜AC 1｜2+｜A 1C ｜2=2｜AC ｜2+2｜A 1A ｜2=160① 在□A 1ABB 1内，∠A 1AB=3π,｜A 1A ｜=2,｜AB ｜=4,知｜A 1B ｜=23 在□A 1BCD 1内，｜A 1C ｜2+｜BD 1｜2=2｜A 1B ｜2+2｜BC ｜2=96②①-②得：｜AC 1｜2-｜BD 1｜2=64③ 在□ABCD 内，∠B 1BC=3π,｜BC ｜=6,｜C 1C ｜=2,知｜BC 1｜=23 在□ABC 1D 1内，｜AC 1｜2+｜BD 1｜2=2｜BC 1｜2+2｜AB ｜2=136④③+④得：2｜AC 1｜2=200 ∴｜++｜=10参考答案【同步达纲练习】一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.D 9.A 10.C二、1. 2. ，同向，或者至少一个为 3.［1，7］ 4.43 5.5km三、1.83 2.①43,4;②30°,60°3.(1)以BA、BC为邻边作□ABCE，则根据向量加法的平行四边形法则可知：就是+.(2)以CB、CA为邻边作□ACBF，则根据向量加法的平行四边形法则可知：CF就是CA+CB【素质优化训练】1.提示证：AD=BC⇒｜AD｜=｜BC｜，AD∥BC2.提示：根据a，b之间的关系，分三类情况予以证明：(1) 、共线且方向相同.(2) 、共线且方向相反.(3) 、不共线.3.略证：OA +OB+OC=0⇒OA=-(OB+OC),以OB、OC为邻边作平行四边形BOCD，则OD=OB+OC=-OA，设BC与OD交于E，则BE=EC, OE=ED,从而｜OA｜=2｜｜，故O是△ABC的重心.。

向量的加法与减法

向量的加法与减法在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。

向量的加法和减法是两个基本操作，用于将多个向量组合在一起或从一个向量中减去另一个向量。

本文将介绍向量的加法和减法的定义、性质以及应用。

一、向量的加法向量的加法是将两个向量合并成一个新的向量。

假设有两个向量A 和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。

向量的加法定义如下：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)通过上述公式，我们可以将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

向量的加法有许多应用，例如在物理学中，当我们需要计算多个力的合力时，就需要使用向量的加法。

另外，在几何学中，向量的加法可以用来计算多边形的边向量和对角线向量。

二、向量的减法向量的减法是将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。

假设有两个向量A和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。

向量的减法定义如下：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)通过相应分量相减，我们可以得到一个新的向量。

向量的减法没有交换律，即A - A≠ A - A，但满足结合律。

向量的减法也有许多实际应用。

例如在导航系统中，我们可以使用向量的减法来计算两个位置之间的位移向量，从而确定行进方向和距离。

总结：向量的加法和减法是数学中常见的操作，可以将多个向量合并或从一个向量中减去另一个向量得到新的向量。

向量的加法满足交换律和结合律，而减法仅满足结合律。

这些操作在物理学、几何学以及导航系统等领域都有广泛的应用。

掌握向量的加法和减法的概念和应用将有助于我们更好地理解和解决相关问题。

【注意：根据题目要求，文章直接回答标题，不再重复题目或其他无关内容。

】。

高一数学向量加法

……最后摇起青春四射的幼狮肩膀一抛，狂傲地从里面飞出一道奇辉，他抓住奇辉刺激地一晃，一件白惨惨、怪兮兮的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件宝贝儿
，一边旋转，一边发出“唰唰”的美响！突然间蘑菇王子狂鬼般地耍起青春光洁的手掌，只见他行走如飞的闪黑色梦幻海天靴中，威猛地滚出三道晃舞着∈七光海天镜←的黄
A (3)
B
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
a ba
（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b、a、b的方
向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与 a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与?相同,， |a+b|?
……突然间蘑菇王子音速般地发出七声凶黑色的疯狂暴吹，只见他精明快乐的黑亮眼睛中，变态地跳出二组甩舞着∈七光海天镜←的玉笋状的奇涧美玉翅鹊，随着蘑菇王子的
摇动，玉笋状的奇涧美玉翅鹊像吊灯一样在双臂上优美地安排出团团光云……紧接着蘑菇王子又念起念念有词的宇宙语，只见他修长灵巧的手指中，酷酷地飞出四簇旋舞着∈
，很快在五个烂尸体之上变成了隐隐约约的幽静冒烟的蛔虫……这时，雕塑状的物体，也快速变成了梨核模样的深白色胶状物开始缓缓下降，，只见蘑菇王子猛力一耍好似天
龙一般的强劲腹部，缓缓下降的深白色胶状物又被重新耍向晴霄！就见那个光闪闪、沉甸甸的，很像梨核模样的胶状物一边飘荡闪烁，一边绕动升华着胶状物的色泽和质感。
一团淡灰色的浆糊状物体……接着蘑菇王子又甩起俊朗英武的、顽皮灵活的脖子，只见他极似玉白色天穹样的额头中，飘然射出三片抖舞着∈万变飞影森林掌←的玩具状的花

高一数学-5.2向量的加法与减法

3．关于两向量及它们的和差，其长度之间有以下重要的性质：
பைடு நூலகம்｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜．要重视该式中等号成立的条件，应用它可以解决许多相关的问题．
4．力与速度的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算问题，因此加减法运算法则在实际生活中有着广泛的应用，学习中注意提炼出相关的模型．
正确运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则，以及向量减法的三角形法则，注意分清起点与终点．
例1 如图5－2－4，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则作a＋b＋c．
［解析］利用三角形法则时使三个向量首尾相接；利用平行四边形法则时先求两个向量的和再加上第三个向量．
对于相反向量有如下结论：①－（－a）＝a；②a＋（－a）＝（－a）＋a＝0．
（2）向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．
即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
（口诀：共起点，连终点，指向被减向量）
解题方法、技巧培养
出题方向1 考查向量加法、减法的几何作图
点拨三角形法则和平行四边形法则运用时，要特别注意不同的起点和终点间的关系，不要在连接上出现错误．三角形法则是首尾相接，平行四边形法则是起点重合．
点拨充分利用图中相等向量，来进行转化，以便简化运算．图中以A、B、C、D、E、F、O七点中的任意两点为起点与终点的向量，都可以用向量a，b来表示．
出题方向2 考查向量加法与减法运算
对于多个向量的加法与减法运算，要灵活运用向量的运算法则与运算定律，以及相等向量、相反向量等知识．
例3 化简下列各式：
［解析］运用向量的运算定律及法则，求解．
点拨深刻理解向量的运算法则，并熟练掌握向量的等价变形（主要运用向量相等、相反向量、向量的运算定律）．易错易混点警示

高一数学向量的加法与减法

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高一数学向量的加法与减法一

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