天体运动相关问题处理

天体运动
开普勒行星运动三定律
引力势能
机械能守恒定律
动量守恒
1.根据行星绕日做椭圆运动（开普勒第一定律）的面积速度为恒量（开普勒第二定律），试证明各行星绕日
运行的周期T 与椭圆轨道的半长轴a 之间的关系为C T a =23
（开普勒第三定律），并求出常量C 的表达式。

2.要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为2r 的预定轨道上绕地球做匀速圆
周运动，为此先将卫星发射到半径为1r 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示，在A 点，实际上使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B 时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A 点到达B 点所需的
时间，设万有引力恒量为G ，地球质量为M 。

3.质量为m 的飞船在半径为R 的某行星表面上空高R 处绕行星作圆周运动，飞船在A 点短时间向前喷气，使飞船与行星表面相切地到达B 点，如图所示。

设喷气相对飞船的速度大小
为Rg u =，其中g 为该行星表面处的重力加速度。

(1)试求飞船在A 点短时
间喷气后的速度；(2)求所喷燃料（即气体）的质量。

4.天文学家在16世纪就观测到了哈雷彗星，天文资料显示：哈雷彗星的近日距为0.59天文单位，远日距为3
5.31天文单位（1天文单位 = 地日距离R ，），地球公转速率为km/s 30。

试根据以上资料求：
（1）哈雷彗星的回归周期为多少年；
（2）哈雷彗星的最大速率v 是多少。

5.卫星沿圆周轨道绕地球运行，轨道半径R r 3=，其中地球半径km 6400=R 。

由于制动装置短时间作用，卫星的速度减慢，使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动，如图所示。

问：制动后经过多少时间卫星落回到地球上？
6.宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的a 倍，因a 量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计。

（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度近h 和远火星点高度远h ；
（2）设飞船原来的运动速度为0v ，试计算新轨道的运行周期T 。

7.地球m 绕太阳M （固定）做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴
为b ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1,2,3的运动速度的大小及其曲
率半径。

8.从地球上看太阳时，对太阳直径的张角θ=0.53°.取地球表面上纬度为1°的长度l=110km ，地球表面处的重力加速度g=10m/s 2，地球公转的周期T=365天.试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比.假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.
9.一个质量为m 1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km 高空作圆周运动，在某处和一个质量为m 2=91m 1的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动。

碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km ，其轨道和卫星轨道在同一平面内。

已知质量为m 的物体绕地球作
椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和E=—G a
Mm 2，式中G 是引力常量，M 是地球的质量，a 为椭圆轨道的半长轴。

设地球是半径R=6371km 的质量均匀分布的球体，不计空气阻力。

（1）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。

（2）如果此事件是发生在北极上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？
9.假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。

已知地球表面处的重力加速度g =9.80m/s 2，地球半径R 0=6.37×106m ，月球质量m m =7.3×1022kg ，月球半径R m =1.7×106m ，引力恒量G =6.67×10−11N·m 2/kg 2，月心地心间的距离约为r em =3.84×108m
(i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？
(ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？
(iii)若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？
10.质量为m 的人造卫星在绕地球（质量为M e ）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f （常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f 很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r 的圆周轨道，但r 将逐周缩短. 试求在r 轨道上旋转一周，r 的改变量及卫星动能E K 的改变量.
11.一质量为m =12×103kg 的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度
h =100km. 为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P 点作一短时间发动. 从
喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u =10km/s ，月球半径为R =170km ，月球表
面的落体加速度g =1.7m/s 2. 飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：
（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A 点（与P 点相对），并相切.
（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心的动量，飞船轨道与月球表面
B 点相切.
试计算上述两种情况下所需要的燃料量.
12.若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。

若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M 和m ，月心-地心间的距离为R ，万有引力恒量为G 。

学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为2R M G a m =；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为2R
m G a e =。

这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。