人教B版数学高一版必修1学案3.3幂函数(1)

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人教新课标版数学高一B版必修1素材预习学案 3.3幂函数

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1．幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数．
思考1 一次函数和二次函数都是幂函数吗？
提示：不一定，例如，y＝x＋1，y＝x2＋1分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数．
思考2 函数y＝1是幂函数吗？
提示：不是，虽然y＝x0与y＝1差别不大，但是其定义域不同，幂函数y＝x0需要x≠0，但y＝1的定义域为R.
2．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
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x，y＝x－1的图象与性质
提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数的图象不过第四象限．思考4(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上是增函数．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上都是增函数，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．。

1.数学：3.3《幂函数》教案(新人教B版必修1)

幂函数教学设计一、教学目标1.知识与技能理解、掌握幂函数的图象与性质，并进一步掌握研究函数的一般方法。

2.过程与方法渗透分类讨论、数形结合的思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力。

3.情感态度价值观培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 二、教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法。

相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点。

学情分析及教学内容分析三、学情分析 1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面所授课班级是理科实验9班，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，对课堂教学有较高需求. 四. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 1.是幂函数在实际中的应用.2.学生在初中已经学习了x y =、2x y =、1-=x y 三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.3.幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.组织探究二、幂函数的定义自然地，给出幂函数定义（板书，学生打开课本）一般地，形如：αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（由上面的式子可以看出幂函数和幂联系紧密，由于根式推广时，我们仅推广到有理数的情况，所以仅研究有理数）。

高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数学案

§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质．难点：幂函数图象的位置和形状变化．三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点，所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解选A ，或选C ，或选D剖析错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数．正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象．三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{－1}．四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数解析要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1；如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0，由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2，所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。

人教B版数学高一版必修1学案3.3幂函数

课堂导学三点剖析各个击破一、幂函数的定义【例1】判断下列函数是不是幂函数，满足什么条件才是幂函数？ (1)y=xk(k≠0); (2)y=kx+b(k≠0); (3)y=ax 2+bx+c(a≠0); (4)y=x α.思路分析：判断一个函数是不是幂函数主要依据幂函数的定义：形式为y=x α，其中x 是自变量，α是常数.解：这四个函数都不一定是幂函数. (1)当k=1时是幂函数； (2)当k=1,b=0时是幂函数； (3)当a=1，b=c=0时是幂函数；(4)当x 是自变量，α是常数时才是幂函数. 温馨提示判断一个函数是不是幂函数可以依据下列步骤： (1)看函数是不是幂式y=x α;(2)看自变量是在底数上，还是在指数上，在底数上是幂函数，在指数上是指数函数. 类题演练1已知函数f(x)=(m 2+2m)·x12-+m m .m 为何值时，f(x)为幂函数？解析：根据幂函数的定义,知m 2+2m=1.解得m=-1±2,即当m=-1±2时,f(x)为幂函数. 变式提升1点(2,2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2,41)在幂函数g(x)的图象上，问x 为何值时，有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x)？解析：设f(x)=x α,则由题意知2=(2)α,∴α=2,即f(x)=x 2. 再设g(x)=x β,则由41=(-2)β,得β=-2,即g(x)=x -2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象(如下图)，可知：①当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);②当x=±1时，f(x)=g(x); ③当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 二、幂函数的图象、性质【例2】给定一组函数解析式:①y=x 43;②y=x 32;③y=x23-;④y=x32-;⑤y=x 23;⑥y=x31-;⑦y=x31和一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内.解析：观察前3个图象,由于在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,知幂指数α应小于零.其中第1个函数图象关于原点对称,第2个函数图象关于y 轴对称,而第3个函数的定义域为x>0,所以,第1个图象应对应函数y=x31-,第2个图象对应y=x32-,第3个图象对应y=x23-;后4个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知α>0,第4个图象关于y 轴对称,第5个图象关于原点对称,定义域都是R ,所以,第4个图象对应函数y=x 32,第5个图象对应y=x 31.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第6个图象呈上凸状,α应小于1,第7个图象呈下凸状,α应大于1,故第6个图象对应y=x 43,第7个图象对应y=x 23. 答案：⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤ 类题演练2如下图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象,已知α取±2,±21四个值,则相应的曲线C 1、C 2、C 3、C 4的α依次为( )A.-2、-21、21、2 B.2、21、-21、-2 C.- 21、-2、2、21 D.2、21、-2、-21解析：根据幂函数的图象与性质,知应选B. 答案：B 变式提升已知x ∈［-1,+∞),试判断函数f(x)=x 32+2·x 31+4的增减性. 解析：f(x)=x 32+2x 31+4=(x 31+1)2+3. ∵x≥-1,令t=x 31+1∈［0,+∞),而u(t)=t 2+3在［0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在［-1,+∞)上是增函数. 三、幂函数的图象、性质的应用【例3】比较下列各组数的大小: (1)325-与3.125-;(2)-887-与-(91)87.解析：(1)函数y=x 25-在(0,+∞)上为减函数.∵3<3.1, ∴325->3.125-.(2)-887-=-(81)87,函数y=x 87在(0,+∞)上是增函数. ∵81>91, ∴(81)87>(91)87.∴-887-<-(91)87. 温馨提示比较大小问题,一般用相应函数的单调性来比较,抽象出相应的函数至关重要.间接法比较大小除用单调性外,还要找到合适的“桥梁”搭桥,往往取0或1等常数. 类题演练3设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是（） A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b 解析：∵0<a<1,∴y=x α在［0,+∞）上是单调递增的. ∴a a <b a . 答案：C 变式提升3若(a+1)31<(2a-2)31,则实数a 的取值范围是____________. 解析：令y=x 31.∵y=x 31在（-∞,+∞）上是单调递增的, ∴(a+1)31<(2a-2)31 a+1<2a-2, 解得a>3. 答案：a>3。

人教新课标版数学高一数学人教B版必修一 3.3 幂函数学案

3.3 幂函数自主学习学习目标1．掌握幂函数的概念．2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质．3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．自学导引 1．一般地，幂函数的表达式为________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数．2．幂函数的图象及性质在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．(3)若α<0时，幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．(5)幂函数在第________象限无图象．对点讲练知识点一理解幂函数的概念例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．规律方法幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．知识点二幂函数单调性的应用例2 比较下列各组数的大小：(1) 3－52与3.1－52； (2)－8－78与－⎝⎛⎭⎫1978.规律方法比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式迁移2 比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫－23－23与⎝⎛⎭⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.知识点三幂函数性质的综合应用例3 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式迁移3 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝nm (m 、n ∈N *，m 、n 互质)时，有：n m y ＝x nm 的奇偶性定义域奇数偶数非奇非偶函数 hslx3y3h0，＋∞) 偶数奇数偶函数(－∞，＋∞)奇数奇数奇函数 (－∞，＋∞)2.幂函数y ＝x n m 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，nm <0时为减函数.课时作业一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 23．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －15．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1二、填空题6．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f (25)＝____________. 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈，不等式f (x＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是__________．8. 如图所示是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α依次为________________．三、解答题9．已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．§3.3 幂函数答案自学导引1．y ＝x α 底数指数2．(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四对点讲练例1 解根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 变式迁移1 解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例2 解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978，从而－8－78<－⎝⎛⎭⎫1978. 变式迁移2 解 (1)⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23， ⎝⎛⎭⎫－π6－23＝⎝⎛⎭⎫π6－23， ∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23<⎝⎛⎭⎫π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例3 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *， ∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.变式迁移3 解由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意． ∴m ＝－1,1,3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．课时作业1．D 2.A 3.A 4.B 5．B 6.15解析设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.7．hslx3y3h 2，＋∞)解析 f (x ＋t )≥2f (x )，即(x ＋t )2≥2x 2. 即x 2－2tx －t 2≤0在x ∈上恒成立，令g (x )＝x 2－2tx －t 2，又对称轴为x ＝t ，只须g (t ＋2)≤0，∴t ≥ 2.8．2，12，－12，－29．解设f (x )＝x α，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2， ∴f (x )＝x 2.同理可求：g (x )＝x －2，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )．(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )．(3)当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 10．解由幂函数的性质，知m 2－2m －3<0， ∴(m ＋1)(m －3)<0. ∴－1<m <3.又∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.当m＝0或2时，y＝x－3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x)－3＝－x－3，∴y＝x－3是奇函数．又∵－3<0，∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．当m＝1时，y＝x－4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x)－4＝1(－x)4＝1x4＝x－4，∴函数y＝x－4是偶函数．∵－4<0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y＝x－4是偶函数，∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．综上，当m＝0或2时，y＝x－3，此函数是奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y＝x－4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。

人教B版高中数学必修一教案3.3幂函数

人民教育第一版高中数学 B 版必修一◆ 3.3 《幂函数》教课方案一、教课目的学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等有关知识, 初步掌握了研究函数的程序。

学生思想活跃，踊跃性高，已初步形成对数学识题的合作研究能力。

但学生间存在差别，特别是着手操作的能力，察看、类比、分析、概括总结的能力个体差别还比较显然。

依据上述教材构造与内容分析，考虑到学生已有的认知构造和心理特色，拟订以下三维教课目的：（一）知识与技术：理解幂函数的观点，掌握幂函数的图象与性质，学会利用幂函数的图象与性质来解决简单的问题。

（二）过程与方法：研究幂函数的图象与性质的过程，掌握由特别到一般、类比、数形联合、分类议论的数学思想方法。

（三）感情、态度与价值观：培育学生绘图、识图、用图的思想意识，在问题眼前要有勇于研究的精神质量。

二、教课要点、难点依照课程标准，在吃透教材基础上，确定以下的教课要点、难点。

（一）要点：幂函数的图象与性质，经过主题研究、例题设计、学生板演、课件展现等手段突出要点。

（二）难点：幂函数随指数的取值不一样，它们的定义域、图象和性质也不尽同样，经过采纳由特别到一般的研究过程，实现从详细的感性认知到抽象的理性认知、类比新旧知识的共性特色，实现由已知到未知的超越，采纳化整为零、巧设阶梯、各个击破的策略打破难点。

掌握好要点、难点的要点是吃透教材，抓准教材的重难点；熟习学情，问题设置切合学生的认知水平；合理指引、方法适合。

三、教法学法依照教课目的，鉴于知识特色，尊敬“教师主导、学生主体”，教法与学法有机联合的原则（一）教法鉴于本节课幂函数与研究其余函数程序相一致的特色，应侧重采纳引诱启示、问题驱动的教课方法。

即：采纳引诱察看分析、启示概括类比、问题驱动自主研究、合作沟通的模式睁开教课，精心设计各样数学识题串，调换全体学生踊跃参加，激发学生学习兴趣，使学生深入思虑、主动研究。

利用 PPT 、计算机多媒体演示协助教课等手段。

人教B版高中数学必修一《幂函数》课堂学案

3.3幂函数一、幂函数定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量。

⑴底数是； ⑵指数是；⑶函数式前的系数都是； (4) 为常数。

二、探究：幂函数的图象与性质 1、画出3x y =的图象x2- 1-21-0 21 1 23x y =2、画出21x y =的图象x41 14921x y =3、探究：观察图象，将你发现的结论写在表内由上述特殊幂函数的特征和性质，总结幂函数的性质。

（从①公共点 ②第一象限的单调性③奇偶性考虑）探究：观察更多的幂函数，归纳出幂函数 αx y = 在第一象限的图象（即0,0,10,1,1<=<<=>ααααα时的图象）。

小试牛刀讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出图象，并根据图象说明它的单调性。

三、典型例题练习1：判断下列函数是否为幂函数.练习2：下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数？练习3：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求满足条件的实数m 的值.练习4：.),22,2()(式试求出这个函数的解析的图象过点已知幂函数x f y =练习5：比较下列各组数的大小练习6：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当),0(+∞∈x 时，)(x f 是增函数，求满足条件的实数m 的值.x y 2.0=x y 5=21x y =1-=x y x y -=35xy =25251.33)1(--和8787918)2(⎪⎭⎫⎝⎛---和3232632)4(--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-π和()5332529.18.31.4)5(---，，1.225.15.1)3(和练习7：如图的曲线是幂函数nx y =第一象限内的图像，已知分别取a,b,c,d 四个值，与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应，则a,b,c,d 四个值从大到小依次为练习8：.),0[)(上是增函数在证明幂函数+∞=x x f。

人教新课标版数学高一- 人教B版必修1 3.3 幂函数教案

3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学课时：1课时
教学过程：
1、概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。

选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。

（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。

两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。

当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。

（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。

（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。

4、提问思考。

根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。

要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n ＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。

再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。

课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。

人教新课标版数学高一人教B版必修1精品教学设计 3.3 幂函数

3．3 幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝21x 等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象．2．通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．3．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质． 4．通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．5．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力． 6．了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(1)如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系？根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数．(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． (3)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． (4)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝21S ，这里a 是S 的函数． (5)如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v ＝t －1 km/s ，这里v 是t 的函数．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)．思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．推进新课新知探究提出问题问题①：给出下列函数：y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？问题②：根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论．问题③：我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？问题④：画出y＝x，y＝x 12，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格．问题⑤：通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？问题⑥：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．如y ＝x 2，y ＝21x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．③我们研究指对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．④学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y ＝x ，y ＝21x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x－1的图象．列表：描点、连线．画出以上五个函数的图象，如下图．让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．通过观察图象，完成表格．⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断．⑥幂函数y＝xα的性质．(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x＝1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．特别地，当α＞1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．当0＜α＜1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴．应用示例思路1例1比较下列两个代数式值的大小：(1)(a ＋1)1.5，a 1.5；(2)(2＋a 2)－23，2－23.解：(1)考察幂函数y ＝x 1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数．因为a ＋1＞a ，所以(a ＋1)1.5＞a 1.5. (2)考察幂函数y ＝23－x ，在区间[0，＋∞)上是单调减函数．因为2＋a 2≥2，所以(2＋a 2)－23≤2－23. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.例2讨论函数y ＝32x 的定义域、奇偶性，作出它的图象．并根据图象说明函数的增减性．解：函数y ＝32x ＝3x 2，定义域是实数集R . 因为f(－x)＝32)(x －＝[(－x)2]＝(x 2)＝32x ，所以函数y ＝x 23是偶函数．因此函数的图象关于y 轴对称．列出函数在[0，＋∞)上的对应值表：作这个函数在[0，＋∞)上的图象，再根据这个函数的图象关于y 轴对称，作出它在(－∞，0]上的图象，如下图所示．由它的图象可以看出，这个函数在区间(－∞，0]上是减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．变式训练证明幂函数f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性．证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以x 1－x 2x 1＋x 2＜0.所以f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．思路2例1判断下列函数哪些是幂函数．①y ＝0.2x ；②y ＝x －3；③y ＝x －2；④y ＝51x .活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，变量x 的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．解：①y ＝0.2x 的底数是0.2，因此不是幂函数； ②y ＝x －3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ③y ＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y ＝51x 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.例2函数y ＝(x 2－2x)21－的定义域是( )A ．{x|x≠0或x≠2}B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．(0,2)解析：函数y ＝(x 2－2x)21－化为y ＝1x 2－2x，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}．答案：B点评：注意换元法在解题中的应用.知能训练1．下列函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝2x2．下列结论正确的是( ) A ．幂函数的图象一定过原点B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数 3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝23x4．已知某幂函数的图象经过点(2，2)，则这个函数的解析式为__________．答案：1.C 2.D 3.A 4.y ＝21x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系． ①y ＝x －1，y ＝x －2，y ＝x －3；②y ＝x 21－，y ＝x31－；③y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3；④y ＝21x ，y ＝x.活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁．甲乙丙丁①观察上图甲得到：函数y ＝x －1、y ＝x －2、y ＝x －3的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．②观察上图乙得到：函数y ＝x 21－、y ＝x 31－的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．③观察上图丙得到：函数y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，在第一象限来看，图象向上离y 轴近，向下离y 轴近．④观察上图丁得到：函数y ＝21x 、y ＝x 的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象上凸越大，在第一象限来看，图象在点(1,1)的左边离y 轴近，在点(1,1)的右边离x 轴近．根据上述规律可以判断函数图象的分布情况．课堂小结1．幂函数的概念．2．幂函数的性质．3．幂函数的性质的应用．作业课本习题3—3 A 3、4.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．备课资料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数．研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明．在商代中期的甲骨文中已有十进制，其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受．十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来．16世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．苏格兰数学家纳皮尔(Napier ，J.1550～1617)在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs，H.1561～1630)所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命．”一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，L.1707～1783)才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受．。

高中数学 33( 幂函数 ) 学案新人教B版必修1 学案

幂函数学案一、创设情景，引入新课【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？【问题2】如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数。

【问题3】如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积3a V =,这里V 是a 的函数。

【问题4】如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长21Sa =,这里a 是S 的函数【问题5】如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度s /km t V 1-=，这里v 是t 的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？二、新课讲解（一）幂函数的概念如果设变量为x ,函数值为y ，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？幂函数的定义：【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？试一试：判断下列函数那些是幂函数？（1）x2.0y = （2）51x y = （3）3xy -= （4）2xy -=我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（二）几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数12x y ,x y ,x y -===的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数213x y ,x y ==的图象吗？【探究二】观察函数12132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结论写在下表内。

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：2132x y ,x y ,x y ,x y ====的共同性质。

高中数学 3.3 幂函数导学案新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

3.3 幂函数☆学习目标：1．掌握幂函数的图象和性质；2．掌握幂形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：幂函数的图象及性质的简单应用．☻基础热身：1．（1）正方形的面积S与边长a的函数关系是；（2）正方形的边长a与面积S的函数关系是；（3）立方体的体积V与边长a的函数关系是；（4）某人ts内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度v与时间的函数关系是 . 2．观察上述四个实例所得到的函数，有什么共同特征？(1)它们的解析式都是的形式, 是常数, 是自变量, .是因变量;(2) 它们经抽象概括，就是形如()y f x==( )的函数；(3）这种函数象指数函数, 但有区别. 区别在于 .☻知识梳理：1.幂函数的定义一般地, 函数y xα=叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常.2.幂函数的图象作出11,2,3,,12α=-时, 幂函数y xα=的图象.3. 幂函数的性质观察所作的图象, 概括幂函数的性质.☆ 案例分析：例1.比较下列各对数的大小: (1)1.553, 1.753； (2)0.71.5, 0.61.5； (3)2233( 1.2),( 1.25)---- ； (4)5.1)1(+a ，5.1a .例2. （1）已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，则这个函数的解析式为：．（2）已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则这个函数的解析式为：．例3. （1）下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（）A ．43y x =B ．32y x =C ．2y x -=D ．14y x-=（2）函数43y x =的图象是（）（3）函数2lg(1)1y x=-+的图像关于（） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称（4）对于幂函数45()f x x =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ．)2(21x x f +<2)()(21x f x f +C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ．无法确定例4. 下列命题中，正确命题的序号是①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．例5利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1y x -=--；（2）222221x x y x x ++=++．.参考答案:基础热身：略.例1. (1)<; (2).>; (3).<; (4).>.例2.解：（1）12y x = （2）解：由2223023m m m m m Z ⎧--≤⎪--⎨⎪∈⎩是偶数，解得：1,1,3m =-． .)(1,)(3140-===-=x x f m x x f m 时解析式为时解析式为和当1m =-和3时，0()f x x =；当1m =时，4()f x x -=．例3. （1）提示：A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数，故答案为C ．（2） A（3）提示：21()lg(1)lg 11x y f x x x -==-=++，由101x x->+得函数的定义域为(1,1)- ∵ 1111()lglg()lg ()111x x x f x f x x x x -+---===-=--++，∴ ()f x 为奇函数，答案为C ．（4） A例4提示：①错，当0=α时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））； ②错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；④正确，当0x >时，0x α>．例5 .解：（1）函数53(2)1y x -=--的图象可以由53y x -=的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到．（2）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y ，把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象．。

人教B版高中数学必修一教案-3.3 幂函数

教学过程设计：
组织探究
材料二：常见幂函数的图像和性质
在同一个坐标系下作出下列函数的图象：
（1）x
y=；（2）2
1
x
y=；（3）2x
y=；
（4）1-
=x
y；（5）3x
y=．
[解] ○1列表（略）
○2图象
生：利用所学知识和
方法尝试作出五个具
体幂函数的图象，观
察所图象，体会幂函
数的变化规律．
师：引导学生应用画
函数的性质画图象，
如：定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调
画图象易犯的错误．
组织探究
材料三：幂函数图象画法
例2先分析函数
2
3
y x
＝
的性质，再画出其图象.
分析：奇偶性、幂指数与1的大小、分析第一象限内的
图像
师生共同总结：幂函
数αx
y=在第一象
限内的图象第一象
限，按交点从下到上
的顺序，幂指数按从
小到大的顺序排列．
，则0.5a,5a,5－a的大小关系是（<0.5a B.5a<0.5
收获与体会
1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的
奇偶性、单调性之间的关系？
2．幂函数图像及其特征
3．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方
面？
师：引导学生独立队
本节课的内容进行总
结归纳
作业1.教材第110页：习题3-3A第1，3题，
2.习题3-B第1-4题
板书设计2.3 幂函数例题1：
（一）概念
学生板演1 学生板演3
学生板演2
教师板
演区。

人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》教学设计

课题
引入
问题1：回忆指数函数概念
写出下列y关于x的函数解析式：
学生：独立完成
教师：引导定义.
设计意图：培养学生自主归纳性质.
新知
探究
问题2：以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,具有的共同特征？
(1)底数为自变量x，系数为1；(2)指数为常数；
(3)均是以自变量为底的幂.
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
课题
幂函数
3.3.1幂函数
课型
新
课时
1
《3.3幂函数》教学设计
知识与技能：
掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
过程与方法：
加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。
情感态度与价值观：
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上Байду номын сангаас增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
学生：全体学生回答
2.比较大小
学生：独立完成
教师：让学生演示，并进行点评.
设计意图：结合概念和性质进行应用.
归纳
总结
本节课你都学会哪些知识？
（1）幂函数的定义；
（2）幂函数的图像和性质
学生：学生回忆
教师：教师补充
分层
作业
教材P110习题A中1，2和3；

新人教B版必修一3.3《幂函数》学案

预习案3.3幂函数【预习目标】1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.【知识链接】（预习教材，找出疑惑之处）复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数.复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．【自学导引】:请同学们阅读课本并思考下列问题：探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数；（3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．从图象分析出幂函数所具有的性质.【预习反馈】通过预习你还有哪些疑惑？请你学习案3.3幂函数【学习目标】1. 知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．2. 过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．3.情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辨证唯物主义观点．【重点和难点】重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质．【学习方法】诱思探究【学习过程】【知识梳理】：1.复习学习过的一次函数、二次函数、反比例函数等的特征，指、对函数的定义方式。

高中数学人教B版必修一学案：3.3 幂函数

3.3 幂函数[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 21的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.[知识链接]函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x(x ≠0)的图象和性质[1.幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象与性质要点一幂函数的概念例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)x 23+-m m 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式.解根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数，当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求. ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3.规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m 2－m －1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.2.幂函数y ＝x α(α∈R )中，α为常数，系数为1，底数为单一的x .这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.跟踪演练1 已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (100)＝________. 答案 10解析由题意可知f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，∴f (x )＝x 21，∴f (100)＝10021＝10. 要点二幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2,2，12D.2，12，－2，－12答案 B解析考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n ＜0时看|n |的大小.根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.规律方法幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图象由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.跟踪演练2 如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A.－1＜n ＜0＜m ＜1 B.n ＜－1,0＜m ＜1 C.－1＜n ＜0，m ＞1 D.n ＜－1，m ＞1 答案 B解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0＜m ＜1，n ＜－1.要点三比较幂的大小例3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫1321与⎝⎛⎭⎫1421；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)0.2541-与6.2541；(4)0.20.6与0.30.4.解 (1)∵y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数，且13＞14，∴⎝⎛⎭⎫1321＞⎝⎛⎭⎫1421.(2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数，且－23＜－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1＞⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)0.2541-＝⎝⎛⎭⎫1441-＝221，6.2541＝2.521∵y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5， ∴221＜2.521，即0.2541-＜6.2541.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4. 规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量. 跟踪演练3 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1243与⎝⎛⎭⎫3421.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1243＜⎝⎛⎭⎫1221.y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1221. ∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1243.1.下列函数是幂函数的是( ) A.y ＝5x B.y ＝x 5 C.y ＝5x D.y ＝(x ＋1)3答案 B解析函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数. 2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A.y ＝x 31 B.y ＝x21-C.y ＝x 35 D.y ＝x 32答案 D解析 y ＝x 32＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同.3.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3答案 A解析可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又∵y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3. 4.若a ＝(12)53，b ＝(15)53，c ＝(－2)3，则a 、b 、c 的大小关系为________.答案 a ＞b ＞c解析 ∵y ＝x 53在(0，＋∞)上为增函数. ∴(12)53＞(15)53，即a ＞b ＞0. 而c ＝(－2)3＝－23＜0，∴a ＞b ＞c . 5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23-n n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________. 答案 1解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意.1.幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.。

高中数学 3.3《幂函数》学案新人教b版必修1

3.3幂函数一、教学目标：1、了解幂函数的概念。

2、会画幂函数y=x ，y=x 2，y=x 3，1-=x y ，y=x 21的图象，并了解幂函数的变化情况。

重点：幂函数的定义、图像和性质。

难点：幂函数图像的位置和形状变化。

二、知识梳理1函数y=x 、y=x 2、y=x1的表达式有着共同的特征：幂的是自变量，指数是 .2、一般地，形如的函数称为幂函数，其中α为常数。

3、幂函数的性质：（1）（2）（3） 4、幂函数y=x α（α∈R ）的图像主要分以下几类：（1）当α=0时，图像是过（1，1）点平行于x 轴但除去（0，1）点的一条断直线。

（2）当α为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。

（3）当α为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。

（4）当α为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。

（5）当α为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。

（6）当α为正分数时，设为nm （m 、n 是互质的正整数）。

如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m 是偶数、n 是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m 为奇数、n 为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。

（7）当α为负分数时，设为-nm （m 、n 是互质的正整数）。

如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n 是偶数、m 是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n 为奇数、m 为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。

（8）幂函数图像一定不会出现在第四象限，若幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。

三、例题解析题型一幂函数的概念例1、下列函数是幂函数的是①y=ax m （a ，m 为非零常数，且a ≠1）；②y= 13x +x 2； y=x π；④y= 3(1)x -。

A 、①③ B 、①② C 、③ D 、①③④ 变式训练：在函数21y x=、22y x =、y=1、y=x 2+x 中，幂函数的个数是。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数学习导航学案新人教B版必修1

3.3 幂函数自主整理1.幂函数的定义 (1)定义:一般地，我们把形如y=x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数. (2)关于定义的理解： ①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x 21就不是幂函数.④幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x 2的定义域为R ，而函数y=x1的定义域为{x|x∈R ,且x≠0}. 2.函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 21，y=x -1的图象与性质:y=xY=x 2y=x 3y=x 21y=x -1图象定义域 RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增定点 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n有下列性质：（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大.当n<0时，幂函数y=x n的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数y＝x n的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=x n(n为常数)n>0 n<0性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线剖析：当n∈N *时，定义域为R ；当n=0时，定义域为{x|x≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x≠0}；当n=qp (p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ；当n=qp -(p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x≠0}. 讲练互动【例题1】若（a+1）21-＜（3-2a ）21-，则a 的取值范围是__________.解析：因为函数y ＝x 21在［0，+∞)上单调递增，所以y ＝x21-在(0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a解得32＜a ＜23. 答案：（32，23）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x 的取值范围. 变式训练 1.已知(x-3)31-<(1+2x)31-，求x 的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)31-<(1+2x)31-，由于不等式的左右两边的幂指数都是31-，因此可借助于幂函数y=x 31-的图象性质来求解.解：因为y=x31-在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：⎩⎨⎧>++>0,2x 12x,13-x ① ⎩⎨⎧<+>0,3-x 2x,13-x ② ⎩⎨⎧<>+0.3-x 0,2x 1 ③ ①无解；②的解为x<-4；③的解是21-<x<3. 所以所求的x 的取值范围为{x|x<-4或21-<x<3}.【例题2】已知0＜a ＜1，试比较a a，（a a）a，)(a a a的大小为__________.解析：为比较a a与（a a）a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f （x ）＝xa（0＜a ＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a 与a a的大小.由于指数函数y ＝a z （0＜a ＜1）是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜（a a ）a.比较a a 与（a a ）a 的大小，也可将它们看成底数相同（都是a a）的两个幂，于是可以利用指数函数y ＝b x （b ＝a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜（a a ）a. 由于a ＜a a，函数y ＝a z（0＜a ＜1）是减函数，因此a a＞)(a a a.答案：a )(a a a＜a a ＜（a a ）a绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 变式训练2.比较下列各组中两个值的大小: (1)1.553与1.653; (2)0.61.3与0.71.3; (3)3.532-与5.332-;(4)0.18-0.3与0.15-0.3.分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题.如果指数相同，可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较. 解：(1)∵1.553与1.653可分别看作幂函数y=x 53在1.5与1.6处的函数值, 且53>0,1.5<1.6, ∴由幂函数单调性,知1.553<1.653.(2)∵0.61.3与0.71.3可分别看作幂函数y=x 1.3在0.6与0.7处的函数值, 且1.3>0,0.6<0.7,∴由幂函数单调性,知0.61.3<0.71.3. (3)∵3.532-与5.332-可分别看作幂函数y=x32-在3.5与5.3处的函数值,且32-<0,3.5<5.3, ∴由幂函数单调性,知3.532->5.332-.(4)∵0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x -0.3在0.18与0.15处的函数值, 且-0.3<0,0.18>0.15,∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0.15-0.3.【例题3】幂函数y=x a ,y=x b ,y=x c ,y=x d在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图3-3-1A.b<c<d<aB.b<c<a<dC.a<b<c<dD.a<d<c<b 解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值大. 方法一(性质法):由幂函数的性质可知，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b ＞c ＞d ＞a.方法二(类比法):当x 趋于+∞时，函数y=x a 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴，类似于典型幂函数y=x -1，故a<0.函数y=x b 在区间［0,+∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y=x 2,故b>1. 同法可知y=x c,y=x d类似于y=x 21,故0<c<1,0<d<1.∴a 最小，b 最大. 方法三(特殊值法):作直线x=2，由图象可知2a <2d <2c <2b,由指数函数的性质可知a<d<c<b,故选D. 答案：D 绿色通道通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意. 变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )图3-3-2A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21D.2,21,-2,21-解析：要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为2，21，21-21-，-2. 答案：B【例题4】画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：y=1+x -3=)3(--x +1. ∴此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象〔如图3-3-3(1)-(4)所示〕.图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x 为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了. 变式训练4.求出函数f （x ）=445422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （22-）的大小.分析:要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.解：f （x ）=4414422+++++x x x x =1+4412++x x =1+（x+2）-2，它是由g （x ）=x -2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.∵g（x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），∴f（x ）=445422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），22-∈（-2，+∞），22-关于x=-2对称的点的横坐标是22-4，又∵22-4<-π， ∴f （22-4）<f （-π）,即f （22-）<f （-π）. 教材链接［思考与讨论］(1)在幂函数y=x α中,如果α是正偶数(α=2n,n 为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=x α中,如果α是正奇数(α=2n -1,n 为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=x α,x∈［0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同? 答:(1)(2)(3)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+∞)上是增函数.当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；特别要记住幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型,α>1时图象是竖直抛物线型，0<α<1时，图象是横卧抛物线型.。