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高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
全版微分方程.ppt
将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
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例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
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解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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9
第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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11
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u x2
2u y2
2u z2
0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
第一节微分方程基本概念
所以 y xex 是y 2y y 0 的解。
2 x 2y y 2x y, x2 xy y2 C
解 2x y xy 2yy 0
即 2x y xy 2yy x 2y y x2 xy y2 C 是x 2y y 2x y 的解。
例2. 已知一曲线过点（1，2），且曲线上任意一点处的切线的 斜率等于该点的横坐标的2倍，求曲线方程。
都是微分方程的解。
特解 特解 通解 既非特解，也非通解 既非特解，也非通解
例1. 验证下列所给函数是所给微分方程的解：
1 y 2y y 0, y xex
解 因为 y ex xex ex x 1
y ex x 1 ex ex x 2
ex x 2 2ex x 1 xex 0
解 据题意及导数的几何意义，可知曲线方程应满足
y 2x
所以 y 2xdx x2 C
又曲线过点（1，2），即满足
y x1 2
所以 C 1
所以所求曲线为 y x2 1
微分方程的解的几何意义
微分方程的解是函数，在几何图像上为一曲线。 微分方程的通解是带有任意常数的函数族， 在几何图像上体现为一族互不相交的“平行”曲线。
第十章 微分方程与差分方程
第 一 节 微分方程的基本概念
学习要求 了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解等概念
微分方程的基本概念
微分方程：含有未知函ຫໍສະໝຸດ 的导数或微分的方程。常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。
如： y y3 1, dy sin tdt, y y2 3,
——称之为微分方程的积分曲线。
微分方程的特解是一确定的函数， 在几何图像上体现为一条确定曲线。
2 x 2y y 2x y, x2 xy y2 C
解 2x y xy 2yy 0
即 2x y xy 2yy x 2y y x2 xy y2 C 是x 2y y 2x y 的解。
例2. 已知一曲线过点（1，2），且曲线上任意一点处的切线的 斜率等于该点的横坐标的2倍，求曲线方程。
都是微分方程的解。
特解 特解 通解 既非特解，也非通解 既非特解，也非通解
例1. 验证下列所给函数是所给微分方程的解：
1 y 2y y 0, y xex
解 因为 y ex xex ex x 1
y ex x 1 ex ex x 2
ex x 2 2ex x 1 xex 0
解 据题意及导数的几何意义，可知曲线方程应满足
y 2x
所以 y 2xdx x2 C
又曲线过点（1，2），即满足
y x1 2
所以 C 1
所以所求曲线为 y x2 1
微分方程的解的几何意义
微分方程的解是函数，在几何图像上为一曲线。 微分方程的通解是带有任意常数的函数族， 在几何图像上体现为一族互不相交的“平行”曲线。
第十章 微分方程与差分方程
第 一 节 微分方程的基本概念
学习要求 了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解等概念
微分方程的基本概念
微分方程：含有未知函ຫໍສະໝຸດ 的导数或微分的方程。常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。
如： y y3 1, dy sin tdt, y y2 3,
——称之为微分方程的积分曲线。
微分方程的特解是一确定的函数， 在几何图像上体现为一条确定曲线。
《数学分析微分方程》课件
III. 高阶微分方程的解法
特征方程法
将高阶齐次微分方程转化为特征方程，通过解特征方程得到齐次部分的解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原方程得到待定系数，通过求导和代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原方程得到常数的解。
IV. 常系数线性微分方程的解法
特征根法
2
方程得到常数的解。
假设解为某些未知函数，代入原方程得到
待定系数，通过求导和代入原方程求解未
知函数。
3
求解自由项
通过求解无齐次项情况下的特解，再加上 通解，得到非齐次线性微分方程的解。
VI. 傅里叶级数方法
傅里叶级数方法可以将周期函数表示成正弦和余弦函数的无穷级数，通过求解系数得到函数的展开式。
VII. 拉普拉斯变换方法
通过求解特征方程的根，得到齐 次线性微分方程的通解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原 方程得到待定系数，通过求导和 代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导 和代入原方程得到常数的解。
V. 变系数线性微分方程的解法
1
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原
待定系数法
《数学分析微分方程》 PPT课件
欢迎来到《数学分析微分方程》PPT课件。本课件将深入介绍微分方程的基本 概念，并详细讲解一阶、高阶、常系数线性、变系数线性微分方程的解法， 以及傅里叶级数和拉普拉斯变换方法的应用。
I. 介绍微分方程的基本概念
学习微分方程前，我们先了解微分方程的基本概念和意义，掌握微分方程的 分类和形式，并探讨微分方程在实际问题中的应用。
拉普拉斯变换方法是一种将时间域函数转换为复频域函数的方法，通过求解 拉普拉斯变换的积分得到函数的解析表达式。
微分方程的基本概念
(9 7 )
其中包含两个任意常数， C 1 x ( 0 ) ,C 2 x ( 0 ) .
(97)是方(9程 1)所有解的一般 . 表达式
定义9.3 如果方程(95)的解中含有n个独立的任意 常数，则称这样的解为方程 (95)的通解. 而通解中 给任意常数以确定值的解, 称为方程 (95)的特解. 求特解的步骤：
( 9 5 )
n阶线性常微分方程般的形一式：
y (n ) a 1 (x )y (n 1 ) a n 1 (x )y a n (x )y f(x ) ( 9 6 )
不能表示成形如 (96)形式的微分方程，统称为非 线性方程.
二、微分方程的解
定义9.2 设y 函 (x )在 数 I区 上n 间 存 阶.在 导
d P k [D (P ) S (P )] ( k 0 ) ( 9 4 ) d t
在D(P)和S(P)确定的情,况 可下 解出价格t 的 与关 系.
未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.
n阶(常) 微分方程的一般形式是
F ( x , y , y , , y ( n ) ) 0
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义 二、微分方程的解
一、微分方程的定义
定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导 数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中 出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方 程的阶.
例如， yxy, y2y3yex,
(t2x)d tx d x0 , z x y x
如果 y(x 将 )代入 (95 方 )后 ,使 程 方 (95程 )在 I
上为恒等式, 则称 y (x )是 函 (9 方 数 5 ) 在 I上 程
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⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
通解：通用的解，含有任意常数； 特解：特殊的解，不含有任意常数 例1中： yC1exC2xxe ——通解
y xex ——特解
y Cex ——既非通解，也非特解，是个解。 y 0 ——奇解（但不是特解，不研究）
微积分十①
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
§5.1 微分方程的基本概念
微 Basic concept of differential equations
积 分 电 子
教 一、问题的提出
案
二、微分方程的定义 三、微分方程的解
2/31
引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。
解：设所求曲线方程为：y = f(x)
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
称为定解条件，也称为初始条件
一般地，n阶微分方程就有n个定解条件
微积分十①
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求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解
中任意常数的值，可得特解。
由题意得：dy2x，x且 1,y2 dx
两边对x求积分： ddxydx2xdx
即 y=x2+C
将x=1,y=2代入，得：2=1+C
即 C=1 故所求曲线为：y=x2+1
微积分十①
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2.1、微分方程 定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。 方 程 代 微数 分方 -方 -----未 未 程 程知 知的 的是 是 ,求 ,一 一 x求 y? 个 个 y,?x (? 数 )函数
微积分十①
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例1 验证下列函数都是微分方程 y－2y+y=0 的解.
( 1 ) y C x ; ( 2 ) e y x x ;( e 3 ) y C 1 e x C 2 x x .e
解: (1)yCex, y Cex, y Cex 代入原方程 左边 Cx e2Cx eCxe0右边 ∴ y Cex是原方程的解.
y P (x )y Q (x ),x (y )2 2 y y x 0 ;
分类4: 单个微分方程 与微分方程组.
dy dx
3 y 2z,
dz
2 y z,
dx
微积分十①
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3.1、微分方程的解 定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方 程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解
如引例 dy 2 x dx
求解得： y x2 C,
微分方程 微分方程的通解
由x1时 ,y2 求C 得 1,
定解条件
所求曲线方y程x2为 1.
微分方程 的特解
微积分十①
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3.3、微分方程解的几何意义
解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:y f (x, y)来自yxx0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
微积分十①
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例3 验证:函数 xC 1co 2 t sC 2si2 tn 是微分
方程
d2x d t2
4x
0
的解.
并求满足初始条件
x 2, dx 0的特解.
微积分十①
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2.2、微分方程的阶
定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶
数，称为微分方程的阶。
(x2y2)dxydy0 x
y3xy5 dy x y dx x y
一阶微分方程
y3yysix n二阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为：
F(x，y，y，y，…，y(n))=0
微积分十①
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C 1 ex C 2xxe 0右边 ∴解的y线性C1组ex合也C2是x解xe是均原何为方y区=解程0别，也？的有是解解. 。
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
t0
dt t0
解
dx dt2C 1si2 n t2C 2co2ts ,
dd2x 2t4C1co2ts4C2s i2n t,
将dd2tx2 和x的表达式代入原, 方程
微积分十①
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4 ( C 1 c 2 t o C 2 s 2 s t ) i 4 ( C n 1 c 2 t o C 2 s 2 s t ) i 0 . n
(2)yxex, yexxxe (1x )ex
y e x (1 x )e x (2 x )e x 代入原方程： 左 (2 边 x )e x 2 (1 x )e x xxe
0右边 ∴ y xex 是原方程的解.
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例1 验证下列函数都是微分方程 y －2y+y=0 的解.
( 1 ) y C x ; ( 2 ) e y x x ;( e 3 ) y C 1 e x C 2 x x .e 解: (3)yC 1exC 2xxe ,
y C 1 e x C 2 e x C 2 x x ( e C 1 C 2 ) e x C 2 x x e
y C 1 e x C 2 e x C 2 e x C 2 x x ( C e 1 2 C 2 ) e x C 2 x x 代入原方程： 左 (边 C 1 2 C 2)ex C 2xxe 2 (C 1 C 2)ex 2 C 2xxe
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2.1、微分方程
定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
如： (x2y2)dxydy0 x
y3xy5 dy x y dx x y
未知函数是一元 函数的微分方程 常微分方程
y3yysix n
2z x2
2z y2
xz
未知函数是多元函数，即含 有偏导数的微分方程，称为 偏微分方程
2.3、微分方程的分类 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F (x ,y,y)0 , yf(x,y);
高阶(n)微分方程 F (x ,y ,y , ,y (n )) 0 ,
y(n )f(x ,y,y, ,y(n 1 )).
分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次)
非线性微分方程
通解：通用的解，含有任意常数； 特解：特殊的解，不含有任意常数 例1中： yC1exC2xxe ——通解
y xex ——特解
y Cex ——既非通解，也非特解，是个解。 y 0 ——奇解（但不是特解，不研究）
微积分十①
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
§5.1 微分方程的基本概念
微 Basic concept of differential equations
积 分 电 子
教 一、问题的提出
案
二、微分方程的定义 三、微分方程的解
2/31
引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。
解：设所求曲线方程为：y = f(x)
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
称为定解条件，也称为初始条件
一般地，n阶微分方程就有n个定解条件
微积分十①
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求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解
中任意常数的值，可得特解。
由题意得：dy2x，x且 1,y2 dx
两边对x求积分： ddxydx2xdx
即 y=x2+C
将x=1,y=2代入，得：2=1+C
即 C=1 故所求曲线为：y=x2+1
微积分十①
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2.1、微分方程 定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。 方 程 代 微数 分方 -方 -----未 未 程 程知 知的 的是 是 ,求 ,一 一 x求 y? 个 个 y,?x (? 数 )函数
微积分十①
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例1 验证下列函数都是微分方程 y－2y+y=0 的解.
( 1 ) y C x ; ( 2 ) e y x x ;( e 3 ) y C 1 e x C 2 x x .e
解: (1)yCex, y Cex, y Cex 代入原方程 左边 Cx e2Cx eCxe0右边 ∴ y Cex是原方程的解.
y P (x )y Q (x ),x (y )2 2 y y x 0 ;
分类4: 单个微分方程 与微分方程组.
dy dx
3 y 2z,
dz
2 y z,
dx
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3.1、微分方程的解 定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方 程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解
如引例 dy 2 x dx
求解得： y x2 C,
微分方程 微分方程的通解
由x1时 ,y2 求C 得 1,
定解条件
所求曲线方y程x2为 1.
微分方程 的特解
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3.3、微分方程解的几何意义
解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:y f (x, y)来自yxx0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
微积分十①
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例3 验证:函数 xC 1co 2 t sC 2si2 tn 是微分
方程
d2x d t2
4x
0
的解.
并求满足初始条件
x 2, dx 0的特解.
微积分十①
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2.2、微分方程的阶
定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶
数，称为微分方程的阶。
(x2y2)dxydy0 x
y3xy5 dy x y dx x y
一阶微分方程
y3yysix n二阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为：
F(x，y，y，y，…，y(n))=0
微积分十①
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C 1 ex C 2xxe 0右边 ∴解的y线性C1组ex合也C2是x解xe是均原何为方y区=解程0别，也？的有是解解. 。
微积分十①
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
t0
dt t0
解
dx dt2C 1si2 n t2C 2co2ts ,
dd2x 2t4C1co2ts4C2s i2n t,
将dd2tx2 和x的表达式代入原, 方程
微积分十①
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4 ( C 1 c 2 t o C 2 s 2 s t ) i 4 ( C n 1 c 2 t o C 2 s 2 s t ) i 0 . n
(2)yxex, yexxxe (1x )ex
y e x (1 x )e x (2 x )e x 代入原方程： 左 (2 边 x )e x 2 (1 x )e x xxe
0右边 ∴ y xex 是原方程的解.
微积分十①
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例1 验证下列函数都是微分方程 y －2y+y=0 的解.
( 1 ) y C x ; ( 2 ) e y x x ;( e 3 ) y C 1 e x C 2 x x .e 解: (3)yC 1exC 2xxe ,
y C 1 e x C 2 e x C 2 x x ( e C 1 C 2 ) e x C 2 x x e
y C 1 e x C 2 e x C 2 e x C 2 x x ( C e 1 2 C 2 ) e x C 2 x x 代入原方程： 左 (边 C 1 2 C 2)ex C 2xxe 2 (C 1 C 2)ex 2 C 2xxe
微积分十①
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2.1、微分方程
定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
如： (x2y2)dxydy0 x
y3xy5 dy x y dx x y
未知函数是一元 函数的微分方程 常微分方程
y3yysix n
2z x2
2z y2
xz
未知函数是多元函数，即含 有偏导数的微分方程，称为 偏微分方程
2.3、微分方程的分类 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F (x ,y,y)0 , yf(x,y);
高阶(n)微分方程 F (x ,y ,y , ,y (n )) 0 ,
y(n )f(x ,y,y, ,y(n 1 )).
分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次)
非线性微分方程