正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：证明方法一：三角形的面积法设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
根据三角形面积公式，可以得到：S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：h1 = b * sinCh2 = c * sinAh3 = a * sinB代入前面的面积公式，得到：S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA = 0.5 * c * a * sinB移项整理后得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC证明方法二：向量法在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义，可以得到：\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)根据向量的数量积公式，可以得到：\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c又根据向量的叉积公式，可以得到：而叉积的模也可以通过坐标计算得到：综上，可以得到正弦定理的向量形式：证明方法三：海伦公式法根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}其中p=(a+b+c)/2、又根据三角形面积的定义，可以得到：S = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C将前面两个公式等式右边进行等式转换，得到：\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = 0.5\cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C两边平方，整理得到：16p^2 \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) = a^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2\angle C整理后得到：16(p-a)(p-b)(p-c)p = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再根据赫罗定理，可以得到：p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2将上面两个等式联立，整理得到：16S^2 = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再开更号，得到：2S = ab \cdot \sin\angle C即得正弦定理。
正弦定理证明推导方法
正弦定理证明推导方法正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。
下面是店铺给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!正弦定理证明推导方法显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。
正弦定理∵(特殊角正弦函数值)正弦定理∴2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C正弦定理∴，有。
示意图2B若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得。
故对任意三角形，定理得证。
实际上该定理也可以用向量方法证明。
正弦定理定义正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
正弦定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理引言正弦定理是三角学中的一个重要定理，它描述了一个三角形中的边长和其对应的角度之间的关系。
通过证明正弦定理，我们可以深入理解三角形的性质和特点，并在实际问题中应用它。
什么是正弦定理正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别表示角A、B和C的正弦值。
证明思路为了证明正弦定理，我们需要利用一些基本的几何知识和三角函数的性质。
下面将详细介绍证明思路以及每个步骤的推导过程。
步骤1：构造高首先，我们需要在三角形ABC中构造高AD。
通过这一步骤，我们可以将三角形ABC 划分为两个直角三角形：△ABD和△ACD。
步骤2：计算△ABD和△ACD的面积根据几何知识，我们知道一个三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，我们可以计算出△ABD和△ACD的面积：Area(△ABD) = (1/2) * AD * AB * sinAArea(△ACD) = (1/2) * AD * AC * sinB步骤3：计算三角形ABC的面积三角形ABC的面积可以通过△ABD和△ACD的面积相加来计算：Area(△ABC) = Area(△ABD) + Area(△ACD)= (1/2) * AD * AB * sinA + (1/2) * AD * AC * sinB步骤4：使用三角函数的性质根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：sinA = AB / csinB = AC / c将这两个等式代入步骤3中的面积表达式中，我们可以得到：Ar ea(△ABC) = (1/2) * AD * c * sinA + (1/2) * AD * c * sinB= (1/2) * AD * c (sinA + sinB)步骤5：计算三角形ABC的面积另一种表达式另一方面，根据三角形ABC的面积公式，我们有：Area(△ABC) = (1/2) * a* b* sinC步骤6：证明正弦定理将步骤4和步骤5中的面积表达式相等，我们可以得到：(1/2) * AD * c (sinA + sinB) = (1/2) * a* b* sinC通过消除公式中的分母和分子的分式，我们可以得到正弦定理的一种形式：a/sinA = b/sinB = c/sinC结论通过以上证明过程，我们成功地证明了正弦定理。
正弦定理的证明方法
正弦定理的证明方法正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了在任意三角形中，三边的长度和角度之间的关系。
正弦定理可以用于解决一些与三角形有关的问题，例如确定未知边长或角度的大小。
为了证明正弦定理，我们首先需要定义一些符号。
设在一个三角形ABC中，边长a、b、c 分别对应于角A、B、C；角度α、β、γ分别对应于边a、b、c。
我们可以利用三角形的面积来证明正弦定理。
设三角形ABC的面积为S。
根据三角形的面积公式，S可以表示为：S = 1/2 * a * b * sinγ同样，我们可以将面积表示为其他两个角的正弦函数。
设三角形ABC的面积分别与角A、B、C 对应的边的正弦函数表示为Sa、Sb、Sc，则有：Sa = 1/2 * b * c * sinαSb = 1/2 * c * a * sinβSc = 1/2 * a * b * sinγ通过对上述三个公式进行观察，我们可以发现Sa、Sb、Sc 都是相等的，因为它们都代表了同一个三角形的面积。
即：Sa = Sb = Sc = S将上述公式进行整理，我们可以得到以下等式：a *b * sinγ= b *c * sinα= c * a * sinβ= 2S为了得到正弦定理，我们将上述等式进行变换。
首先，我们将其中一对等式分子和分母进行交换：a / sinα=b / sinβ=c / sinγ此时，我们可以将上述等式的分子和分母都除以边长abc 的乘积，得到这样的等式：a / (bc) =b / (ac) =c / (ab)接下来，我们可以通过简单的代数运算来证明正弦定理。
设上述等式左半边等于k，则有：a = kbcb = kacc = kab将上述等式代入三角形ABC 的面积公式S = 1/2 * a * b * sinγ，我们可以得到以下表达式：S = 1/2 * (kbc) * (kac) * sinγ= 1/2 * (k^2 * a * b * c) * sinγ根据上述表达式，我们可以推出以下等式：k^2 * a * b * c * sinγ= 2S将上述等式转换回正弦函数的形式，我们可以得到正弦定理的表达式：sinγ= 2S / (abc)利用相似的推理，我们还可以得出其他两个角度对应的正弦定理表达式：sinα= 2S / (bca)sinβ= 2S / (cab)至此，我们通过利用三角形的面积公式进行代数推理，证明了正弦定理的正确性。
正弦定理 几何法证明
正弦定理是三角形中的一种定理，它用于计算三角形的边长和角度。
可以表示为：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
其中a、b和c分别表示三角形的边长，而A、B和C则表示相应的角度。
正弦定理可以用于计算任何三角形，无论是锐角、钝角还是直角三角形。
几何证明如下：
假设三角形ABC的边长为a、b和c，相应的角度为A、B和C。
首先，我们可以将任何三角形分成两个直角三角形，如下所示：
将角度A和C的角平分线相交于点D，假设AD=x，CD=y。
根据正弦函数，我们可以得到：
sinA = BD/a
sinC = BD/c
解出BD：
BD = a*sinA = c*sinC
因此，我们可以得到：
a*sinA = c*sinC
同样，将角度B和C的角平分线相交于点E，假设BE=y，AE=x。
我们可以利用正弦函数和三角形内角和为180度的定理得到：
sinB = CE/b
sinC = CE/c
解出CE：
CE = b*sinB = c*sinC
因此，我们可以得到：
b*sinB = c*sinC
同时，利用三角形内角和为180度的定理，我们可以得到：A + B + C = 180°
通过将以上等式代入正弦定理公式中，我们可以得到：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
因此，我们证明了正弦定理。
证明正弦定理
证明正弦定理正弦定理是三角形中常用的一个定理，它描述了三角形中各边与其对应的角度之间的关系。
下面我们将详细证明正弦定理。
一、正弦定理的表述在三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个内角，a、b、c分别为三边的长度，则有以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c二、证明思路要证明正弦定理，我们需要利用三角函数中的基本公式和几何知识进行推导。
具体来说，我们可以利用单位圆上点的坐标和勾股定理等方法来推导出该公式。
三、证明过程1. 利用单位圆上点的坐标我们可以将三角形ABC放在单位圆上，并假设点A对应于单位圆上的点P(x1, y1)，点B对应于Q(x2, y2)，点C对应于R(x3, y3)。
则有以下关系：a = PQ = 2sinAb = QR = 2sinBc = RP = 2sinC又因为PQ² + QR² = PR²（根据勾股定理），所以有以下等式：4sin²A + 4sin²B = 4sin²C化简后得到：(sinA/a)² + (sinB/b)² = (sinC/c)²即：sin²A/a² + sin²B/b²= sin²C/c²两边同时乘以c²，得到：c²sin²A/a² + c²sin²B/b² = sin²C由于c = a/sinA，b = c/sinC，代入上式得到：a² + b² - 2abcosC = c²这就是余弦定理的表述形式。
2. 利用勾股定理我们也可以利用勾股定理来证明正弦定理。
具体来说，我们可以将三角形ABC分别投影到AB、BC、CA上，并利用勾股定理得到以下等式：a² = h₁² + (b - h₂) 2b 2= h₂ 2+ (a - h₁) 2c 2= h₁ 2+ h₂ 2其中，h₁和h₂分别为三角形ABC中高的长度。
正弦定理的5种证明方法
正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C==理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin sin a B b A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ===2sin a R A=同理．2,sin b R B =2sin c R C=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===证法三 三角形面积法是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22S AB CD ac B == 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()22a B b A ππ--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22a CD Bb CD A ππ-=- 即sin sin .a Bb A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法． 证明如下： 以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,x ）且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C ==同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2S bc A =所以111sin sin sin ,222bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得sin sin abAB =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得=∠sin sin abA ABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin abAB=sin cC =.1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ，abDABCAB CDba求边AC 的长b解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则cos AD c A =sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A CDC C C C C ===sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c Bb AC AD DCc A C C C+==+=+==推论：sin sin b cB C= 同理可证：sin sin sin a b cA B C==2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB中,ABADB =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j与CB的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(DC BA由分配律可得AB j CB j AC •=•+.B∴|j |AC Co s 90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ).j∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =. A另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得Bb Cc sin sin =.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC=+,得j ·AC+j ·CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A -90°),∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得CcB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin == 4.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同ACCBA弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=Rc B C 2sin sin ='=.∴R Cc2sin =.同理,可得R BbR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===.这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==.（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
正弦定理、余弦定理和射影定理的三种统一证法
正弦定理、余弦定理和射影定理的三种统一证法
近年来，许多数学刊物都载文证明正弦定理、余弦定理与射影定理的等价性，阐明它们是可以相互推出的，但在探讨它们三者的统一证明方面的文章较少。
下面分别通过构造向量、建立直角坐标系和作三角形的高，巧妙给出统一证明正弦定理、余弦定理和射影定理的三种方法，这又从另一个侧面说明了它们的统一性。
方法一、构造向量法
如图1，在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边。
构造向量AB、BC、AC，则|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a。
方法二、建立直角坐标系法
方法三、作高法
如图3，在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边。
过点C作CD⊥AB，垂足为点D。
正、余弦定理的证明----方法种种
正、余弦定理的证明----方法种种在解三角形的有关知识中，正、余弦定理占有十分重要的地位，是揭示任意三角形边角之间关系的两个重要定理，它们相辅相成，是一个不可分割的整体.要想灵活的应用正、余弦定理解决有关三角形问题，必须熟练掌握这两个定理的证明，本文归纳了正、余弦定理的几种常见证明方法，希望能对同学们的正、余弦定理的学习有所帮助和启示．一、正弦定理的证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==. 教材中给出了用三角函数定义的证明，除此以外还可以用向量法和几何法来证明正弦定理. 证明：方法一（向量法）：如图（1），△ABC 为锐角三角形时，过A 作单位向量j 垂直于AB ，则j 与AB 的夹角为2π，j 与BC 的夹角为2B π-，j 与CA 的夹角为2A π+，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，∵0AB BC CA ++=，∴00j AB j BC j CA j ⋅+⋅+⋅=⋅=，即cos cos cos 0222j AB j BC B j CA A πππ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴sin sin a B b A =，即sin sin a b A B=. 同理可得：sin sin b c B C =,即sin sin sin a b c A B C ==. 当△ABC 为钝角三角形（如图（2））或为直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明.（注意：在此证明过程中，要注意两向量所成的角与三角形内角的关系.）方法二（几何法）：如图所示，设O 为△ABC 外接圆的圆心，连BO 并延长交 ⊙O 于'A ,连'AC ，则'A A =或'A A π=-，∴''sin sin 2BC a A A A B R===，即2sin a R A =,同理可证2,2sin sin b c R R B C==. 故有2sin sin sin a b c R A B C ===. 方法三（解析法）：如图，在ABC 中，三内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.以A 为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则C 点坐标是（b,0）.由三角函数的定义得B 点坐标是()cos ,c A csiaA ,所以()cos ,sin CB c A b c A =-.将CB 平移到起点为原点A ，则AD CB =.因为,AD CB a DAC BCA C ππ==∠=-∠=-,根据三角函数的定义知D 点坐标是()()()cos ,sin a C a C ππ--，即D 坐标是()cos ,sin a C a C -.所以()cos ,sin AD a C a C =-.又因为A D C B =,所以()()c o s ,s i n c o s ,s i n a C a C c A b c A -=-.所以s i n s i n a C c A =,即sin sin a c A C =.同理可证sin sin a b A B =，所以sin sin sin a b c A B C==. 二、余弦定理的证明余弦定理 三角形的任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-.教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法和三角法来证明余弦定理.证明：方法一（解析法）：如图，以A 点为原点，以△ABC 的边AB 所在直线为为x 轴，以过点A 与AB 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A （0，0），C （bcosA,bsinA ），B （c,0）,由两点间的距离公式得()()222cos sin 0BC b A c b A =-+-， 222222cos 2cos sin a b A bc A c b A =-++，即2222cos a b c bc A =+-.同理可证2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-.方法二（几何法）：如图，当△ABC 为锐角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则sin ,cos CD b A BD AB AD c b A ==-=-.在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+,即()2222sin cos a b A c b A =+-.整理得2222cos a b c bc A =+-. 同理可证：2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-.当△ABC 为钝角三角形时，如图，sin ,cos CD b A BD AD AB b A c ==-=-. 在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+,即()2222sin cos a b A b A c =+-.整理得2222cos a b c bc A =+-. 同理可证：2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-.。
证明正弦定理的方法
证明正弦定理的方法正弦定理是三角形中最基本的定理之一，用于求解三角形的边长和角度。
以下是证明正弦定理的常见方法：方法一：利用三角形的面积公式。
1. 假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
2. 构造高AD，将三角形ABC分成两个高度分别为h1和h2的小三角形。
3. 根据三角形的面积公式，可以得到：面积(三角形ABC) = 1/2 * b * h1面积(三角形ABC) = 1/2 * c * h24. 将上述两个公式联立，可以得到：b * h1 =c * h25. 由于三角形ABC的高度h1 = a * sinB，h2 = a * sinC，代入上述公式可以得到：b * a * sinB =c * a * sinC6. 化简上述公式可得：b / sinC =c / sinB7. 将这个公式稍加变形，可以得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC方法二：利用三角形的内接圆。
1. 设三角形ABC的内接圆的半径为R，圆心为O。
2. 连接AO、BO、CO，将三角形ABC分成三个小三角形。
3. 记三角形AOB的角度为θ，可以得到：AB = 2R * sinθ4. 同理，记三角形BOC的角度为φ，可以得到：BC = 2R * sinφ5. 通过连接CO、AO，可以得到：AC = 2R * sin(θ+ φ)6. 根据三角形中的等式关系可以得到：sin(θ+ φ) = sinθ* cosφ+ cosθ* sinφ7. 代入上述公式，可以得到：AC = AB * cosφ+ BC * sinθAC = 2R * sinθ* cosφ+ 2R * sinφ* sinθAC = 2R * (sinθ* cosφ+ sinφ* sinθ)AC = 2R * sin(θ+ φ)8. 化简上述公式可得：sin(θ+ φ) = sinAsinθ* cosφ+ sinφ* sinθ= sinAsinθ* (cosφ+ sinφ) = sinAsinθ= sinA / (cosφ+ sinφ)9. 同理可以得到：sinφ= sinC / (cosθ+ sinθ)10. 将上述两个公式联立，可以得到正弦定理：sinA / (cosφ+ sinφ) = sinC / (cosθ+ sinθ) sinA / (cosC + sinC) = sinC / (cosA + sinA) sinA / sinC = (cosA + sinA) / (cosC + sinC) a / sinC = b / sinB = c / sinC。
正弦定理的证明方法
正弦定理的证明方法正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2:用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量证明：记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0∴a/sinA=c/sinC(b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0 所以asinB=bsinA3用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证4满意答案好评率：100%正弦定理步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
初中数学 什么是正弦定理
初中数学什么是正弦定理在初中数学中，正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比值等于对应角的正弦值的比值。
下面将详细介绍正弦定理的定义、证明和应用。
1. 正弦定理的定义：在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b和c，对应角分别为A、B和C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
2. 正弦定理的证明：正弦定理有多种证明方法，其中最常用的是利用面积的性质进行证明。
具体证明步骤如下：-步骤1：将任意三角形ABC分成两个小三角形ABD和ACD，其中D点是在BC边上任意选取的一点。
-步骤2：由三角形的面积公式可知，三角形的面积等于底边长乘以高的一半。
-步骤3：根据步骤2的公式，可以得到ABD和ACD两个小三角形的面积公式，分别为S1 = (1/2) * a * h1和S2 = (1/2) * b * h2。
-步骤4：由于ABD和ACD两个小三角形共用一条边AD，因此它们的高相等，即h1 = h2。
-步骤5：将步骤3和步骤4的公式代入正弦定理的等式中，得到a/sinA = b/sinB的等式。
-步骤6：同理，可以得到b/sinB = c/sinC的等式。
-步骤7：由于步骤5和步骤6的结果相等，因此可以得到a/sinA = b/sinB = c/sinC的正弦定理的等式。
3. 正弦定理的应用：-求解缺失的边长：正弦定理可以用于求解任意三角形中缺失的边长。
如果已知一个角的度数和与之相对的另一条边的长度，可以利用正弦定理计算出另外两条边的长度。
-判定三角形的形状：正弦定理可以用于判断三角形的形状。
如果一个三角形的三条边之间满足正弦定理的等式，那么这个三角形就是锐角三角形；如果其中一条边的长度大于或等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是钝角三角形。
-解决与三角形相关的几何问题：正弦定理可以应用在各种涉及三角形的几何问题中，如求解三角形的面积、判断三角形的相似性等。
总结起来，正弦定理是在任意三角形中，三条边的比值等于对应角的正弦值的比值。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理 正弦定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决三角形中的各种问题。
它表明，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A 、B、C之间存在着如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC 下面将详细介绍如何证明正弦定理。
我们将使用几何和三角函数的一些基本概念和性质来进行推导。
1. 从三角形ABC出发，延长边AC，使其过点B，与边AB交于一点D。
2. 我们将证明三角形ABC与三角形CBD之间存在相似关系。
由于三角形ABC与三角形CBD有一个公共角B，所以只需证明角C和角D相等即可。
3. 角C是三角形ABC的内角，角D是三角形CBD的内角，根据三角形内角和等于180度的性质，我们有角C+角D=180度。
4. 接下来，我们利用三角恒等式来进一步证明角C和角D相等。
利用三角形ABD和BCD中的正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB （三角形ABD）b/sinC = c/sinD （三角形BCD） 将这两个等式联立起来，可以得到 a/sinA = c/sinD 5. 接下来，我们再观察三角形ABC和三角形CBD的共边BC，以及三角形对边AC和BD。
它们都共享相同的角B，根据正弦定理可以得到：a/sinA = c/sinD 再次使用三角恒等式，我们可以得到 sinA/sinD = sinC 再进一步化简，可以得到 sinA/sinC = sinD 6. 根据三角恒等式的性质，我们知道 sinA/sinC = sinD 等价于sinC/sinA = sinD 因此，最终我们得到 sinC/sinA = sinD 7. 再进一步观察，我们可以发现 sinC/sinA = c/a，代入之前的等式可以得到 c/a = sinD或者写成 a/sinA = c/sinD 8. 综上所述，我们得到了 a/sinA = b/sinB = c/sinC，即正弦定理的表达式。
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正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定
义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得
sin sin a
b
A
B =
，同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得
=
∠sin sin a
b
A
ABC ，
同理可得
=
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由(1)(2)可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c
C =
.
1’用知识的最近生长点来证明： |
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：
在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b
解：过C 作CD?AB 交AB 于D ，则
cos AD c A =
sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C
DC C C C C =
==
sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B
b AC AD DC
c A C C C
+==+=+
==
`
a
b D
A
（
C
A
B ~
D
b
a
推论：
sin sin b c
B C
=
同理可证：
sin sin sin a b c
A B C
==
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB
中,AB
AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21
sin 21=.
∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C
c
B b A a sin sin sin =
=. 3.向量法证明正弦定理 ]
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.
B
∴|j |
AC
Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j
∴asinC=csinA.
∴
C
c
A a sin sin =
. A
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得
B
b
C c sin sin =
.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角
为90°-C ,j 与
AB 的夹角为90°-B )
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=.
[
|
C B
A C
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与
AC 垂直的单位向量j ,则j 与
AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .
由AB CB AC
=+,得j ·AC
+j ·CB =j ·AB ,
j
即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与
AB 夹角
为90°+B .同理,可得C
c
B b sin sin =
.∴
C
c
B b simA a sin sin =
= 4.外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连
结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对
的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R C
c
2sin =.
同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C
c
B b A a 2sin sin sin ===.
这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 C
c
B b A a sin sin sin =
=.
A
）
*
C
B
A。