2021年高中数学《3.1 直线的倾斜角与斜率》学案 新人教A版必修
2021人教A版数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案
2021人教A版数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案----5c92a198-6ea1-11ec-a8ae-7cb59b590d7d3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案[学习目标]知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程和方法：了解直线斜率的存在及斜率公式的推导过程，掌握直线通过两点的斜率公式情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【重点难点】学习重点：直线倾角和斜率的概念及斜率公式的应用学习难点：直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.【学法指导】1.认真学习82-85页教材，仔细思考，独立定期回答，认真完成每个问题和练习。
如果你做不到，先绕过它，做个标记。
2.及时将学习计划中容易遗忘、容易出错的知识点、疑难问题和解决问题的方法整理到解题书中，并多复习记忆（尤其要记住切线三角函数值和斜率的计算公式）。
答：自主学习；b：合作调查；c:能力提升4。
小班和重点班全部完成，平行班至少完成A班。
平行班的B年级学生应完成80%以上的B、70%~80%的C，并努力完成60%以上的[knowledge link]：一：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义---（对边比邻边）【学习过程】问题的导入：让我们想想当两个人，一个高一个矮，举起一根圆木时会发生什么？在本课中，我们将重点讨论直线的倾斜a问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）问题2：一个点能决定一条直线吗？一条直线通过一个点的位置可以确定吗？它的位置是什么？（通过观察可以发现，在一个点上有无数条直线，并且它们倾斜到不同的程度）当直线倾斜时，它与这个量有关吗？如何描述直线的倾斜度？a问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！当直线l与x轴垂直时,??问题4：除了倾斜角，还有其他的量来确定直线的倾斜度吗？直线的斜率是多少？只有倾角或斜率才能确定直线的位置吗？如果没有，需要添加哪些条件？b问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）[温馨提示]（1）当??(0,当??(?2)时，k?0,k随?的增大而增大，k也随?的增大而增大；?2，?)时，k?0,k随?的增大而增大，但k随?的增大而减小；当??0时，k?0;当???2时，斜率不存在。
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
高中数学人教A版必修2导学案：3.1.1直线的倾斜角和斜率(学生版)
章节
3.1.1 课题直线的倾斜角与斜率教
学目标1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
3、掌握过两点的直线的斜率计算公式。
教学重点理解直线的倾斜角与斜率的概念。
教学难点过两点的直线的斜率公式推导【复习回顾】
1．锐角三角函数的定义：如图所示，正弦（sin）等于对边比斜边，sinA=a/c；
余弦（cos）等于邻边比斜边，cosA=b/c；正切（t a n）等于对边比邻边，t a nA=a/b。
2．特殊角的正切值
α0o30o45o60o90o120o135o150o tanα
通过上述表格，你能得出互余的两个角、互补的两个角的正切有怎样的关系？
（1），（2）。
课前预习案
【新知探究】
探究一、确定直线的几何要素
问题1：给出一点P，可以作无数条直线，这些直线组成“直线束”，这些直线的共同点是什么，不同点是什么？由此你能总结出确定直线的几何要素吗？
共同点: ，不同点: 。
确定直线的几何要素：。
探究二、直线的倾斜角与斜率
问题2：平面直角坐标系中，直线l与x轴有几种位置关系？在刻画直线的倾斜程度时，我们取x 轴作为基准线，引入倾斜角的概念，它的定义是什么，取值范围如何？
直线l与x轴的位置关系：。
定义包括两个方面：（1）当直线l与x轴相交时，。
（2）当直线l与x轴平行或重合时，。
取值范围：。
高中数学人教A版必修2导学案：3.1.1直线的倾斜角和斜率（学生版）。
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.1.1倾斜角与斜率
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．知识点一直线的倾斜角[填一填]1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．[答一答]1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？ 提示：有无数条，这无数条直线互相平行． 知识点二 直线的斜率[填一填]1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[答一答]3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度．4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？ 提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的．6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？ 提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．[答案] A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°≤α<180°解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.类型二直线的斜率命题视角1：直线斜率的定义[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.∴直线l2的斜率为－ 3.直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.命题视角2：直线的斜率公式[例3]求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不相等的实数．(1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )．[分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．[解] (1)k ＝c －cb －a ＝0，倾斜角为0°.(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a＝1，倾斜角为45°.只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.[变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A )A.33B.3C.32 D ．1解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3，∴α＝60°，故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为33.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.[变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)，k P A ＝4－(－1)2－(－1)＝53，k PB ＝－2－(－1)5－(－1)＝－16，所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.33 C. 3D ．1解析：k ＝tan30°＝33.2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D )A ．－45°<α<45°B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)．解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之．5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1. 由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°.∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.——本课须掌握的两大问题1．倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1直线的倾斜角与斜率（通用）》
人教A版必修二《直线的倾斜角与斜率》教学设计石河子二中张丽三维目标1知识与技能：（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；（2）理解倾斜角与斜率的联系；（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题2过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力3情感态度价值观：（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论的辨证思想重点难点1教学重点：理解倾斜角与斜率的联系2教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题学情分析学生初中时了解了平面内确定直线的方法，高中学习了特殊角的三角函数值、正切函数的图像和性质，有一定的知识储备，“从形到数”的探究方式也能顺利过度，学生思维活跃，能进行主动探究讨论。
但根据学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。
所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。
教学策略与方法1教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学过程：（一）创设情境，揭示课题问题1、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题2、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。
在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y 轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
引入刻画直线倾斜程度的量，一步步引导学生说出倾斜角。
人教A版高中数学必修2教案第三章
_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°)D ．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________； (3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1， 又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.(3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在． 当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α， 直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线P A 的斜率k P A ＝4－03－(－1)＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________． 解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°， 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中，两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝33，k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m 3①.(2分)(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，(4分)经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2.(6分)(2)若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；(8分)当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，且k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m 值，解答过程不严谨 ②处讨论k 2＝0和k 2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 [活学活用]已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2. (4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m ＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直． 所以四边形ABCD 为平行四边形． 二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？ 解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34，或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k .问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？ 提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1](1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析](1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x －y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行． 答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________． 解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3， 由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1直线的倾斜角与斜率（通用）》5
《倾斜角与斜率》教学设计【教材版本】人民教育出版社A版高中数学（必修二）．【设计思想】1．体现数学教学是数学活动的教学；2．经历“概念公式形成”的过程；3．实现教学媒体与数学内容的有效整合．【教材分析】1 知识内容与结构分析本课时的内容是引入解析几何的思想，介绍解析几何中最简单的知识--倾斜角与斜率。
由分析直线的几何要素开始，得出已知直线上的一个点和一个角也可以唯一地确定一条直线，引出倾斜角的概念。
再由生活中的坡度问题类比出直线的斜率，最后讨论了求直线的斜率一般的计算方法:过两点的直线斜率的计算公式。
2．知识学习意义分析解析几何是用代数的方法处理几何的问题，是连接数与形的桥梁。
对于本课时为解析几何中最简单的知识，我们的学习目的在于把握和理解直线的倾斜角和斜率及它们的求解方法，初步的体会如何用代数的方法解决几何的问题。
在这节课中我们还要努力让学生体会数形结合的思想及分类讨论的思想，由特殊到一般及将一般转化为特殊进行讨论的方法。
【学生分析】1高一学生在初中已经基本掌握了直角坐标系，曾学过建立直角坐标系并且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像。
2高一学生在初中已经学习过锐角三角函数，经历过锐角三角函数的研究过程，知道特殊锐角的正切值。
3．直线是基本的几何图形，也是学生非常熟悉的图像，学生的这些已有知识是他们学习本章的基础。
【教学目标】1知识与技能1理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2掌握过两点的直线斜率的计算公式。
2过程与方法1经历用代数方法刻画直线斜率的过程。
α),(111yxP)(222yxPxyox yo),(111yxP),(222yxPα2经历由直线上两点得出已知两点求斜率的推导过程。
3情感与态度1体会分类讨论的思想。
2感受数与形结合的魅力，初步体会解析几何的有效性。
【重点难点】1．教学重点直线的倾斜角和斜率概念，过直线上两点的斜率公式。
2 教学难点斜率公式的推导。
【教学环境】1多媒体教室2几何画板【教学过程】1 创设情境，提出课题（1）介绍数学家笛卡尔，引出解析几何。
高中数学第三章-直线与方程(31 第1课时)-直线的倾斜角与斜率教案新课标人教A版必修2 教案
课 题： 3.1 直线的倾斜角与斜率 教学内容： 3.1.1 直线倾斜角与斜率教学目的： 理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的直线斜率公式. 教学重点： 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点： 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学过程： 一、课前复习本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础. 教学中一定要注重由浅及深的学习规律，渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体.二、讲解新课（1）为什么学习解析几何？（2）解析几何的桥梁是坐标系，理论根据是曲线的方程与方程的曲线的概念。
在初中，我们已经学习过一次函数：一次函数b kx y +=，它的图象是一条直线.对于一给定函数b kx y +=，作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.这两点就是满足函数式的两对y x ,值.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数b kx y +=的图象是一条直线：它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的.由于函数式b kx y +=也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.直线的方程；方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞指出：在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.这就是解析几何的思想。
高中数学人教A版必修2数学必修二3.1.1《倾斜角与斜率》教案
优质资料---欢迎下载直线的倾斜角与斜率教案一、课题直线的倾斜角与斜率一、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。
二、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。
三、教学方法讲授法四、教具三角板、幻灯片五、教学过程1.引入新课（出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和地面的夹角很小的时候滑得慢一些。
那时，我们说夹角大的更陡一些。
现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具——平面直角坐标系。
那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做x轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于 x 轴或于x 轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等. 问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果α 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop)记作:tan k问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在.( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出幻灯片）推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1212x x y y --（x 1≠x 2） 即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） 同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.3.例题和练习［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120° 参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-， cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝︒-︒︒-︒40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒-︒=又 α∈［0，π］ ∴α＝120°故选D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan 43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.六、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.七、课后作业八、教学反思。
高中数学：3.1《直线的倾斜角和斜率》教案(新人教A版必修2)
课题：直线的倾斜角和斜率(1)课型：新授课教学目标:知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：1.直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l 的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．.．．．P．和一个倾斜角α2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4．例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)5．练习: P86 1. 2. 3. 4.课堂小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4课后记:课题：直线的倾斜角和斜率(2)课型：习题课教学目标：1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角4.培养学生分析探究和解决问题的能力.教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用教学过程1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？2) 斜率的计算公式是什么？2.巩固练习：1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）150°2).直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是3).过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或44).已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 .5).已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .6).已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .7).已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为3．例题分析：例1.若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),21(m C 共线，求m 的值 解：22122132332=⇒+-=+--⇒=m m k k AC AB 说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础例2．如果直线l 经过A (－1,2m)、B (2，2m )二点，求直线l 的斜率K 的取值范围。
高中数学 3.1.1 直线的倾斜角与斜率学案 新人教A版必修2
3.1.1 直线的倾斜角与斜率课前预习学案一、预习目标（1）知道确定直线的要素（2）知道直线倾斜角的定义（3）知道直线的倾斜角与斜率的关系二、预习内容1、 在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？要想确定一条直线，的给出什么条件呢？2、 通过咱们的预习，什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？3、 什么是直线的斜率？它与直线的倾斜角的关系是什么？4、 如果知道了直线上的两个点，直线已经确定了，那么如何求直线的斜率？5、练习：①倾斜角为︒30，求斜率 ②倾斜角为︒150，求斜率③直线过点（18， 8）（4， -4）求斜率④直线过点（0， 0）（-1， 3）求斜率课内探究学案一．学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习重点：倾斜角与斜率的概念学习难点：直线的斜率与倾斜角的关系二、学习过程1、探究一：直线的倾斜角的定义及范围（1）倾斜角的定义：（2）倾斜角的范围：（3）倾斜角与斜率的关系例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 。
30=a ；(2) 。
135=a ；(3) 。
60=a ; (4)。
90=a变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k =0； （2）k = 1 ； （3）k =3- ； ⑷k 不存在.2、探究二：由直线上的两点求直线的斜率（阅读课本8483P P -的推导过程）思考：（1）已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 AB 两点坐标的顺序有关吗？（2）当直线平行于 y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么?例2：求经过两点 (2,3), (4,7) A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.变式：1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1） A(2,3),B ( 1,4) ； （2） A (5,0), B(4, 2) .2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.3．判断 A( -2,12),B (1,3), C(4, -6) 三点的位置关 系，并说明理由.3、当堂检测（1） 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tana（2） 经过A ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 （ ）.A ．45°B ．135°C ．90 °D ．60 °（3） 过点 P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ).A.1B.4C.1 或 3D.1 或 4（4） 直线经过二、三、四象限， 的倾斜角为α ，斜 率为k ，则α 为 角；k 的取值范围 .（5） 已知直线 1l 的倾斜角为1a ，则1l 关于 x 轴对称 的直线2l 的倾斜角2a 为________.课后巩固提升学案1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线斜率是0,则AC 、AB 所在的直线斜率之和为（ ）A.-B.0 D. 2.过点（0，73）与点（7，0）的直线1l ，过点（2，1）与点（3，1k +）的直线2l ，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k 为（ ） A.3-B.3C.6-D.6 3.经过两点A （2,1），B （1,2m ）的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是（ ） Ａ.1m < Ｂ.1m >- Ｃ.11m -<< Ｄ.1m >或1m <-4.若三点A （2 , 2）,B （,0a ）,C （0，b ）（0ab ≠）共线，则11a b +的值等于________。
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2021年高中数学《3.1 直线的倾斜角与斜率》学案新人教A版必修2
学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）
复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※学习探究
新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为.
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
⑴当时，则；
⑵当时，则；
⑶当时，则；
⑷当时，则 .
新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.
探究任务三：
1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.
⑴；
⑵；
⑶；
⑷不存在.
例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
⑴；
⑵.
练2．画出斜率为且经过点的直线.
练3．判断三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升
※学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点的坐标来求；⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 下列叙述中不正确的是（）.
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
2. 经过两点的直线的倾斜角（）.
A． B． C． D．
3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).
A.1
B.4
C.1或3
D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为角；的取值范围 . 5．已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为________.
课后作业
1.已知点，若直线l过点
且与线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角.。