热力学统计物理 课后习题 答案 (3)

第六章 近独立粒子的最概然分布
6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
D(ε) d ε =()εεπd m h
V
21
23322
证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Z Y X dP dP dP h V
3
-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为
dP P h
V 2
34π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。

自由粒子的能量动量关系为m
P 22
=ε
因此 εm P 2=
， εmd PdP =
将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子
态数为 D(ε) d ε =()εεπd m h
V
21
23322------------（3）
6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为
D(ε) d ε =εεd m h L 122⎪⎭⎫
⎝⎛
证明：对于一维自由粒子，有n L
h
n L p ==
ηπ2 dn L
h
dp =∴
由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d h
L
d 2
n = 再由 εεm m
p 2p 22
==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 2
12222 d D ⎪⎭
⎫
⎝⎛===， 证毕
6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为
D(ε) d ε =επmd h
L 22
2
证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L
h p n L h p ==
, y y x x dn L
h
dp dn L h dp ==∴,
所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为
y x y x dp dp dn dn 22
h
L ＝
换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为
ϕϕd dp h
L pdpd h L dn 222
222==
对φ从0至2π积分，并利用m
p 22
=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为
D(ε) d ε =επmd h
L 22
2，证毕
6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
εεπd ch V 2
3
)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Z Y X dP dP dP h V
3
-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为
dP P h
V 2
34π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，
代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
εεπd ch V 2
3
)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}
'
l l a a 和必须满足：
∑=l
l N a
， ∑=l
l
N a
''，
∑∑=+l
l
l
l
l
l E a
a ''εε，
其中E 为系统总能量。

又上面各式可得：
∑=l
l a
0δ （1） ∑=l
l
a
0'δ （2）
∑∑=+=l
l l l
l
l a a
00''δεδε （3）
对于波色子：
分布{}{}
'
l l a a 和的微观状态数分别为：
()()∏--+=Ωl l l l l a a !1!!1ωω ()()∏--+=Ωl l
l l l a a !1!1'''''
ωω
系统的微观状态数 '
Ω⋅Ω=Ωsystem
在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使system Ω极大的分布，此时必有0ln =Ωsystem δ
而
()()()()()[]
∑----++----+=Ω⋅Ω=Ωl
l l l l l l l l system a a a a 1
ln !ln !1ln 1ln !ln !1ln ln ln '''''ωωωω 当 1,1,1,1'
'>>>>>>>>l l l l a a ωω 时
()()()()[]
∑--+++--++≈Ωl
l l l l l l l l l l l l l l l l system a a a a a a a a '
'''''''ln ln ln ln ln ln ln ωωωωωωωω 则由0ln =Ωsystem δ 得
()[]()[]{}
0ln ln ln ln ''''=-++-+∑l
l l l l l l l l
a a a a a a δωδω
（4）
用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得
()[]()[]{}
0ln ln ln ln ''''''=---++---+∑l
l l l l l l l l l l
a a a a a a δβεαωδβεαω
根据拉氏乘子法原理，上式中每一个l a δ及'
l a δ的系数都必须为零，即
()l l l l a a βεαω---+ln ln ＝0 ()
'''''ln ln l l l l a a βεαω---+＝0
所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为
a l =
l
e l
βεαω-- ， a l ´=
´
'
'
'
l
e l βεαω--
对于费米子
()∏-=Ωl l
l l a !1!!ωω ()∏-=Ωl l l l a !1!''''
ωω
当()()
,1,1,1,1,1,1'
'''>>->>->>>>>>>>l l l l l l l l a a a a ωωωω时
()()()()()[]
∑+----+----≈Ω⋅Ω=Ωl
l l l l l l l l l l l l l l l l system a a a a a a a a '
''''''''ln ln ln ln ln ln ln ln ωωωωωωωω 用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为
a l =
l
e
l
βεαω-- ， a l ´=´
'
''
l e
l βεαω--
以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统
由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。