人教版平方差公式课件
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14.2.1+平方差公式+课件+2024—2025学年人教版数学八年级上册
五、练习小测
运用平方差公式计算下面各题。
（1） (a+3b)(a-3b) （2） (3+2a)(-3+2a) （3） 51×49 （4） （3X+4)(3X-4)-(2X+3)(3X-2)
六、应用思考
你能根据图中的阴影面积说明平方差公式吗？
a米
b米
a米
b米
相等吗？
(a-b)
七、问题解决
学校设计花园，起初被设计为边长为a米的正方形，后铅球场 地原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米。 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？如果不 相等，相差多少？
（(3x-x＋+22y)(3-xx-－2y2)。) ； 解解：： ＝=(3(-xx))22－-(22y2)2
＝=9xx22－- 44y；2.
练习：第108页的第1题
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x+2)(x-2)=x²-2
(-3a-2)(-3a-2)=(-3a)²-2²=9a²-4
设计修改为：北边往南平移x(x≤a)米，而西边往西平移x米。 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a的圆的面积，正六边形的面积。由此你有什么新的 发现？
四、巩固新知
例2计算: (1)102×98
小 贴
尝试用上平方差公
士 式进行变形计算。
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5)
解: =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8.
课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3， 其中x＝2.
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
探究新知
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (1+a)(–1+a) (0.3x–1)(1+0.3x)
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8.
课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3， 其中x＝2.
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
探究新知
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (1+a)(–1+a) (0.3x–1)(1+0.3x)
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
人教版八年级数学 利用平方差公式因式分解PPT课件
2 2=（
–
+
）（
-
）
问题：观察平方差公式：a2－b2=（a+b） （a－b）的项、指数、符号有什么特点？
【练一练】一： 4a2=（ ）2
0.16a4=（ x4 y2=（ ） ）2
25b2=（ ）2
2
a b =（
2
2
）
2
【练一练】二：
下列多项式可以用平方差公式去分 解因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
(2) a b–ab=____________________
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的 代数式（单项式、多项式）．
4
4
3
小结：
平方差公式：
a b
2
2
(a b)(a b)
平方差公式因式分解特征： (1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
公式法因式分解（一）
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差 公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法， 能正确运用平方差公式把多项式分解 因式（直接用公式不超过两次）
情景导入:
1、同学们，你能很快知道992-1是100 b）（a-b）=__________ 3.你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如 何思考的？
注意:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
(3) －4x2－y2
(2) 4x2－(－y)2
(4) －4x2+y2
(5) a2－4
–
+
）（
-
）
问题：观察平方差公式：a2－b2=（a+b） （a－b）的项、指数、符号有什么特点？
【练一练】一： 4a2=（ ）2
0.16a4=（ x4 y2=（ ） ）2
25b2=（ ）2
2
a b =（
2
2
）
2
【练一练】二：
下列多项式可以用平方差公式去分 解因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
(2) a b–ab=____________________
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的 代数式（单项式、多项式）．
4
4
3
小结：
平方差公式：
a b
2
2
(a b)(a b)
平方差公式因式分解特征： (1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
公式法因式分解（一）
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差 公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法， 能正确运用平方差公式把多项式分解 因式（直接用公式不超过两次）
情景导入:
1、同学们，你能很快知道992-1是100 b）（a-b）=__________ 3.你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如 何思考的？
注意:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
(3) －4x2－y2
(2) 4x2－(－y)2
(4) －4x2+y2
(5) a2－4
14-2-2方差公式(课件)-2022-2023学年人教版八年级上学期
解：原方程可化为：9-4x2+9x=3x-4x2
移项，得：-4x2+9x-3x+4x2=-9
合并同类项，得：6x=-9
系数化为1，得：x=
19
平方差公式
例6：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈。
今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增
加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认
为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了。理由如下：
原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了。
20
平方差公式
方法总结：
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，
然后根据公式化简算式，解决问题。
21
拓展延伸
我们在计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)时，
12
练习巩固
1.计算（1+y)（1-y)的结果是（
A.1+y2
B.-1-y2
C.1-y2
C
）
D.-1+y2
2.下列不能运用平方差公式计算的是（
A.(m-n )( -m-n )
B.(-1+mn )( 1+mn )
C.(-m+n )( m-n )
D.(2m-3 )( 2m+3 )
C
）
13
典例精析
例2：计算:(1)103×97； (2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的整数倍。
移项，得：-4x2+9x-3x+4x2=-9
合并同类项，得：6x=-9
系数化为1，得：x=
19
平方差公式
例6：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈。
今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增
加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认
为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了。理由如下：
原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了。
20
平方差公式
方法总结：
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，
然后根据公式化简算式，解决问题。
21
拓展延伸
我们在计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)时，
12
练习巩固
1.计算（1+y)（1-y)的结果是（
A.1+y2
B.-1-y2
C.1-y2
C
）
D.-1+y2
2.下列不能运用平方差公式计算的是（
A.(m-n )( -m-n )
B.(-1+mn )( 1+mn )
C.(-m+n )( m-n )
D.(2m-3 )( 2m+3 )
C
）
13
典例精析
例2：计算:(1)103×97； (2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的整数倍。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
初二数学平方差公式1[人教版](PPT)5-4
5-4](https://img.taocdn.com/s3/m/547dd327caaedd3382c4d344.png)
3) (-2xy+z)(-2xy-z) 4) (a2-3bc)(3bc+a2) =(z-2xy)[-(z+2xy)]
5) (a+b)(b-c) 6) (a+b)(-a-b)
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时
(a+b)(a-b) =a2+[b+(-b)]-b2 =a2 -b2
——平方差公式
蛮横，不通情理。 【不可名状】不能够用语言形容（名：说出）。 【不可逆反应】－在一定条件下，几乎只能向一定方向（即生成物方向）进行的化学反应。 【不可收拾】?原指事物无法归类整顿，后借指事情坏到无法挽回的地步。 【不可思议】ī不可想象，不能理解（原来是佛教用语，含有神秘奥妙的意思）。 【不可同日而语】不能放在同一；香港保险 https:// 香港保险 ；时间谈论，形容不能相比，不能相提并论。 【不可向迩】不能接近：烈火 燎原，～。 【不可一世】ī自以为在当代没有一个人能比得上，形容极其狂妄自大。 【不可知论】ī名一种唯心主义的认识论，认为除了感觉或现象之外，世 界本身是无法认识的。它否认社会发展的客观规律，否认社会实践的作用。 【不可终日】一天都过不下去，形容局势危急或心中惶恐：惶惶～。 【不克】 〈书〉动不能（多指能力薄弱，不能做到）：～自拔｜～分身。 【不快】形①（心情）不愉快：怏快～。②（身体）不舒服：几天来身子～。 【不愧】副当 之无愧；当得起（多跟“为”或“是”连用）：郑成功～为一位民族英雄。 【不赖】〈方〉形不坏；好：字写得～｜今年的庄稼可真～。 【不郎不秀】比喻 不成材或没出息（元明时代官僚、贵族的子弟称“秀”，平民的子弟称“郎”）。 【不劳而获】自己不劳动而取得别人劳动的成果。 【不力】形不尽力；不 得力：办事～｜打击～。 【不利】形没有好处；不顺利：扭转～的局面｜地形有利于我而～于敌。 【不良】形不好：～现象｜消化～｜存心～。 【不良贷 款】指银行不能按期收回的贷款。 【不了】动没完（多用于动词加“个”之后）：忙个～｜大雨下个～。 【不了了之】ī该办的事情没有办完，放在一边不 去管它，就算完事。 【不料】连没想到；没有预先料到。用在后半句的开头，表示转折，常用“却、竟、还、倒”等呼应：今天本想出门，～竟下起雨来。 【不吝】动客套话，不吝惜（用于征求意见）：是否有当，尚希～赐教。 【不露声色】不动声色。 【不伦不类】不像这一类，也不像那一类，形容不成样子 或不规范：翻译如果不顾本国语言的特点，死抠原文字句，就会弄出一些～的句子来，叫人看不懂。 【不论】①连表示条件或情况不同而结果不变，后面往
5) (a+b)(b-c) 6) (a+b)(-a-b)
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时
(a+b)(a-b) =a2+[b+(-b)]-b2 =a2 -b2
——平方差公式
蛮横，不通情理。 【不可名状】不能够用语言形容（名：说出）。 【不可逆反应】－在一定条件下，几乎只能向一定方向（即生成物方向）进行的化学反应。 【不可收拾】?原指事物无法归类整顿，后借指事情坏到无法挽回的地步。 【不可思议】ī不可想象，不能理解（原来是佛教用语，含有神秘奥妙的意思）。 【不可同日而语】不能放在同一；香港保险 https:// 香港保险 ；时间谈论，形容不能相比，不能相提并论。 【不可向迩】不能接近：烈火 燎原，～。 【不可一世】ī自以为在当代没有一个人能比得上，形容极其狂妄自大。 【不可知论】ī名一种唯心主义的认识论，认为除了感觉或现象之外，世 界本身是无法认识的。它否认社会发展的客观规律，否认社会实践的作用。 【不可终日】一天都过不下去，形容局势危急或心中惶恐：惶惶～。 【不克】 〈书〉动不能（多指能力薄弱，不能做到）：～自拔｜～分身。 【不快】形①（心情）不愉快：怏快～。②（身体）不舒服：几天来身子～。 【不愧】副当 之无愧；当得起（多跟“为”或“是”连用）：郑成功～为一位民族英雄。 【不赖】〈方〉形不坏；好：字写得～｜今年的庄稼可真～。 【不郎不秀】比喻 不成材或没出息（元明时代官僚、贵族的子弟称“秀”，平民的子弟称“郎”）。 【不劳而获】自己不劳动而取得别人劳动的成果。 【不力】形不尽力；不 得力：办事～｜打击～。 【不利】形没有好处；不顺利：扭转～的局面｜地形有利于我而～于敌。 【不良】形不好：～现象｜消化～｜存心～。 【不良贷 款】指银行不能按期收回的贷款。 【不了】动没完（多用于动词加“个”之后）：忙个～｜大雨下个～。 【不了了之】ī该办的事情没有办完，放在一边不 去管它，就算完事。 【不料】连没想到；没有预先料到。用在后半句的开头，表示转折，常用“却、竟、还、倒”等呼应：今天本想出门，～竟下起雨来。 【不吝】动客套话，不吝惜（用于征求意见）：是否有当，尚希～赐教。 【不露声色】不动声色。 【不伦不类】不像这一类，也不像那一类，形容不成样子 或不规范：翻译如果不顾本国语言的特点，死抠原文字句，就会弄出一些～的句子来，叫人看不懂。 【不论】①连表示条件或情况不同而结果不变，后面往
人教版教材《平方差公式》课件ppt1
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
人教版八年级数学上册14.平方差公式说课课件
八、说作业布置
作业本：课本112页 习题14.2 第1题 思考题：用平方差公式计算：
(1) (a 1)(a 1)(a2 1)(a4 1)(a8 1)
(2) 102 92 82 72 22 12
习题14.2第1题是使用平方差公式计算，适合学生独立完成； 思考题是对平方差公式的拓展应用，适合小组合作、交流得 出答案。
以是单项式或多项式。
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方
差公式!
（三）巩固练习
例（1）选择简 单的题，教师讲解，
例：利用平方差公式计算。
规范用平方差公式
(1)(5 6x)(5 - 6x);
计算的解题过程；
(2)(x 2 y)(x - 2 y); (3)(-m n)(-m - n).
（2）、（3）学生 可独立完成。
• 问题解决：在探索平方差公式的过程中提高学生灵活运用公式 解决问题的能力。
• 情感态度：让学生感受到数学源于生活，又可应用于生活，提 高学习兴趣和信心。
四、说教学重难点
基于以上分析，我将本课重难点确定如下： • 重点：理解和掌握平方差公式； • 难点：灵活应用平方差公式（变式）。
五、说教学方法
练习3
• 回顾思考计算10.2×9.8
• 练习3，回归思考，紧扣课前导入，同时也是对平方差公式的拓 展应用。
（四）课堂小结
1、试用语言表述平方差公式
(a b)(a b) a2 b2.
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
通过两个问题，培养学生及时巩固、归纳总结的良好学习习惯。
七、说板书设计
二、说学情
• 学生已掌握了整式的概念、整式的加减和乘法运算；个性活泼， 思维活跃，已初步具有观察、分析、概括、归纳的能力，有一 定的抽象思维能力。
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
巩固练习
4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为 正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.
不符合平方差公式运
=10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
则进行运算.
=9996；利用通平过方合差理公变式形，，可= – 4y + 1.
以简化运算.
巩固练习
2. 计算:
(1) 51×49; 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12 =2500 – 1 =2499；
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
人教版《平方差公式》ppt
想一想：（2） 中相同项，相反 项分别是什么？
初中数学
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)( x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
分析：（2）(3x 2)(3x 2) (3x)2 22.
注意此处为3x整体
（2）102 98 ;
分析：（2）是两个数字相乘,通过观察发现这两个数字很有特 点，一个是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式 进行简便运算.
解： (2) 102 98
(100 2)(100 2)
1002 22
9996
初中数学
例 计算：
（3）(xn 4)(xn 4) ;
（4）(3a2 1 b)(3a2 1 b)(9a4 1 b2 ) .
2
2
4
分析：（4）需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然
后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
解： (4)
(3a2 1 b)(3a2 1 b)(9a4 1 b2 )
2
2
4
[(3a2 )2 ( 1 b)2 ](9a4 1 b2 )
两个数的平方差.
符号语言： (a+b)(a-b)= a2-b2
归纳： (a b)(a b) a b . （3）
（4）
文字描述:“两个数的和与这两个数差的积，等于这
22
平方差公式
在括号中填入适当的整式
（1）
; （2）
;
. （3）
代数（推4） 导：(a b)(a b) a2 ab ab b2
平方差公式
2021/8/31
人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
解：(1)72-52=8×3，152-132=8×7． (2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
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⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
⑷ 5678×5680－56792 =(5679－1)(5679+1)－56792
= 56792－1－ 56792
=-1
(1) (x+3)( X-3)=x2-9 (2) (-1-2x)( 2x-1)= 1-4x2 (3) (m+n)( n-m )=n2-m2 (4) (-1+y )(-y-1)=1-y2 (5) (-3a2+2b2)( -3a2-2b2 )=9a4-4b4
平方差公式
长一中 尹伟燕
用语言叙述平 方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两数和与这两数差的积பைடு நூலகம்等于它们的平方差。
a
a
b
a
2
b2
a
b 长方形的面积=(a+b)(a-b)
剩下的面积=a2-b2
⑴ (a+1)(a-1)= a2-1
⑵ (3+x)(3-x)= 9-x2 ⑶ (a+2b)(a-2b)= a2-(2b)2 =a2-4b2 ⑷ (3x+5y)(3x-5y)= (3x)2-(5y)2 =9x2-25y2 ⑸ (10s-3t)(10s+3t)= (10s)2-(3t)2 =100s2-9t2 ⑹ (-m+n)(-m-n)= (-m)2-n2 =m2-n2
2-(3y)2 =4x2-9y2 (-2x) ⑺ (-2x-3y) (-2x+3y)= ( a)21 2 2 1 2 1 1 = a -4b (2b) ⑻ ( 2 a-2b)(2b+ 2a)= 2 4
1 2-( 1 b)2 =a2-1 b2 ⑼ (1 b+a)(b+a)= a 2 2 2 4
⑽ (-4x+y)(y+4x)= y2-(4x)2 =y2-16x2
问题：利用平方差公式计算的关键是： 准确确定a和b
怎样确定a与b： 符号相同的看作a，符号不同的看作b
同桌间每人利用平方差公式出两道题， 然后交换解答，找出对方做错的地方，并 通过互助共同解决问题。
⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
2 2 5 1 2 (50 ＋ )(50 － )=2499 ⑵ 50 3 ×49 3 = 3 3 9
下列各式能否用平方差公式进行计算 ⑴ (7ab-3b)(7ab+3b) ⑵ (-8+a)(a-8) ⑶ ( 2a 3b)( 2a 3b) ⑷ (x+3)(y-3) ⑸ (-3-m)(m-3) ⑹ (a-b)(b-a)
⑺ (a2+b2)(a2-b2)
(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
1. 本节课你学会了什么？它有什
么作用？ 2.利用公式计算需要注意什么？ 你还有什么疑惑吗？
3.你对自己的表现满意吗？为什么？
再见