湖南高考数学文科试卷带答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含答案)(1)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含答案）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．（2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A ．12-B ．12C．答案：B8．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A．[22+ B．(22 C ．[1,3] D ．(1,3)答案：B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为．答案：210．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是．答案：40或60（只填一个也正确） (二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等图2于．答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。

湖南高考数学文科考试(带答案)

1．复数等于()
A.1+ B.1- C．－1+ Ｄ．－１-
【测量目标】复数代数的四则运算.
【考查方式】复数分数形式的化简．
【参考答案】A
【试题解析】 ,故选A．
2.下列命题中的假命题是()
A． B.
C． D．
【测量目标】函数值域定义域的判断
【考查方式】给出对数函数，三角函数,幂函数和指数函数求函数在某定义域下的值域．
４．极坐标和参数方程 (t为参数）所表示的图形分别是（）
A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D.圆、直线
【测量目标】极坐标和参数方程的图象
【考查方式】给出两个函数判断函数的图象.
【参考答案】Ｄ
【试题解析】由极坐标方程可得表示的是圆;
由参数方程推得直线，故选D.
5．设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()
A. 4B．6Ｃ. 8D．12
【测量目标】抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点和准线．
【考查方式】给定抛物线和抛物线上点到y轴的距离求点到焦点的距离.
【参考答案】B
【试题解析】易知抛物线的准线方程是 ,由抛物线的定义可知点到该抛物线焦点的距离就是点到该抛物线准线的距离，即 ,故选B．
6.若非零向量a,b满足｜，则a与b的夹角为()
11．在区间[ １,２]上随即取一个数x，则x [0,1]的概率为．
【测量目标】几何概率的计算
【考查方式】给定一区间,求x出现在一子区间的概率.
【参考答案】
【试题解析】由几何概型得长度比: ．
12.如图是求实数ｘ的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填
【测量目标】选择结构的程序框图．
【考查方式】给定程序框图求判断框中应该填写的内容.

高考文科数学试卷答案解析

湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2019•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2019•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．6分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．3．（5分）（2019•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．4．（5分）（2019•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0C．1D．2分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）（2019•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6．（5分）（2019•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．分析：利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．解答：解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．7．（5分）（2019•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8．（5分）（2019•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．9．（5分）（2019•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．（5分）（2019•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．解答：解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A．点评：本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2019•湖南）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁U B）={1，2，3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．解答：解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，所以∁U B={2}，所以A∪（∁U B）={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．点评：本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．12．（5分）（2019•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，则曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．解答：解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．13．（5分）（2019•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．解答：解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x ﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．14．（5分）（2019•湖南）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围解答：解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．15．（5分）（2019•湖南）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：开放型；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．解答：解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，∴根据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，∴这两个交点在同一个周期内，∴12=（）2+（）2，ω=故答案为：点评：本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．三、解答题16．（12分）（2019•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．解答：解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；（Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A2，a1 }，{A2，a2 }，共4种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为：1﹣．故这种说法不正确．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．17．（12分）（2019•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．（12分）（2019•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．点评：本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（13分）（2019•湖南）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，a n+2=3S n ﹣S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明a n+2=3a n；（Ⅱ）求S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）当n≥2时，通过a n+2=3S n﹣S n+1+3与a n+1=3S n﹣1﹣S n+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．解答：（Ⅰ）证明：当n≥2时，由a n+2=3S n﹣S n+1+3，可得a n+1=3S n﹣1﹣S n+3，两式相减，得a n+2﹣a n+1=3a n﹣a n+1，∴a n+2=3a n，当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3，∴a3=a1，命题也成立，综上所述：a n+2=3a n；（Ⅱ）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1=+3k﹣1=×3k﹣1﹣，S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣，综上所述，S n=．点评：本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2019•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b ＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B 两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．解答：解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（13分）（2019•湖南）已知a＞0，函数f（x）=ae x cosx（x∈[0，+∞]），记x n为f （x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题；等比关系的确定．专题：开放型；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥π时，验证得|f（x n+1）|＞x n+1，即可得到a的范围．解答：（Ⅰ）证明：函数f（x）=ae x cosx的导数为f′（x）=ae x（cosx﹣sinx），a＞0，x≥0，则e x≥1，由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，…，当k为奇数时，f′（x）在kπ+附近左负右正，当k为偶数时，f′（x）在kπ+附近左正右负．故x=kπ+，k=0，1，2，…，均为极值点，x n=（n﹣1）π+=nπ﹣，f（x n）=a cos（n），f（x n+1）=a cos（nπ+），当n为偶数时，f（x n+1）=﹣eπf（x n），当n为奇数时，f（x n+1）=﹣eπf（x n），即有数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）解：由于x1≤|f（x1）|，则≤a，解得a≥π，下面证明8n＞4n+3．当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，即有n=k+1时，不等式成立．综上可得8n＞4n+3（n∈N+），由eπ＞8，当a≥π时，由（Ⅰ）可得|f（x n+1）|=|（﹣eπ）|n|f（x1）|＞8n|f（x1）|=8n f（x1）＞（4n+3）x1＞x n+1，n∈N+，综上可得a≥π成立．点评：本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．。

普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答

2019年一般高等学校招生湖南卷文史类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合要求的1．函数ylg(11)的定义域为（）xA．x|x0}B．x|x1}C．x|0x1}D．x|x0或1} 2．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b知足（）A．ab1B．ab1C．ab0D．ab0 3．设f1(x)是函数f(x)=x的反函数，则以下不等式中恒建立的是（）A．f1(x)2x1B．f1(x)2x1C．f1(x)2x1D．f1(x)2x14．假如双曲线x2y21上一点P到右焦点的距离为13,那么点P到右准线的距离是（）131213B．13C．55A．D．5135．把正方形ABC D 沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．某企业甲、乙、丙、丁四个地域分别有150个、120个、180个、150个销售点.企业为了检查产品的状况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项检查为①；在丙地域中有20个特大型销售点，要从中抽取7个检查其收入和售后服务等状况，记这项检查为②.则达成这两项检查宜采纳的抽样方法挨次为（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x2+2ax与g(x)a在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）x1A．(1,0)(0,1)B．(1,0)(0,1]C．（0，1）D．(0,1]8．已知向量a(cos,sin),向量b(3,1)则|2ab|的最大值，最小值分别是（）A．42,0B．4,42C．16，0D．4，09．若函数2/（）f(x)=x+bx+c的图象的极点在第四象限，则函数f(x)的图象是y y y yo x o x o x o x AB C D10．从正方体的八个极点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56B．52C．48D．4011．农民收入由薪资性收入和其余收入两部分组成.2003年某地域农民人均收入为3150元(其中薪资性收入为1800元，其余收入为1350元),估计该地域自2019年起的5年内，农民的薪资性收入将以每年6%的年增添率增添，其余收入每年增添160元依据以上数据，2008年该地域农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元12．设会合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）A(C U B)的充要条件是（）A．m1,n5B．m1,n5C．m1,n5D．m1,n5二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________.14．(x21)9的睁开式中的常数项为___________(用数字作答) x，F是椭圆C：x2x21的焦点，在C上知足PF⊥PF的点P的个数为__________.15．F12841216．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6 小题，共 74分.解答应写出必需的文字说明、证明过程或运算步骤.17．（本小题满分 12分）1已知 tan() 2, 求的值.42sincoscos218．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥 P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=2a ,点E 是PD 的中点.I ）证明PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的正切值.PE ADBC19．（本小题满分 12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种部件，已知甲机床加工的部件是一等品而乙机床加工的部件不是一等品的概率为1 ,乙机床加工的部件是一等品而丙机床加工的部件不142是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的部件都是一等品的概率为.12 9（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工部件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，求起码有一个一等品的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列. I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；II）乞降T n=a1+2a4+3a7++na3n-2.21．（本小题满分12分）如图，已知曲线33C1：y=x(x≥0)与曲线C2:y=－2x+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（Ⅱ）议论f(t)的单一性，并求f(t)的最大值.yC1DAC2BxO22．（本小题满分14分）t如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P对于原点的对称点（I）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:QP(QAQB)（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.2019年一般高等学校招生湖南卷文史类类数学试题参照答案113．2x －y+4=0 14．8415．216．(0, )17．（本小题满分 12分）2解：由tan(4)1 tan 2,得tan1.1 tan3(1)21sin 2221 12于是costan3coscos22sin coscos 22tan11.2sin1 32318．（Ⅰ）证法一由于底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，P因此AB=AD=AC= a ，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，因此PA ⊥平面ABCD.由于PB PD DC CB 2ED DC DAE(ED DA) (ED DC) EA EC.AD因此 PB 、EA 、EC 共面.又PB 平面EAC ，因此PB//平面EAC. 证法二同证法一得 PA ⊥平面ABCD. 连接BD ，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点. 连接OE ，由于E 是PD 的中点，因此 PB//OE. 又PB 平面EAC ，OE 平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角平面角.BP的CE又E 是PD 的中点，进而G 是AD 的中点，AEG11 a,GHAGsin603BHa,AGa.224因此tanEG 2 3.GH319．（本小题满分 12分）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的部件是一等品的事件P(A B)1 ,P(A) (1 P(B))1 4 ,①4由题设条件有P(B C)1, 即P(B)(1 P(C))1, ②1212P(AC)2. P(A)P(C)2. ③99由①、③得P(B) 19P(C) 代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.G DC.8解得P(C) 2 11（舍去）.3 或9将P(C)2 分别代入③、②可得P(A)1,P(B)1.334即甲、乙、丙三台机床各加工的部件是一等品的概率分别是1 , 1 , 2.3 4 3（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的事件，则P(D)1P(D)1(1P(A))(1P(B))(1 P(C))1 2 3 1 5.34 3 6故从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的概率为5.620．（Ⅰ）证明由a 1,2a 7,3a 4成等差数列，得4a 7 a 1 3a 4，即4aq 6 a 3aq 3.变形得(4q 31)(q 3 1)0,因此q 31 或q 3 1（舍去）.4a 1(1 q 6)由S 61 q1q 3 1 .12S 312a 1(1 q 3)12161 qa 1(1 q 12)S12S 6S121 1q1 1 q 6 1q61S 6S 6.a 1(1q 6)161 q得S 6S12S6.因此12S 3 ，S ，S－S 成等比数列.12S 3S 66126（Ⅱ）解：T na 12 a 4 3na 3n2a23 36 na q3(n1).a 7aqaq即T na2(1)a3(1)2an(1)n1a.① ①×(1)得：4441 112 a3(1 3an(1 n1an(1n a44T n4a2(4) 4)4)4)a[1 ( 1)n ]1n 4414n(a(n a.1)a5n)()1 ( )4544因此T n16a(164n)(1)na.25 255421．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由y x 3得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）.2x 3y3x,f(t)SABOSOBD1|BD||10|1|BD|1(3t 33t),3(t 3222 即f(t)t).(0 t 1).2（Ⅱ）f(t)9t 2 3.令f(t)解得t3.2 23当0t3时,f(t)0,进而f(t)在区间(0, 3)上是增函数；33当3 t 1时,f(t)0,进而f(t)在区间(3,1)上是减函数.33因此当t3 时，f(t)有最大值为f(3) 3.333。

高考文科数学试题及参考答案(湖南卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x x >的解集是（） A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（） A ．8122-B ．9122-C ．10122-D ．11122-5．在(1)nx +（n ∈N*）的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n =（） A ．8B ．9C ．10D ．116．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（） A ．48M B ．49M C ．50M D ．51MABC1A 1C1D1BDE F8．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（）A ．312- B ．12C ．512- D ．2210．设集合{123456}M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是． 12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A =． 13．若0a >，2349a =，则23log a =．频率组距0.5%1% 2% 水位（M ）30 31 32 3348 49 50 51图214．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，.AB ≠∅（1）b 的取值范围是；（2）若()x y AB ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．15．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是；设E F ，分别是该正方体的棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF被球O 截得的线段长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的大小．ABCQ αβ P19．（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA CB ⋅为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．21．（本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=．（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos 2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=．所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=．解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=．18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥．（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==．在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==，AB CQαβ POH于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===．故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则3AO =，1CO =．在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==．则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，．所以(330)AB =-，，，(031)AC =-，，．设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯．故二面角B AC P --的大小为5arccos 5．19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． AB C Qα β POxyz当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①、②、③得22421k x k +=-． …………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④、⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=．当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第0k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足036a k =-，0k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a中的第126723n a-⨯+-项即可）21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =- 时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，11 / 11 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)2110.2a h '=⨯++= 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。

高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版

普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 12，即a 1＝a 12.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2.解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n . 即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：25x ＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程．20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由00001,2022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l的距离d =所以b ==由222,15x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝245m m -+，y 1y 2＝215m -+.于是a =从而ab===m= 故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x y ＋2或x ＝y ＋2，即x y －2＝0，或x －2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.(1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x ＝2222211e 11x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦ ＝222[12]e 1x x x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x ＜1时，因为211x x-+＞0，e x ＞0，故f (x )＞0；同理，当x ＞1时，f (x )＜0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2，由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证2211e e 11x x x x x x--+<++. 此不等式等价于(1－x )e x －1ex x +＜0. 令g (x )＝(1－x )e x －1e x x +，则 g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即 (1－x )e x －1e xx +＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)，从而f (x 1)＜f (－x 2)．因为x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。

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高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版20XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(20XX年湖南，文1)复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(20XX年湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(20XX年湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．A．9 B．10 C．12 D．13 4．(20XX年湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．A．4 B．3 C．2 D．1 5．(20XX年湖南，文5)在锐角△ABC 中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B，则角A等于( )．ππππA．3 B．4 C．6 D．126．(20XX年湖南，文6)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3 7．(20XX年湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．2A．B．1 C．D8．(20XX年湖南，文8)已知a，b是单位向量，ab＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )． A1 B1 D29．(20XX年湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概1AD，则＝( )．2AB11A．2 B．4 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．率为10．(20XX年湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(UA)∩B＝__________.x 2s 111．(20XX年湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：y sx at,(t为参数)平行，则常数a的值为__________．y 2t 112．(20XX年湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．x 2y 8,13．(20XX年湖南，文13)若变量x，y满足约束条件0 x 4,则x＋y0 y 3,的最大值为__________．x2y214．(20XX年湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在ab一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．15．(20XX年湖南，文15)对于E＝{a1，a2，，a100}的子集X＝{ai1，ai2，，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，，x100，其中xi1＝xi2＝＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π16．(20XX年湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos xcos x .32π(1)求f 的值；31(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．417．(20XX年湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝ACAA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．18．(20XX年湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg) 1米．(1)(2)48 kg的概率．19．(20XX年湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈*N.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．x2220．(20XX年湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F25关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.1 xxe. 1 x220XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z＝i(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B．2．答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A．3．答案：D 解析：抽样比为31 ，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D．60204．答案：B解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.② 由①＋②得g(1)＝3，故选B．5．答案：A解析：∵2asin B，∴2sin Asin BB．∵sin B≠0，∴sin Aπ，2 π∴A＝.故选A．3∵A∈ 0,6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C．7．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC8．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，1，∴(x－1)＋(y－1)＝1. |c|即为22，可看成M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝1.故选C．答案：D解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是11，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．229222∴2x 4x＝4y＋x，472y272即x＝4y，∴2 .4x16y∴ .x4AD2yy又∵，故选D．AB2xx4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．答案：{6,8} 11．答案：4解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a y 1aa，即x y ，∴a＝4. 22212．答案：9解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a ＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 13．答案：6 解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14．1解析：如图所示，∵PF1⊥P F2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c. 由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，222由|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|得*****4c＝(2a＋c)＋c，即2c－4ac－4a＝0，2即e－2e－2＝0，∴ee 1. 15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，，则P＝{a1，a3，a5，，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，，则Q＝{a1，a4，a7，a10，，a100}有34个元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，，a97}，共有1＋97 1＝17个．6三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解：(1)f2π3cos2π3 cosπ3 ＝cosππ3 cos32＝11 24.(2)f(x)＝cos xcosx π3＝cos x1 cosx x 22＝12cos2x＋2sin xcos x ＝14(1＋cos 2x)＋4sin 2x ＝12cos2x π 13 4. f(x)＜14等价于12cos2x 3 4 4，即cosπ2x 3 0.于是2kπ＋π2＜2x－π3＜2kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12＜x＜kπ＋11π12，k∈Z.故使f(x)＜1 5π11π4成立的x的取值集合为x|kπ 12 x kπ 12,k Z.17．(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD 平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①，②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E 平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E. 故C1EAC11cos60，又B1C1＝2，所以B1E＝2，从而V1三棱锥C A1B1E＝13S112A1B1EA1C1＝3 2 2 3. 18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51 2 48 4 45 6 42 315102 192 270 126＝15690＝＝46. 15(2)由(1)知，P(Y＝51)＝24，P(Y＝48)＝. 1515242. *****故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝19．22解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2. 解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an. 即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．n－1因此，an＝2.n－1所以数列{an}的通项公式为an＝2.n－1(2)由(1)知，nan＝n2.n－1记数列{n2}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋22＋322＋＋n2n－1，①23n2Bn＝12＋22＋32＋＋n2.② ①－②得2n－1n－Bn＝1＋2＋2＋＋2－n2 nn＝2－1－n2.n从而Bn＝1＋(n－1)2. 20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．y01,x0 2,x设圆心的坐标为(x0，y0)，由0解得y0 2. x0 y0 222所以圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l 的距离d 所以b22x my 2, 22由x2得(m＋5)y＋4my－1＝0. 2y 1 5设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4m1，y.1y2＝22m 5m 5于是a从而ab＝，即m故当m3时，ab最大，此时，直线l的方程为x＋2或x＝＋2，即x－2＝0，或x－2＝0.1 xx21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e.1 x2(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0. (1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．1 x x1 xxe e＋22 1 x 1 xx2 2x 11 x xe ＝222 1 x 1 xf′(x)＝x[ x 1 2 2]x＝e. 221 x当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x＜1时，由于1 xx＞0，e＞0，2故f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．下面证明：x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1 xx1 x xe e. 221 x1 x此不等式等价于1 x＜0. ex1 xx令g(x)＝(1－x)e－x，则e(1－x)e－xg′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即(1－x)e－1 x＜0. ex所以x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)．而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.。

湖南数学高考文科试卷及解答

输入x,y,n开始选择题：本大题共12小题，每题5分〔1〕设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =〔A 〕{1,3} 〔B 〕{3,5} 〔C 〕{5,7} 〔D 〕{1,7} 〔2〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=〔A 〕－3 〔B 〕－2 〔C 〕2 〔D 〕3〔3〕为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23〔D 〕56〔4〕△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= 〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕3〔5〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕34〔6〕假设将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为〔A 〕y =2sin(2x +π4) 〔B 〕y =2sin(2x +π3) 〔C 〕y =2sin(2x –π4) 〔D 〕y =2sin(2x –π3)〔7〕如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是28π3，则它的外表积是〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π 〔8〕假设a>b>0，0<c<1，则〔A 〕log a c <log b c 〔B 〕log c a <log c b 〔C 〕a c <b c 〔D 〕c a >c b 〔9〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔10〕平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为〔A 〕32 〔B 〕22 〔C 〕33 〔D 〕13〔11〕执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足〔A 〕2y x = B 〕3y x = 〔C 〕4y x = D 〕5y x =〔12〕假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是〔A 〕[]1,1- 〔B 〕11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔D 〕11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本卷包含必考题和选考题两局部.第(13) ~ (21)题为必考题，每个真题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生依据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每题5分〔13〕设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =___________ 〔14〕已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=___________. 〔15〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，则圆C 的面积为_________〔16〕某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2020年湖南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)

2020年湖南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1，3，5}，则A∩B=()A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行如图的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C：x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为()A. 72B. 3C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为______．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020等级A B C D频数28173421(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°．(1)若a=√3c，b=2√7，求△ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosk t,y=sin k t(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−3x−4<0}=(−1,4)，B={−4,1，3，5}，则A∩B={1,3}，故选：D．求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，∴|z|=√12+12=√2．故选：C．3.【答案】C【解析】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎ′ℎ2=ℎ′2−(a2)2，因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0⇒ℎ′a=√5+14(负值舍去)；故选：C．先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．根据古典概率公式即可求出．【解答】解：O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=210=15，故选：A．5.【答案】D【解析】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(x,y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y=a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．直接由散点图结合给出的选项得答案．本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0)，半径r=3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1,2)的直线与圆的相交弦长|AB|=2√r2−d2，当d最大时|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d=|CD|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|AB|=2√32−(2√2)2=2，故选：B．由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．由图象观察可得最小正周期小于13π9，大于10π9，排除A，D；再对照选项B，C求得ω，代入f(−4π9)=0计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π−(−4π9)=13π9，大于2×(π−4π9)=10π9，排除A，D；由图象可得f(−4π9)=cos(−4π9ω+π6)=0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，(∗)若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k=−1，成立．故选：C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a=19，故选：B．9.【答案】C【解析】解：n=1，S=0，第一次执行循环体后，S=1，不满足退出循环的条件，n=3；第二次执行循环体后，S=4，不满足退出循环的条件，n=5；第三次执行循环体后，S=9，不满足退出循环的条件，n=7；第四次执行循环体后，S=16，不满足退出循环的条件，n=9；第五次执行循环体后，S=25，不满足退出循环的条件，n=11；第六次执行循环体后，S=36，不满足退出循环的条件，n=13；第七次执行循环体后，S=49，不满足退出循环的条件，n=15；第八次执行循环体后，S=64，不满足退出循环的条件，n=17；第九次执行循环体后，S=81，不满足退出循环的条件，n=19；第十次执行循环体后，S=100，不满足退出循环的条件，n=21；第十一次执行循环体后，S=121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】D【解析】解：{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，则a2+a3+a4=q(a1+a2+a3)，即q=2，∴a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25×1=32，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意可得a=1，b=√3，c=2，∴|F1F2|=2c=4，∵|OP|=2，∴|OP|=12|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4，∴|PF1|⋅|PF2|=6，∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|⋅|PF2|=3，故选：B．先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A=2，则3 2AO1=ABsin60°，32AO1=√32AB，∴AB=BC=AC=OO1=2√3，外接球的半径为：R=√AO12+OO12=4，球O的表面积：4×42×π=64π．故选：A．画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,，不等式组表示的平面区域如图所示，由{2x+y−2=0x−y−1=0，可得A(1,0)时，目标函数z=x+7y，可得y=−17x+17z，当直线y=−17x+17z，过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1+7×0=1．故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．15.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．16.【答案】7【解析】解：由a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n为奇数时，有a n+2−a n=3n−1，可得a n−a n−2=3(n−2)−1，…a3−a1=3⋅1−1，累加可得a n−a1=3[1+3+⋯+(n−2)]−n−12=3⋅[1+(n−2)]⋅n−1 22−n−12=(n−1)(3n−5)4；当n为偶数时，a n+2+a n=3n−1，可得a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41．可得a2+a4+⋯+a16=92．∴a1+a3+⋯+a15=448．∴8a1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=448，∴8a1=56，即a1=7．故答案为：7．在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得a n−a n−2=3(n−2)−1与a n+2+a n=3n−1，利用累加法得到n为奇数时a n与a1的关系，求出偶数项的和，然后列式求解a1．本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为40100=0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为28100=0.28，故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4，0.28；(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，故其平均利润为(90−25)×0.4+(50−25)×0.2+(20−25)×0.2+(−50−25)×0.2=15(元)；同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，故其平均利润为(90−20)×0.28+(50−20)×0.17+(20−20)×0.34+(−50−20)×0.21=10(元)；因为15>10，所以选择甲分厂承接更好．【解析】(1)根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；(2)根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)△ABC中，B=150°，a=√3c，b=2√7，cosB=a2+c2−b22ac =3c2+c2−282√3c2=−√32，∴c=2，a=2√3，∴S△ABC=12acsinB=12⋅2√3⋅2⋅12=√3．(2)sinA+√3sinC=√22，即sin(180°−150°−C)+√3sinC=√22，化简得12cosC+√32sinC=√22，sin(C+30°)=√22，∵0°<C<30°，∴30°<C+30°<60°，∴C+30°=45°，∴C=15°．【解析】(1)根据题意，B=150°，通过余弦定理，即可求得c=2，a=2√3，进而通过三角形面积公式S△ABC=12acsinB=12⋅2√3⋅2⋅12=√3．(2)通过三角形三边和为180°，将A=180°−150°−C代入sinA+√3sinC=√22，根据C的范围，即可求得C=15°．本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，所以AB=BC=AC．O是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC，所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2，所以△APB≌△BPC≌△APC，由于∠APC=90°．所以∠APB=∠BPC=90°所以AP⊥BP，CP⊥BP，AP，PC⊂平面APC，由于AP∩CP=P，所以BP⊥平面APC，由于BP⊂平面PAB，所以：平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，所以l=√2+r2．由于圆锥的侧面积为√3π，所以π⋅r⋅√2+r2=√3π，整理得(r2+3)(r2−1)=0，解得r=1．所以AB=√1+1−2×1×1×(−12)=√3．由于AP2+BP2=AB2，解得AP=√32则：V P−ABC=13×12×√32×√32×√32=√68．【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x−a．(1)当a=1时，f′(x)=e x−1，令f′(x)=0，解得x=0．∴当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)．又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可，则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a >0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．21.【答案】解：(1)由题设得，A(−a,0)，B(a,0)，G(0,1)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1)，GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1)，由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得a 2−1=8，即a =3，所以E 的方程为x 29+y 2=1．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，P(6,t)，若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题可知，−3<n <3，由于直线PA 的方程为y =t 9(x +3)，所以y 1=t9(x 1+3)，同理可得y 2=t3(x 2−3)，于是有3y 1(x 2−3)=y 2(x 1+3)①．由于x 229+y 22=1，所以y 22=−(x 2+3)(x 2−3)9，将其代入①式，消去x 2−3，可得27y 1y 2=−(x 1+3)(x 2+3)，即(27+m 2)y 1y 2+m(n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0②，联立{x =my +n x 29+y 2=1得，(m 2+9)y 2+2mny +n 2−9=0，所以y 1+y 2=−2mnm 2+9，y 1y 2=n 2−9m 2+9，代入②式得(27+m 2)(n 2−9)−2m(n +3)mn +(n +3)2(m 2+9)=0，解得n =32或−3(因为−3<n <3，所以舍−3)，故直线CD 的方程为x =my +32，即直线CD 过定点(32,0)．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，也过点(32,0)．综上所述，直线CD 过定点(32,0)．【解析】(1)根据椭圆的几何性质，可写出A 、B 和G 的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a 的方程，解之即可；(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，P(6,t)，然后分两类讨论：①t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，写出直线PA 和PB 的方程后，消去t 可得3y 1(x 2−3)=y 2(x 1+3)，结合x 229+y 22=1，消去x 2−3，可得(27+m 2)y 1y 2+m(n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0，然后联立直线CD 和椭圆的方程，消去x ，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m 和n 的恒等式，可解得n =32或−3(舍)，从而得直线CD 过定点(32,0)；②若t =0，则直线CD 的方程为y =0，只需验证直线CD 是否经过点(32,0)即可．本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，(t 为参数)，消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，(t 为参数)，两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1， ∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2，整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)，图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76，∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x +1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。

最新文科数学高考精选试题(湖南卷)附答案及解析

普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{1}D.{0} 【答案】B【解析】{}0,1Q M={-1，0，1} ∴M∩N={0，1}N=【点评】本题考查了集合地基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N=，再利用交集定义得出M∩N.2.复数z=i（i+1）（i为虚数单位）地共轭复数是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 【答案】A 【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--. 【点评】本题考查复数代数形式地四则运算及复数地基本概念，考查基本运算能力.先把Z 化成标准地(,)a bi ab R +∈形式，然后由共轭复数定义得出1z i =--.3.命题“若α=4π，则tan α=1”地逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π 【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”地逆否命题为“若p ⌝，π，则tanα=1”地逆否命题是则q⌝”，所以“若α=4π”.“若tanα≠1，则α≠4【点评】本题考查了“若p，则q”形式地命题地逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题地能力.4.某几何体地正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体地俯视图不可能．．．是【答案】D【解析】本题是组合体地三视图问题，由几何体地正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角地三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体地俯视图，Ｄ不可能是该几何体地俯视图，因为它地正视图上面应为如图地矩形.【点评】本题主要考查空间几何体地三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.5.设某大学地女生体重y（单位：kg）与身高x（单，位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立地回归方yi程为$y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．地是A.y与x具有正地线性相关关系B.回归直线过样本点地中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】由回归方程为$y=0.85x-85.71知y随x地增大而增大，所以y与x具有正地线性相关关系，由最小二乘法建立地回归方程得过程知ˆ()=+=+-=-，所以回归直线过样本点地中心y bx a bx y bx a y bx（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间地相关性、最小二乘法及正相关、负相关地概念，并且是找不正确地答案，易错.6. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1地焦距为10 ，点P （2，1）在C 地渐近线上，则C 地方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1 【答案】A【解析】设双曲线 C ：22x a -22y b =1地半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 地渐近线为b y x a =±，点P （2，1）在C 地渐近线上，12b a ∴=g ，即2a b =. 又222ca b=+，a ∴==，∴C 地方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线地方程、双曲线地渐近线方程等基础知识，考查了数形结合地思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：① ca ＞cb ；② ca ＜cb ； ③ log ()log ()baa cbc ->-，其中所有地正确结论地序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a＞c b ，①正确;由指数函数地图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数地图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中地指数函数地图像与性质、对数函数地图像与性质，不等关系，考查了数形结合地思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上地高等于A ．2 B.2 C.24【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅，即27422cos60cc =+-⨯⨯⨯o，2230,(-3)(1)cc c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上地高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h ==V g g g ，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯o ，解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 设定义在R 上地函数f(x)是最小正周期为2π地偶函数，()f x '是f(x)地导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）且x ≠2π时，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上地零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π）且x ≠2π时，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上地函数f (x )是最小正周期为2π地偶函数，在同一坐标系中作出sin=和y x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2 ()y f xπ] 上地零点个数为4个.【点评】本题考查函数地周期性、奇偶性、图像及两个图像地交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后地横线上.（一）选做题，（请考生在第10，，1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10.在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，则a =_______.【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 地普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2.【点评】本题考查直线地极坐标方程、圆地极坐标方程，直线与圆地位置关系，考查转化地思想、方程地思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 地极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中地分数法，考查基本运算能力.(二)必做题（12~16题）12.不等式x2-5x+6≤0地解集为______.【答案】{}23≤≤x x【解析】由x2-5x+6≤0，得(3)(2)0--≤，从而地不等x x式x2-5x+6≤0地解集为{}≤≤.23x x【点评】本题考查一元二次不等式地解法，考查简单地运算能力.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数地茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分地方差为_________.08910352图 (注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 地平均数)【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 6.8=.【点评】本题考查统计中地茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题地能力.14.如果执行如图3所示地程序框图，输入 4.5x =，则输出地数i = .【答案】4【解析】算法地功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题地能力，平时学习时注意对分析问题能力地培养.15.如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC uu u v u u u v g = .【答案】18【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+uu u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.【点评】本题考查平面向量加法地几何运算、平面向量地数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L ，当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义nb 如下：在n 地上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1地个数为奇数时，b n =1；否则b n =0.（1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0地项与第m +1个为0地项之间地项数，则c m 地最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===；一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 地最大值为２.【点评】本题考查在新环境下地创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题地能力.需要在学习中培养自己动脑地习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客地购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物地100位顾客地相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 地值，并估计顾客一次购物地结算时间地平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率.（将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物地结算时间组成一个总体，所收集地100位顾客一次购物地结算时间可视为一个容量为100地简单随机样本，顾客一次购物地结算时间地平均值可用样本平均数估计，其估计值为: 115 1.530225 2.520310 1.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物地结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======.123123,,,A A A A A A A =Q U U 且是互斥事件，123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++U U 33172010410=++=.故一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟地概率为710.【点评】本题考查概率统计地基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物地结算时间地平均值地估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率. 18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<地部分图像如图5所示. （Ⅰ）求函数f （x ）地解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+地单调递增区间.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==.因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）地解析式为()2sin(2).6f x x π=+ （Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-+sin 22x x=-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴地单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数地图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）地解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+地单调性求得.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成地角为30°，求四棱锥P-ABCD 地体积.【解析】（Ⅰ）因为,,.⊥⊂⊥平面平面所以PA ABCD BD ABCD PA BD又,,⊥是平面PAC内地两条相较直线，所以BD⊥AC BD PA AC平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，所以DPO∠是直线PD和平面PAC所成地角，从而=o.∠30DPO由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD PO⊥.在Rt POD V 中，由DPO ∠30=o，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 地高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2OD AD ==所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -地体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系地证明，考查空间角地应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成地角，然后算出梯形地面积和棱锥地高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品地生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年地相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后地剩余资金为a n 万元.（Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 地关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业地剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 地值（用m 表示）.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-， 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132nn aa d -=-2233()22n a d d -=--233()22n a d d -=--=L12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦L .整理得1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+.由题意，134000,()(30003)24000,2n nad d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--.故该企业每年上缴资金d 地值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业地剩余资金为４０００元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中地应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题地能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 地关系式132n n aa d +=-，第二问，只要把第一问中地132n n aa d +=-迭代，即可以解决. 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12地椭圆E 地一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0地圆心. （Ⅰ）求椭圆E 地方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12地直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 地坐标. 【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ地圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ地方程为22221(0),x y a b a b +=>>其焦距为2c，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===-=故椭圆Ｅ地方程为：221.1612x y +=（Ⅱ）设点p 地坐标为0(,)x y ，12,l l 地斜分率分别为12,.k k 则12,l l 地方程分别为1102020:(),:(),l y yk x x l y y k x x -=--=-且121.2k k=由1l与圆22:(2)2c x y -+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦.从而12,k k 是方程022000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦地两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩①且20122222.(2)2y k k x -==--由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得2058360.xx --=解得02,x=或010.5x=由02x=-得03;y=±由0185x=得05y=±它们满足①式，故点Ｐ地坐标为(2,3)-，或(2,3)--，或18(5，或18(,5.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线地位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 地方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点地两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标地一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标. 22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x-ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 地取值集合；（2)在函数f(x)地图像上去定点A （x 1， f(x 1)），B(x 2， f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 地斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '=恒成立. 【解析】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 地取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x x e e x f x k e x x ϕ-'=-=--则12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-. 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而2121()10x x e x x ---->，1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上地图像是连续不断地一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 地取值集合；第二问在假设存在地情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解地问题，通过构造函数，研究这个函数地性质进行分析判断.。

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湖南高考数学文科试卷带答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．复数21i-等于 ( )A ．1+iB ． 1－iC ．－1+iD ．－1－i 【测量目标】复数代数的四则运算. 【考查方式】复数分数形式的化简. 【参考答案】A【试题解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2++===+--+,故选A ． 2．下列命题中的假命题．．．是 ( )A ． ,lg 0x x ∃∈=RB ． ,tan 1x x ∃∈=RC ． 3,0x x ∀∈>RD ． ,20x x ∀∈>R【测量目标】函数值域定义域的判断【考查方式】给出对数函数，三角函数，幂函数和指数函数求函数在某定义域下的值域.【参考答案】C 【试题解析】易知A 、B 、D 都对，而对于C ，当0x时有30x ，不对，故选C ．3．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( )A ．^10200y x =-+ B ． ^10200y x =+ C ． ^10200y x =-- D ． ^10200y x =-【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出生活实例判断回归方程的正确性. 【参考答案】A【试题解析】由正、负相关概念可排除B 、D ，而对于C ，显然与实际生活不符！故选A ．4．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是 ( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【测量目标】极坐标和参数方程的图象【考查方式】给出两个函数判断函数的图象.【参考答案】D【试题解析】由极坐标方程cos ρθ=可得222cos ,0x y x ρρθ=∴+-=表示的是圆；由参数方程1,2x t y t=--⎧⎨=+⎩推得直线10x y +-=，故选D ．5．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ( )A ． 4B ． 6C ． 8D ． 12 【测量目标】抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点和准线.【考查方式】给定抛物线和抛物线上点到y 轴的距离求点到焦点的距离. 【参考答案】B 【试题解析】易知抛物线的准线方程是2x =-，由抛物线的定义可知点P 到该抛物线焦点的距离就是点P 到该抛物线准线的距离，即426d =+=，故选B ． 6．若非零向量a ，b 满足||||,(2)0=+⋅=a b a b b ，则a 与b 的夹角为 ( )A ．30B ． 60C ．120D ．150 【测量目标】向量夹角的计算【考查方式】已知两向量模相等且给出关于两向量的等式求两向量的夹角. 【参考答案】C【试题解析】令1==a b ，由()2020+=⇒+=a b b a b b ，得12=-a b ，又112cos ,||||112-<>===-⨯a b a b a b ，则其夹角为120，故选C7．在△ABC 中，角A，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C =120°，c a ，则( )A ．a >bB ．a ＜bC ． a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定【测量目标】利用余弦定理判断边的关系.【考查方式】给出三角形的一角和角所对应的边求另外两边的关系. 【参考答案】A 【试题解析】由余弦定理得2222222cos 2c a b ab C a a b ab =+-⇒=++，则有22a b ab =+，而△ABC 的边长a,b 均大于零，因而有a b >，故选A ．8．函数y =ax 2+ bx 与y = ||log b ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )A B C D【测量目标】含未知数函数图象的判断.【考查方式】给出二次函数和对数函数判断在同一坐标系上的图片是否正确. 【参考答案】D【试题解析】由二次函数图象的对称轴为2bx a=-逐一观察得，对于A 、B 、D ，有对称轴2b x a =-1(0,)100||12b ba a∈⇒-<<⇒<<，对于C 有对称轴2b x a =-1(1,)121||22b ba a ∈--⇒<<⇒<<；由数函数||log (0,||||)b ay x ab a b =≠≠的单调性，逐一观察得，对于A 、B 有||1b a >，对于C 、D 有||1b a <．在同一图形中||ba的范围应该是一致的只有D 符合．故选D ．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上．9．已知集合A ={1,2,3}，B ={2，m ，4}，A ∩B ={2,3}，则m = 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】用列举法表示两集合和交集求集合中的未知元素. 【参考答案】3【试题解析】由集合的交集概念易知3m =，故填3．10．已知一种材料的最佳加入量在100g 到200g 之间，若用法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g 【测量目标】黄金分割点【考查方式】给出一区间求该区间上的黄金分割点【参考答案】或【试题解析】本题考查了黄金分割点的有关知识．由法求得第一次试点的加入量为1001000.618161.8+⨯=g 或2001000.618138.2-⨯=g ．11．在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为．【测量目标】几何概率的计算【考查方式】给定一区间，求x 出现在一子区间的概率.【参考答案】13【试题解析】由几何概型得长度比：101213P -==+．12．如图是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】给定程序框图求判断框中应该填写的内容. 【参考答案】x >0?或0x【试题解析】由实数x 的绝对值的几何意义得①中可填： x>0或 x ≥0 第12题图13．如图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm【测量目标】三棱锥的体积公式和三视图【考查方式】给出三棱锥的体积和三视图求三角形的高. 【参考答案】4【试题解析】原图为一个三棱锥，其底面是一个边长分别为5、6的直角三角形，高为h ，1120(56),432V h h ==⨯⨯⨯∴=．14．若不同两点P ,Q 的坐标分别为（a ,b ），（3－b ,3－a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆()()23231x y -+-=关于直线对称的圆的方程为．【测量目标】直线的斜率和圆的方程确定.【考查方式】给出线段的两点求线段垂直平分线的斜率，给出圆的方程求关于直线对称的圆的方程.【参考答案】-1，()2211x y +-=【试题解析】特取0a b ==，则(0,0),(3,3)1PQ P Q k ⇒=，其垂直平分线l 的斜率为-1；l 的方程为30x y +-=，已知圆心(2,3)关于l 对称的点为(0,1)，可由以下变化得到：33(2,3)(2,0)(0,2)(0,1)y x=-↓↑→↔-→，故其对称圆的方程为()2211x y +-=．另解：31,13PQ l a b k k b a --⇒==∴=---；又,P Q 的中点坐标为33(,)22a b a b+--+，则l 的方程为33()3022a b a by x x y -++--=--⇒+-=，设点(2,3)关于l 对称的点为(,)m n ，解方程组可求得(0,1)，故其对称圆的方程为()2211x y +-=．15．若规定E ={}1,210...a a a 的子集{}12...,n k k k a a a 为E 的第k 个子集，其中k =1211122+2nk k k ---++… ，则（1）{}1,3,a a 是E 的第__个子集；（2）E 的第211个子集是_______【测量目标】数学新定义，集合和子集.【考查方式】给出集合和子集的表示形式，求子集与集合的关系. 【参考答案】5，{}12578,,,,a a a a a【试题解析】（1）{}13,a a 是E 的第113122145k --=+=+=个子集；(2) 从023456721,22,28,216,232,264,2128=======且0122++72255+=的取值中，考虑255-211=44，观察532442223284=++=++，即从{}1210,,,E a a a =中选取元素{}12578,,,,a a a a a ，故E 的第211个子集是{}12578,,,,a a a a a ，检验得0146722222121664128211++++=++++=．故填{}12578,,,,a a a a a ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期．(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合．【测量目标】三角函数的周期性和二倍角.【考查方式】给出三角函数的表达式，求函数的最小正周期和函数最大值和最小值时x 的集合.【试题解析】（Ⅰ）因为π()sin 2(1cos 2))1,4f x x x x =--=+-所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（步骤1）（II ）由（Ⅰ）知，当ππ22π,42x k +=+即ππ()8x k k =+∈Z 时，()f x 1．（步骤2）因此()f x 取最大值时x 的集合为π|π,8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（步骤3）17．（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ,B ,C 的相关人员中，抽取若(Ⅰ)求x ,y ;( II )若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率．【测量目标】分层抽样和事件发生的概率.【考查方式】给出三层的相关人数和某一层中的抽取人数求另外两层应该抽取的人数，在两层中抽取两样本，求样本来自一层的概率.【试题解析】（Ⅰ）由题意可得，2183654x y==，所以1,3x y ==．（步骤1）（II ）记从高校B 抽取的2人为12,b b ，记从高校C 抽取的3人为123,,c c c ，则从高校,B C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有共10种．（步骤2）设选中的2人都来自高校C 的事件为X ,则X 包含的基本事件有12(,),c c 13(,),c c 23(,)c c 共3种．因此3()10P X =．故选中的2人都来自高校C 的概率为310．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面11A B M【测量目标】两条直线的位置关系和面面垂直的判定. 【考查方式】给出长方体的底边和侧棱的长度和棱中点求长方体中线与线的夹角正切值和线面垂直推导面面垂直. 【试题解析】（Ⅰ）如图，因为1111//C D B A ，所以11MA B ∠为异面直线1A M 与11C D 所成的角．因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以1190A B M ∠=．（步骤1）221111111,2A B B M B C MC ==+= ,故 11111tan 2.B MM A B A B ∠==即异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值为2．（步骤 2）第18题图（II ）由11A B ⊥平面11BCC B ，BM ⊂平面11BCC B ，得11A B BM ⊥．① （步骤3）由（Ⅰ）知，12B M =，又222BM BC CM =+=，12B B =，所以22211B M BM B B +=，从而1BM B M ⊥ ②．（步骤4）又1111A B B M B =，再由①，②得BM ⊥平面11A B M ．而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面11A B M ．（步骤5） 19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域．( 1 )求考察区域边界曲线的方程：( 2 )如图所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？第19题图【测量目标】椭圆的定义和点到直线的距离公式，等比数列前n 项和.【考查方式】给出椭圆的焦点和长轴长求椭圆方程和给出直线方程求直线到椭圆的距离.【试题解析】（1）设边界曲线上点Ｐ的坐标为(,)x y ，则由||||10PA PB +=知，点Ｐ在以,A B 为焦点，长轴长为210a =的椭圆上．此时短半轴长 22543b =-=．所以考察区域边界曲线（如图）的方程为221259x y +=．（步骤1）（2）易知过点12,P P 的直线方程为43470x y -+=．因此点Ａ到直线12P P 的距离为223154(3)d ==+-．（步骤2）设经过n 年，点A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得0.2(21)21n --315=．解得5n =，即经过５年点A 恰好在冰川边界线上.（步骤3）20．（本小题满分13分）给出下面的数表序列：其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，2n -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n bb b b bb b b b ++++ ()n *∈N 【测量目标】归纳推理和等比数列证明和求和.【考查方式】给出一组数表归纳推理求表4，每个表去一个数组成数列，求数列的和，【试题解析】（Ⅰ）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 2032 （步骤1）它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32,它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将结这一论推广到表n （n ≥3），即表n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．（步骤2）简证如下（对考生不作要求）首先，表(3)n n 的第1行1,3,5,,21n -是等差数列，其平均数为135(21)n n n++++-=；（步骤3）其次，若表n 的第(11)k kn -行121,,,n k a a a -+是等差数列，则它的第1k +行12231,,,n k n k a a a a a a --++++也是等差数列．（步骤4）由等差数列得性质知，表n 的第k 行中的数的平均数与第1k +行中的数的平均数分别是112n k a a -++，121112n kn k n k a a a a a a --+-++++=+．（步骤5）由此可知，表(3)n n各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．（步骤6）（Ⅱ）表n 的第1行是1,3,5,,21n -，其平均数是135(21)n n n++++-=．由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列（从而它的第k 行中的数的平均数是12k n -⋅），于是，表n 中最后一行的唯一一个数为12n n b n -=⋅．因此故3242110122311111()()12222232n n n b b b b b b b b b +---++++=-+-+⨯⨯⨯⨯21．（本小题满分13分）已知函数()(1)ln 15,af x x a x a x =++-+其中a <0,且a ≠-1．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数322(23646)e ,1e(),1(){x x ax ax a a x f x x g x -++-->=（e 是自然数的底数）．是否存在a ，使()g x 在[a ,-a ]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【测量目标】利用导数判断函数的单调区间.【考查方式】给出函数，讨论函数的单调性，分段函数给出函数的单调性求解函数表达式中未知数的范围.【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．221()(1)()1a a x a x f x x x x -+-'=-++=．（１）若10a -<<，则当0x a <<-时，()0f x '>；当1a x -<<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 分别在(0,)a -，(1,)+∞上单调递增，在(,1)a -上单调递减．（步骤1）（２）若1a <-，仿（１）可得()f x 分别在(0,1)，(,)a -+∞上单调递增，在(1,)a -上单调递减．（步骤2）（Ⅱ）存在a ，使()g x 在[,]a a -上为减函数．事实上，设322()(23646)e (),x h x x ax ax a a x =-++--∈R 3()[23(2h x x a '=-+-2)12x ax +24]e .x a -再设322()23(2)124()m x x a x ax a x R =-+-+-∈，则当()g x 在[,]a a -上单调递减时，()h x 必在[,0]a 上单调递减，所以()0h a '．（步骤3）由于e 0x >，因此()0m a ．而2()(2)m a a a =+，所以2a -．此时，显然有()g x 在[,]a a -上为减函数，当且仅当()f x 在[1,]a -上为减函数，()h x 在[,1]a 上为减函数，且(1)e (1)h f ．（步骤4）由（Ⅰ）知，当2a -时，()f x 在[1,]a -上为减函数①又(1)e (1)hf 21413303.4a a a ⇔++⇔-- ②不难知道，[,1]x a ∀∈，()0[,1],()0h x x a m x '⇔∀∈．（步骤5）因2()66(2)126(2)()m x x a x a x x a '=-+-+=-+-，令()0m x '=，则x a =或2x =-．而2a -，于是（１）当2a <-时，若2a x <<-，则()0m x '>；若21x -<<，则()0m x '<．因而()m x 在(,2)a -上单调递增，在(2,1)-上单调递减．（步骤6）（２）当2a =-时， ()0m x '，()m x 在(2,1)-上单调递减．综合（１）、（２）知，当2a -时，()m x 在[,1]a 上的最大值为2(2)4128m a a -=---.[,1],()0(2)0x a m x m ∀∈⇔-⇔-24a 12a -80-2a ⇔-．（步骤7）③又对[,1],()0x a m x ∈=只有当2a =-时在2x =-时取得，亦即()0h a '=只有当2a =-时在2x =-时取得．因此，当2a -时，()h x 在[,1]a 上为减函数．（步骤8）从而由①，②，③知，32a --．综上所述，存在a ，使()g x 在[,]a a -上为减函数，且a 的取值范围为[3,2]--．（步骤9）。

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