2019-2020学年高一数学《必修一模块总复习》学案.doc

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2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：第一章集合与函数概念本章复习

第一章集合与函数概念本章复习学习目标通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力.合作学习一、提出问题①第一节是集合,分为几部分?②第二节是函数及其表示,分为几部分?③第三节是函数的基本性质,分为几部分?④画出本章的知识结构图.二、应用示例【例1】若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q=⌀B.P⫋QC.P=QD.P⫌Q【例2】求函数y=x2+1的最小值.【例3】求函数y=的最大值和最小值.【例4】函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数三、变式训练1.设集合M={x|x>1},P={x|x2-6x+9=0},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⫋MC.M⫋PD.M∩P=R2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉A∩B},则(A*B)*A等于()A.A∩BB.A∪BC.AD.B3.求函数f(x)=-的单调区间.四、作业课本P44复习参考题第5,7题.参考答案一、提出问题①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射.③分为:单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图所示,二、应用示例【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=⌀.答案:A点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x2+1的定义域是R,∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.方法二:(公式法)函数y=x2+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.点评:求函数最值的方法:观察法:当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接观察写出函数的最值;公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值.【例3】解:(判别式法)由y=得yx2-3x+4y=0,∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.∴0<y2≤.∴-≤y<0或0<y≤.综上所得,-≤y≤.∴函数y=的最小值是-,最大值是.点评:形如函数y=(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组-此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.【例4】解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)==x+-2a,下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.设1<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+-2a)-(x2+-2a)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-)=(x1-x2)-.∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0.又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.答案:D三、变式训练1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P⫋M.答案:B2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.答案:D点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合.3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y=,u=x2-1,当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在[1,+∞)上是增函数.当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在(-∞,-1]上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间.注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.。

【新导学案】高中数学人教版必修一：《必修一模块总复习》.doc

《必修一模块总复习》【学习目标】1. 西舷藁合肴关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn 图；2. 深刻理解惭数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性；3. 掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图彖说岀指数函数、对数函数的性质；了解五个幕函数的图象及性质；4. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分•法求方程的近似解；5. '了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活屮普遍使用的函数模型）的广泛应用.【学习过程】探典型例题例 1、己知全集 U ={XG /V|0<X <6},集合 A= {xeN|l<x<5},集合〃= {xe N | 2 v 兀< 6}.求：（1）AA/i; （2）9显）帥；（3）（C v A ）mC v B ）.互异性列描图举迷示法法法相等关系运算关系i 函数的性质【知识链接】（复习教材P 2- Pi 13,找出疑惑之处）复习1:集合部分知识结构. I 一、集合I 确定性集合与元素概念包含关系无序性复习2：函数部分知识结构. （对直）二、函藏映身寸集合函数2例2、对于函数f(x) = a-———(aw R )・2+1(1)探索函数/(兀)的单调性;(2)是否存在实数a使函数/(x)为奇函数?例3某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路•该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的•差.如果销售.额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1000元.问该企业应该投入多少广告费，才能获得最人的广告效应，是不是广告做得越多越好?.练1・如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x = t(t>0)左侧的图形的而积为/⑴,则函数/⑴的解析式为练2・某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%,同时商品〃连续两次降价20%,结果都以每件23・04元售出，若商店同时售出这两种商品各-件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是A.多赚5. 92元；B.少赚5・92元；C・多赚28・92元；D.盈利相同.练3.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果町供建造围墙的材料总长是30m,那么宽兀为多.少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？【学习反思】探学习小结1.集合的有关概念及三种运算；.2.函数的三要素及性质（单调性、奇偶性）；3.指、对、幕函数的图象及性质；4.零点存在定•理及二分法；5.函数模型的应用.探知识拓展基本初等函数包括以下6种：（1）常值函数：y=c（其中c为常数）；（2）幕函数y=Z （其中a为实常数）；（3）指数函数y=a x（Q0&H1）；（4）对数函数y =log aX（a>0,aHl）；（5）三角函数；（6）反三角函数.所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数.【基础达标】*自義评价你完蘇节导学案的情况为（）•A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量：5分钊|满分：10分）计分：1.己知集合M = {xw 2|兀=8-加，加w N},则集合M屮的元素的个数为（）•A. 7:B. 8；C. 9；D. 10.2.下列哪一组中的函数/（切与g（x）相等（）.2A. f（x） = x- \ , ^（x） = —-1；B. /（X）= x2, g（x） = （仮）4；C. /（x）", g（兀）=莎；D. /（.¥）= .¥, i?（x） = 2log2V；3.己知集合A = {y\ y = log2 x,x> 1},B = = 兀>1}，则AP\B=（）.A. {y|0<y<-}；B. {ylOvyvl}；C. {y\-<y<\}；D.・0.2 24. 下列函数：® ,y=lgx ；②y = 2\ ③尸F ；④尸|川T.其中有2个零点的函数的序号是5. _________________________________________________________ 若log u -< 1 （。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：1.2.1 函数概念

1．2.1函数概念课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的概念b b2.函数的定义域b b3.函数的值b b4.区间a a知识导图学法指导1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成．2．本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数y＝f(x)的含义，求函数的值域.知识点一函数的概念1．函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．2．函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．,对函数概念的3点说明(1)当A ，B为非空实数集时，符号“f ：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；x －2则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1，且x ≠2. 所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( )x 2－9⎣⎭2例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B 的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()．1个 C ．2个 D ．3个下列对应是否是函数？，x ∈R ；②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，任意性② √ 同时满足任意性与唯一性 ③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性④ ×x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x 与之对应，符合函数定义．⎩⎪|x|＋x≠0，⎩⎪x>0，所以x>0且x≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．【答案】(1)B(2)见解析(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．(3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． (1)分母不为0方法归纳判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关．所以函数y＝2xx＋1的值域为{y|y∈R且y≠2}．(3)函数的定义域为{1,2,3}，当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，因为x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.先分离再求值域配方法求值域[基础巩固](25分钟，60分)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x >0，2x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B.答案：B解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1)[2，＋∞)(2)(3,4](3)(1,2)∪(2，＋∞)7．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．的图象可知－5≤x≤5，－2≤，B＝{y|y＝x2＋1}，则20<x <a2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.10．求下列各函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}； (2)y ＝x 2－4x ＋6； (3)y ＝x ＋2x －1.解析：(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，答案：－113．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．解析：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．1。

2019-2020学年度高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1______年______月______日____________________部门1.3.2 奇偶性学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．，完成下面问题：P35－P33预习教材知识点函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )提示(1)×反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数；(2)×存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数；(3)×函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．题型一函数奇偶性的判断(1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，－x ＋1，x<0.解 (1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．规律方法判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法： (2)图象法：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝.解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．题型二奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).考查方向题型三函数奇偶性的应用方向1 利用奇偶性求函数值【例3－1】已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )A．26 B．18 C．10 D．－26解析法一由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.法二由已知条件，得①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26. 答案 D方向2 利用奇偶性求参数值【例3－2】若函数f(x)＝为奇函数，则a ＝________.解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a ＋1)x ＋a ＝x2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1.答案－1方向3 利用奇偶性求函数的解析式【例3－3】已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －1，求函数f(x)的解析式．解当x ＜0，－x ＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x －1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x ＋1.又f(x)(x ∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值，比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值．2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．课堂达标1．下列函数是偶函数的是( ) C．y＝D．yB．y＝2x2－3A．y＝x＝x2，x∈(－1,1]解析对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B．答案B 2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( ) D．4C．3B．2A．1解析f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.答案B 3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋－1，则f(－2)＝________.解析f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝.答案924．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．解析由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R 上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．答案 (－3,0)∪(0,3)5．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x ＋1，求f(x)的解析式．解当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x ＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x －1，又f(0)＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，0，x ＝0，x －1，x<0.课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f (x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．。

2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)

2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。

也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。

现举例如下：1．比较大小例1．比较与的大小：解：，由于及0<lg8<lg9，即，又∵ y=lgx是(0,+¥)上的增函数，∴。

2．解方程例2．解方程。

解：∵ y=a x(a>1)在R上是增函数，又∵,∴,,(1)+(2),,当时取“=”号，∴解得，∴原方程的解是。

3．证方程至多有一个实根例3．试证方程x3+x+1=0至多有一个实根。

证：（反证法）。

令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1,∴ f(x1)=f(x2)=0 (1)∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数，又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2)由(1),(2)知，两者矛盾，故方程x3+x+1=0至多有一个实根。

4．解不等式例4．解不等式(2x-1)5+2x-1<x5+x.解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f(t)=t5+t, 则原不等式可写为f(2x-1)<f(x),∵ f(t)=t5+t在R上是增函数，∴由f(2x-1)<f(x)得2x-1<x，解得：x<1.∴原不等式的解是x<1。

5．求值例5．已知(4x+y)7+x7+5x+y=0，求5x+y的值。

解：把条件等式变形为(4x+y)7+(4x+y)=-(x7+x).令f(t)=t7+t，则上式可写为f(4x+y)=-f(x).又∵ f(x)=x7+x是奇函数，f(-x)=-f(x),∴ f(4x+y)=f(-x),∵ f(t)=t7+t在R上是增函数，∴由f(4x+y)=f(-x)得4x+y=-x故5x+y=0。

6.求最大（小）值例6．求函数最大（小）值。

2019-2020年苏教版数学必修一讲义：模块复习课及答案.doc

.... 模块复习课.士 ..........................匚核心知识回顾P1.集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)子集：对任意的xGA,有用B,则4UB(或B^A).⑶真子集：若且A^B,则4宇B(或B呈4).(4)集合的运算及其性质并集：AUB=｛x|xeA,或x^B｝；交集：4门3=｛尢比丘4,且x^B｝；补集：［.nA=｛x\x^U,(5)集合的运算性质%1并集的性质：AU0=A； AUA=A；AUB=A^B^A.%1交集的性质：AA0=0； AnA=A；AHB=A^A^B.%1补集的性质：AU(C t/A)=IZ； An(CM) = 0；［風皿)=42.函数(1)函数的三要素：定义域、值域、对应关系.(2)分段函数：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数.3.函数的性质⑴单调性设函数夬兀)的定义域为厶如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量兀1,也，当Xi <X2时，%1若陋) <蚀,则/X)在区间D上是增函数；%1若炖〉心2),则沧)在区间D上是减函数•⑵奇偶性%1一般地，设函数y=fi.x)的定义域为A,如果对于任意的x^A,都有斤一x)=心),那么称函数y=/i>)是偶函数.%1如果对于任意的x£A,都有幷一x)=—心),那么称函数y=/i>)是奇函数.%1奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于丁轴对称.4.指数函数(1)对数的运算法则M 如果a>0, aHl, M>0, N>Q,那么①log”(MN) = log』/ + log』/；②log诵=log<M _lo%N；③lo^,M"=nlo^aM(n£R)；④logaM=憶?(c>0,且cHl).6⑴函数零点：一般地，我们把使函数丁=/仅)的值为0的实数丄称为函数y=/(x)的零点.⑵方程沧）=0有实数根o函数尸幷）的图象与兀轴有交点今函数v=/g）有零点.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数y=fix）在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有肋）说4<0,那么函数y=»在区间（a, 4内有零点，即存在c^（a, V）,使得»=0,这个匚也就是幷）=0的根.匚易错易混魁析三1.高一四班的全体同学组成一个集合. N）2.集合｛—5, —8｝和｛（-5, —8）｝表示同一个集合. （x）［提示］｛-5, 一8｝表示由两个元素一5和一8组成的集合，而｛（-5, -8）｝表示由一个元素（一5, —8）组成的集合.3.若则4中的元素都在B中. N）4.若4nB=ACC,则必有B=C.（x）［提示］4和B的公共元素与4和C的公共元素相同时AAB=AnC,但B和C不一定相等.5.的［皿=0. （7）6.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素. （7）7.函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线. （x）［提示］函数图象不一定连续，也不一定是曲线.8.分段函数由几个函数构成.［提示］分段函数是一个函数.9.所有的函数在其定义域上都具有单调性.［提示］只有少数函数在其定义域上具有单调性.10.任何函数都有最大值或最小值.［提示］一次函数等就没有最值.11.函数的最小值一定比最大值小.12.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.13.若几劝是奇函数，则^-x）+/x）=0.14.指数函数的图象一定在兀轴的上方.15.函数y=2~x的定义域为｛x|xH0｝.(x) (x) (x) (x) (x ) ［提示］y=2_x 的定义域为R.16. 对数运算的实质是求幕指数. 1 r 1 M lo%M17 • lo ^N~log a N'_ M［拽:示］log “亓=log a M —log a N.18. 当0VaVl 时，若x>l,贝ij y=log a x 的函数值都大于零.［提示］题中函数值都小于零.19. 函数y=log 2x 与互为反函数.［提示］函数y=log 2%与丁=才互为反函数.20. 二次函数都是幕函数.［提示］二次函数中只有y=x 2是幕函数.21. 函数的零点是一个点.［提示］函数的零点是函数值等于0时的自变量值，是一个数.22. 若函数y=f(x)在区间(a, 0)上有零点，则一定有»-»<0.［提示］函数在(a, b)上有零»•»的值不能确定，可为正数也可能为负数或者是0.23. 函数» = |x|可以用二分法求其零点. (x) ［提示］» = M 在零点x=0的西侧函数组都是正的，不能用二分法求零点.24. 在一次函数模型中，系数k 的取值会影响函数的性质. (勺)25. 当a>l, ”>0时，在区间(0, +8)上，对任意的兀，总有loga%<x"<aX 成立.(x)26. 在幕函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调性.(心 27. 0的任何指数幕都等于0.(x) ［提示］0的任何非零指数幕等于0.28. j=log 2x 2与y=log*3都不是对数函数.N) 29. y =/(-%)的图象与y=»的图象关于y 轴对称•(7) 30. 函数的定义域、值域确定后，对应法则就确定了. (x)［提示］函数的定义域、值域确定后，对应法则可以不同.如定义域、值域都是［0,1］,对应法则可以为y=x或y=F.咼者真题感悟1.(2018-全国卷I)已知集合A={x\x1-x-2>0},贝>JC R A=()A. {x|~l<x<2}B. {x| —1W X W2}C. {x|%< — 1} U {x\x>2}D. {x|xW — 1} U {x|x$2}B [法一：A={x|(x-2)(x+l)>0} = {x|x<-l 或x>2},所以C R A={X|-10W2},故选B.法二：因为A={x|?-x-2>0},所以[R4={X#—X—2W0}={X|—1W X W2},故选B.]2.(2018-全国卷II)已知集合A={(x, y)|x2+y2^3, x^Z, y^Z},则4 中元素的个数为()A. 9B. 8C. 5D. 4A [将满足x2 + y2^3的整数x, y全部列举出来，即(一1, -1), (—1,0),(- 1,1), (0, -1), (0,0), (0,1), (1, -1), (1,0), (1,1)共有9 个.]3.(2018-全国卷III)已知集合A={x\x-1^0], B={Q,1,2},则AnB=( )A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}C [由题意知,A=[x\x^l},则AQB={1,2}.]fe A> xWO,4.(2018-全国卷I)已知函数J(x)=\ g(x)=j{x)+x+a.若g(x)存在Jn x, x>0,2个零点，则a的取值范围是()A. [-1,0)B. [0, +°°)C. [-1, +°°)D. [1, +°°)C [函数g(x)=/x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程»=-x-a有2 个不同的实根，即函数夬兀)的图象与直线y= —x~a有2个交点，作出直线y=—x —a与函数/(兀)的图象，如图所示，由图可知，一aWl,解得a$ — l,故选C.]X ___ —X5.(2018•全国卷II)函数几力=/的图象大致为()Ji『_ 兀B [当尢V0时，因为e^-e"x<0,所以此时几劝=——<0,故排除A、D；又^l) = e-->2,故排除C,选B.] e。

高一数学必修一总复习教案

一、教学内容：必修一总复习［本讲的主要内容］ 1、集合及其基本运算2、函数的概念及其基本性质3、二次函数与幂、指、对数函数4、函数的应用二、学习目标1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点1、集合的概念与基本运算①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M ，集合A …… ②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；③集合的表示：穷举法、描述法和图示法④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；,{|}{|}{|}U A B x A x B C A B C x x A x B C AB C x x A x B M C A M x x U x A ⊆⇔∀∈∈=⇔=∈∈=⇔=∈∈=⇔=∈∉都有且或且⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。

2、函数的概念与基本性质①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念； ②函数的两大要素：定义域和对应法则；③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法； ④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性； ⑤对分段函数、复合函数的认识。

3、二次函数与幂、指、对数函数 ①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定义区间中）；三个二次的关系；②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的位置关系；③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系；④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。

2019_2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数章末复习教学案新人教A版必修第一册

第4章指数函数与对数函数知识系统整合规律方法收藏1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：学科思想培优一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．1．求定义域[典例1] (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27的定义域是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－2] (2)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 解析 (1)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥27，即⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3，又指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为R 上的单调减函数，所以2x －1≤－3，解得x ≤－1.(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2，得x ∈(－1,0)∪(0,2]．答案 (1)C (2)B2．比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．[典例2] 若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ，错误．答案 C[典例3] 比较三个数0.32，log 20.3,20.3的大小．解解法一：∵0<0.32<12＝1，log 20.3<log 21＝0,20.3>20＝1，∴log 20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y ＝x 2，y ＝log 2x ，y ＝2x 的大致图象，如图所示，画出直线x ＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 20.3<0.32<20.3.3．与指数、对数函数相关的单调性问题[典例4] 是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解设g (x )＝ax 2－x ，假设符合条件的a 存在．当a >1时，为使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增，只需g (x )＝ax 2－x 在区间[2,4]上单调递增，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≤2，g (2)＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1. 当0<a <1时，为使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增，只需g (x )＝ax 2－x在区间[2,4]上单调递减，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，g (4)＝16a －4>0，此不等式组无解．综上可知，存在实数a ，使f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增，a 的取值范围是a >1.二、函数的图象问题对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．1．图象的变换[典例5] 为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg (x ＋3)－1，∴只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lgx ＋310的图象．答案 C2．根据函数解析式确定图象[典例6] 已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (4)g (4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )解析由f (4)g (4)<0知a 2·log a 4<0，∴log a 4<0，∴0<a <1，∴f (x )和g (x )在(0，＋∞)上都单调递减．答案 B三、等价转化思想的体现一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．[典例7] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，当x ∈[－1,1]时，求函数y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值g (a )．解 ∵x ∈[－1,1]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. ∴y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －a 2＋3－a 2. 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 若a <13，则当t ＝13，即x ＝1时， y min ＝19－2a 3＋3＝289－2a 3. 若13≤a ≤3，则当t ＝a ，即x ＝log 13a 时，y min ＝3－a 2. 若a >3，则当t ＝3，即x ＝－1时，y min ＝9－6a ＋3＝12－6A ．综上可知：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13，3－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3，12－6a (a >3). 四、函数零点与方程的解根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视． [典例8] 关于x 的方程x ＋lg x ＝3，x ＋10x ＝3的解分别为α，β，则α＋β等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析将方程变形为lg x ＝3－x 和10x ＝3－x .令y 1＝lg x ，y 2＝10x，y 3＝3－x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y 1＝lg x ，y 2＝10x ，y 3＝3－x 的图象，如图所示．这样方程lg x ＝3－x 的解可以看成函数y 1＝lg x 和y 3＝3－x 的图象的交点A 的横坐标，方程10x ＝3－x 的解可以看成函数y 2＝10x 和y 3＝3－x 的图象交点B 的横坐标．因为函数y 1＝lg x 和y 2＝10x 互为反函数，所以y 1＝lg x 和y 2＝10x 的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A ，B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A ，B 两点的坐标分别为A (α，β)，B (β，α)．而A ，B 两点都在直线y ＝3－x 上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.答案 D[典例9] 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．答案 x 1＜x 2＜x 3解析令x ＋2x ＝0，得2x＝－x ；令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x ；在同一平面直角坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x 的图象，如图可知x 1＜0＜x 2＜1.令h (x )＝x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，所以x ＝1＋52，即x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＞1.所以x1＜x2＜x3.五、函数模型的应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[典例10] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图甲所示：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 与最大积雪深度x 满足一次函数模型y ＝a ＋bx (a ，b 为常数且b ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b ，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．[典例11] 载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0，ln x 是以e 为底x 的对数)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数解析式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e ＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解 (1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2，解得k ＝8，所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8ln m ＋x m. (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x .将y ＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln 479.8479.8－x. 解得x ≈303.3.答：应装载约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．。

高中数学人教A版(2019)必修第一册知识复习(第一章至第四章)学案

必修第一册知识复习一、集合与常用逻辑用语1.集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________．2.常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______．3.表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4.集合间的关系：A⊆B⇔对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5.集合的基本运算：集合{x|x∈A且x∈B}叫做A与B的______ ，记作_______；集合{x|x∈A 或x∈B}叫做A与B的______，记作_______；集合{x|x∉A且x∈U}叫做A的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6.性质：①A⊆A，∅⊆A；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；③A∩A＝A∪A＝A；④A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A；⑤A∩∅＝∅；A∪∅＝A；⑥A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；⑦A∩C U A＝∅；A∪C U A＝U；⑧C U(C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B．7集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用画数轴分析的方法．8.补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与∅）；②容斥原理：cord(A∪B)＝cord A+ cord B- cord(A∩B)9.易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“⊆”；②当A⊆B时，不要忘了A＝∅的情况讨论；10.充分条件与必要条件：若p则q为命题，记为p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件；11.充分条件、必要条件与集合的关系A BB AA＝B13.全称命题和特称命题练习：一．选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则∁U（A∩B）＝（）A．∅B．{0}C．{0，2，4}D．{0，2，4，5} 2．设集合A＝{x|x+1＝0}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1}D．∅3．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知集合A＝{x∈Z|﹣2＜2x＜x+3}，B＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，2}B．{﹣2，0，4}C．{0，2}D．{0，4}5．已知p：x1，x2是方程x2+5x﹣6＝0的两根，q：x1•x2＝﹣6，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|x2+3x﹣4＝0}，集合B＝{x|x2+（a+1）x﹣a﹣2＝0}，且A∪B＝A，则实数a的取值集合为（）A．{﹣3，2}B．{﹣3，0，2}C．{a|a≥﹣3}D．{a|a＜﹣3，或a＝2}7．已知a∈R，则“a＞3”是“1a ＜13”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩∁U B＝∅”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二．多选题9.若集合A，B满足：∃x∈B，x∉A，则下列关系可能成立的是（）A．A⫋B B．A∩B≠∅C．B⫋A D．A∩B＝∅10．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（）A．A∩B＝{0，1，2}B．A∪B＝{x|x≥0}C．（∁U A）∩B＝{﹣1}D．A∩B的真子集个数是711．下列各题中，p是q的充要条件的有（）A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例C．p：xy＞0；q：x＞0，y＞0D．p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；q：a+b+c＝0（a≠0）12．下列结论正确的是（）A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件B．设M⫋N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件三．填空题13．设a∈R，则a＞1的一个充分不必要条件是．14．某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为．15．已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是16.对于任意实数a，b，c，有以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中正确命题的序号是．四．解答题17．在①B＝{x|﹣1＜x＜4}，②∁R B＝{x|x＞6}，③B＝{x|x≥7}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知集合A＝{x|a＜x＜10﹣a}，_______，若A∩B＝∅，求a的取值范围．18.已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}．（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

2019-2020学年新人教A版必修一集合复习学案

学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系；2.盘点重要技能，提炼操作要点；3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．[知识网络][知识梳理]1．本章基本技能梳理本章用到以下技能：(1)运算技能主要表现在求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象．(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题．课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．(6)运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识，了解数学史及发展前沿，以及应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面．2．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质．类型一集合的综合运算例1已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；(2)是否存在a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅？解(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<0或x>2}．∵(∁R A)∪B＝R.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]， ∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．反思与感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．跟踪训练1 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，集合B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解把集合U 及集合A ，B 分别在数轴上表示出来．如图，∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}， ∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2或x ＝3}．类型二函数三要素在实际问题中的应用例2 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ＝－2x ＋24≥0.解得定义域为{x ∈N |0≤x ≤12}．(2)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，x ∈[0,12]且x ∈N .所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920(人)．故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.反思与感悟建立函数模型如本例(1)中的y ＝－2x ＋24，(2)中S ＝－2x 2＋24x 是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束，如本例中x 不能为负值，不能为13等．跟踪训练2 某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50 kg 时，单价为m 元；若一次购买大米超过50 kg 时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了x kg 大米，其费用为y 元，则y 与x 的函数关系式y ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤50，0.9mx ＋5m ，x ＞50解析当0≤x ≤50时，y ＝mx ；当x ＞50时，y ＝50m ＋(x －50)×90%·m ＝0.9mx ＋5m . 类型三函数性质的综合运用例3 函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．反思与感悟题目给出的条件是任意x 1，x 2，那么我们就可以根据自己的需要对x 1，x 2 任意赋值，但关键是你得知道自己想要什么，即清楚自己的变形方向．跟踪训练3 对于函数f (x )＝x 2－2|x |. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1，无最大值．单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N 等于( ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 答案 C解析运用集合的运算求解．M ∩N ＝{－2，－1,0}，故选C.2．已知集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( ) A ．P ＝Q B ．P Q C ．P Q D ．P ∩Q ＝∅答案 B 解析 P ＝{x |y ＝x ＋1}＝[－1，＋∞)，Q ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以Q P .3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.答案 18 －6或4解析 f (－4)＝(－4)2＋2＝18，由f (x 0)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8，得x 0＝－6，或x 0＝4.4．已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}． (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}， ∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1，或4≤x ≤5}． (2)①若A ＝∅，此时2－a ＞2＋a ， ∴a ＜0，满足A ∩B ＝∅.②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅，∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞1，2＋a ＜4， ∴0≤a ＜1.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1)．1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．3．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．4．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．一、选择题1.设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．{x |－2≤x <1} B ．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |1<x ≤2} D ．{x |x <2}答案 C解析阴影部分所表示集合是N ∩(∁U M )，又∵∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴N ∩(∁U M )＝{x |1<x ≤2}．2．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A3．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 A解析由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.4．函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．0＜a ≤15B ．0≤a ≤15C ．0＜a ＜15D ．a ＞15答案 B解析当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a ，∵f (x )在(－∞，4]上为减函数， ∴图象开口朝上，a ＞0且－a －1a ≥4，得0＜a ≤15. 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( ) A ．(1,3) B ．(1,1) C ．(3,1) D ．(12，12)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.6．已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集是( )A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞) 答案 D7．函数y ＝f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x >0时，f (x )>1，且f (3)＝4，则( )A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝2 答案 D解析设x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1) ＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1. ∵x 2－x 1>0，又已知x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在R 上是增函数． ∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1 ＝f (1)＋[f (1)＋f (1)－1]－1 ＝3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2. 二、填空题8．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≥2} 解析如图，可知a ≥2.9．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f (x )，x <0是奇函数，则f (x )＝________.答案 2x ＋3解析设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3.∵g (x )为奇函数，∴f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3.10．已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－m 2)>f (2m )，则实数m 的取值范围是________．答案 (－3,1)解析因为函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数．要使f (3－m 2)>f (2m )，只需3－m 2>2m ，解得－3<m <1. 三、解答题11．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.(1)解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (12)＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 所以函数f (x )＝x1＋x2. (2)证明任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21 ＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0.又∵－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，故f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)解原不等式可化为f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12. 故原不等式的解集为{t |0<t <12}． 12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4(x －a 2)2－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2. 由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (13)<2. 解 (1)在f (x y)＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f (13)<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f (x ＋32)<f (6)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32>0，x ＋32<6，解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3,9)．。

2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版

2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法〖例1★ 点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.〖例2〗已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为；关于直线对称的函数解析式为．答案：；当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代．〖例3〗已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，，求的解析式．解：① 设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故 ∴当时， ② 当时，，且为奇函数∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述，．〖例4〗设函数的定义域为，则下列命题中： ① 若为偶函数，则的图象关于轴对称； ② 若是偶函数，则的图象关于直线对称； ③ 若，则的图象关于直线对称； ④ 若，则的图象关于直线对称； ⑤ 与图象关于直线对称． ⑥ 与图象关于直线对称．其中正确命题的序号为：．答案：④⑥★点评：其中注意④⑤的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称．推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）命题3：函数与的图象关于直线对称．命题4：函数与的图象关于点成中心对称．下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似．证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称思考：情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称．证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为． ∵对于一切的，都有∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点也在函数的图象上由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．【课堂小结】1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关周期性．3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，是研究由函数复合变换后得两个新的函数图象间的关系．【教后反思】2019-2020年高三数学第一轮复习教案数列的求和方法及应用[素质教育目标] 一、知识目标要求学生熟练掌握和运用等差、等比数列的前n 项和的公式及一个数列求前n 项和的基本方法和技巧。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.2.1 指数函数及其性质

知识导图明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．第1课时　指数函数及其性质a>1过点(0,1)时，y＝1x>0时，0<y<1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1单调性是R上的增函数是R上的减函数底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．答案：D A ．a ＝1或2 B ．a ＝1C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1(2)指数函数y ＝f (x )的图象经过点，那么f (4)·f (2)等于(－2，14)________．【解析】　(1)由指数函数的定义得Error!解得a ＝2.1若函数y ＝(3－2a )x 为指数函数，则实数下列函数中是指数函数的是________．(填序号(π)⑥y ＝x .13解析：(1)若函数y ＝(3－2a )x 为指数函数，则Error!解得a <且a ≠1.32(2)①中指数式()x 的系数不为1，故不是指数函数；②中21类型二　指数函数的图象问题如图所示是下列指数函数的图象：的大小关系是( )(1)先由a>1,0<a<1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．(2)由y＝a x过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)1<b<0，则函数y＝a x＋b的图象一定在．第一、二、三象限　B．第一、三、四象限．第二、三、四象限D．第一、二、四象限0<m<n<1，所以y＝m x与y＝n x都是减函数，故排答案：　(1)C 由底数的范围判断函数图象．例3　(1)函数y ＝的定义域是( )(3)2x －1－27A ．[－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－2](2)已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：(1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，≥0，又因为0<<1，所以y ＝的值域为x －213(13)x －2{y |0<y ≤1}．(2)①若a ＞1，则f (x )在[1,2]上单调递增，最大值为a 2，最小值为a ，所以a 2－a ＝，即a ＝或a ＝0(舍去)．a 232)A.答案：A3．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是( )A. B ．[－1,1][1，53][－53，1]讨论：＝ax 过原点且斜率大于1，g (②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数，显然B 正确．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若指数函数y ＝f (x )的图象经过点，则(－2，116)(－3)x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝－1＝3；(13)f (π)＝3π，g (－π)＝－π＝3π；(13)为y＝6×1－1＝5.故选C.答案：C12．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为2x＝a－1有负根，所以x<0，所以0<2x<1.。

2019-2020学年高一数学导学案 1 第1章集合复习新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高一数学导学案 1 第1章集合复习新人教A 版必修1主编：彭小武班次姓名【学习目标】其中1、2是重点和难点1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【课前导学】复习教材第2-14页，找出疑惑之处，完成知识归纳1．什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B = ；A B = ；U C A = .2．交、并、补有如下性质. 你还能写出一些吗？A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = .【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示例1设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=， {}210C x x mx =-+=,AB A AC C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 如果集合A ={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）.A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定2. 集合A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={y |y =4k ，k ∈Z }，则A 与B 的关系为（）.A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃BC ．A =BD ．A ∈B3. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，集合{3,5}B =，则（）.A ．U AB = B ． ()U UC A B =C ．()U U A C B =D ．()()U U U C A C B =4. 满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 . 5. 设集合2{|3}M y y x ==-，2{|21}N y y x ==-，则M N = .【能力提升】可供学生课外做作业1．集合A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，则A ∪B 中元素个数为2．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={（x ，y ）| y=x 2，x ∈R }，则P ∩Q =3．设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .4. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

2019_2020学年高中数学模块复习课课件新人教A版必修1

a>1
图象
0<a<1
定义域
R
值域定点单调性
(0，＋∞)
过点_(_0_，__1_)_，即x＝ 0 时，y＝ 1
是R上的增函数
是R上的减函数
(2)对数函数的图象和性质 a>1
图象
0<a<1
性质
定义域：_(_0_，__＋__∞_)_
值域：__R____
过点(1，0)，即当x＝1时，y＝0
(4)子集的性质 ①若集合A中含有n个元素，则有_2_n_个子集，有_2_n_－__1_个非空子集，有_2_n_－__1_个真子集，有_2_n_－__2__个非空真子集． ②子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. ③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． ④A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数． (×)
[提示] b＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R是偶函数．
n 15.
an＝(n
a)n＝a(n∈N＋)．
(× )
[提示] 注意n的奇偶性．
16．若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.
(× )
[提示] 当a>1时，命题成立．
3．函数模型的应用
(1)三种常见函数模型的增长差异
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
y＝xn(n>0) 增函数
图象的变化
增长速度增长后果
随x的增大逐渐变随x的增大逐渐趋随n值而不
“陡”
于稳定
同