高等数学-第9章 - (偏导数 全微分)

y( y 2 x 2 ) ( x , y ) (0,0) 2 2 2 f x ( x, y) ( x y ) , 0 ( x , y ) (0,0) x( x 2 y 2 ) ( x , y ) (0,0) 2 2 2 f y ( x, y) ( x y ) . 0 ( x , y ) (0,0)
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
0 0
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 ,y0 ) 即f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例6
设 z x y 3 xy xy 1，
3 2 3
解
2z 2z 3z 2z 2z 求 2、 、 、 2及 3. yx xy y x x z z 2 2 3 3 2 3 x y 3 y y , 2 x y 9 xy x ; x y
2 2 2 2 u 1 3 y u 1 3 z 因此 3 5 , 3 5 . 2 2 y r r z r r
1 满足方程 2 u 2u 2u 因此函数 u 2 2 0 r 2 x y z
u u u 2 2 2 x y z 3 3( x 2 y 2 z 2 ) 3 r r5 3 3r 2 3 5 0 r r
定理
如果函数 z f ( x , y )的两个二阶混合偏导
2z 2z 数 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内 yx xy
这两个二阶混合偏导数必相等．
例 7 验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉斯方程 1 2 2 2u 2u ln( x y ), 0 . 2 x 2 y 2
例4
f ( x , y ) x ( y 1) arcsin
2
求f x ( x,1), f x (2,1).
解
x , y
f ( x,1) x ,
2
f x ( 2,1) 4
df ( x ,1) f x ( x ,1) 2 x; dx
(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 例 5
3 2 2z z z 2 3 2 6 y , 2 x 18xy; 2 6 xy , 3 2 x x y 2 z 6 x 2 y 9 y 2 1, x y 2 z 6 x 2 y 9 y 2 1. y x
问题： 混合偏导数都相等吗？ 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
2 2 2
9.3全微分
一、全微分的定义 二、可微的必要和充分条件 三、全微分在近似计算中的应用
例2
设 z x y ( x 0, x 1) ，
x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
证明
z yx y 1 , x
z y x ln x, y
x z 1 z x 1 y 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x
2．偏导数的计算
仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变
量求偏导时，其余的自变量看作常量。
例 1 求 z x 2 3 xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z x 1 2 1 3 2 8 x y 2 z x 1 3 1 2 2 7 y y 2
一、偏导数的定义与计算方法
1. 偏导数的概念
(1) f (x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数
定义
设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某一邻域内
有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相 应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
3 . 偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
连续， 多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
依定义知在( 0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
x y x y 2z.
原结论成立．
说明
u (1)偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
(2)求fx (x0，y0)时，可先将y0代入得
df ( x , y ) d d 0 f ( x , y 0 ) ( x ), 再求 ，即 ， dx dx dx
最后再将x0代入.
（2）偏导函数
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
高等数学
课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. ▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
0 0
f x ( x 0 , y0 ) .
例如，极限(1)可以表示为
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 ,y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 对 y 的偏导数， 为
x (x2 y2 z2 )
2 3 2
3 2
u 2 2 2 ( x y z ) 2 x 5 2 1 3 x 3 2 2 2 x ( )( x y z ) 2 2 x 3 5 . 2 r r
由于函数关于自变量的对称性，所以
9.3全微分
• 1.全微分的概念及计算方法 • 2.全微分在近似计算中的应用
一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数 同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受 到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下， 只随一种因素变化的变化率问题。 反映在数学上就是所谓的偏导数问题，现以二元函 数为例，引入偏导数的概念。
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点 ,
如图
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z 2 f xx ( x, y ), x x x 纯偏导 2 z z 2 f yy ( x, y ) y y y 2 z z f xy ( x , y ), y x xy 混合偏导 2 z z f yx ( x, y ) x y yx
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim (1)存在， x 0 x
则称此极限为函数 处对
z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )
x
的偏导数，记为
x x0 或 y y0
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
xy 2 设 f ( x, y) x y 2 0
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的 偏 导 数 .
解
当( x, y) (0,0)时,
y( x 2 y 2 ) 2 x xy y( y 2 x 2 ) f x ( x, y ) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y ) x( x y ) 2 y xy x( x 2 y 2 ) f y ( x, y ) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y )
2u 2u y2 x2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 0. x y (x y ) (x y )
1 例8 证明函数 u 满足方程 r 2 2 2 2 2 2 u u u r x y z , 其中 2 2 0 2 x y z 1 1 证明 u (x2 y2 z2 ) 2 , x2 y2 z2 3 u 1 2 (x y2 z2 ) 2 2x x 2
2 2
当( x, y) (0,0)时,
按定义可知：
f ( x ,0) f (0,0) lim 0 0, f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0, y 0 y 0 y y
• 第九章 多元函数微分学
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 多元函数的基本概念 偏导数 全微分 多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式 多元函数微分学的几何应用 方向导数与梯度 多元函数的极值 综合例题
9.2偏导数
• 1.偏导数的概念及计算方法 • 2.高阶偏导数
x x0 y y0
(3) 偏导数概念可推广到二元以上的函数
如u f ( x, y, z )在( x, y, z )处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
u x u y , 解 2 , 2 2 2 x x y y x y 2u ( x 2 y 2 ) x 2x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y )
2u ( x 2 y 2 ) y 2 y x2 y2 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y
z f 的偏导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
说明
f x ( x0 , y0 ) f x ( x, y )
x x0 y y0
f y ( x 0 , y0 ) f y ( x, y )