数学---山东省济宁市第一中学2017届高三上学期期中考试(理)
2017届山东省济宁市曲阜师大附中高三上学期期中考试理科数学试题及答案
2017学年度第一学期第一学段模块监测高三数学试题（理）（考试时间：120分钟；满分：150分）1l注意事项：[来源:学#科#网]1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题《本大题共i2小题，每小题5分，共60分） A. B. C. D.1 .设集合{}{}2|20,|lg(1)0A x x x B x x =-?-?，则A B ( ) A. {}|12x x ＃ B. {}|12x x <? C. {}|10x x -<< D.{}|2x x £2. 1x ³是x>2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程的倾斜角为( )A .0 B. 4p C. 1 D. 2p4. 在ABC D 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且22222c a b ab =++，则ABC D 是( )A. 钝角三角形 B ．直角三角形 C. 锐角三角形 D.等边三角形5. 将函数sin y x =的图象向左平移(02)j jp ＃个单位后，得到函数sin()6y x p=-的图象，则j 等于( ) A ．6p B ．56p C ．76p D.116p6.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，那么()f x 在[1，3]上是( )A. 增函数B.减函数 C ．先增后减的函数 D.先减后增的函数7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a>b ）的图象如下左图，则函数()x g x a b =+的图象是[来源:Z_xx_]8．函数(4)ln(2)()3x x f x x --=-的零点有( )A ．0个B ．1个 C.2个 D ．3个9.若1(,),tan()247a p p p a?=，则sina( ) A ．35 B ．45C. 35- D ．45-10.若命题“[]1,1,1240x x a x "?++?”是假命题，则实数a 的最小值为( )A. 2 B ．34- C ．-2 D ．-6 ll. ,e p 万分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A. 2log (log )2e e p p +>B. log log 1e p >C. e e e e p p ->-D. 333()4()e e p p +<+ 12.给出下列四个结论：①若命题2000:,10p x R x x $++<，则2:,10p x R x x 匚++?; ②“(3)(4)0x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件； ③命题“若m >0，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-= 没有实数根，则0m £”； ④若0,0,4a b a b >>+=，则11a b+的最小值为1． 其中正确结论的个数为( )A ．1 B.2 C ．3 D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知函数22,1()2log ,1x x x f x x x ì-?ï=í>ïî则{}|()2x f x >=________14.不等式2112x x ++-<的解集为_____________.15．已知(,)x y 满足10202x y x y x ì-+?ïï+-?íï£ïî，则24x y 的最大值是____________．16.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R Î恒有(1)()f x f x +=-，已知当[]0,1x Î时, ()3x f x =.则[来源:学科网]①2是()f x 的周期；②函数()f x 在(2，3)上是增函数； ③函数()f x 的最大值为l ，最小值为0； ④直线x=2是函数()f x 图象的一条对称轴．其中所有正确命题的序号是____________________________. 三、解答题{本大题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）已知函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-?的值域为集合B ． (1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A B ，求实数a 的取值范围． 18.(本小题满分12分)已知函数()2cos f x x x =- (1)若[]0,x p Î，求()f x 的最大值和最小值；(2)若()0f x =．求22cos sin 12)4xx x p--+的值，19．（本小题满分12分）已知函数321()2f x x x bx c =-++。
山东省邹城市第一中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)
20172018学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求解不等式可得：，则集合.本题选择A选项.2. 已知函数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件得所以 ,选B.4. 等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得所以 ,选A.5. 已知锐角的内角的对边分别为中，，且满足，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，△ABC为锐角三角形，则，由余弦定理有：，整理可得：，边长为正数，则.本题选择C选项.6. 函数的零点的个数是( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以共有3个零点,选B.7. 若变量，且满足线性约束条件，则目标函数的最大值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，观察可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择C选项.8. 已知函数的周期为若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的解析式即：，结合最小正周期公式有：将其图像沿轴向右平移个单位所得函数解析式为，该函数图像关于坐标原点对称，则当时：，故，取可得：.本题选择D选项.9. 用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A. B. C. D.【答案】D【解析】等式的左边为等式的左边为所以需要增乘的代数式是,选D.10. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以,选A.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．11. 已知命题：“若，则”的命题是“若，则”；函数，则“是偶函数”是“的充分不必要条件”则下述命题①；② ；③ ；④ ，其中的真命题是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】为真命题；因为函数时“是偶函数”是“的必要不充分条件，所以为假命题，因此为真命题，选C.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.12. 在所在平面上有三点，满足,则的面积与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，为线段的一个三等分点，同理可得的位置，的面积为的面积减去三个小三角形面积，，∴面积比为,故选B．考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系．【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，则等于__________.【答案】【解析】由题意可得：，则：，据此有：.14. 若，则的由小到大的顺序关系是__________.【答案】【解析】 , ,所以15. 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为__________.【答案】【解析】因为前n行共有所以数表中的应记为16. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】作函数图可知，，所以实数的取值范围是点睛：对于方程整数解的问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数,部分图像如图所示，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为第三象限的角，，试求的值.【答案】(Ⅰ),，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合三角函数的性质可得,，；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，据此可得，结合同角三角函数基本关系有试题解析：（Ⅰ）由题中图可知,周期，，由图知，,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即，又为第三象限的角，18. 已知数列的前项和为，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设数列的首项，其前项和为，且点在直线上，求数列的前项和【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系，再整理成等比数列形式，最后根据等比数列定义给予证明（2）先根据等差数列定义求通项公式，得，再根据和项与通项关系求数列通项公式，最后利用错位相减法求试题解析：（Ⅰ）由，①得，②①-②，得，，由①得是以为首项，公比为的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，点在直线上，，是以为首项，公差为的等差数列，当时，，又满足上式，，，③，④③-④，得，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（Ⅰ）若,试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将角的关系得边的关系，再根据，利用余弦定理得，解得，从而确定三角形形状（2）先根据二倍角公式以及配角公式将代数式转化为基本三角函数，再根据钝角条件确定自变量范围，最后根据正弦函数形状确定取值范围试题解析：（Ⅰ）由正弦定理及，得三内角成等差数列，，由余弦定理，得，，又为正三角形，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，中由题意，知，所求代数式的取值范围是20. 我市某矿山企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件该产品需另投入万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（Ⅰ）写出年利润（万元）关于产品年产量（千件）的函数关系式；（Ⅱ）问：年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？注：年利润=年销售收入-年总成本.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当年产量为千件时，该企业生产的此产品所获年利润最大.（2）对x进行分类讨论，分当和当两种情况进行讨论，根据导数在求函数最值中的应用，即可求出结果．试题解析：解：（1）当时，。
山东省济宁市邹城一中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含解析
2016-2017学年山东省济宁市邹城一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣12．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．33．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减5．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．27．下列不等式恒成立的个数有（）①ab≤（）2≤（a，b∈R）；②若实数a＞0，则lga+≥2；③若实数a＞1，则a+≥5．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．设=（）A．B．C．D．29．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）A．，3]B．，6] C．[3，12] D．，12]10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=则当x∈[﹣4，﹣2）时，函数f（x）≥﹣t+恒成立，则实数t的取值范围为（）A．2≤t≤3 B．1≤t≤3 C．1≤t≤4 D．2≤t≤4二、选择题：本大题共5小题；每小题5分，共25分）11．已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于．12．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．13．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．14．已知a=（e x+2x）dx（e为自然对数的底数），函数f（x）=，则f（a）+f（log2）=．15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为．三、解答题：（大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的单调递增区间．17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年山东省济宁市邹城一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，M是x﹣a=0的解集，而x﹣a=0⇒x=a；故M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，①N=∅，则a=0；②N≠∅，则有N={}，必有=a，解可得，a=±1；综合可得，a=0，1，﹣1；故选D．2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．3【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，∴﹣2z1z2+=3，∴2z1z2=2﹣3=﹣1；∴|z1+z2|===1．故选：C．3．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．4．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C5．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．2【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．7．下列不等式恒成立的个数有（）①ab≤（）2≤（a，b∈R）；②若实数a＞0，则lga+≥2；③若实数a＞1，则a+≥5．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质即可判断．【解答】解：①ab≤（）2≤（a，b∈R），恒成立，故正确，②若实数a＞0，则lga+≥2；当a＞1时，才能恒成立，故不正确，③若实数a＞1，则a+=a﹣1++1≥2+1=5，当且仅当a=3时取等号，故正确故选：C8．设=（）A．B．C．D．2【考点】数列与向量的综合．【分析】运用三角函数的诱导公式，化简向量，，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（cos，sin+cos）=（cos，﹣sin+cos）=（，），=（cos，sin+cos）=（cos0，sin0+cos0）=（1，1），即有•=×1+×1=﹣．故选：B．9．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）A．，3]B．，6] C．[3，12] D．，12]【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（﹣1）的值域，设z=2b ﹣c，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=则当x∈[﹣4，﹣2）时，函数f（x）≥﹣t+恒成立，则实数t的取值范围为（）A．2≤t≤3 B．1≤t≤3 C．1≤t≤4 D．2≤t≤4【考点】函数恒成立问题．【分析】根据条件，只要求出函数f （x ）在x ∈[﹣4，﹣2）上的最小值即可得到结论．【解答】解答：解：当x ∈[0，1）时，f （x ）=x 2﹣x ∈[﹣，0]当x ∈[1，2）时，f （x ）=﹣（0.5）|x ﹣1.5|∈[﹣1，]，∴当x ∈[0，2）时，f （x ）的最小值为﹣1， 又∵函数f （x ）满足f （x +2）=2f （x ），当x ∈[﹣2，0）时，f （x ）的最小值为﹣，当x ∈[﹣4，﹣2）时，f （x ）的最小值为﹣， 若x ∈[﹣4，﹣2]时，f （x ）≥﹣t +恒成立，∴≥﹣t +恒成立．即t 2﹣4t +3≤0， 即（t ﹣3）（t ﹣1）≤0， 即1≤t ≤3， 即t ∈[1，3]， 故选：B ．二、选择题：本大题共5小题；每小题5分，共25分）11．已知向量=（1，），向量，的夹角是， •=2，则||等于 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵||=又∵即：∴故答案为：212．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n﹣1）．【考点】归纳推理．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．13．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b 的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围【解答】解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍，如图所示；由图知当点为（2，0）时斜率最小，为=；当点为（0，4）时斜率最大，为=；所以的取值范围是（，）．故答案为：（，）．14．已知a=（e x+2x）dx（e为自然对数的底数），函数f（x）=，则f（a）+f（log2）=7．【考点】定积分的简单应用．【分析】确定被积函数的原函数，求得定积分的值，即可得到a的值，再由分段函数的取值范围，直接代入即可．【解答】解：∵（e x+x2）′=e x+2x，∴a=（e x+2x）dx=（e x+x2）=﹣e1+1﹣e0=e，又由函数f（x）=，则f（e）=lne=1，，故f（a）+f（log2）=7．故答案为：7．15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（1，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=＜0，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为＜，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．三、解答题：（大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过函数经过的特殊点，求φ的值；（2）利用函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）表达式，然后通过正弦函数的单调增区间求函数g（x）在[﹣，]上的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）===．又函数图象过点（，）．所以，又0＜φ＜π，所以φ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知f（x）=，将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，可知g（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为x∈，所以，由和知函数g（x）在上的单调递增区间为和﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为﹣﹣﹣﹣．则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣函数的定义域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．在开区间内，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x ＜x 1时，V'（x ）＞0；当时，V'（x ）＜0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因此x 1是极大值点，且在区间内，x 1是唯一的极值点，所以是V （x ）的最大值点，并且最大值即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n +1）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n （n +1）﹣（n ﹣1）n=2n ，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n ．（Ⅲ）=n （3n +1）=n•3n +n ，所以T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =（1×3+2×32+3×33+…+n×3n ）+（1+2+…+n ），令H n =1×3+2×32+3×33+…+n ×3n ，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n （n +1）﹣（n ﹣1）n=2n ， 知a 1=2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n}的前n项和…19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，由∠DBE=60°，推导出DE=3，AF=，由此利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．（Ⅲ）设M（t，t，0）．则=（t﹣3，t，0），用向量法能确定点M坐标为（2，2，0），使得AM∥平面BEF．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．…2分∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．…4分（Ⅱ）解：∵DA，DC，DE两两垂直，∴建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．∵BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，…5分∴=，由AD=3，知DE=3，AF=．…6分则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），C（0，3，0）∴=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2），…7分设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则，即，令z=，则n=（4，2，）．…8分∵AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0），∴cos＜n，＞===．…9分∵二面角为锐角，∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…10分（Ⅲ）解：点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则=（t﹣3，t，0），∵AM∥平面BDE，∴=0，…11分即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．…12分此时，点M坐标为（2，2，0），BM=BD，符合题意．…13分20．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（﹣1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．（Ⅱ）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…由为偶函数，得为偶函数，显然有．…又k （﹣1）=0，所以a ﹣b +c=0，即．…又因为对一切实数x 恒成立，即对一切实数x ，不等式恒成立．…显然，当时，不符合题意．…当时，应满足，注意到，解得．… 所以． …（Ⅱ）证明：因为，所以．…要证不等式成立，即证．…因为，…所以=．所以成立．…21．已知函数f （x ）=lnx +（a +1）x 2+1．（Ⅰ）当时，求f （x ）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a ＜0时，有f （x ）＞1+ln （﹣a ）恒成立，求a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当时，f （x ）=﹣+1，可得．分别由f′（x ）≥0；由f′（x ）≤0解出，即可得出函数的单调性极值与最值． （Ⅱ），x ∈（0，+∞）．对a 分类讨论：当a +1≤0，即a ≤﹣1时；当a ≥0时；当﹣1＜a ＜0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a ＜0时，f min （x ）=，f （x ）＞1+ln （﹣a ）恒成立等价于，化为ln （4a +4）＞﹣1，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）当时，f （x ）=﹣+1，∴．∵f （x ）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x ）≥0 得；由f′（x ）≤0 得．∴f （x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x ）min ==．（Ⅱ），x ∈（0，+∞）．①当a +1≤0，即a ≤﹣1时，f′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减； ②当a ≥0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a ＜0时，由f′（x ）＞0，得，解得．∴f （x ）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增；当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在单调递增，在上单调递减；当a ≤﹣1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a ＜0时，f min （x ）=，f （x ）＞1+ln （﹣a ）恒成立等价于，化为ln （4a +4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a ＜0，∴a 的取值范围为．2017年4月6日。
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1} 2．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，那么log2a10=（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．B． C．D．6．（5分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]7．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C． D．π8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（）A．B．C．0 D．19．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．310．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥211．（5分）直线y=m分别与曲线y=2（x+1），与y=x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A．B．2 C．3 D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1﹣f'（x），f（0）=0，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．14．（5分）已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=．15．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，．（1）求sin∠BAC的值；（2）设BC的中点为D，求中线AD的长．18．（12分）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．19．（12分）已知函数．若f （x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．20．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=9，a2+a8=18，数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）若曲线g（x）=f（x）+﹣1在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若m＞n＞0，求证＜．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）2017-2018学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}【解答】解：集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，A∪B={x|x＜3}，故选：D．2．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数==对应的点位于第四象限．故选：D．3．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减【解答】解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C．4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，那么log2a10=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵a3a11=16，∴=16，∵a n＞0，∴a7=4．∴a10=a7q3=4×23=25，∴log2a10=5，故选：B．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3，∴f′（x）=e x+4＞0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f（）=+1﹣3＜0，f（）=+2﹣3=﹣1＞0，∴f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：C．6．（5分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．7．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C． D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（）A．B．C．0 D．1【解答】解：∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），故f（2017.5）=f（504×4+1.5）=f（1.5）=f（0.5）=（0.5）3=，故选：B．9．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【解答】解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【解答】解：当x1∈[，1]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在[，1]单调递减，∴f（1）=5是函数的最小值，当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，∴g（2）=a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即5≥a+4，解得：a≤1，故选：A．11．（5分）直线y=m分别与曲线y=2（x+1），与y=x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A．B．2 C．3 D．【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），则2（x1+1）=x2+lnx2，∴x1=（x2+lnx2）﹣1，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+1，令y=（x﹣lnx）+1，则y′=，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数的最小值为，故选：D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1﹣f'（x），f（0）=0，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f′（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x﹣1，∴g（x）＞﹣1，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=﹣1，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．14．（5分）已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=﹣．【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，则tan（2α+）==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，+x n=2×（+++…+）=2×将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1×30=445π．故答案为：445π．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，．（1）求sin∠BAC的值；（2）设BC的中点为D，求中线AD的长．【解答】解：（1）因为，且C是三角形的内角，所以．所以sin∠BAC=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．（2）在△ABC中，由正弦定理，得，所以，于是．在△ABC中，，所以由余弦定理得=．即中线AD的长度为．18．（12分）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．设{a n}的公差为d，则由题意知解得（舍去）或，∴a n=2+（n﹣1）×1=n﹣1．（2）∵，∴．19．（12分）已知函数．若f （x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）=，∴4π=，解得ω=．∴f（x）=sin．由+2kπ≤+≤+2kπ，解得4kπ﹣≤x≤+4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，+4kπ]，k∈Z．（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，∴cosB=，B∈（0，π），∴B=．函数f（A）=sin，∵A∈，∈．∴f（A）∈．20．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=9，a2+a8=18，数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3，∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9，∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2，∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵S n=2b n﹣2，=S n+1﹣S n=2b n+1﹣2b n，∴b n+1即b n=2b n，+1又b1=2b1﹣2，∴b1=2，∴数列{b n}是以首项和公比均为2的等比数列，∴b n=2•2n﹣1=2n；∴数列{a n}和{b n}的通项公式分别为：a n=2n﹣1、b n=2n；（2）由（1）知=，∴T n=++…+，∴T n=++…++，两式相减可得T n=+++…++=+﹣=+1﹣﹣=﹣，∴T n=3﹣．21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）若曲线g（x）=f（x）+﹣1在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若m＞n＞0，求证＜．【解答】解：（1）由f（x）=lnx．（x＞0），g（x）=lnx+﹣1，求导g′（x）=﹣．∵曲线g（x）在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，∴g′（2）=﹣=﹣，则a=4，实数a的值4；（4分）（2）证明：∵m＞n＞0，∴＞1，要证＜．，即证＜ln，（6分）令=x，（x＞1，h（x）=lnx﹣，（x＞1），求导h′（x）=﹣=，当x＞1时，h′（x）＞0，（8分）∴在（1，+∞）上是增函数，则h（x）＞h（1）=0，∴＜ln，∴＜．（12分）22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）【解答】解：（1）∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴x＞1，，∵x＞1，∴当k≤0时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．（2）∵f（x）≤0恒成立，∴∀x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0，∴∀x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，∴k＞0．由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，解得k≥1．故实数k的取值范围是[1，+∞）．（3）令k=1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，则2lnn≤n2﹣1，即，n≥2，∴且n＞1）．。
(解析版)山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学
济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出．详解：复数，故选A.点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2. 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．3. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：然后计算即可.详解：由题可得，故=，故选A.点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点，法向量为的直线的点法式方程为，化简得，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为：，化简得，故选B.点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5. 若函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数，因为lnx是在定义域内单调递增，在也为增函数故函数在为增函数，所以只需：得,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6. 抛物线在点处切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据点在第一象限得到表达式，然后求导根据切线方程的求法即可得出结论.详解：由题可得，，故切线的斜率为倾斜角是，故选A.点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题.7. 直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由得出函数为奇函数，故排除A,B，再令x=π得，故排除D，选C.点睛：考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案.9. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：令，故得函数在单调递增，在单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出是解题关键.10. “”是个很神奇的数，对其进行如下计算：，，，，，如此反复运算，则第次运算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题可得要计算第次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论.详解：进行如下计算：，，，，，故周期为8，故第次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11. 若正数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先将问题变形为：，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决.详解：由题可得：，点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.12. 已知函数的零点为，，且，那么下列关系一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：可先分析函数的单调性，然后结合草图即可得出结论.详解：由题可得：定义域为：，令当x>0时>0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况：，故A、B正确，或故C正确，故选D.点睛：考查导函数得单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若复数为纯虚数，则实数__________．【答案】3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式，解出即可.详解：由题可得，故答案为3.点睛：考查复数的分类，属于基础题.14. 济宁市2018年中考有所高中招生，如果甲、乙、丙名同学恰好被其中的所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．【答案】270【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C31C22A102=270．故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15. 若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为__________．【答案】【解析】分析：先分离参数，然后结合xlnx的单调性和草图即可得出结论.详解：令令，有定义域可得f（x）在递减，递增，如图：，故只有一解得：得，故答案为点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16. 若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由题可得只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a的范围．点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数在处取得极小值，求的极大值.【答案】见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.详解：因为，所以，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.18. 已知，求证：（1）；（2）与至少有一个大于.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，要证，只需证.继续往下推理即可（2）反证法：假设且，则，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为，所以和都是正数，所以要证，只需证.只需证，只需证，只需证，只需证.因为成立，所以.（2）证法一：假设且，则又因为，所以，这与矛盾.所以与至少有一个大于.证法二：因为，所以，所以，所以而与的大小关系不确定，所以与至少有一个大于.点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题. 19. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在区间上的最大值.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见解析.【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论. 详解：（1），由，解得；由，解得.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）可知：①当时，，在上是增函数，所以此时；②当时，，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；③当时，在上是减函数，所以此时.综上，函数在区间上的最大值；当时，为；当时，为；当时，为.点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20. 某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量（单位：百千克）与购买饲料费用（）（单位：百元）满足：.另外，饲养过程中还需投入其它费用.若中华鲟的市场价格为元/千克，全部售完后，获得利润元.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)见解析;(2)当时，利润最大，最大利润是元.【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得，.（2），由，解得（舍）或.当时，，所以利润函数在上是增函数；当时，，所以利润函数在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为所以当时，利润最大，最大利润是元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到，然后分析函数的单调性只需求出其最大值即可得a的取值范围.（1）当时，，所以，所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，整理得.（2）因为函数的定义域是，即为，可化为.设，依题意，.，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，，所以在上是增函数；当时，，，所以在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.所以的取值范围是.点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.22. 设函数有两个零点，，且.（1）求的求值范围；（2）求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）要保证函数有两个不同的零点，，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a的影响；（2）由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且，故再构造函数，只需分析出单调性即可得证.（1）解法一：.①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点.②当时，由，解得，所以若，则，所以在上是减函数；若，则，所以在上是增函数.所以当时，取得极小值，也是它的最小值..因为，，所以若使有两个零点，只需，解得. 综上，实数的取值范围是.解法二：题意方程有两个不等实根，易知其中，所以题意方程有两个不等实根函数与的图象有两个不同的公共点.设，则，所以当或时，，所以在和上是减函数；当，，所以在上是增函数，所以当时，取得极小值.又因为，，，，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，观察图形可知当时，二者有两个不同的公共点.所以实数的取值范围是.（2）证明：由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且.因为，所以当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数.设，则，所以当时，，所以在上是减函数，所以，即，即，即.又因为，所以，所以.点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.。
山东省济宁市第一中学高一数学上学期期中试题(扫描版)
山东省济宁市第一中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题（扫描版）济宁市第一中学2016—2017学年度第一学期高一年级期中模块检测数学试题答案 一．选择题 【答案】（1）B （2）A （3）D （4）D （5）C （6）D （7）C （8）B （9）C （10）A （11）B （12）A 【详解】（1）B 【详解】因为]3,1(-=A ，所以=N A }3,2,1,0{. （2）A 【详解】依题意，可知0≥a ，所以=-=∙-=∙-21613163a a a a a a -.（3）D 【详解】由⎩⎨⎧≥-≠.01,0x x 解得1≤x 且0≠x ，所以函数x x x f -=0)(的定义域是]1,0()0,( -∞.（4）D 【详解】因为121≤≤x ，所以211≤≤x ，所以4221≤≤x ，所以函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=1212)(1x x f x 的值域是]4,2[. （5）C 【详解】因为a17log 5lg 7lg 5==，所以5log 7=a ，所以5775log 7==a . （6）D 【详解】A 中几何体的正视图中应该画矩形的另一条对角线，且是虚线，故（A ）错误；（B ）中几何体的正视图中的对角线应该是虚线，故B 错误；C 中几何体的正视图中的对角线应该是另一条，故C 错误.（7）C 【详解】在同一坐标系中，分别画出函数2x y =和3+=x y 的图象，发现二者只有一个交点.设3)(2--=x x x f ，则036)3(,021)2(,03)1(,03)0(>-=<-=<-=<-=f f f f ，所以方程32+=x x 的解所在的区间是)3,2(.（8）B 【详解】当0>x 时，012>-x ，)12ln()(-=x x f ，它是增函数，排除A.同理，当0<x 时，函数)(x f 是减函数，且0)(<x f ，排除C 、D.（9）C 【详解】因为310<<a ，所以310a a a a >>，即1<<r t ；又因为131log log 3131=>=a s ，所以t r s >>. （10） A 【详解】当1-<x 时，01<+x ，不等式可化为42≤-，恒成立；当1-=x 时，01=+x ，不等式可化为41≤-，恒成立；当1->x 时，01>+x ，不等式可化为422≤+x ，解得1≤x ，所以此时11≤<-x .综上1≤x .（11）B 【详解】因为函数x y 3=与3x y =在R 上都是增函数，所以33)(x x f x +=在R 上也是增函数.又因为10054)3(<=f ，100145)4(>=f ，所以43<<x ，所以=][x 3.（12）A 【详解】函数)(x f 有两个不同的零点，可转化为函数x y a log =与x y -=3的图象有两个交点，在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图象，观察图象，可知若使二者有两个交点，须使10<<a ；而若使)4,3(2∈x ，又须使⎩⎨⎧-><.14log ,03log a a 解得410<<a .二．填空题 【答案】（13）2 （14）)16,4( （15）2 （16）),2()1,0(+∞ 【详解】（13）2 【详解】由0)(=x f 解得0=x 或2=x ，又因为01>-x ，所以2=x .（14）)16,4(【详解】依题意，可知幂函数为2x y =，指数函数为x y 2=，所以它们图象的另一个交点是)16,4(. （15）2【详解】令21=x ，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛21121f f ，所以2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ；令4=x ，可得22211)4(=⨯+=f .（16）),2()1,0(+∞ 【详解】易知函数)(x f 是奇函数且为R 上的增函数，且2)1(=f ，所以不等式02log 21>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a f 可化为)1()2(log f f a <，可化为12log <a .当10<<a 时，不等式12log <a 恒成立；当1>a 时，可得2>a .综上，实数a 的取值范围是),2()1,0(+∞ . 三．解答题（17）解：不等式2)1(log 2<+x 等价于410<+<x ，解得31<<-x ，所以)3,1(-=B ．………4分又因为),1[}232|{+∞=-≥-=x x x A ，所以),1(+∞-=B A ．………7分 因为)1,(-∞=A R，所以（A R） )1,1(-=B ．………10分（18）解：（Ⅰ）由)1()0(f f =，可知函数)(x f 图象的对称轴为直线21=x ，所以212=-m ，解得1-=m ，所以n x x x f +-=2)(．因为方程x x f =)(即022=+-n x x 有两个相等的实数根，所以其根的判别式04)2(2=--=∆n ，解得1=n ．所以1)(2+-=x x x f ．………6分（Ⅱ）因为43211)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f ，所以当21=x 时，43)(min =x f ，且3)2()(=<f x f ．所以函数)(x f 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,43．………12分（说明：若用数形结合求解，对图象特征及函数性质必须有文字说明，否则酌情扣分）（19）解：（Ⅰ）设αx x f =)(，依题意，可得39=α，所以21=α，所以21)(x x f =．所以228)8(21===f m ．…………4分（Ⅱ）函数)(log )(x f x g a =即为x x g alog )(=，又因为]6,4[∈x ，所以…………6分①当10<<a 时，6l o g )(m i n a x g =，4log )(max a x g =，由132l o g 6l o g 4l o g ==-aa a ，解得32=a ；………9分 ②当1>a 时，4log )(min a x g =，6log )(max a x g =，由123log 4log 6log ==-a a a ，解得23=a ． 综上，实数a 的值为32或23．………12分 （20）解：（Ⅰ）因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-，且0)0(=f ． 设0<x ，则0>-x ，所以)(23)(x f x x x f -=-+-=-，所以23)(+-=xx x f ．…………4分 所以函数)(x f 的解析式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=<+-=.0,23,0,0,0,23)(x x x x x x x x f …………6分 （Ⅱ）当0<x 时，由023=+-xx ，解得1=x （舍去）或3-=x ；…………9分 当0>x 时，由023=--xx ，解得1-=x （舍去）或3=x ．所以函数)(x f 的零点为3,0,3-．…………12分（21）解：（Ⅰ）依题意，可得)90(5.28.0)10(25.0t t x -⨯=-，整理得x 关于t 的函数解析式为108720--=t tx ．…………4分（Ⅱ）解法一：设403021≤<≤t t ，则)10)(10()(640108*********)()(2112221121---=-----=-t t t t t t t t t x t x因为403021≤<≤t t ，所以0,0)10)(10(1221>->--t t t t ，所以0)10)(10()(6402112>---t t t t ，即0)()(21>-t x t x ，所以)()(21t x t x >，所以)(t x 在]40,30[上为减函数．…………10分 所以241030308720)30()(max =-⨯-==x t x ，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用． (12)分解法二：由108720--=t t x ，可得810720++=x xt ．…………6分由]40,30[∈t ，可得4081072030≤++≤x x，因为08>+x ，所以)8(472)8(3+≤+≤+x x x ，解得24340≤≤x ． 所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…………12分（22）解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧>->+.01,01x x 解得11<<-x ，所以函数)(x f 的定义域为)1,1(-．………………2分（Ⅱ）依题意，可知)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-，即=++-)1(l o g )1(l o g 22x a x )1(l o g )1(l o g 22x a x -++，即0)]1(log )1()[log 1(22=--+-x x a ，即011log )1(2=-+-xxa 在)1,1(-上恒成立，所以1=a ．…………6分 （说明：用特殊值求解，没有代回验证过程，只给2分）（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）可知)1(log )1(log )1(log )(2222x x x x f -=-++=，所以t x x x g 21)(2--+=，它的图象的对称轴为直线21-=x ．…………8分依题意，可知)(x g 在)1,1(-内有两个不同的零点，只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=⎪⎭⎫⎝⎛->--=-.021)1(,024521,021)1(t g t g t g 解得2185-<<-t ．所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛--21,85．…………12分解法二：由（Ⅱ）可知)1(log )1(log )1(log )(2222x x x x f -=-++=，所以t x x x g 21)(2--+=．…………7分依题意，可知)(x g 在)1,1(-内有两个不同的零点，即方程122-+=x x t 在)1,1(-内有两个不等实根，即函数t y 2=和12-+=x x y 在)1,1(-上的图象有两个不同的交点. …………8分 在同一坐标系中，分别作出函数)11(12<<--+=x x x y 和t y 2=的图象，如图所 示. …………11分 观察图形，可知当1245-<<-t ，即2185-<<-t 时，两个图象有两个不同的交点.所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛--21,85．…………12分ty 2=。
山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。
山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
【全国百强校】山东省济宁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．23i i -=+（ ） A ．1122i - B ．1122i + C ．1122-+i D ．1122i -- 2．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）． A ．121k + B ．112224k k -++ C ．121k -+ D ．112122k k -++ 3．在复平面内，若复数1z 和2z 对应的点分别是(2,1)A --和(3,2)B ，则12z z ⋅=（ ） A ．47i -- B ．87i -- C ．47i - D ．87i - 4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(12)P ，，法向量为(23)n =-，的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(121)P -，，，且法向量为(231)n =-，，的平面的点法式方程应为（ ） A ．2350x y z -++=B ．2330x y z --+=C ．2370x y z ++-=D ．2390x y z +--= 5．若函数1()ln f x x x =-，则不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为（ ） A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭，6．抛物线24y x =在点(3，处切线的倾斜角是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．150︒ 7．直线3y x =与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是（ ）A ．3B ．92C ．6D ．98．函数cos 3()0sin 23x f x x x x x ππ⎛3⎫⎡⎤=∈-≠ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，，且的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(10)-∞-， B ．(10]-∞-， C ．(10)+∞， D ．[10)+∞，10．“24”是个很神奇的数，对其进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，，如此反复运算，则第2018次运算的结果是（ ）A ．4B ．16C ．20D ．37 11．若正数m ，n 满足22m n +=，则142m n mn ++的最小值为（ ） A ．12 B ．16 C ．18 D ．2412．已知函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，1230x x x >>>，且123()()()0f x f x f x ⋅⋅<，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ．01x x >B ．03x x >C ．02x x <D ．03x x <二、填空题13．若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a =__________．14．济宁市2021年中考有10所高中招生，如果甲、乙、丙3名同学恰好被其中的2所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．15．若方程ln 1mx x =恰有一个实数解，则实数m 的取值集合为__________．16．若函数ln()x y e x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．已知函数2()()f x x x c =-在1x =处取得极小值，求()f x 的极大值.18．已知0a b >>，求证：（1>（2）1a b +与1b a+至少有一个大于2. 19．已知函数()x x f x e =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，求函数()x 在区间[2]a a ，上的最大值.20．某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量m （单位：百千克）与购买饲料费用x （05x <≤）（单位：百元）满足：21x m x =+.另外，饲养过程中还需投入其它费用3x .若中华鲟的市场价格为32元/千克，全部售完后，获得利润y 元.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，利润最大，最大利润是多少元？21．已知函数()ln 1a f x x x=+-. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）若0x ∀>，()1f x a ≥-，求a 的取值范围.22．设函数2()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <.（1）求a 的求值范围；（2）求证：121x x +>.参考答案1．A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出． 详解：复数22-i)(3)55113101022i i i i i ---===-+（，故选A. 点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k -+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．3．A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：122,32z i z i =--=+然后计算12z z ⋅即可.详解：由题可得122,32z i z i =--=+，故12z z ⋅=2643247i i i i ----=--，故选A. 点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4．B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点()121P -，，，且法向量为()231n ，，=-的平面的点法式方程应为：2(1)3(2)(1)2330x y z x y z --+-++=-++-=，化简得2330x y z --+=，故选B. 点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5．C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数()1ln f x x x =-，因为lnx 是在定义域内单调递增，1x-在(0,)+∞也为增函数故函数()1ln f x x x =-在(0,)+∞为增函数，所以只需：1210x x ->->得12<23x <,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6．A【解析】分析：先根据点(3在第一象限得到表达式y =即可得出结论.详解：由题可得y ='y=3⇒倾斜角是30︒，故选A. 点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题. 7．B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.详解：如图所示：有定积分的几何意义和图形对称性可得阴影区域面积为：32403192(242x x x x -=-==，故选B. 点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8．C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由cos ()()sin x f x f x x x -==--+得出函数为奇函数，故排除A,B ，再令x=π得1()0f ππ=-<，故排除D ，选C.点睛： 考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案. 9．D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：2'()336,f x x x =--+令'()021,'()012f x x f x x x >⇒-<<⇒<-或，故得函数在(2,1)-单调递增，在(,2),(1,)-∞-+∞单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需(2)010f a -≥⇒≥故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出(2)0f -≥是解题关键.10．A【解析】分析：由题可得要计算第2018次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论. 详解：进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，222222222223758,5+8=898+9145,14542,4220+==++=+=，，故周期为8，故第2018次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11．C分析：可先将问题变形为：142142216m n m n m n mn mn n m +++++==+，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决. 详解：由题可得：142142216m n m n m n mn mn n m+++++==+，216216112321()2()(2)(164)3618222m n m n n m n m n m +⋅=+⋅+⋅=+++≥⨯= 点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.12．D【分析】可先分析函数()ln x f x ex -=+的单调性，然后结合草图即可得出结论.【详解】 由题可得：定义域为：(0,)+∞，11'(),x x x e x f x e x xe-=-+=令(),'()1,x x g x e x g x e =-=-当x>0时e 1x ->0恒成立，故f （x ）在(0,)+∞单调递增，又函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，故0x 为唯一零点，再由1230x x x >>>，且()()()1230f x f x f x ⋅⋅<，可得两种情况：0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<>>1023x x x x <<<，故A 、B 正确，或 0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<<<1230x x x x <<<故C 正确，故选D.【点睛】考查导函数的单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.13．3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式2230{10a a a --=+≠，解出即可. 详解：由题可得2230{10a a a --=+≠3a ⇒=，故答案为3. 点睛：考查复数的分类，属于基础题.【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C 31C 22A 102=270． 故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15．{}|0m m m e >=-或【解析】 分析：先分离参数1ln x x m=，然后结合xlnx 的单调性和草图即可得出结论. 详解：令()ln '()ln 1f x x x f x x =⇒=+令11'()ln 10,'()ln 10,f x x x f x x x e e =+>⇒>=+<<，有定义域可得f （x ）在1(0,)e递减，1(,)e +∞递增，如图：，故1ln x x m =只有一解得：1110()f m m e >=或得0m m e >=-或，故答案为{}0m m m e =-或点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．(1]-∞-， 【解析】分析：由题可得只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a 的范围．详解： 欲使函数的值域为R ，只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令()x f x e x a =-+，'()100,'()100x x f x e x f x e x =->⇒>=-<⇒<所以f （x ）在(0,)+∞递增，在(,0)-∞递减，故min ()0=1+f x f a =（）0≤1a ⇒≤-故答案为(]1，-∞-.点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题． 17．见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而()2234f x x cx c =-+' ()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.从而可求得c ，即可得出f （x ）的极大值. 详解：因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()2234f x x cx c =-+'()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.依题意，1是()f x '的较大零点，所以1c =，所以当13x =时，()f x 取得极大值21114133327f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.18．(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，>，>.继续往下推理即可（2）反证法：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a +++≤，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为0a b >>+>>只需证22>>()()11a b a b +>+，只需证a b >.因为a b >>.（2）证法一：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a+++≤又因为0a b >>，所以11114a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫+++=+++>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与114a b b a+++≤矛盾.所以1a b +与1b a+至少有一个大于2.证法二：因为0a b >>，所以11a b<，所以112a a b a +>+≥=， 所以12a b+> 而1b a +与2的大小关系不确定，所以1a b +与1b a+至少有一个大于2. 点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题. 19．(1)()f x 的单调递减区间为(1)+∞，，单调递增区间为(1)-∞，.(2)见解析. 【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论. 详解： （1）()1x xf x e='-，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <. 所以函数()f x 的单调递减区间为()1+∞，，单调递增区间为()1，-∞. （2）由（1）可知： ①当102a <≤时，21a ≤，()f x 在[]2a a ，上是增函数，所以此时()()2max 22a a f x f a e==； ②当112a <<时，12a a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时()()max 11f x f e==；③当1a ≥时，()f x 在[]2a a ，上是减函数，所以此时()()max a af x f a e==.综上，函数()f x 在区间[]2a a ，上的最大值； 当102a <≤时，为22a a e ；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为a ae. 点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20．(1)见解析;(2)当3x =时，利润最大，最大利润是3600元. 【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得2640010032340011x xy x x x x x ⎡⎤=⨯--=-⎢⎥++⎣⎦，05x <≤. （2）()264004001y x -+'=()()224002151x x x -+-=+，由0y '=，解得5x =-（舍）或3x =.当03x <<时，0y '>，所以利润函数在()03，上是增函数；当35x <≤时，0y '<，所以利润函数在(]35，上是减函数. 所以当3x =时，y 取得极大值，也是最大值，最大值为640034003360031⨯-⨯=+所以当3x =时，利润最大，最大利润是3600元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21．(1)240x y --=;(2)[1)+∞，. 【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率()12k f ='=即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到2ln 1x x x a x -≥+，然后分析函数2ln 1x x xx -+的单调性只需求出其最大值即可得a 的取值范围. （1）当1a =-时，()1ln 1f x x x =-+-，所以()211f x x x'=+，所以切线的斜率()12k f ='=.又因为()12f =-，所以切线方程为()221y x +=-，整理得240x y --=.（2）因为函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1f x a ≥-即为ln 11ax a x+-≥-，可化为2ln 1x x x a x -≥+.设()2ln 1x x xg x x -=+，依题意，()max a g x ≥.()()21ln 1x xg x x --+'=，令()1ln h x x x =--，易知它在()0+∞，上是减函数，又因为()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x >，所以()g x 在()01，上是增函数；当1x >时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1+∞，上是减函数.所以()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值，所以()()max 11g x g ==，所以1a ≥.所以a 的取值范围是[)1+∞，. 点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.22．(1)(2)e +∞，;(2)见解析. 【解析】分析：（1）要保证函数()2xf x eax =-有两个不同的零点1x ，2x ，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a 的影响；（2）由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<，故再构造函数()()()1x h x h x ϕ=--，只需分析出()x ϕ单调性即可得证. （1）解法一：()22xf x ea '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上是增函数，不可能有两个零点. ②当0a >时，由()f x ' 0=，解得1ln 22ax =，所以 若1ln 22a x <，则()0f x '<，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是减函数；若1ln 22a x >，则()0f x '>，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.所以当1ln 22a x =时，()f x 取得极小值，也是它的最小值.()min 1ln 22a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 222a a a =-.因为()lim x f x →-∞=+∞，()lim x f x →+∞=+∞，所以若使()f x 有两个零点，只需ln 0222a a a-<，解得2a e >.综上，实数a 的取值范围是()2e +∞，. 解法二：题意⇔方程2xe ax =有两个不等实根，易知其中0x ≠，所以题意⇔方程2xe a x=有两个不等实根⇔函数y a =与2x ey x=的图象有两个不同的公共点.设()2x e g x x =，则()()2221xx eg x x -'=，所以当0x <或102x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0-∞，和102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >，()0g x '>，所以()g x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，所以当12x =时，()g x 取得极小值122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又因为()lim 0x g x →-∞=，()0lim x g x -→=-∞，()0lim x g x +→=+∞，()lim x g x →+∞=+∞，在同一坐标系中分别画出函数y a =与2xey x=的图象，如图所示，观察图形可知当2a e >时，二者有两个不同的公共点.所以实数a 的取值范围是()2e +∞，. （2）证明：由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<. 因为()1212x h x x x ='-=-，所以当102x <<时，()0h x '<，所以()h x 在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >时，()0h x '>，所以()h x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.设()()()1x h x h x ϕ=--，则()()()1x h x h x ϕ'''=+- 21121x xx x --=+- ()()2211x x x --=-，所以当102x <<时， ()0x ϕ'<，所以()x ϕ在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以()112x ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭0=，即()()1110h x h x -->，即()()111h x h x >-，即()()211h x h x >-.又因为21112x x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，，，所以211x x >-，所以121x x +>. 点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x 轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.。
山东省济宁市任城区2017-2018学年高一上学期期中数学试卷含解析
2017—2018学年山东省济宁市任城区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={1，3，5,7，9}，A=｛1,5,7｝，则∁U A=（）A．{1，3｝B．{3,7，9｝C．｛3,5,9} D．{3，9}2．函数的定义域是（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，0）C．（﹣∞，0] D．（﹣3，﹣2）∪（﹣2,0]3．已知a=3，b=log,c=log3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．下列函数中，在区间(0，+∞）上存在最小值的是（）A．y=（x﹣1）2B． C．y=2x D．y=ln（x﹣1）5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1) B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2)6．设a＞1,函数f（x)=log a x在区间［a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( ）A．B．2 C．D．47．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0)是偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+cx 是（)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数8．已知函数，则f(1）+f（9）=（)A．﹣2 B．﹣7 C．27 D．79．具有性质:f()=﹣f(x）的函数，我们称为满足“倒负"变换的函数，下列函数①y=x﹣②y=x+③y=中满足“倒负”变换的函数是（）A．①②B．①③C．②D．只有①10．如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为( ）A．B．C．D．11．函数在下列哪个区间是减函数( ) A．B．C．（1,2) D．(﹣∞，﹣1)∪（2,+∞）12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数,在（﹣∞，0］上单调递减，且有f(2）=0,则使得（x﹣1）•f（log3x）＜0的x的范围为（)A．（1，2）B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y=3+log a(x+2），（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．14．设函数f(x)=2x+3,g（x+2）=f(x)，则g（x)的表达式是．15．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为．16．对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R，若函数y=f（x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是．三、解答题:本大题共6小题,共70分。
2017届山东省济宁一中高三上学期第四次月考理科数学试题及答案
济宁一中2017届高三上学期第四次月考数学理试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1. 已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C A B = （ ） A ．{}|2x x ≤ B ．{}|1x x ≥ C ．{}|01x x ≤≤ D ．{}|02x x ≤≤ 2. 已知1i i 12ib a -=++（,R a b ∈），其中为虚数单位，则a b +=（ ）A ． 4B ． 4-C ．10-D ．10 3. 若α是第三象限角，且1tan 3α=，则cos α=（ ）Ａ. Ｂ Ｃ. Ｄ.4. 已知向量i 与j 不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ）Ａ.1m n += Ｂ.1m n +=- Ｃ.1mn = Ｄ.1mn =- 5. 在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 ( )A. 10000B. 1000C. 100D. 106. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝ 8.ABC∆中，90A ∠=︒,2,1,AB AC ==设点,P Q满足,(1)AP AB AQ AC λλ==-.R λ∈若2BQ CP ⋅=-,则λ=（ ） A.13B.23C.43D.29. ,x y 满足约束条件20,220,220.x y y x x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．， 则实数a 的值为 ( ) A.12或1- B.或12-C.2或D.2或1-10.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数 时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn.则在此定义下,集合{(,)|M a b a=※16}b =中的元素个数是( )A.18个B.17个C.16个D.15个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11.曲线2sin 0)y x x π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 .12. 过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____ ____． 13. 在ABC∆中，,,a b c分别是内角,,A B C的对边，已知16,4,cos 3a c B ===，则____b =. 14.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________. 15.给出下列命题：①函数24xy x =+在区间[1,3]上是增函数； ②函数2(x)2x f x =-的零点有3个； ③不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立，则4a ≤； ④已知,,21,a b R a b +∈+=则218ab+≥⑤ 3π2ϕ=是函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上） .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x = ，(cos ,1)b x =- ．(1)当//a b时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c、、，若a =，2b =，sin B =，求()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.18.（本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。
山东省济宁一中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年山东省济宁一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知N是自然数集,在数轴上表示出集合A，如果所示,则A∩N=（)A．｛﹣1,0,1,2,3}B．｛0，1，2，3｝C．｛1，2，3｝D．{2，3｝2．=（）A．B．C．D．3．函数的定义域是（）A．(﹣∞,1) B．（﹣∞，1]C．(﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1］4．函数的值域是（)A．B．C．（0，2］ D．［2,4］5．若，则7a=（)A．B．C．5 D．76．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（)A． B．C．D．7．方程的解所在的区间是（）A．（0,1）B．（1，2） C．（2，3) D．（3，4）8．函数f（x)=ln|2x﹣1｜的图象大致是（）A．B．C．D．9．设,r=a a，，，则(）A．r＞s＞t B．r＞t＞s C．s＞r＞t D．s＞t＞r10．函数sgn（x)=叫做符号函数，则不等式x+（x+2)sgn（x+1）≤4的解集为(）A．（﹣∞,1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1］D．[﹣1,1]11．已知3x+x3=100，［x]表示不超过x的最大整数，则［x］=（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知函数f（x）=log a x+x﹣3(a＞0且a≠1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，若x2∈（3，4），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，4） D．（4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=xln（x﹣1)的零点是．14．若一个幂函数和一个指数函数图象的一个交点是（2,4)，则它们图象的另一个交点为．15．若函数f(x）满足，则f（4）=．16．已知函数f（x）=x3+x，若，则实数a的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题,共70分。
2017届山东省济南第一中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案
济南第一中学2017届高三上学期期中考试理科数学试题1. 设集合{}1|(),|12x M y y N y y ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N 的关系为A.MN = B.M N ⊆ C.N M ≠⊂ D.N M ≠⊃2.下列各式中错误的是 A ． 330.80.7> B ． 0..50..5log0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4>3.已知向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，若a ⊥b ，则||b =AB ．C ．5D ．204.若点),4(a 在21x y =的图像上，则π6tan a 的值为A. 0B.33C. 1D. 3 5."6"πα=是"212cos "=α的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6.函数()xx x f 2log 12-=定义域为 A. ()+∞,0 B. ()+∞,1 C. ()1,0 D. ()()+∞,11,0 7. 在△ABC 中，a b c、、分别是三内角A B C、、的对边,︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46 B ．322C ．362D ．428. 命题“∈∃x R ，0123=+-x x ”的否定是A ．,x R ∃∈0123≠+-x xB ．不存在,x R ∈0123≠+-x xC ．,x R ∀∈ 0123=+-x xD ．,x R ∀∈ 0123≠+-x x9.要得到函数的图像，只需将函数的图像A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位 10. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 11. 等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为A ．7B ．8C ．9D ．1012.函数⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ图象的一条对称轴是 A ．8π=x B. 4π=x C. 2π=x D. π=x13. 已知{}n a 等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=A ．()1614n --B ． ()1612n --C ．()32143n --D ．()32123n --14.若实数,a b 满足2,a b +=则33a b +的最小值是 A. 18 B.6 C.15. 在数列{}n a 中，13a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．3ln n +B ．3(1)ln n n +-C ．3ln n n +D ．1ln n n ++18. 已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),1-∞二、填空题(54)⨯分19. ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于 20. 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为 21. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直，则该切线方程为 22.1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-+ 三、解答题23. (12)分 已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，,2sin()2n x x π⎫=-⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间； 24. (14)分 已知数列{}n a ，当2≥n 时满足n n n a a S -=--11，（1）求该数列的通项公式； （2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25. (14)分设函数,)(x xe x f =.)(2x ax x g +=(I) 若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间，求a 的值； (II)若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围.高三数学试题（理科）答案一、 选择题DCBDA DCDDB BBCBA DCB 二、 填空题3π12 10x y --=31nn + 三、 解答题24. 解：（1） 当2≥n 时，n n n a a S -=--11，则111n n n S a a ++-=-，作差得：1112n n n n a a a a +-+=-+，112n n a a -∴=.又212121211112S a a a a a a a -=---=-⇒=即，知0n a ≠，112n n a a -∴=， ∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，1111222n n na -∴=⋅=（）.（2）由（1）得：12n nn b +=， 1231234122222n n n n n T -+∴=+++++ ，234112*********n n n n n T ++∴=++++++ 23411111111222222n n n n T ++∴=+++++- ， 111111334221122212n n n n n ++-⋅++=+-=--， 332n n n T +∴=-.25. 解：（I ）()(1)x x x f x e xe x e '=+=+， 当1-<x 时，()0,f x '<)(x f 在)1,(--∞内单调递减；当1->x 时，,0)(/>x f)(x f 在),1(+∞-内单调递增.又,12)(/+=ax x g 由012)1(/=+-=-a g 得21=a .此时21)1(2121)(22-+=+=x x x x g ，显然)(x g 在)1,(--∞内单调递减，在),1(+∞-内单调递增，故21=a .(II)由)()(x g x f ≥，得0)1()()(≥--=-ax e x x g x f x . 令1)(--=ax e x F x ，则a e x F x -=)(/.0≥x ，()1x F x e a a '∴=-≥-.若1≤a ，则当)0(∞+∈x 时，0)(/>x F ，)(x F 为增函数，而0)0(=F ， 从而当0)(,0≥≥x F x ，即)()(x g x f ≥；若1>a ，则当)ln ,0(a x ∈时，0)(/<x F ，)(x F 为减函数，而0)0(=F ，从而当)f<，则)(xg)(xf≥不成立.xg(xx∈时0,0(aln))(<F，即)(x综上，a的取值范围为]1,(-∞.。
2017年山东省济宁市高三理科一模数学试卷
2017年山东省济宁市高三理科一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合A=1,2,3，集合B=x x2−6x+8≤0，则A∩B= A. 3B. 2,3C. 1,2,3D. 2,32. 复数z满足3−2i z=4+3i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设a∈R，“1，a，16为等比数列”是“a=4”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 以下四个结论，正确的是 ①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；③在回归直线方程y=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2个单位；④对于两个分类变量X与Y，求出其统计量K2的观测值k，观测值k越大，我们认为“X与Y有关系”的把握程度就越大．A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④5. 设实数x，y满足：y≥x,x+3y≤4,x≥−2,则z=x−3y的最大值为 A. −2B. −8C. 4D. 26. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种7. 在△ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN=13NM，若AN=λAB+μACλ,μ∈R，则λ+μ的值为 A. 14B. 13C. 12D. 18. 已知定义在R上的函数f x=2 x−m −1m∈R为偶函数，记a=f−2，b=f log25，c=f2m，则a，b，c的大小关系为 A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. c<b<a9. 已知定义在R上的函数f x=sinωxω>0的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y=f x的图象向左平移π6个单位得到函数y=g x的图象，则使y=g x是减函数的区间为 A. π4,π3B. −π4,π4C. 0,π3D. −π3,010. 定义在1π,π 上的函数f x，满足f x=f1x，且当x∈1π,1时，f x=ln x，若函数g x=f x−ax在1π,π 上有零点，则实数a的取值范围是 A. −lnππ,0 B. −πlnπ,0 C. −1e,lnππD. −e2,−1π二、填空题（共5小题；共25分）11. 已知a i>0i=1,2,3,⋯,n，观察下列不等式：a1+a22≥a1a2；a1+a2+a33≥a1a2a33；a1+a2+a3+a44≥a1a2a3a44⋯照此规律，当n∈N∗n≥2时，a1+a2+⋯+a nn≥ ______．12. 不等式x−2>∫12x d x的解集为______．13. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______．（参考数据：sin15∘=0.2588，sin7.5∘=0.1305）14. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是______．15. 已知椭圆C1：x2a +y2b=1a>b>0与双曲线C2：x2−y2=1有公共的焦点，双曲线C2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆C1交于M，N两点，若AB=2MN，则椭圆C1的标准方程是______．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a =sin Asin B+sin C．（1）求角B的大小，（2）设m=sin A+cos A,1，n=2,cosπ2−2A ，求m⋅n的取值范围．17. 某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A，B 两条道路．已知开车走道路A 遭遇堵车的概率为15；开车走道路 B 遭遇堵车的概率为p．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A，李教授走道路B，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为25．求：（1）走道路 B 遭遇堵车的概率p；（2）三人中遭遇堵车的人数X的概率分布列和数学期望．18. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC，AC，BD交于点O．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求证：AC⊥平面BDEF．（3）求二面角F−AB−C（锐角）的余弦值．19. 知数列a n的前n项和为S n，且满足S n=2a n−2n∈N∗，数列b n为等差数列，且满足b2=a1，b8=a3．（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）令c n=1−−1n+1a n，关于k的不等式的c k≥40971≤k≤100,k∈N∗的解集为M，求所有a k+b k k∈M的和S．20. 设f x=e x x−a−1x，其中g x=a ln x e=2.71828⋯．（1）当a>1时，讨论函数F x=f xe−g x的单调性；（2）求证：当a=0时，不等式f x>2e对任意x∈0,+∞都成立．21. 如图，已知线段AE，BF为抛物线C:x2=2py p>0的两条弦，点E，F不重合．函数y=a x a>0且a≠1的图象所恒过的定点为抛物线C的焦点．（1）求抛物线C的方程；，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两（2）已知A2,1，B −1,14侧．①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求OE⋅OF的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. B4. D5. C6. C7. A8. B9. A 10. B第二部分11. a1a2⋯a nn12. −∞,1∪3,+∞13. 2414. 12523π15. x23+y2=1第三部分16. （1）2c−a =sin Asin B+sin C，所以正弦定理可得：2c−a =ab+c，整理可得：a2+c2−b2=2ac，所以cos B=a 2+c2−b22ac=22，因为B∈0,π，所以B=π4．（2）因为m=sin A+cos A,1，n=2,cosπ2−2A ，所以m⋅n=2sin A+cos A+cosπ2−2A =2sin A+cos A+sin2A，令t=sin A+cos A，则t2=sin A+cos A2=1+sin2A，可得：sin2A=t2−1，所以m⋅n=f t=2t+t2−1=t+12−2，又t=sin A+cos A=2sin A+π4，0<A<3π4，所以π4<A+π4<π，可得：0< A+π4≤2，所以−1<m⋅n=f t>≤1+22．所以m⋅n的取值范围是： −1,1+2．17. （1）由题意可知：走道路 A 遭遇堵车的概率为15，不堵车的概率为45；开车走道路 B 遭遇堵车的概率为p，不堵车的概率为1−p．三人是否遭遇堵车相互之间没有影响．所以C21×15×45×1−p+452⋅p=25，解得p=14．（2）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．P X =0 =45×45×34=1225，P X =1 =25，P X =2 =15×15×34+C 21×15×45×14=11100，P X =3 =15×15×14=1100． 所以 X 的分布列为：X0123P122525111001100所以 EX =0×1225+1×25+2×11100+3×1100=1320．18. （1） 因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， 所以 AD ∥BC ，DE ∥BF ．因为 AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ， 所以 AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又 AD ∩DE =D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ， 所以 平面FBC ∥平面EAD ，又 FC ⊂平面FBC ， 所以 FC ∥平面EAD ． （2） 连接 FO ， ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，又 O 为 AC 中点，且 FA =FC ， 所以 AC ⊥FO ， 因为 FO ∩BD =O ， 所以 AC ⊥平面BDEF ． （3） 连接 FO ，FD ， BDEF 为菱形，且 ∠DBF =60∘， 所以 △DBF 为等边三角形， 因为 O 为 BD 中点． 所以 FO ⊥BD ，又因为 O 为 AC 中点，且 FA =FC ， 所以 AC ⊥FO ． 又 AC ∩BD =O ， 所以 FO ⊥平面ABCD ．过 O 作 OH 垂直 AB 于 H ，连接 FH ，则 ∠FHO 就是二面角 F −AB −C （锐角）的平面角． 设 AB =2，因为四边形 ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则 BD =2，OB =1，FO = 3，OH =12AD sin60∘=32，tan ∠FHO =OFOH =2， 所以 cos ∠FHO =55， 二面角 F −AB −C （锐角）的余弦值为 55． 19. （1） 数列 a n 满足 S n =2a n −2 n ∈N ∗ ， 所以当 n =1 时，a 1=2a 1−2，解得 a 1=2；n ≥2 时，a n =S n −S n−1=2a n −2− 2a n−1−2 ，化为：a n =2a n−1， 所以数列 a n 是等比数列，公比为 2．所以a n=2n．设等差数列b n的公差为d,因为b2=a1，b8=a3．所以b1+d=2，b1+7d=23，解得b1=d=1．所以b n=1+n−1=n．（2）c n=1−−1n+1a n=1+−2n，b n=n．当k为奇数时，c k=1−2k≥4097，即2k≤−4096，不成立．当k为偶数时，c k=1+2k≥4097，即2k≥4096．因为210=1024，211=2048，212=4096．且1≤k≤100，k∈N+．所以M=k k=2m,6≤m≤50,m∈N+．则a k组成首项为212，末项为2100，公比为4的等比数列．b k组成首项为12，末项为100，公差为2的等差数列．则所有a k+b k k∈M的和S=212445−14−1+45×12+1002=2102+34643．20. （1）F x=f xe −g x=x−a−1x−a ln x x>0，求导，Fʹx=1+a−1x −ax=x−1x−a−1xx>0，①当0<a−1<1时，即1<a<2时，Fʹx，F x随x的变化情况，x0,a−1a−1a−1,111,+∞Fʹx+0−0+F x↑极大值↓极小值↑由表可知F x在0,a−1，1,+∞上单调递增，在a−1,1上单调递减，②当a−1=1，即a=2时，Fʹx=x−12x2≥0恒成立，F x在0,+∞单调递减；③当a−1>1，即a>2时，Fʹx，F x随x的变化情况，x0,111,a−1a−1a−1,+∞Fʹx+0−0+F x↑极大值↓极小值↑由表可知F x在0,1，a−1,+∞上单调递增，在1,a−1上单调递减，综上可知：1<a<2，F x在0,a−1，1,+∞上单调递增，在a−1,1上单调递减；a=2时，F x在0,+∞单调递减；a>2时，F x在0,1，a−1,+∞上单调递增，在1,a−1上单调递减．（2）当a=0时，f x=e x x+1x，求导，fʹx=e x x+1x +e x1−1x=e x x3+x2+x−1x，令 x=x3+x2+x−1x>0，求导， ʹx=3x2+2x−1=3 x+132+23，x在0,+∞是增函数，由 12=−18<0， 1=2>0，所以 x在0,+∞上存在唯一的零点x0，且x0∈12,1，当0<x<x0时， x<0，fʹx=e x xx<0，当x>x0时， x>0，fʹx=e x xx2>0，所以f x在0,x0上是减函数，在x0,+∞，所以当x>0时，f x≥e x0 x0+1x0>e12 x0+1x0>2e．21. （1）由函数y=a x a>0且a≠1恒过点0,1，则p2=1，则p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）①设点E x1,y1，F x2,y2，则直线AE:y=k x−2+1，直线BF:y=−k x+1+14，y=k x−2+1,x2=4y,整理得：x2−4kx+8k−4=0，则x1+2=4k，故x1=4k−2，y1=x124=2k−12，所以E4k−2,2k−12，y=k x+1+1 4 ,x2=4y, x2+4kx+4k−1=0，则x2−1=−4k，则x2=1−4k，y2=x224=1−4k24，则F1−4k,1−4k 24，当x1=x2，4k−2=1−4k，即k=38，E，F两点重合，不符合题意，故k≠38，x1≠x2，则直线EF的斜率为k EF=y1−y2x1−x2=2k−12−1−4k244k−2−1−4k=−14，所以直线EF的斜率为定值−14；②由①可设A，B两点分别在直线EF两侧，则m m−32<0，故0<m<32，则y=14x+m, x2=4y,整理得：x2+x−4m=0，由0<m<32，则Δ=1+16m>0恒成立，则x1x2=−4m，y1y2=x124⋅x224=m2，则OE⋅OF=x1x2+y1y2=m2−4m=m−22−4，0<m<32，所以OE⋅OF∈ −154,0，OE⋅OF的取值范围 −154,0．。
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山东省济宁市第一中学2017届高三上学期期中考试（理）
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是( )
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
2．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。
其假设应是( ) A ．至少有5个球是同色的 B ．至少有5个球不是同色的 C ．至多有4个球是同色的 D ．至少有4个球不是同色的
3．在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(－1,3)
D ．(3，－1)
4．当2
3<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32
B.32 C ．－23
D.23
6．观察下列各式：55＝3 125, 56＝15 625, 57＝78 125，…，则52 011 的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625
D ．8 125
7．已知在复平面内，向量AB ，BC
，AD 对应的复数分别为－2＋i,3－i,1＋5i ，则CD 对
应的复数是( ) A ．－6i B ．6i C ．5i
D ．－5i
8．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( ) A ．小前提错 B ．结论错 C ．正确
D ．大前提错
9．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝a ，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积S ＝πab
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
10．如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x 轴、y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2 000秒后，这个质点所处的位置的坐标是( )
A ．(24,24)
B ．(24,44)
C ．(44,24)
D ．(44,44)
第Ⅱ卷
二、填空题
11．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
12．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若O C →＝2O A →＋O B →
，则a ＝________，b ＝________.
13．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30仍成等
比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________也成等差数列，该等差数列的公差为________． 14．已知
2＋2
3
＝223
，3＋38
＝338
，4＋415
＝4415
，…，若6＋a t
＝6
a
t
(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.
15．由图(1)有面积关系：S ΔP A ′B ′S ΔP AB ＝P A ′·PB ′
P A ·PB ，则由(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC
＝________
图1
图2 三、解答题
16．已知复数z＝(2＋i)m2－
6m
1－i
－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯
虚数．
17．已知a>0，b>0，求证：a
b
＋
b
a
≥a＋b.
18．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C，D对应的复数．
19．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
20．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，…
(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.
参考答案
1．B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11．1 12.－3 －10
13．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30,300 14．41 15.P A ′·PB ′·PC ′
P A ·PB ·PC
16．【解析】 由于m ∈R ，复数z 可表示为 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i) ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0， 即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．
(2)当⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2
－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，
即m ＝－1
2时，z 为纯虚数．
17．【解析】 ∵a >0，b >0 要证
a b ＋b
a
≥a ＋b 成立 只需证⎝⎛
⎭⎫a b
＋b
a 2≥()a ＋
b 2成立
只需证a 2b ＋b 2
a ≥a ＋
b ＋2ab
只需证a 3＋b 3
ab
≥a ＋b
只需证()a ＋b ()a 2－ab ＋b 2
≥ab ()a ＋b
只需证a 2－2ab ＋b 2≥0 只需证(a －b )2≥0
而(a －b )2≥0显然成立，则原不等式得证．
19．【解析】 设D (x ，y )，A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，则z 4－z 1＝x －1 ＋(y －2)i ，z 2－z 1＝2－7i.
在正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，且|AD |＝|AB |，z 4－z 1表示A D →，z 2－z 1表示A B →， ∴|z 4－z 1|＝|z 2－z 1|，即 x 2＋y 2－2x －4y －48＝0.① (x －1)·2－7(y －2)＝0， 即2x －7y ＋12＝0.②
①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8，y ＝4.
又B C →＝A D →
， 则z 3－z 2＝z 4－z 1，
z 3＝z 4＋z 2－z 1＝(x ＋2)＋(y －7)i.
综上可得⎩⎪⎨⎪⎧ z 3＝－4－7i ，z 4＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧
z 3＝10－3i ，
z 4＝8＋4i.
19．【解析】 (1)由已知得⎩⎨⎧
a 1＝2＋1，
3a 1
＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0.
∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 20．(1)a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1) (2)见详解． 【解析】 (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，
由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，
由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，
那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2.。