第五章一 元函数的导数及其应用复习-2020-2021学年高二数学(人教A版选择性必修第二册)

设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 切线的斜率.
P o
即:
y=f 割 (xQ) 线
切T 线
x
返回
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
Δy)，则ΔΔyx等于( )
A．3＋2Δx
B．4＋Δx
C．4＋2Δx
D．3＋Δx
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝4Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4＋2Δx.
x 0
f (x) lim f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
x2 x1
lim f (x) f ' (x)
x 0
x
导数
基础知识梳理
liΔxm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
y′|x＝x0
liΔxm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
基础知识梳理
f(x＋Δx)－f(x)
y′
＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
返回
例 5：若函数 f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则 f π4的值为________. 解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx， ∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝ 2－1. 故 f π4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒f π4＝1.
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1) ＝4，则a的值等于( )
• 答案：C
例1：若f′(x0)＝－3，则
lim △ x 0
f(x0＋h)－f(x0－h) h
等于(
)
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
解析：
lim x0
f(x0＋h)－f(x0－h) h
＝ lim x0
f(x0＋h)－f(x0)－[f(x0－h)－f(x0)] h
＝
lim x0
f(x0＋hh)－f(x0)＋
答案：B
2．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x ＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________.
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx；
课堂互动讲练
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝
lnx x2＋1.
【解】 (1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)
－f′(x0)，故选 B.
考点 2 曲线的几何意义 例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方 程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝________.
图 4－1－1 解析：观察图 4－1－1，设 P(5，f(5))， 过 P 点的切线方程为 y－f(5)＝f′(5)(x－5)， 即 y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它与 y＝－x＋5 重合， 比较系数知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故 f(5)＋f′(5)＝2.
lim x0
f(x0－h)－f(x0) －h
＝f′(x0)＋f′(x0) ＝－6.
故选 B.
【互动探究】
1．设函数
f(x)在
x0
处可导，则 lim △ x 0
f(x0－Δx)－f(x0) Δx
等于( B )
A．f′(x0)
B．－f′(x0)
C．f (x0)
D．－f (x0)
解析：△lixmf0(x0－ΔΔxx)－f(x0) ＝－△lixm0f[x0＋(－(－ΔΔxx)])－f(x0) ＝
(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． [代[又(则思2(自3)入切设 P)路主求(便线1切点解曲,1得的点拨)答线是斜斜坐]]过曲率率标点线(，为1为(P)上1验((k)21A∵的2),证＝(设0ay)点，点的′－出，1aP切＝a切1)在2，＝线－点曲－方x坐1线2.13程标，上．，，找求等导式后求，坐把标P点．坐标 ∴解P得为a＝切±点，3，所∴求A切( 线3，的斜33率)或为A′k＝(－f′(31，)＝－－313.)． 所代以入曲点线斜在式方P 程点得处的y－切3线3＝方－程13为(x－y－13＝)或－y(＋x－331＝)，－13(x＋ 3)．
7.若f(Байду номын сангаас)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
返回
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
第五章一元函数的导数及其应用复习
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2
平均变化率为:
Y=f(x)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
②函数的瞬时变化率
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－
. 2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2
(5)y＝ln(3x－2)＋e2x－课1. 堂互动讲练
[例1] 已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
liΔxm→0
Δx
2．导数的几何意义
意切义线函，的数就y是＝斜曲率f，(x线过)在y点＝x＝Pf(的xx)0切在处线点的方P导(程x数0，的y几0)处何的
为：
y－y0＝f′(x0)(x－x．0)
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 个极限位置PT.则我们把直线 y PT称为曲线在点P处的切线.