二项分布和超几何分布的区别(含答案)

超几何分布和二项分布

一、两者的定义是不同的

1超几何分布的定义

2独立重复试验与二项分布的定义

(1)独立重复试验．

(2)二项分布．

本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.

(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.

二、两者之间是有联系的

人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进

行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？

【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：

第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布

第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.

从以上分析可以看出两者之间的联系：

当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.

例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.

[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.

【正解】（1）同上；

从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它

们的期望公式：

综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

①用独立重复试验要求独立(互不影响) 而且重复(前后概率都相同)

②如果是任取，是一把取出来，还是分多次取出来，前后两次会造成影响么？概率会相同么？有没有顺序？

答题模板

模板一离散型随机变量的期望和方差

建设答题模板

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能取值．

第二步：求每一个可能值对应的概率．

第三步：列出离散型随机变量的分布列．

第四步：利用公式求出均值和方差．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．模板二离散型随机变量的决策问题

（2008年高考理科二卷）（18）（本大题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410999.01 .

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p ；

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4

~(10)B p ξ，． （Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，2分 ()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4

101(1)p =--，

又410()10.999P A =-，

故0.001p =．5分

（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出 1000050000ξ+，

盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，

盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--，9分 由43~(1010)B ξ-，知，3

1000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．

0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥

1050a ⇔--≥

15a ⇔≥（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．12分