2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第九章 9.3圆的方程

§9.3圆的方程

圆的定义与方程

概念方法微思考

1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪

⎧

A ＝C ≠0，

B ＝0，

D 2＋

E 2－4A

F >0.

2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)

(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)

(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)

题组二教材改编

2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

答案 D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－3)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A

4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)，

∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |， 即

(a ＋1)2＋1＝

(a －1)2＋9，解得a ＝2，

∴圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝

(2＋1)2＋1＝10，

∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠

5．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 解析 将

x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0

化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m

2

4

－2. 由其表示圆可得m 2

4

－2>0，解得m <－22或m >2 2.

6．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_______________． 答案 (x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9

解析 由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.

圆的方程

1．已知圆C 过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －3)2＋(y －2)2＝13

解析 方法一 (几何法)k AB ＝5－0

1－6＝－1，

则AB 的垂直平分线方程为y －52＝x －7

2

，

即x －y －1＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝2，

r ＝

(6－3)2＋(0－2)2＝13，

故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)

方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪

⎧

(6－a )2

＋(0－b )2

＝r 2

，(1－a )2

＋(5－b )2

＝r 2

，

2a －7b ＋8＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝2，

r 2

＝13，

故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.

2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________． 答案 (x －25)2＋y 2＝5

解析 根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22

＝5

5

a .

又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝⎛⎭

⎫55a 2

＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.

3．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值是________． 答案 7

解析 四点共圆，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

则⎩⎪⎨⎪

⎧

25＋0＋5D ＋0＋F ＝0，

1＋0－D ＋0＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

D ＝－4，

E ＝－253，

F ＝－5，

所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －25

3y －5＝0，

将D (a,3)代入得a 2－4a －21＝0. 解得a ＝7或a ＝－3(舍)．

思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值． ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．