第七章 线路和绕组中的波过程

§7-1 无损耗单导线线路中的波过程 一、波过程的一些物理概念
★什么是波过程？
u
dx
r0 dx
L0 dx
u
i
c0 dx
i
g0 dx
将传输线设想为许多无穷小的长度元dx串联而成。
电压波和电流波沿线路的流动就是电磁波传播的过程称为波过程。 这种电压波、电流波以波的形式沿导线传播称为行波。
u
由拉氏反变换的延迟定 理，将s域解换成时域解形式 : x x u ( x, t ) u q (t ) u f (t )(11) v v x x i ( x, t ) iq (t ) i f (t )(12 ) v v
(11)(12 )就是无损单导线波动方 程的解；其中 v 将
（3）、（4）称为无损单导线的波动方程，两式形式 相同，可以预见u与i会有形式完全相同的解。
应用拉普拉斯变换将u（x，t）变成U（x，S）; i（x，t）变成I(x，S) 假定线路电压和电流初始值为零，利用拉氏变换的时域导数 性质有：
2U ( x, S ) L0C0 S 2U ( x, S )(5) x 2 2 I ( x, S ) L0C0 S 2 I ( x, S )(6) x 2
假设折射电压波u2q尚未到达线路Z2的末端，即线路Z2上尚 未出现反行电压波，或u2q虽已到达Z2的末端，线路Z2上已出现 反行电压波，但此反行电压波尚未到达节点A。则对于线路Z1 有： u1 u1q u1 f ; i1 i1q i1 f
u1q Z1 i1q ; u1 f Z1 i1 f
3.波阻抗的特点
a.表示同一方向电压波与电流波大小的比值，电磁 波通过Z时，以电磁波的形式储存在周围介质中； b.导线上既有前行波又有反行波时，Z≠U/I c.Z的数值与线路长度无关
4.小结
综上，无损单导线波过程基本规律由四个方程表述：
u u q u f i iq i f u q Zi q u Zi f f
第七章 线路和绕组中的波过程
背景知识
★输电线路的集中参数等值电路和分布参数电路
若实际电路的尺寸远小于其工作频率所对应的波长，我 们就说它满足集中化条件，可以用集中参数电路作为其模型。 否则，该电路就只能用分布参数电路模型来描述。 √工频电压下的输电线路
工频周期为0.02s，那么一周期电压在输电线路上占用的 长度：3×105 （km/s ）×0.02=6000km，即工频对应的波长。
对于线路Z2，因为Z2上的反行电压波u2f=0，所以：
u2 u2 q ; i2 i2 q u2 q Z 2i2 q
在节点A处只能有一个电压和电流值，所以： u1
所以：
u2 ; i1 i2
u1q u1 f u2 q i1q i1 f i2 q
将 i1q i1 f i2q 变换得：
dx
r0 dx
L0 dx
u
i
c0 dx
i
g0 dx

u i dx u ir0 dx L0 dx x t i u dx i (u dx) g 0 dx c0 dx x x (u u dx) x t
u( x, t ); i( x, t )
一、行波的折、反射规律
将线路Z1合闸于直流电源U0，合闸后线路Z1有一与电源电 压相同的前行电压波u1q自电源向节点A传播，达到节点A遇到 波阻抗为Z2的线路，在节点A前后必须保持单位长度导线的电 场能与磁场能相等的规律，但是由于线路Z1与Z2的单位长度电 感与对地电容不相同，因此当u1q到达A点是必然要发生电压、 电流的变化，即在节点A处要发生行波的折射与反射，反射电 压波u1f自节点A沿线路Z1返回传播，折射电压波u2q自节点A沿 线路Z2继续向前传播。
§7-2 行波的折射与反射
在实际线路上，常常会遇到线路均匀性遭到破坏的情况， 例如一条架空线路与一根电缆线路相连；在两段架空线路之间 插接某些集中参数电路元件等等。均匀性开始遭到破坏的点可 称为节点，当行波投射到节点时，必然会出现电压、电流、能 量重新调整分配的过程，即在节点处将发生行波的折射和反射 现象。 在介绍线路波过程的基本概念时，通常采用最简单的无限 长直角波。因为即使在工频交流电源的情况下，只要线路不太 长，行波从始端传播到终端所需时间还不到1ms，在这样短的 时间内，电源电压变化不多，因而也可以看作与直流电压源相 似。此外，任何其他波形都可以用一定数量的单元无限长直角 波叠加而得，所以无限长直角波实际上是最简单和代表性最广 泛的一种波形，类似于交流电路中的正弦波，因为各种非正弦 波都可以用频率不同的若干正弦波叠加而得。
1 称为波速； L0 C0
u i U ( x, S ) L0 进行拉氏变换: L0 S I ( x, S ) (13) x t x S S x x S U ( x, S ) S v （）对x求导数 9 U（S）e （ ） U（S）e v（ ）代入（ ） f 13 q x v v S S x x 1 1 1 1 v 得I ( x，S ) U（S）e U（S）e v q f L0 v L0 v

整理（略去二阶无穷小）
u i r0 i L0 x t i u g 0 u c0 x t
以无损单导线为例，略去 r0 , g0
u i L0 x t i u c0 x t
（1）对x再求导数；（2）对t再求导数，得：
u i L0 (1) x t i u c0 (2) x t
2u 2i 2 L0 2 2u x tx u 2 L0 C0 2 (3) 2 2 x t i u C0 2 xt t
（1）对t再求导数；（2）对x再求导数，得：
2u 2i L0 2 2i 2i xt t 2 L0 C0 2 (4) 2 2 t i u x 2 C0 x tx
u u
2Z 2 2Z1 ;i Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z 2 Z1 Z Z2 ; i 1 Z1 Z 2 Z1 Z 2
u 称为电压折射系数； i 称为电流折射系数； u 称为电压 反射系数；i 称为电流反射系数；
u1q Z1 u1q u1 f u2 q Z1 Z1 Z 2 Z2 u1 f u2 q
上式加 u1q u1 f u2q 得：
2Z 2 u2 q u1q u u1q Z1 Z 2
i2q u2 q Z2 2Z1 2 u1q i1q ii1q Z1 Z 2 Z1 Z 2
显然Z具有阻抗的性质，单位 应为欧姆， 通常称Z为波阻抗，其值取决于 单位长 度线路电感 0 和对地电容 0 , 与线路长度 L C 无关。
二、波动方程的物理意义
1. 前行波和反行波
u uq ( x vt ) u f ( x vt ) 1 i Z uq ( x vt ) u f ( x vt ) 其中：Z L0 C0 电压u由两个分量及叠加而成，其中uq（x-vt）代表一个任 意形状并以速度v朝着x的正方向运行的电压波，如果取x的正 方向为前行方向，那么uq即为电压前行波，其原因是： 设波在dt的时间内，从线路上的x点移动到x+dx点上，那 么此处x+dx-v(t+dt)=x-vt+dx-vdt=x-vt，表明导线上（x+dx）那一 点在（t+dt）瞬间的电压与x点在t瞬间的电压相等，可见波的 运动方向为x的正方向。
S S x x 1 1 v U（S）e U （S）e v q f L0 L0 C0 C0 S S x x L0 1 1 v 令Z 得I ( x，S ) U（S）e U（S）e v q f C0 Z Z
1 x 1 x u q (t ) u f (t ) Z v Z v x x u q (t ) u f (t ) v ， Z v 与（ ）比较得Z 12 x x iq (t ) i f (t ) v v 拉氏反变换：（x, t ) i
其解的形式为 A1e λ t A2 e λ t 则： y
1 2
U ( x，S ) U（S）e q I ( x，S ) I（S）e q
S x v
U（S）e (9)
S x v
S x v
S x v
I（S）e 10） （ f
其中U（S） （S）I（S）I（S）函数的具体形式由线 ,U f , q , f 路初始条件和边界条件 决定 q
考虑电路元件参数的分布性的电路称为分布参数电路。参 数的分布性指电路中同一瞬间相邻两点的电位和电流都不相同， 即电路中电压和电流不仅是时间的函数，还是空间位置的函数， 即： u f ( x, t ) i f ( x, t ) 研究和分析输电线路过电压下的波过程，必须用分布参数 电路。
同理可得：
2Z 2 Z 2 Z1 u1 f u2 q u1q u1q u1q u1q uu1q Z1 Z 2 Z1 Z 2
Z2 Z1 Z1 Z2 i1 f u1q i1q ii1q Z1 Z1 (Z1 Z2 ) Z1 Z2 u1 f
由于输电线路的长度一般都远远小于6000km，因此线路 不长的输电线路都用集中参数等值电路来表示，认为输电线 路的电压和电流均只与时间有关，而与空间位置无关。
√过电压下的输电线路 以标准的雷电冲击电压波（1.2/50μs）为例，其波前时间 为1.2μs，电压从零变化到最大值只需1.2μs，所以冲击电压波 前在输电线路上占用的长度：3×105 ×1.2×10-6 =360m，因此 输电线路上各点的电压和电流都是不同的，不能将线路各点的 电路参数合并成集中参数来处理。