材料力学02拉压
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材料力学 第2章拉压
由： ∑ X = 0 ∑ Y = 0
F1 + F2 + W cos 60o − FN cos15o = 0 得： FN sin15o − W cos 30o = 0
F2 = W cos 30o 解得：FN = W = 3.35W o sin15 F1 = FN cos15o − W (1 + cos 60o ) = 1.74W
§2.4
、概念
材料在拉伸时的力学性能
1、材料的力学性能： 材料的力学性能：
•材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称为材 料的力学性能也称为材料的机械性能或机械性质。 •材料的力学性能由材料试验分析系确定。 •常温静载试验：室温(20°C)下缓慢加载。
2、材料在拉伸时的力学性能: 材料在拉伸时的力学性能:
§2.7
一、 失效的概念
失效、 失效、安全系数和强度计算
1、定义：构件丧失正常承载功能称为失效。 构件失效的类型： 2、构件失效的类型：
•强度失效 由于材料屈服或断裂所致。 强度失效： 强度失效 •刚度失效 由于构件弹性变形过大不能正常工作所致。 刚度失效： 刚度失效 •失稳失效 失稳失效：不能维持原有平衡状态所致。 失稳失效
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
1、性能比较： 性能比较：
•均有线弹性阶段。 •均有强化阶段。 •不一定有屈服阶段。 •不一定有颈缩阶段。
2、无屈服阶段材料的屈 服指标： 服指标：
σ0.2—名义屈服极限。
三、铸铁拉伸时的力学性能
1、拉断前应变很小，伸长率也 拉断前应变很小， 很小。 很小。 应力应变非线性关系。 2、应力应变非线性关系。 3、强度极限：σb（唯一的强度 强度极限：
指标）
F1 + F2 + W cos 60o − FN cos15o = 0 得： FN sin15o − W cos 30o = 0
F2 = W cos 30o 解得：FN = W = 3.35W o sin15 F1 = FN cos15o − W (1 + cos 60o ) = 1.74W
§2.4
、概念
材料在拉伸时的力学性能
1、材料的力学性能： 材料的力学性能：
•材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称为材 料的力学性能也称为材料的机械性能或机械性质。 •材料的力学性能由材料试验分析系确定。 •常温静载试验：室温(20°C)下缓慢加载。
2、材料在拉伸时的力学性能: 材料在拉伸时的力学性能:
§2.7
一、 失效的概念
失效、 失效、安全系数和强度计算
1、定义：构件丧失正常承载功能称为失效。 构件失效的类型： 2、构件失效的类型：
•强度失效 由于材料屈服或断裂所致。 强度失效： 强度失效 •刚度失效 由于构件弹性变形过大不能正常工作所致。 刚度失效： 刚度失效 •失稳失效 失稳失效：不能维持原有平衡状态所致。 失稳失效
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
1、性能比较： 性能比较：
•均有线弹性阶段。 •均有强化阶段。 •不一定有屈服阶段。 •不一定有颈缩阶段。
2、无屈服阶段材料的屈 服指标： 服指标：
σ0.2—名义屈服极限。
三、铸铁拉伸时的力学性能
1、拉断前应变很小，伸长率也 拉断前应变很小， 很小。 很小。 应力应变非线性关系。 2、应力应变非线性关系。 3、强度极限：σb（唯一的强度 强度极限：
指标）
材料力学S02拉压
B
qx
l
C
F1
F1
23
第二章
轴向拉伸和压缩
拉压变形计算例题
例7： 支架，F=20kN， E=200GPa ，杆1截面d=0.022m， θ0=30°；杆2长度为l2=2m，截面为No.10工字钢， A2=1.435×10-3m2 。试计算结构中的最大应力和A点位 移。 d
B
(1)
FN 1
C
( 2)
l l
(a)
第二章
d
轴向拉伸和压缩
(b)
34
2. 低碳钢的拉伸力学性质
2.1 学习重点 材料的拉伸曲线（应力-应变或载荷-位移曲线） 重要参数 D 2.2 曲线 F 四个阶段： B 弹性，屈服 C 强化，颈缩 A
' '
轴向拉伸和压缩
F
b
b b
F
泊松比ν
第二章
l
20
拉压变形计算例题
F
例6： A 如图直径为d的圆截面的桩被外力F打入土中， 假设土对桩体的阻力为均匀分布，其线分布 B 集度为qx，土对桩头的阻力F1=0.3qxl，桩体 材料的弹性模量为E。试计算桩体最大应力 和总变形量。 q
F
O
x
x
该杆件上的载荷力系关于杆件中截面C反对称，FN的分 布关于杆件中截面C也是反对称的。
第二章 轴向拉伸和压缩 9
第三节
应力 拉压应力
Fi1
1. 应力 单位截面积上作用着的内力 平均应力 p ΔF
m
m
ΔA
ΔFn
ΔFt
一点应力
ΔA ΔF ΔF m n m t ΔA ΔA ΔF p lim ΔA 0 ΔA ΔF ΔF lim n lim t ΔA0 ΔA ΔA0 ΔA
材料力学第二章拉压(2)
李禄昌
通知
请各班班长、课代表，到院馆204室 找曲维波老师，商定力学实验安排。
曲老师电话：13306388861。
1
李禄昌
第2-4节 拉伸和压缩时材料的机械性能
材料的力学性能(机械性质):是指材料在外力作用下表现出的变 形、破坏等方面的特性，它是在常温、静载荷作用条件下，由 实验来测定。
铁碳合金中碳含量：0.02% ~ 0.25% 、0.3%~ 0.55%、0.6%~2.11%、
注意电动葫芦在什么位置时 构件受力最大？应分析。
FW
28
2．确定两杆件的轴力
以节点A为研究对象，画受力图。设AB和
AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。 由平衡条件：
Fx＝0， Fy＝0，
FN1 FN2cos＝0 FW FN2sin＝0
sin＝1 ， cos＝ 3
2
2
FN1＝ 1.73FW , FN2＝2FW
19
李禄昌
第2-7节 失效、许用应力与强度条件
的性各能种、问构使题件用用要：不求同构是材不件料同制的工造。作，不时同材，料只有不要同使的机其械性危能险，不截同构件对材料 1、失效面或、破危坏：险构点件最在外大力应作力用下不丧大失于正常极工限作应能力力。，
对构于塑件性就材是料，安当全应的力达吗到？σs 时，构件将产生明显的塑性变
S AB
B
QG
QG
解：(1)计算拉杆轴力：
注意电动葫芦 的位置。
Y 0, SBC sin (G Q) 0
得：
SBC
GQ
sin
又由三角关系知： sin lAC
lBC
代入上式得：
SBC
5 15 0.352
56.8KN
通知
请各班班长、课代表，到院馆204室 找曲维波老师，商定力学实验安排。
曲老师电话：13306388861。
1
李禄昌
第2-4节 拉伸和压缩时材料的机械性能
材料的力学性能(机械性质):是指材料在外力作用下表现出的变 形、破坏等方面的特性，它是在常温、静载荷作用条件下，由 实验来测定。
铁碳合金中碳含量：0.02% ~ 0.25% 、0.3%~ 0.55%、0.6%~2.11%、
注意电动葫芦在什么位置时 构件受力最大？应分析。
FW
28
2．确定两杆件的轴力
以节点A为研究对象，画受力图。设AB和
AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。 由平衡条件：
Fx＝0， Fy＝0，
FN1 FN2cos＝0 FW FN2sin＝0
sin＝1 ， cos＝ 3
2
2
FN1＝ 1.73FW , FN2＝2FW
19
李禄昌
第2-7节 失效、许用应力与强度条件
的性各能种、问构使题件用用要：不求同构是材不件料同制的工造。作，不时同材，料只有不要同使的机其械性危能险，不截同构件对材料 1、失效面或、破危坏：险构点件最在外大力应作力用下不丧大失于正常极工限作应能力力。，
对构于塑件性就材是料，安当全应的力达吗到？σs 时，构件将产生明显的塑性变
S AB
B
QG
QG
解：(1)计算拉杆轴力：
注意电动葫芦 的位置。
Y 0, SBC sin (G Q) 0
得：
SBC
GQ
sin
又由三角关系知： sin lAC
lBC
代入上式得：
SBC
5 15 0.352
56.8KN
材料力学 第二章拉压
—— 安全系数
二、 强度条件 1、 强度条件
讨论：
N max 等截面拉压杆： max A
① 左右端概念不同，左端与载荷、截面有关，与材料无 关，而右端项仅与材料有关，与截面尺寸、载荷无关
② 材料力学中强度设计的思想：设计计算是针对危险 点而进行的，称作极限应力方法 ③ 最大工作应力 —— 危险截面、危险点
极限应力： 材料处于极限状态（失效）时的应力，用ζjx(ηjx)表示。 塑性材料：
jx
S
脆性材料：
jx
b
n
jx
—— 许用应力，构件工作应力不允许超过的数值。
塑性材料： s ns
n s , nb
脆性材料： b nb
n s , nb 1
L
NL EA
P
P
P1
P3
P2
若杆横截面N、A分段为常量： 一般杆件：
L
N i Li EAi
N(x)
L
N ( x) EA
dx
dx
x N(x)
L
例： 已知：钢丝绳L = 50m，P = 10kN，A1 = 323mm2，A2 = 503mm2，q1 = 32.2N/m，q2 = 47.5N/m，E = 150GPa，求ΔL 解：
பைடு நூலகம்据内力图
据应力分布图
强度设计关键：准确判断危险点位置
2、 强度计算：
强度校核
N max A
截面设计（选择） A
N max
确定许可载荷
N max A
三、 实例：
解： 由：
材料力学 第二章 拉压内力和应力
N B A
sin30 = P
α
C
A
σAB
P
3 F AB 260×10 N −6 σAB = MPa = ×10 =119.7 −4 A 2×10.86×10
例 题 2
已知:阶梯形直杆受力如图示。 已知 阶梯形直杆受力如图示。杆各段的横截面面积分别为 阶梯形直杆受力如图示 2500mm 1000mm 杆各段的长度标在图中。 A1＝A2＝2500mm2，A3＝1000mm2；杆各段的长度标在图中。
⊕
2.
σ
σ
正应力为“－”
⊕
τ
剪应力为“－”
τ
正应力为“＋”
剪应力为“＋”
应力的特征（ 应力的特征（续）：
3. 应力的单位 国际单位制 ：N/m2(Pa); 应力的单位( 国际单位制)：
1kPa=103Pa; 1Mpa=106Pa=1N/mm2; 1GPa=109Pa
4. 整个截面上各点的 应力与微面积乘积的合成及为该截面上 的内力： 的内力：
2
τα
σ
2 sin 2α
τ α = pα sin α = σ sin α cos α =
σ α = σ cos 2 α σ τ α = sin 2α 2
上式表达了通过杆内任一点处不同方位斜截面上的正应力和切应 力随α角而改变的规律。 力随α角而改变的规律。 通过一点的所有不同方位斜截面上应力的全部情况称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F
F
F σ= A
F
F
三、斜截面上的应力
m
F • 截面法 F
I
α
II
m
F
α从横截面位置逆时针转动为正
m
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。
为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。
由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。
根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。
在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。
下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。
为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。
杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。
由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。
由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
材料力学第二章 轴向拉压
N or A
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
002材料力学轴向拉压
变横相截同面，上 即变形是m均a 匀x0 的 。因此内0力0 均匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia n可xp9s i分0AAn 4α45解——A59 ——为d0 2c 斜正 横Ao20 截截应s面面p力面面9 和积积A0 44 切550 应2F2力
pcosco2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
cos
(受压)
F
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
F N ma xl2 F r2/l23 32k7N 3 47k8 N
FN
θ
B
F
确定连杆截面尺寸：
AF [N m ]axbh 1.4b2F [N m ]ax
FB
b 3781003(mm )17m3m
1.490
h1.4b24 m2m
1m
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚 为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应 力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia n可xp9s i分0AAn 4α45解——A59 ——为d0 2c 斜正 横Ao20 截截应s面面p力面面9 和积积A0 44 切550 应2F2力
pcosco2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
cos
(受压)
F
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
F N ma xl2 F r2/l23 32k7N 3 47k8 N
FN
θ
B
F
确定连杆截面尺寸：
AF [N m ]axbh 1.4b2F [N m ]ax
FB
b 3781003(mm )17m3m
1.490
h1.4b24 m2m
1m
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚 为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应 力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
材料力学第02章b(拉压)--2
[例9] 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。求各杆的内力。 解:(1)平衡方程:
F x 0 , F N 1 sin F N 2 sin 0
B
3 1
D
C
2 FN3
(1)
横向变形：
μ ——泊松比，材料的常数 Poisson ratio; Poisson's ratio
l l
a , a
a a a
[例5] 圆截面杆，d=10mm，l=1m，Q235钢，E=210GPa， σs=235MPa，F=10kN，求：Δl，ε，σ
(4)
L1
L2Βιβλιοθήκη (4)补充方程:(4)代入(3)得:
L3
A1
FN1 L1 FN 3 L3 cos E1 A E3 A3 1
(5)
(5)由平衡方程(1)、(2)和补充方程(5)组成的方程组，得:
FN1 FN 2 E1 A1 F cos2 2 E1 A1 cos3 E3 A3 ; FN 3 E3 A3 F 2 E1 A1 cos3 E3 A3
FN max ≤ max 安全! A 若 max [ ] ，但不超过5%，不安全，但可以使用。
（2）设计截面尺寸： 已知荷载大小和材料，确定杆子截面面积。
FN max max ≤ A
Amin
FN max [ ]
（3）确定许可载荷： 已知材料和杆子截面面积，确定许可荷载大小
3、解超静定问题的一般步骤：
(1)平衡方程；
(2)几何方程——变形协调方程； (3)物理方程——弹性定律； (4)补充方程：由几何方程和物理方程得； (5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
材料力学02拉压
d h
2、试验仪器：万能材料试验机。
2、试验仪器：万能材料试验机工作原理图。
1上横梁 2立柱 3传感器 4移动横梁 5滚珠丝杠 变形测量 载荷测量
15光栅编码器
6上夹头
7试样 8下夹头 9工作平台 14引伸计 计算机
位移测量
12变压器
2、试验仪器：万能材料试验机工作原理图。
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
a c
b d
受载后
F
a´ c´
b´ d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
s
FN
FN s A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。 3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的截面或截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
A
A 简图
F
截开：
F
F
代替： 平衡：
F
FN
A
x
F
0 FN F 0
FN F
轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN FN FN FN FN >0 FN <0
FN 与外法线反向,为负轴力(压力)
轴力图—— FN (x) 的图象表示。
Fx 0 Fy 0
解得 : FAC
FAC sin 45o FBC sin 30o FAC cos 45o FBC cos30o P
2P 2 6 FBC 2 2P 2 6
FAC
AC : s AC
FAC 103MPa A1
002-材料力学_轴向拉压
σ
F FN
σ =
FN A
拉应力为正 压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
公式适用于轴载作用的杆件。 公式适用于轴载作用的杆件。 变截面杆或分布轴载作 用下横截面正应力计算
σ ( x) =
FN ( x ) A( x )
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ F σ
τ= σ
σ
2
σ
τ=
2
σ
F
2 σ τ= 2
ρgπ
l
ξ )2
叠加原理适用
FN (0) = F
FN (l ) = ( F + P)
dFN ( x) ρgπ 2 d1 (d 2 d1 ) d d ρgπ d d = [d1 + 2 x + ( 2 1 )2 x2 ] = (d1 + 2 1 x) 2 = p( x) dx 4 l l 4 l
单向(单轴) 单向(单轴)应力状态
σ
2
σ τ = 2 σ
2
2
讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应 作顺时针转动的趋势为正。 切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。 力的关系， 力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应 σ max = σ 0 = σ τ0 = 0 横截面上 变相同，即变形是均匀的。 变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分 σ min = σ 90 = 0 τ 90 = 0 布。 纵截面上 σ Fα = ∫ Aoα p α dAτ max p ατ ∫ Aα=dA = p α σ α = σ = = A F
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面， 横截面是杆件内最有代表性的截面， 其上的内力可用截面法求出。 其上的内力可用截面法求出。 由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), ), 轴力。 称为轴力 称为轴力。 由 ∑ Fx = FN ( x) F = 0
材料力学第2章-拉压2
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
FNAD＝－2FP＝ －120 kN； FNDE＝FNEB＝－FP＝ －60 kN； FNBC＝FP＝60 kN。
F
K
p
A
(a)
K
(b)
ΔF p ΔA
(1)应力定义在截面内的一点处； (2)应力是一个矢量。 正应力, 切应力
ΔF dF p lim Δ A 0 Δ A dA
单位：Pa (N/m2)， MPa (106 N/m2)
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾 轴向拉伸和压缩杆件横截面上只有正应力。
A A ＝ cos
FP x＝ A
其中，x为杆横截面上的正应力; Aθ 为斜截面面积
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾
＝ x cos
2
1 ＝ xsin 2 2
由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力， 实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当 论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面 上的应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
绝对变形
弹性模量
FPl FN l Δl EA EA
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要 先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形， 各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：
FNi li Δ l i EAi
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学第二章+拉压
FN4
20kN
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
40kN A B 300 50
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
FN
(kN) 10
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力） FN4=20kN （拉力）
+
20
+
5
FNmax 50( kN ) 发生在BC段内任一横截面上
寸。）
第二章 轴向拉伸和压缩 圣维南原理：
§2.3 拉压杆的应力
在静力等效条件下，不同的加载方式只对加载处附近区 域的应力分布有影响，离开加载处较远的部分，其应力分布 并没有显著的差别。
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.3 拉压杆的应力
例题2-3 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
FN
O
x
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
例题1
一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图.
40kN A 600 B 300
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
第二章 轴向拉伸和压缩
40kN
§2.2 内力计算
55kN 25kN
300
20kN D 400
E
A
600
B
C
500
§2.2 内力计算
1、截面法
截开 在求内力的截面m-m 处， 假想地将杆截为两部分. 代替 取左部分为研究对象。弃去 右部分。弃去部分对研究对 象的作用，以截开面上的内 m F m FN m
F
m
材料力学第02章 拉伸、压缩与剪切
⊕
Ⅰ － ○ 20 kN
⊕
F
x
0
FN1
Ⅰ 80kN Ⅱ
FN2 60 80 0
FN2 20kN
FN2 第三段:
Ⅲ
30kN
60kN
F
x
0
Ⅱ
FN3 30 0
FN3 30kN
FN3
Ⅲ
例2
3kN
画图示杆的轴力图
2kN 2kN 10 kN 4kN 8kN
A
3kN
B
C
D
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数 —许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
§2-6
§2-7 失效、安全因数和强度计算
解： A 轴力图
A1 B
○ －
A2 60kN 20 kN C D 20 kN ⊕
AB
BC
CD
FN AB 40 103 20MPa A1 2000 FN BC 40 103 40MPa A2 1000 FN CD 20 103 20MPa A2 1000
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
§2-2
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
目录
例1
60kN
画图示杆的轴力图
Ⅰ
80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
30kN
第一段:
材料力学第02章(拉压)-06讲解
(2)其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相
应的内力代替。
F4
F1
F4 F3
F1 F2
（3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外
力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的
内力对所留部分而言是外力）。
FR
MO
F4
内力是分布力系，可以求出该
分布力系向形心简化的主矢和
主矩。
F1
[例] 求m-m截面上的内力。
A
2F
2F
D
F
FN图
B
l 3
l
C
l
3
3
F +
F +
–
F
l
n
i 1
FNi li Ei Ai
Fl 3 EA
[例2] 简易起重机，AC杆的面积A1=2172mm2，AB杆的面
积A2=2860mm2，材料均为Q235钢，S=235MPa， b=350MPa，安全因数n=1.5，求许可载荷[F]。
Me
Me
dx
G
dx
五、圆轴扭转时的应力
T
Ip
最大切应力：
max
T Wt
六、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：
（1）实心圆截面：
Ip
d 4
32
Wt
d3
16
(2)空心圆截面：
Ip
D4
32
(1
4
)
(
d D
)
Wt
D3
时的强度计算
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
材料力学-第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
• •
为了便于试验结果的相互比较，材料的力学性 能试验试件应按国家标准《金属拉力试验法》 （GB228-76）制成标准试件 标准试件尺寸 – 拉伸圆截面试件
直径d
工作段长度 l l=5d 或 l=10d
48
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
– 拉伸矩形截面试件
P
A
P B
370
P
3000
240
4000
C
所以，砖柱横截面上的最大应力为压应力，其值为1.1MPa。
36
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
斜截面上的应力
F F
F
FN
F
利用截面法，斜截面 上轴力需和左侧外力F 平衡，所以，斜截面 上轴力 F 大小仍为F 即： F F
F
l 11.3 A
或 l 5.65 A
压缩试件——圆形截面或方形截面的短柱体
d
b
l/d=1~3 或 l/b=1~3
l
l
49
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
•
试验仪器
变形传感器
50
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
拉伸试验装置与拉伸图 ( F-Dl 曲线 )
23
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
轴力与应力：
轴力仅仅是横截面上分布内力系的总体的度量（内力的合 力），不能用来描述、判断杆件截面受力的详细情况 所谓应力就是截面上单位面积的内力，即内力的集度 在国际单位制中，应力单位为牛顿/米2（N/m2）（帕 （Pa） ）或兆牛顿/米2（MN/m2）、兆帕（MPa） 1 MN/m2=1 MPa=106Pa=1N/mm2
• •
为了便于试验结果的相互比较，材料的力学性 能试验试件应按国家标准《金属拉力试验法》 （GB228-76）制成标准试件 标准试件尺寸 – 拉伸圆截面试件
直径d
工作段长度 l l=5d 或 l=10d
48
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
– 拉伸矩形截面试件
P
A
P B
370
P
3000
240
4000
C
所以，砖柱横截面上的最大应力为压应力，其值为1.1MPa。
36
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
斜截面上的应力
F F
F
FN
F
利用截面法，斜截面 上轴力需和左侧外力F 平衡，所以，斜截面 上轴力 F 大小仍为F 即： F F
F
l 11.3 A
或 l 5.65 A
压缩试件——圆形截面或方形截面的短柱体
d
b
l/d=1~3 或 l/b=1~3
l
l
49
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
•
试验仪器
变形传感器
50
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
拉伸试验装置与拉伸图 ( F-Dl 曲线 )
23
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
轴力与应力：
轴力仅仅是横截面上分布内力系的总体的度量（内力的合 力），不能用来描述、判断杆件截面受力的详细情况 所谓应力就是截面上单位面积的内力，即内力的集度 在国际单位制中，应力单位为牛顿/米2（N/m2）（帕 （Pa） ）或兆牛顿/米2（MN/m2）、兆帕（MPa） 1 MN/m2=1 MPa=106Pa=1N/mm2
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y
B
Fx 0 x Fy 0
F N 1co4s5 F N20 FN1si4 n5F0
F
FN1 28.3kN
FN2 20kN
19
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
A
FN1 28.3kN FN2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
F
y
F N 2 45° B x
1
FN1 A1
•§2-8 轴向拉伸和压缩时的变形
•§2-9 轴向拉伸和压缩的应变能
•§2-10
拉伸、压缩超静定问题
•§2-11 温度应力 和 装配应力
•§2-12 应 力 集 中 的 概 念
•§2-13 剪 切和挤 压的实用计算
•
小
结
2
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
3
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
当 α ＝ 00 时
拉杆 压杆
σ max = σ σ min = -σ
( 2 ) 最大 最小切应力
当 α ＝+45 0 时
m ax 450
sin
2
2
m in 450
2
当α ＝900 时
σ =0说明纵向无Βιβλιοθήκη 应力τ maxσ/2
450
τ min
450
σ/2
22
目录
§2-4 材料拉伸时的力学性能
4
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
5
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
6
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
7
目录
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
8
目录
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
p — 比例极限 e — 弹性极限
E tan
26
目录
§2-4 材料拉伸时的力学性能
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 l0 100% 断面收缩率 A0 A1 10% 0
l0
由于外力的作用线与
m
杆件的轴线重合，内力的
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
2、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F0
FN F
3、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
10
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力 例题2-1
A
F1 F1 F1
FNkN
1 B 2 C 3D
1、变形方面（配图） 平面假设： 纵向纤维假设：
const
0
2、物理关系
const 0
3、静力关系
14
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
FN =∫Aσ dA
FN =σA
15
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
FN
A
该式为横截面上的正应力 σ计算公式。正应力σ和轴力 FN同号。即拉应力为正，压应 力为负。
FN3F425kN
x
2、绘制轴力图。 11
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
12
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
二、横截面上的应力—正应力 杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面
积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
13
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
力学性能：力作用下材料所体现的物理性质的数据
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
23
目录
§2-4 材料拉伸时的力学性能
24
目录
§2-4 材料拉伸时的力学性能
二 低 碳 钢 的 拉 伸
25
目录
§2-4 材料拉伸时的力学性能
e
2、屈服阶段bc（失去抵
b f 抗变形的能力）
e p
b a c s
s — 屈服极限
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
3
F4
出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
10
AB段 BC段
Fx 0
FN1F110kN
Fx 0 FN2F2 F1
F4
25 CD段
FN2 F1F2 102010kN
Fx 0
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
一、内力—轴力
m
F
F
m
F
FN
FN
F
Fx 0 FN F0
1、截面法求轴力（内力）
切: 假想沿m-m横截面将杆 切开 留: 留下左半段或右半段 代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
FN F
平: 对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
9
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
斜截面上的应力为
pF A P
FPcoscos
A
pα斜截面上的应力称为全应力
FP
pcosco2s2(1co2s) psinsincos2sin2
---斜截面上的应力计算公式
pα FN＝FP
σα α pα τα
21
目录
§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
2. 最大应力和最小应力
（1）最大 最小正应力
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN2 A2
20103 152 106
F
89106Pa 89MPa
20
目录
§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
1. 任意斜截面上的应力
图示直杆拉力为FP 横截面面积A
FP
横截面上正应力为
A αAα
FP
FN FP
AA
FP
材料力学02拉压
第二章 拉伸与压缩
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
•§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
•§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
•§2-4
材料拉伸时的力学性能
•§2-5
材料压缩时的力学性能
•§2-6 温度和时间对材料力学性能的影响
•§2-7 失效、安全因数和强度条件
关于应力分布的均匀性 — 圣文南原理
16
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
圣 文 南 原 理
如用与外力系等效的合力代替原力系,则除在原力系 作用区域内横截面上的应力有明显差别外,在离外力 作用区域略远处（距离约等于截面尺寸）, 上述代替 的应力影响就非常小,可以略去不计.
17
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
18
目录
§2-2 轴向拉伸和压缩横截面上的内力和应力
例题2-2
A
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
1
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为
15×15的方截面杆。
45° B 解：1、计算各杆件的轴力。
C
2
（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
FN1
F N 2 45°
F 用截面法取节点B为研究对象