高考球类型及例题

高考球类型及例题 Prepared on 22 November 2020

高

考球类型及例题

1、球定义

2、球面距离经度纬度：此类题主要目的在于明确经度和纬度概念，注意及利用圆的有关性质，弧长公式，球的截面的性质等

球截面：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两 个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

3、球内接多面体：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题

4、多面体内切球、：解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．

5、

球与球外切：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比

总之：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步

熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．

类型例题一球定义

例1 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A ．有且只有一个

B ．一个或无穷多个

C ．无数个

D ．以上均不正确

分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B ．

答案：B 说明：解此易选出错误判断A ．其原因是忽视球心的位置． 类型例题二球面距离经度纬度

例1．已知地球的半径为R ，球面上B A ,两点都在北纬45 圈上，它们的球面距离为R 3π

，A 点在东经30 上，求B 点的位置及B A ,两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．

分析：求点B 的位置，如图就是求B AO 1∠的大小，

只需求出弦AB 的长度．对于AB 应把它放在OAB ∆中

求解，根据球面距离概念计算即可．

解：如图，设球心为O ，北纬45 圈的中心为

1O ，

由B A ,两点的球面距离为R 3π

，所以AOB ∠=3

π， ∴OAB ∆为等边三角形．于是R AB =．

由R R B O A O 2

245cos 11=⋅== ， 22121AB B O A O =+∴．即B AO 1∠=2

π． 又A 点在东经30 上，故B 的位置在东经120 ，北纬45 或者西经60 ，北纬45 ．

B A ,∴两点在其纬线圈上所对应的劣弧R A O ππ

4

221=⋅． 说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．

类型例题三球截面

例1 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和

2400cm π．求球的表面积．

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．

解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．

∵ππ4922=⋅B O ，∴)(72cm B O =

同理ππ40021=⋅A O ，∴)(201cm A O =

设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．

在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2227)9(++=x R ，

∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，

∴22222520=+=x R ，∴25=R

∴)(2500422cm R S ππ==球．

∴球的表面积为22500cm π．

例2．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的

表面积．

分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再

根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形

等图形，利用方程思想计算可得．

解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,B A B A ，上述大圆的垂直于11B A 的直径交2211,B A B A 于21,O O ，如图2．

设2211,d OO d OO ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2222

222121152427R d R d d d ，解得25=R ．

)(2500422cm R S ππ==∴圆．

说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．

例3 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为R 2π

，求过

A 、

B 的平面中，与球心的最大距离是多少

分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为R 2π，转化为球心角2π

=∠AOB ，从而

R AB 2=，由关系式222d R r -=，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径，r 最小．

解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为

R 2π． ∴2π

=∠AOB ，∴R AB 2=．

当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时R AB r 2221==

，d 取最大值， R r R d 2222=

-=， 即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为R 2

2． 说明：利用关系式222d R r -=不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB ∠有关，而球心角AOB ∠又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．