《微积分基础》模拟试题

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《微积分基础》形考作业1-4

微积分基础形成性考核作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数)2ln(1)(-=x x f2．函数xx f -=51)(3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=．4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f x 2+6．5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x ，则=)0(f 2 ．6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f x 2−1 ．7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 x =−1 ．8．=∞→xx x 1sinlim 1 ．9．若2sin 4sin lim0=→kx xx ，则=k 2 ． 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k 32 ．二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数222)(x x x x f -+=的图形是关于（ D ）对称．A ．x y =B ．x 轴C ．y 轴D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x6．函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ D ）．A ． ),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,0(+∞⋃D ．),2()2,1(+∞⋃7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ C ）A ．)1(+x xB ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x8．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)(B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A ．x 1B ．x x sinC ．)1ln(x +D ．2xx10．当=k （ B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续。

微积分基础形成性考核作业(一)

微积分基础形成性考核作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是． 2．函数x x f -=51)(的定义域是． 3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是． 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ．5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x ，则=)0(f ． 6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 7．函数1322+--=x x x y 的间断点是． 8．=∞→xx x 1sin lim ． 9．若2sin 4sin lim 0=→kxx x ，则=k ． 10．若23sin lim 0=→kxx x ，则=k ．二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 3．函数222)(xx x x f -+=的图形是关于（）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++D ．2x x +5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x6．函数1()ln(1)f x x =- ）． A ． (1,225⋃）（，） B ．(1,225]⋃）（，C ．(5]-∞，D ．),2()2,1(+∞⋃7．设2(1)+21f x x x +=-，则=)(x f （）A ．21x -B ．22x -C ．2+1xD ．22x +8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（）.A ．x 1B ．x x sinC ．)1ln(x +D ．2xx 10．当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1-11．当=k （）时，函数e 2,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈计算极限42lim 222---→x x x x ．2．计算极限165lim 221--+→x x x x3．329lim 223---→x x x x4．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x5．计算极限6586lim 222+-+-→x x x x x ．6．计算极限x x x 11lim 0--→．7．计算极限x x x 4sin 11lim 0--→8．计算极限244sin lim 0-+→x xx ．。

微积分的模拟试题

微积分的模拟试题1. 求下列函数的导数：(1) f(x) = 3x^2 + 2x - 1(2) g(x) = e^x + 2ln(x)(3) h(x) = sin(x) + cos(x)解答：(1) f'(x) = 6x + 2(2) g'(x) = e^x + 2/x(3) h'(x) = cos(x) - sin(x)2. 求下列函数的不定积分：(1) F(x) = 2x^3 + 5x^2 + 4x + 1(2) G(x) = e^x + ln(x)(3) H(x) = 3sin(x) + 4cos(x)解答：(1) ∫F(x)dx = (2/4)x^4 + (5/3)x^3 + 2x^2 + x + C，其中C为常数。

(2) ∫G(x)dx = e^x + xln(x) - x + C，其中C为常数。

(3) ∫H(x)dx = -3cos(x) + 4sin(x) + C，其中C为常数。

3. 求曲线y = f(x)在给定区间上的定积分：(1) ∫[0, 1] (2x^2 + 3x - 1)dx(2) ∫[1, 2] (e^x + ln(x))dx(3) ∫[0, π/2] (sin(x) + cos(x))dx解答：(1) ∫[0, 1] (2x^2 + 3x - 1)dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x |[0, 1] = 17/6(2) ∫[1, 2] (e^x + ln(x))dx = e^x + xln(x) - x |[1, 2] = e^2 + 2ln(2) - 2(3) ∫[0, π/2] (sin(x) + cos(x))dx = -cos(x) + sin(x) |[0, π/2] = 24. 求给定曲线的弧长：(1) 曲线y = x^2，从x = 0到x = 1的弧长(2) 曲线y = ln(x)，从x = 1到x = e的弧长(3) 曲线y = sin(x)，从x = 0到x = π/2的弧长解答：(1) 弧长= ∫[0, 1] √(1 + (2x)^2)dx = ∫[0, 1] √(1 + 4x^2)dx = (1/4)(2x√(1 + 4x^2) + ln(2x + 2√(1 + 4x^2))) |[0, 1] = ln(2 + 2√5) + √5/2(2) 弧长= ∫[1, e] √(1+ (1/x)^2)dx = ∫[1, e] √((x^2 + 1)/x^2)dx = ln(x + √(x^2 + 1)) |[1, e] = ln(2 + √5)(3) 弧长= ∫[0, π/2] √(1 + cos^2(x))dx = ∫[0, π/2] √(1 + (1 - sin^2(x)))dx = ∫[0, π/2] √2cos(x)dx = √2sin(x) |[0, π/2] = √25. 判断下列级数的收敛性：(1) ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)(2) ∑(n=1 to ∞) (1/n)(3) ∑(n=1 to ∞) ((-1)^n/n)解答：(1) 这是一个收敛的p级数，其中p > 1，因此该级数收敛。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

《微积分基础》形成性考核作业(一)~(四)

微积分基础形成性考核作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．2．函数x x f -=51)(的定义域是． 3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ．5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x ，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f． 7．函数1322+--=x x x y 的间断点是．8．=∞→xx x 1sin lim 1 ． 9．若2sin 4sin lim 0=→kxx x ，则=k 2 ．10．若23sin lim 0=→kxx x ，则=k ．二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数222)(xx x x f -+=的图形是关于（D ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（ C ）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++D ．2x x +5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x6．函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ D ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,0(+∞⋃D ．),2()2,1(+∞⋃7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ C ）A ．)1(+x xB ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x8．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)(B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 10．当=k （ B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 曲线y = e^x在点(0,1)处的切线斜率为（）。

A. 0B. 1C. eD. e^0答案：C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分为（）。

A. cos(x) + CB. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. -sin(x) + C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。

A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，其在x=1处的极小值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的二阶导数为 ________。

答案：12x - 127. 曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周形成的立体体积为 ________。

答案：π8. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为 ________。

答案：1/39. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点为 ________。

答案：-110. 微分方程dy/dx = 2x的通解为 ________。

答案：y = x^2 + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫(0,2) (x^2 - 2x + 1) dx。

解：∫(0,2) (x^2 - 2x + 1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x](0,2) = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/3。

12. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

解：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1, 2/3。

经检验，x = 1为极小值点，x = 2/3为极大值点。

《微积分基础》作业

《微积分基础》作业微积分基础形成性考核作业(一)————函数,极限与连续一、填空题(每小题2分,共20分)1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域就是 .2.函数x x f -=51)(的定义域就是 .3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域就是 .4.函数72)1(2+-=-x x x f ,则=)(x f .5.函数>≤+=0e 02)(2x x x x f x ,则=)0(f .6.函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f .7.函数1322+--=x x x y 的间断点就是. 8.=∞→x x x 1sin lim .9.若2sin 4sin lim 0=→kx xx ,则=k .10.若23sin lim 0=→kx xx ,则=k .二、单项选择题(每小题2分,共24分)1.设函数2e e xxy +=-,则该函数就是( ).A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.设函数x x y sin 2=,则该函数就是( ).A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.函数222)(xx x x f -+=的图形就是关于( )对称. A.x y = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点4.下列函数中为奇函数就是(). A.x x sinB.x lnC.)1ln(2x x ++D.2x x + 5.函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为( ). A.5->x B.4-≠x C.5->x 且0≠x D.5->x 且4-≠x6.函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域就是( ). A. ),1(+∞ B.),1()1,0(+∞?C.),2()2,0(+∞?D.),2()2,1(+∞?7.设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( )A .)1(+x xB .2xC .)2(-x xD .)1)(2(-+x x8.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A.2)()(x x f =,x x g =)(B.2)(x x f =,x x g =)(C.2ln )(x x f =,x x g ln 2)(=D.3ln )(x x f =,x x g ln 3)(=9.当0→x 时,下列变量中为无穷小量的就是( )、A.x 1 B.x x sinC.)1ln(x +D.2xx 10.当=k ( )时,函数=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续。

高中数学模拟考试：微积分基础

高中数学模拟考试：微积分基础当然可以，请看以下试题：1. 选择题：微积分的定义是什么？A. 极限的应用B. 变化率的研究C. 函数的积分D. 面积的计算2. 填空题：计算 $ \int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \, dx $。

3. 选择题：微积分的基本定理是什么？A. 牛顿-莱布尼茨公式B. 泰勒展开定理C. 隐函数定理D. 中值定理4. 填空题：函数 $ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $ 在区间 [0, 2] 上的定积分是 \_\_\_\_。

5. 选择题：导数的定义是什么？A. 函数在某一点的斜率B. 函数的变化率C. 函数的积分D. 函数的极限6. 填空题：求函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $ 在点 x = 2 处的导数。

7. 选择题：泰勒级数用于描述什么？A. 函数的渐近行为B. 函数的连续性C. 函数的凹凸性D. 函数在某点的局部性质8. 填空题：计算 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $。

9. 选择题：积分的主要应用是什么？A. 曲线的长度计算B. 曲线下面积的计算C. 函数的导数计算D. 泰勒级数的计算10. 填空题：函数 $ h(x) = e^x $ 在点 x = 1处的二阶导数是 \_\_\_\_。

11. 选择题：定积分的几何意义是什么？A. 曲线的斜率B. 曲线的长度C. 曲线的面积D. 曲线的曲率12. 填空题：计算 $ \int_0^1 x^2 \, dx $。

13. 选择题：微分的作用是什么？A. 求函数的变化率B. 求函数的面积C. 求函数的不定积分D. 求函数的导数14. 填空题：函数 $ k(x) = \ln x $ 在点 x = 3处的导数是 \_\_\_\_。

15. 选择题：牛顿-莱布尼茨公式用于计算什么？A. 定积分B. 不定积分C. 微分方程D. 高阶导数16. 填空题：计算 $ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $。

微积分模拟考试试题及答案

微积分模拟考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3的导数是：A. 6x^2 - 10x + 7B. 6x^2 - 10x + 6C. 6x^2 - 8x + 7D. 6x^3 - 10x^2 + 72. 曲线y = x^2 + 3x - 2在x = 1处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 73. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -cos(x) - sin(x) + CC. cos(x) - sin(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C5. 函数y = ln(x)的反函数是：A. e^xB. x^eC. 1/xD. √x二、填空题（每空1分，共10分）6. 函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5的二阶导数是______。

7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 2处的切线方程是______。

8. 定积分∫[1,2] (3x + 1) dx的结果是______。

9. 函数f(x) = 2e^x的原函数是______。

10. 函数y = x^2的反函数是______。

三、简答题（每题5分，共15分）11. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。

12. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值点。

13. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。

四、解答题（每题10分，共20分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其在x = 1处的泰勒展开式。

15. 利用定积分求曲线y = 2x - 1与x轴围成的面积。

五、综合题（每题15分，共15分）16. 一个物体从静止开始，以初速度0，加速度a = 3t^2（m/s^2）加速运动。

微积分基础习题

微积分基础习题微积分是数学的一个重要分支，也是理工科学生必修的一门课程。

通过学习微积分，我们可以深入了解函数的性质、曲线的形状以及变化的规律。

为了帮助大家更好地掌握微积分，本文将为你提供一些基础习题，希望能够帮助你巩固相关知识。

1. 求下列函数的导函数：（1）$f(x) = x^2 + 3x - 2$（2）$g(x) = \frac{2}{x} - 3x^2$（3）$h(x) = e^x + \sin(x)$2. 求下列函数的不定积分：（1）$\int (2x + 5)dx$（2）$\int (3e^x + \cos(x))dx$（3）$\int \frac{1}{x}dx$3. 计算下列定积分：（1）$\int_0^1 (2x + 1)dx$（2）$\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)dx$（3）$\int_0^\pi (\sin(x) + \cos(x))dx$4. 求下列函数的极限：（1）$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$（2）$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$（3）$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$5. 求下列函数的相对极值点：（1）$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$（2）$g(x) = x^2 e^x$6. 判断下列级数的敛散性：（1）$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$（2）$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$（3）$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$希望通过以上习题的练习，你对微积分的基础知识有了更深入的理解。

如果你在解答过程中有任何疑问或困惑，可以及时向老师或同学寻求帮助，共同进步。

祝你在微积分学习中取得优异的成绩！。

微积分练习100题及其解答

《微积分》练习100题及其解答1．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解：∵，)0(~1→-x xe x ∴．()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2．求极限：．xx e e x x x sin lim sin 0--→解：∵，∴．)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者：记，则当时，在之间满足Lagrange 定理的条件，存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在（介于与之间），使得，从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--，所以，．1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3．求极限：．()x xx x e1lim+→解：；()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者．()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4．求极限：．01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：，而，所以，．01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5．求极限：．())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解：．()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6．求极限：．()00x αα→>解：．()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7．求极限：．lim(0)x αα→>解：．()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8．求极限：．(0)x αα→>解：．012x α→=-9．设函数在内，讨论的单调性．)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解：，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时，，而，则，即，从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增；同理，当时，递增．x x f y )(=0<x xx f y )(=所以，在内单调增加．xx f y )(=()∞+∞-,10．设函数，求：（1）的极大值；（2）()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值．M a 解：（1），而，所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ；a a a f M 232)(3-=-=（2）时，，此时，0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为．M 34)1(-=M 11．求极限：．22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解：()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭．320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解：2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭；222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解：；211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14．求极限：．1lim arcsin xx e x +→解：∵，∴．arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解：．22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16．求极限：．2120lim x x x e→解：．22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17．求极限：．lim sin ln x x x +→解：．00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18．求极限：．1lim x -→解：11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19．求极限：．xx xx x sin tan lim 20-→解：．22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20．求极限：．()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解：()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21．求极限：．()2lim sec tan x x x π→-解：．()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解：()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰．1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解：．()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解：()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25．求积分：．dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27．求积分：．1sin 1cos2xdx x--⎰解：()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰．()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28．求积分：．1sin 1cos2xdx x -+⎰解：()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan sec 2x x C =-+29．求积分：．1cos 1cos2xdx x-+⎰解：()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30．求积分：．1cos 1cos2xdx x--⎰解：．()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31．求积分：．1arctan21xedx x +⎰解：．1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32．求积分：．2x dx解：222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭．(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33．求积分：．211x dx e +⎰解：⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者：⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(．[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234．求积分：．()21xxe dx x +⎰解：()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰．11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35．求积分：．211dx x x -+⎰解：2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰．211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36．求积分：．2141dx x x -+⎰解：()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰．21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37．求积分：．dx解：22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰．))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38．求积分：．解：设，则，，x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭．)2ln1orx C -+39．求积分：．21443dx x x +-⎰解：．21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40．求积分：．23222x dx x x --+⎰解：222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰．()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41．求积分：．2dx x⎰解：设，则，，t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=．()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42．求积分：．2dx x ⎰解：设，则，，θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=．()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43．求积分：．⎰++dx x x 1)2(1解：消去根号，记，t =122122+=+=-=t x tdtdx t x．()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44．求积分：．⎰-+dx x x x21解：记，3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222．C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245．求积分：．⎰++dx x x x21解：记，1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222．C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246．求积分：．2dx x -⎰解：记，2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=，．2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47．求积分：．解：记，232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ．Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248．求积分：．⎰++dx x 3111解：记，dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=．22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49．求积分：．()⎰-dx x xx 2321arcsin 解：设：，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50．求积分：．()()2213xdx xx ++⎰解：．()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51．假设某种商品的需求量，商品的总成本是，每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大时商品单价（单位：元）和最大利润额．P 解：收入，28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本，P Q C 40006250005025000-=+=总利润，649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润，16160160+-='-'='P C R L 令，得，此时，有最大利润（元）．0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52．一商家销售某种商品的价格（万元/吨），为销售量，商品的成本函数x P 2.07-=x 是（万元）．（1）若每销售1吨商品，政府征税t （万元），求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量；（2）t 为何值时，政府税收最大？解：（1）收入，总成本，22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收，总利润，tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润；令，得，此时，有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润；（2），，令，得，所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大．53．求积分：．()322arcsin 1x xdx x -⎰解：设，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54．已知的一个原函数为，求积分：．()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解：∵，()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰．()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55．设是三阶可导函数，，而．求．()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解：由已知，，，，从而；()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56．设，求．()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解：对等式两边求导．得，()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理，得，2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---．()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57．已知，其中二阶可微，求．()y f x y =+()f u 22d ydx 解：，．()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导，()()1y f x y y '''=++，()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++．()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58．已知，求．0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解：由已知，，或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò，()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取，有，t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò．()2f t dt p\=ò59．求积分：．121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解：1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò．21521232x x xee +==60．求极限：．2240sin lim x x xx®-解：224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=．3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而，22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里？61．计算．x ò解：记，代入，得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò．()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62．求积分：．()12ln 11x dx x++ò解：令，，，，11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入，则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò．112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63．求积分：1ò解：记212t x t dx tdt==-=-当时，；当时，，则0x =t 1=1x =0t =原式．110202212dt arctgtt p ===-ò64．设在内有意义，且（1）可导；（2）有反函数；（3）()F x ()0,+¥()x j ．求．()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解：由（3）可知，时，，0x =()()010F t dt j =ò()01F =记，则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对（3）的式子两边求导，有，即．()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而，故．()01F =()233211132F x x x =-+65．求积分：1ò解：11I -==òò．112-==òò12arcsin tp ==66．求积分：1ò解：令sin 02x t t p =<<．()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67．证明：．()4011212n tg xdx n np<<+ò证明：记，则．14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68．求积分：．244sin 1xxdx ep p --+ò解：．224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69．设，且，则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根．解：记，，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò，而．；()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加．因此，在内只有一个根．()F x \(),a b ()F x (),a b 70．在上连续可微，且满足．试证存在一点．使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î．()()0f f x x x ¢+=证：设．则，()()F x xf x =()()0000F f =´=．()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微，由积分中值定理，必存在一点，使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø，在上，满足Rolle 定理的三个条件，固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ，使得．即．x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71．设求，．()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解：由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另，时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø；()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+．()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72．设在上连续，且，证明：必存在，使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î．()()1f f x x +=证明：记，则在上连续，因而有最大（小）值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -，，；()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而，，…，；()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而，()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而，必存在，使，即()0,n x Î()0j x =．()()1f f x x +=73．证明：函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,0证明：任取两点，，不妨设，则，考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-；()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即；2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以，对于任意小的正数，取，当时，必有0>ε3εη=η<-21x x 成立，ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,074．函数在上有定义，且（1），（2）对于在，)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ，则（为常数）．)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明：任取，记，，，…，()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===，…．则1211-==-n x x x n n 由可知，，即)()(2x f x f =)()(x f x f =；)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到，故)0(1lim >=+∞→x x n n ；)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而，从而)1()(lim 1f x f x =→；)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以，（为常数）．C x f ≡)()1(f C =75．求极限：．21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解：注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且，111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76．已知，，求．12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解：很明显，，，，，12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以，，单调有界，存在；1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得，注意到，解得．lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77．设函数，求．xx y +=12()n y 解：，，11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ，()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得：．()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78．设函数在区间上连续，在内可导，且，()x f []0,1()0,1()()010==f f ．试证：121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在，使；1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数，必存在，使得．λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明：（1）设，则在区间上连续，在内可导，且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1，，，则存在，，即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=．()ηη=f （2）记，在区间上连续，在内可导，且，()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =，则由定理，必存在，使得，即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=．()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79．判断级数的敛散性．11nn ¥=åò提示：．220001122n xdx n n>=®<òòò80．证明：当时，.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明：记，则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理，比存在一点，使得：()x 0∈ξ，()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而，，x <<ξ011111<+<+ξx ∴，)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181．求在条件下，()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点．解：利用拉格朗日乘数法，设，()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-，则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩．1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82．设随机变量，问：当取何值时，落入区间的概率最大？()2~,X N μσσX ()1,3解：因为，()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=，{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法，有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得，则；又，故．404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大．σ=X ()1,383．设，讨论方程的实数根．x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解：（1）显然，当时，方程没有实根；0λ=0=-x e x λ（2）当时，方程有唯一实根；0λ<0=-x e xλ（3）当时，；曲线为下凸的，0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型；由可知，驻点，极小值，0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知，当时，方程没有实根；e <<λ00=-x e x λ当，极小值，方程只有一个实根；e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当，极小值，方程有2个实根．e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84．函数的单调增减区间、凹凸区间与极值．()()()211f x x x =-+解：，()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点：；()0f x '=113x ,=-由上可知，函数在与内单调递增，在内递减；极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值，极小值；()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得，因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数曲线上凸；在内下凸，如下图．()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85．已知收益函数为，其中为价格，为需求量，求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益．MR 解：因为，所以需求函数，边际收益函数为，且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为；60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时，，此时的边际收益．2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86．设函数，求其渐近线．xx exe x f y 111)(+==解：首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线：x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为，，，所以，1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线；xx exex f y 111)(+==由于，()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线：．xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87．求函数曲线的渐近线．()1ln 1x y e x=++解：显然，，为其垂直渐近线；()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =，为其水平渐近线；()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又，，，因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线．y x=88．若，试证明：与具有相同的敛散性．lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明：问题为讨论两个正项级数的敛散性，可以用比较法的极限形式，因为不是具体的级数形式．记，则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见，与具有相同的敛散性．∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89．讨论下列级数的敛散性：（1）2）；（3）；（4）1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n（5）；（6）；（7）．()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解：（1）当充分大时，比如时，有，从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时，，()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知，当时，，所以，∞→n 1→1n ∞=（2）注意到，这是正项级数，当时，(等价无穷小)，0→x x x ~tan 所以，而后者收敛,所以收敛．11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑（3）利用柯西判别法：也是正项级数，,可见原()33113n+-=<→级数收敛；事实上，，，)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛，且同为正项级数，因而原级数收敛．3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑（4）因为，()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法：取，则21nv n =；()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭，()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以，与同时收敛．()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n（5）条件收敛．（6），发散．()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑（7）=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞．()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面，==,；()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见，原级数非绝对收敛；但是单调减少且趋于0，所以，原级数条件收敛．()x x e e -+ln 190．若正项级数与都发散，讨论与的敛散性．1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解：，，{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--（1）显然，，或者，故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散；{}1max ,nnn u v ∞=∑（2）而的敛散性未定．{}1min ,nnn u v ∞=∑例如，若，()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ，()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。

数学微积分考试题目及答案

数学微积分考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数是：A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 3xC. 6x^2 + 3xD. 6x^2 - 3x + 1答案：A2. 曲线y = x^2 + 2x在点(1, 3)处的切线斜率是：A. 4B. 2C. 3D. 1答案：C3. 函数f(x) = e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. e^x / x + C答案：A4. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 函数f(x) = sin(x)的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B6. 曲线y = ln(x)在x = e处的切线方程是：A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1/e * x + 1 - 1/eD. y = -1/e * x + 1 + 1/e答案：C7. 函数f(x) = x^3的二阶导数是：A. 3x^2B. 6xC. 6x^2D. 18x答案：B8. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标是：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (3, 0)答案：B9. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. 无法确定答案：B10. 函数f(x) = 1/x的不定积分是：A. ln|x| + CB. ln(x) + CC. 1/x + CD. -ln|x| + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极小值点是__x = 2__。

2. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处的切线斜率为__-1__。

微积分基础练习题

微积分基础练习题导数基本公式：积分基本公式：（c ）′=0 ⎰dx 0=c（x a ）′=ax a-1⎰dx x a =a x x a ln 1+ （a x ）′= a x lna(a>0且a ≠1) ⎰dx a x =a a xln +c(a>0且a ≠1) （e x ）′= e x⎰dx e x =e x +c （log a x ）′=a x ln 1( a>0且a ≠1) （lnx ）′=x 1 ⎰+=c x dx x ln 1（sinx ）′=cosx⎰+-=c x xdx cos sin （cosx ）′=- sinx ⎰+-=c x xdx sin cos（tanx ）′=x 2cos 1 ⎰+=c x dx x tan cos 12（cotx ）′=x 2sin 1 ⎰+-=c x dx x n cot si 12一、单项选择题1.设函数y=xsinx,则该函数是（）。

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（）。

A.xx sin B.ln(1+x) C.xsinx1 D. x x +1 3.若函数)(x f 在点x 0处可导，则（）是错误的。

A.函数)(x f 在点x 0处有定义B.函数)(x f 在点x 0处连续C.函数)(x f 在点x 0处可微 C.lim )(x f =A,但A ≠)(x 0f4.若)0()(>+=x x x x f ,则=dx x f )(（）。

A.c x x ++23223 B. c x x ++2 C.c x x ++ D.2323221x x ++c 5.下列微分方程串为可分离变量方程的是（） A.)ln(y x dx dy ⋅= B. x y e dxdy += C. y x e e dx dy += D. )ln(y x dx dy += 二、填空题6.若函数74)2(2++=+x x x f ，则)(x f =7.若函数=)(x f ==⎩⎨⎧=≠+k x x k x x 处连续，则在00,0,22 8.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是9.dx e x 20⎰∞-=10.微分方程()x y xy y sin 45)4(3=+''的阶数为三、计算题11.计算极限234222lim +--→x x x x 。

高三数学微积分基础专项练习题及答案

高三数学微积分基础专项练习题及答案第一题：已知函数$f(x) = x^3 - 2x^2 +1$，求函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数：$f'(x) = 3x^2 - 4 x$$f''(x) = 6x - 4$接下来，我们需要找出函数的驻点和拐点。

求导得：$f'(x) = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{4}{3}$。

再次求导得：$f''(x) = 0$，解得$x = \frac{2}{3}$。

接下来，我们需要分别求出在驻点和拐点处的函数值，并将它们与区间[-1,2]的端点所对应的函数值比较。

当$x = -1$时，$f(x) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 1 = -2$；当$x = \frac{2}{3}$时，$f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 -2\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1 \approx 0.0741$；当$x = \frac{4}{3}$时，$f(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 -2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1 \approx 1.4074$；当$x = 2$时，$f(x) = 2^3 - 2(2)^2 + 1 = -1$。

因此，在区间[-1,2]上，函数$f(x)$的最大值为1.4074（当$x =\frac{4}{3}$），最小值为-2（当$x = -1$）。

答案：最大值为1.4074，最小值为-2。

第二题：求函数$g(x) = \int_{0}^{x} (e^t - t)dt$的原函数。

解析：根据定积分的性质，我们可以先求出原函数的导函数，再反求原函数。

首先，将定义在[0, x]上的函数$e^t - t$积分，得到：$G(u) =\int_{0}^{u} (e^t - t) dt$，其中，$u$是一个变量。

微积分试卷含答案

微积分考试试题一、填空题（每题3分，共10题）1，=++++∞→nn n n n n 1)8642(lim 。

2、函数)(x f 的定义域为实区间 (0 , 1) , 则)1(-x f 的定义域是。

3，曲线3)(x e x f =中的凸曲线所对应的开区间是。

4，),31ln(2)(x xx f +=设为使其在0=x 处连续，需补充定义=)0(f 。

5，已知2)0(='f ，则 =-→xx f x f x )()5(lim 0 。

6，)(x f 任意阶可导，且)4()3()2()1(f f f f ===，则0)(=''x f 至少有个实根。

7，设,sin x y = 则 =)2011(y 。

8，函数22+=-x e y x 的单调递增开区间是。

9，=+⎰dx x x 21arctan 。

10，若x x f +='1)(ln ，且,0)0(=f 则=)(x f 。

二、选择题（每题3分，共5题）1，下列各式中，正确的是（）。

)()(,22x f dx x f dxd A =⎰ )()(,x f dx x f dx d B ='⎰ )()(,x df dx x f d C =⎰ dx x f d x df D ⎰⎰=)()(, 2，当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（）。

2.x A x B cos 1.- 11.2--x C x x D sin .-3，)(x f 定义域为),(+∞-∞，且,1)(lim =∞→x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10),1()(x x x f x g 。

则0=x 是)(x g 的（）。

A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 不一定，要看)(x f 公式 4，连续函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（）。

0)(.0≠'x f A 0)(.0=x f B 0)(0)(.00<''='x f x f C 且 0)(.0='x f D 或不存在 5，下列说法仅有一个正确，它是（）。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $ 的导数是：A. $ 2x - 4 $B. $ 2x + 4 $C. $ x^2 - 4 $D. $ x - 2 $2. 曲线 $ y = x^3 - 6x^2 + 9x $ 在 $ x = 3 $ 处的切线斜率是：A. 0B. 3C. 6D. 93. 若 $ f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7 $，求 $ f'(1) $ 的值是：A. 12B. 10B. 8D. 64. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{2}{3} $D. $ \frac{3}{4} $5. 函数 $ g(x) = \sin(x) + \cos(x) $ 的原函数 $ G(x) $ 是：A. $ -\cos(x) + \sin(x) + C $B. $ \sin(x) - \cos(x) + C $C. $ \sin(x) + \cos(x) + C $D. $ \cos(x) + \sin(x) + C $6. 函数 $ h(x) = \ln(x) $ 的导数是：A. $ \frac{1}{x} $B. $ \frac{1}{x^2} $C. $ \frac{1}{x+1} $D. $ \frac{1}{x-1} $7. 若 $ F(x) = \int_{1}^{x} e^t \, dt $，求 $ F'(x) $ 的值是：A. $ e $B. $ e^x $C. $ e^1 $D. $ e^{-1} $8. 函数 $ p(x) = e^x - x - 1 $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式是：A. $ e^x - x - 1 $B. $ 1 - x $C. $ e^x $D. $ 1 $9. 函数 $ q(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 无穷大10. 函数 $ r(x) = \frac{x^2}{x-1} $ 在 $ x = 2 $ 处的导数是：A. 4B. 5C. 6D. 7二、简答题（每题10分，共30分）11. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 在区间 $ [0, 3] $ 上的定积分。

微积分题目3

微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题1 （2）设y x =lg2，则d y =（ B ）．A ．12d x xB ．1d x x ln10C ．ln10x x dD ．1d x x 2设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '-3函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 a>0 ． 4下列等式成立的是（ C ）．A ．)(d )(d x f x x f =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d dx f x x f x =⎰D ．)()(d x f x f =⎰5以下等式成立的是（ D ）A ． )1d(d ln xx x = B ．)(cos d d sin x x x =C ．x xx d d = D ．3ln 3d d 3x xx =6满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（C ）。

A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ．间断点 7设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ D ）A ．⎰0-d )(2ax x f B ．⎰0-d )(ax x f C ．⎰ax x f 0d )( D ．8.函数f(x)在区间 [a,b] 上连续，则以下结论正确的是 ( B )(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x ∈[a ，b]。

(B)f (x)在 [a ，b] 上必有最大值。

(C)f (x)在 [a ，b] 上必有最小值，但没有最大值。

(D)f (x)在 (a,b) 上必有最小值。

9、下列论断正确的是（ A ）A 、可导极值点必为驻点B 、极值点必为驻点C 、驻点必为可导极值点D 、驻点必为极值点三、计算题 1计算定积分⎰π0d sin 2x x xPA 2若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 2/X .3若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =2COS2X4=⎰-2dex．答案：c x +-2e6 .______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x -2/37=+⎰e 12d )1ln(d d x x x0 8）x x d e 02⎰∞-=0.5 ．9设,则 4/3 。

(完整word版)微积分考试试题

《微积分》试题一、选择题（3×5=15）1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为( d )(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)52、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是( b )(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。

(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。

(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。

(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。

3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）A、导数B、变化率C、相对变化率D、微分4、下列论断正确的是（ a ）A、可导极值点必为驻点B、极值点必为驻点C、驻点必为可导极值点D、驻点必为极值点5、∫e－x dx=( b )(A)e－x＋c (B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c二、填空题（3×5=15）1.设，则。

[答案： ]2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点 (0,1) 处的切线方程是_____________。

[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]3、物体运动方程为S=11+t （米）。

则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度为a=＿＿＿＿。

[答案：41-，41]4.设,则。

[答案：34]5．若⎰+=c e 2dx)x (f 2x ，则f(x)=_________。

[答案：2x e ]三、计算题 1、设x sin ey x1tan = ，求dy 。

（10分）解：dy=d x sin ex1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e22x1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛-2．计算⎰+2x )e 1(dx。

（15分）解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x x x x e 11dx e 1e e 1 ＝x-ln(1+e x )+xe11+ +c3.求（15分）解：4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ）０）求速度与时间的关系。

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微积分初步期末模拟试题一、填空题（每小题4分，本题共20分）1．函数24)2(2+-=-x x x f ，则=)(x f 22-x 。

2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 1 。

3．曲线x y =在点)1,1(处的切线斜率是 21。

4．=-⎰-x x x x d )2cos (sin 112 32- 。

5．微分方程x y xy y sin 4)(6)5(3=+''的阶数为 5 。

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．函数x x xx f -+-=5)2ln()(的定义域是（ D ）。

A ．),2(+∞B ．]5,2(C ．)5,3()3,2(⋃D ．]5,3()3,2(⋃ 2．设x y 2lg =，则=y d （ A ）。

A ．x x d 10ln 1B ．x xd 1 C ．x x d 21 D ．x x d 10ln3．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）。

A ．x sinB ．x -3C ．2xD ．x e 4．若函数)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）。

A ．c x x ++2B ．c x x ++2323221C ．c x x ++D ．c x x ++232235．微分方程0='y 的通解为（ D ）。

A ．0=yB ．cx y =C ．c x y +=D ． c y = 三、计算题（本题共44分，每小题11分）1．计算极限9152lim 223--+→x x x x 。

解：原式34)3)(3()3)(5(lim3=+--+=→x x x x x 2．设x x x y 3cos +=，求y d 。

解：x s x y in332321-='x x s x y d )in3323(d 21-=3．计算不定积分x x d )12(10⎰-。

解：x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 4．计算定积分x x x d e 10⎰。

解：x x x d e 10⎰-=1e x x 1e e d e 110=-=⎰x x x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,16422xx xh x S +=+=2162xx S -='令0='S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小，此时的费用为 16040102=+⨯=x S （元）一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数22)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f12+x ．⒉=→x x x 2sin lim 0 2 ． ⒊曲线21-=xy 在点)1,1(处的切线方程是 2321+-=x y．⒋='⎰x x d )(sin c x +sin ．⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数为 3 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)2ln()(+=x xx f 的定义域是（ C ）．A ． ),2(+∞-B ．),1(+∞-C ．),1()1,2(+∞-⋃--D ．),0()0,1(+∞⋃-⒉当=k （ B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-⒊下列结论中（ D ）不正确．A ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. ⒋下列等式成立的是（ A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ C ）A. y x x y +=d d ；B. )(d d x y x x y +=；C. y xy x y +=d d ；D. x xy xy sin d d +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限329lim 223---→x x x x ．解：原式2313lim )3)(1()3)(3(lim33=++=-+-+=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 1sin ln +=，求y d .解：)1(1cos 12xx x y -+='x x x x y d ))1cos(1(d 2-= ⒊计算不定积分x x x osd 1c 2⎰解：x xx osd 1c 2⎰= c x x x +-=-⎰1sin )1(d 1cos⒋计算定积分x x x d ln e1⎰解：x x x d ln e1⎰-=e x x 12ln 2141e 4141e 41e 21d 21222e 12+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知2232,32xh h x ==，于是x x xx x xh x y 12832442222+=⋅+=+= 令012822=-='xx y ，解得4=x 是唯一驻点，易知4=x 是函数的极小值点，也就是所求的最小值点，此时有24322==h ，所以当4=x ，2=h 时用料最省．一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2++=+x x x f ，则=)(x f22-x ．⒉=→x xx 2sin lim 0 21 ． ⒊若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k 1 ． ⒋c x x x x f +=⎰ln )d (，则=')(x fx1． ⒌微分方程y y ='的通解为 e x y c = ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=5)1ln(1)(的定义域是（ B ）．A ． )5,1(-B ．]5,0()0,1(⋃-C ． ]5,1(-D ．)5,0()0,1(⋃-⒉设x y 2lg =，则=y d （ C ）.A ．x xd 1B ．x x d 21C ．x x d 10ln 1D ．x x d 10ln⒊下列结论中（ D ）不正确．A ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内)(x f 是单调下降的.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. ⒋若函数)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ A ）. A. c x x ++ B. c x x ++2C. c x x ++2323221 D. c x x ++23223⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为（ C ）A. 2B. 3C.4D. 5三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限231lim 221++--→x x x x ．解：原式221lim )2)(1()1)(1(lim11-=+-=++-+=-→-→x x x x x x x x ⒉设x x y e cos 3+=，求y d .解：x x x y e e sin 3ln 3⋅-='x y xx x )d e sin e 3ln 3(d -= ⒊计算不定积分x x xd e21⎰解：x xxd e 21⎰= 111e d()e x x c x -=-+⎰⒋计算定积分x x x d cos 20⎰π解：x x x d cos 2⎰π-=20sin πx x 12cos 2d sin 2020-=+=⎰ππππx x x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）。