《微积分基础》模拟试题

微积分初步期末模拟试题

一、填空题（每小题4分，本题共20分）

1．函数24)2(2+-=-x x x f ，则=)(x f 22-x 。

2．若函数⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠+=0,0

,13sin )(x k x x

x x f ,在0=x 处连续，则=k 1 。 3．曲线x y =在点)1,1(处的切线斜率是 2

1

。

4．=-⎰-x x x x d )2cos (sin 112 3

2

- 。

5．微分方程x y xy y sin 4)(6

)5(3=+''的阶数为 5 。

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）

1．函数x x x

x f -+-=

5)

2ln()(的定义域是（ D ）。

A ．),2(+∞

B ．]5,2(

C ．)5,3()3,2(⋃

D ．]5,3()3,2(⋃ 2．设x y 2lg =，则=y d （ A ）。

A ．x x d 10ln 1

B ．x x

d 1 C ．x x d 21 D ．x x d 10ln

3．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）。

A ．x sin

B ．x -3

C ．2x

D ．x e 4．若函数)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）。

A ．c x x ++2

B ．c x x ++23

23

2

21

C ．c x x ++

D ．c x x ++232

2

3

5．微分方程0='y 的通解为（ D ）。

A ．0=y

B ．cx y =

C ．c x y +=

D ． c y = 三、计算题（本题共44分，每小题11分）

1．计算极限9

15

2lim 223--+→x x x x 。

解：原式3

4

)3)(3()3)(5(lim

3=+--+=→x x x x x 2．设x x x y 3cos +=，求y d 。

解：x s x y in332

3

21

-='

x x s x y d )in332

3(d 2

1-=

3．计算不定积分x x d )12(10⎰-。

解：x x d )12(10⎰-=

c x x x +-=--⎰1110

)12(22

1)12(d )12(21 4．计算定积分x x x d e 10

⎰。

解：x x x d e 1

0⎰-=1

e x x 1e e d e 1

10

=-=⎰

x x x

四、应用题（本题16分）

用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24

x

h =

所以,16

422x

x xh x S +=+=

216

2x

x S -='

令0='S ，得2=x ，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水

箱的表面积最小，

此时的费用为 16040102=+⨯=x S （元）

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数22)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f

12+x ．

⒉=→x x x 2sin lim 0 2 ． ⒊曲线2

1

-=x

y 在点)1,1(处的切线方程是 2

3

21+-=x y

．

⒋='⎰x x d )(sin c x +sin ．

⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数为 3 ．

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)

2ln()(+=

x x

x f 的定义域是（ C ）．

A ． ),2(+∞-

B ．),1(+∞-

C ．),1()1,2(+∞-⋃--

D ．),0()0,1(+∞⋃-

⒉当=k （ B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,

,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1-

⒊下列结论中（ D ）不正确．

A ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的.

B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.

C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. ⒋下列等式成立的是（ A ）． A ．

)(d )(d d

x f x x f x

=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰

⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ C ）

A. y x x y +=d d ；

B. )(d d x y x x y +=；

C. y xy x y +=d d ；

D. x xy x

y sin d d +=

三、计算题（本题共44分，每小题11分）

⒈计算极限3

29

lim 223---→x x x x ．

解：原式23

13lim )3)(1()3)(3(lim

33=++=-+-+=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 1

sin ln +=，求y d .

解：)1

(1cos 12x

x x y -+='

x x x x y d ))1cos(1(d 2

-= ⒊计算不定积分x x x os

d 1c 2⎰

解：x x

x os

d 1c 2⎰= c x x x +-=-⎰1

sin )1(d 1cos

⒋计算定积分

x x x d ln e

1

⎰