两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深.。
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比第一种推导方法是基于向量的几何推导。
这种方法通过将两个角度看作是向量之间的夹角，利用向量内积的性质导出余弦公式。
两角和的余弦公式为cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，两角差的余弦公式为cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。
这种方法的优点是直观易懂，易于理解。
但缺点是需要较好的向量几何基础才能理解该推导过程。
第二种推导方法是基于欧拉公式的复数推导。
该方法利用欧拉公式将三角函数表示为复数形式，然后利用复数的乘法和指数形式来推导。
这种方法比较简洁，适用于求解复杂的三角函数表达式。
但需要一定的复数运算和欧拉公式的基础知识。
第三种推导方法是基于三倍角公式的代数推导。
这种方法通过将两角和或差的公式展开为三倍角公式，然后利用已知的三倍角公式反推出余弦公式。
这种方法的优点是推导过程相对简单，适用于初学者掌握。
但缺点是需要记忆和熟练掌握三倍角公式。
第四种推导方法是基于向量的三角推导。
这种方法利用向量的角度和模长来推导余弦公式。
通过构造一个合适的向量形式，然后利用向量的加法、取模和夹角余弦公式等来进行推导。
这种方法相对较为复杂，需要一定的向量运算和角度计算知识。
第五种推导方法是基于平面几何的三角形推导。
通过构造一个合适的平面几何图形，然后利用三角形的边长和角度关系来推导余弦公式。
这种方法较为直观，易于理解，适合初学者掌握。
但缺点是对几何图形的认识要求较高。
综上所述，这五种推导方法具有各自的优缺点。
对于需要快速求解问题的读者，推荐使用欧拉公式的复数推导方法或三倍角公式的代数推导方法；对于需要更深入理解的读者，推荐使用向量的几何推导方法或向量的三角推导方法；对于初学者，推荐使用平面几何的三角形推导方法。
最后，需要提醒读者的是，选择合适的推导方法需要根据自己的数学基础和学习需求来决定。
每种推导方法都有其适用的范围和难度，选择合适的方法将有助于更好地理解和应用余弦公式。
两角和与差的余弦公式的推导
两角和与差的余弦公式的推导一、几何推导：[图片]那么，向量OC的长度就是向量OA和OB的长度之和。
设OA的长度为a，OB的长度为b，那么OC的长度为a+b。
此外，OC和坐标轴正半轴之间的夹角θ就是OA和OB之间的夹角α+β。
由三角函数的定义可知，α+β的余弦等于OC的长度与单位圆的半径1的比值。
即：cos(α+β) = OC / 1 = a+b然而，我们想研究的是α和β的关系，而不是α+β和α、β之间的关系。
因此，我们需要根据OC在正半轴上的投影来重新表示OC的长度。
设OC在坐标轴正半轴上的投影为OD，长度为c，我们有：OD = OC*cos(θ)而OC的长度可以表示为：OC = OA + AC = OA + OB*cos(π/2-θ) = a + b*cos(π/2-θ)根据三角函数的性质，可以得到：cos(α+β) = OC / 1 = (a + b*cos(π/2-θ)) / 1简化上式，得到两角和的余弦公式：cos(α+β)= a*cosθ - b*sinθ接下来，我们来推导两角差的余弦公式。
将上面得到的两角和的余弦公式两边同时乘以-1，得到：-cos(α+β) = -a*cosθ + b*sinθ然而，我们知道cos(α-β) = cos(α+(-β))，由此可知：cos(α-β) = -a*cosθ + b*sinθ所以，两角差的余弦公式为：cos(α-β) = -a*cosθ + b*sinθ二、代数推导：我们可以通过代数方式推导两角和与差的余弦公式。
1.两角和的余弦公式推导：我们可以使用欧拉公式来推导。
设α和β是两个角，可以将其表示为复数形式，即：e^(iα) = cosα + i*sinαe^(iβ) = cosβ + i*sinβ那么，利用欧拉公式的性质e^ix = cosx + i*sinx，可以得到：e^(i(α+β))=e^(iα)*e^(iβ)= (cosα + i*sinα)*(cosβ + i*sinβ)= cosα*cosβ + i*sinα*cosβ + i*cosα*sinβ +i^2*sinα*sinβ= cos(α+β) + i*sin(α+β)然后，我们观察到两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等，即：cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβ所以，我们得到了两角和的余弦公式。
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。
我们将利用这两个和与差来推导公式。
1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。
即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。
这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。
2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。
即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。
这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。
3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。
即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注•对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用•下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角a的终边与单位圆的交点为P i,Z POP i= 则/ POX = a— 3.\ 11「A 计R ；过点P作PM丄x轴，垂足为M，那么OM即为a— 3角的余弦线，这里要用表示a, 3的正弦、余弦的线段来表示OM .过点P作PA丄OP i，垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为B,再过点P作PC丄AB，垂足为C,那么cos 3= OA, sin 3= AP，并且/ PAC=Z P i Ox= a,于是OM = OB + BM = OB + CP = OAcos a+ APsin a= cos 3^os a+ sin 传in a.cos (0)= cos OJCOE0+ sin -asin p说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解•但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难•此种证明方法的另一个问题是公式是在二’：均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑二-的角度从锐角向任意角的推广问题•综上所述,方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角 a a + B 和「，它们的终边分别交单位圆于P 2、P 3 和 P 4 点，单位圆与X 轴交于P i ，贝y P i (1,0)、P 2(cos a, sin a 、P 3(C0S (a +® , sin( a +3))、h 「*一三"一广 1 ....N 彤鸟*耳巧皿+ 0 ,且闵I = |^| = |0^| = |0^| = 1...△好。
和差公式推导
两角和差的余弦公式的推导方法一：应用三角函数线推导两角差的余弦公式如图所示：、都与互余，故。
（1）在中，（2）在中，在中，所以，（3）在矩形中，在中，在中，所以，（4）综合起来，有两角差的余弦公式得证。
点评：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解。
但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。
这种推导方法的另一个问题是，公式是在均为锐角的情形下进行的推导，因此还要考虑从均为锐角到均为任意角的推广问题。
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导两角差的余弦公式据图可知，故点评：该推导方法巧妙地将三角形全等和两点间的距离公式结合在一起，利用单位圆上与角相关的四个点建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以同时等到符合要求的和角与差角的三角公式。
在此种推到方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对在一条直线上的特殊情形需加以解释、说明。
方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导两角和差的余弦公式如图所示，在中由余弦定理，有另一方面，由两点间的距离公式，有综合两式即得点评：该推导方法的解题思路和构想都是容易实现的。
因为要求两角的和角与差角的三角函数，所以构造出和角与差角是必须实现的，构造出的和角与差角的余弦函数又必须与的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系的想法容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦比较容易理解的一种方法。
但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中无法使用，另外也需对共线时给出解释说明。
方法四：应用数量积推导两角差的余弦公式如图所示，向量，故由向量的数量积的定义，得另一方面，由数量积的坐标表示，有综合上述两式，即得点评：应用数量级推导余弦的差角公式，无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值，都是容易实现的；通过向量的数量积的定义和坐标表示两种计算法，将差角的余弦与每个角的三角函数紧密联系起来，正好得到想要的结果。
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式证明（总5页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小-综上所述, 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注.对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提岀问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用•下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角Q的终边与单位圆的交点为久乙POP— 0、则乙POx= a- 0.过点P作PM-Lx轴，垂足为必那么加即为a_ 0角的余弦线，这里要用表示Q, 0 的正弦' 余弦的线段来表示0M.过点P作刃丄阳，垂足为力，过点力作处丄x轴，垂足为B,再过点P作PC LAB,垂足为C、那么cosp = OA, s\n/3=AP i井且ZPAC=ZROx= a、干是 0M= 0B+ BM= 0B+ CP= OA CQS a +APs i n a =cos Z?cos a+sin0sin a ・cos (Q- 0)= cos <X CQS声 + sin <Xsin 0说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解•但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在20均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑％0的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法A(cos( a ...今0耳=Z&O 爲皿*,且闵I 二|0垃I 二|O 剧二|0旬二1设P 心必)，%2・乃),则有I 朋I 二J(叫_珂)2十(片_片)2 .在直角坐标系内做单位圆，并做岀任意角Q, Q+0和一尸，它们的终边分别交单位圆于P1 % A 和H 点，单位圆与"轴交于Py ,贝lj 只(1.0)、A(cos a , sin a) v...△早迟S △片0乞...忸旬二闵引.(盘+0)—+(siti (収+ 0)— 0『J(cos a- cos (—十(sin a- sin (—0)) .2一 2cos(&+ 0)= 2 -2 cos acos 0一 2sin a;sin (-Q) .cos (&+ 0)= cos acos 戸一 sin ^sin Q cos (a- Q)= cos acos 0+ sin ^sin Q• • , •说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角 工0有关的四个点岸(1,0),马(cosSin&),弓(cgg + 0),sm(d + 0)), E(cos(-0),sm(-0))建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于R 三点在一条直线和庄三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解 释' 说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设戸(cos&, sin &) ,J2(COS Q,sin. Q)贝=(cosQ- cos 0)2 4-(sinc^-sm^)：2 = 2-2(cos«rcos /5+sin &sin.Q)在△如中，•.•应2|O刊0创唤"OQ,.|Fgf =l+l-2cos(af-/5).cos (CL- 0)= cos 比cos Q+ sin ©sin 0说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的.因为要求两角和与差的三角函数，所以构造岀和角和差角是必须实现的.构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易岀现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用.另外也同样需要考虑只°，°三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设Q、0是两个任意角，把Q、0两个角的一条边拼在一起，顶点为0,过8点作%的垂线，交a另一边于力，交B另一边于C,则有S ZF S A ES ZC・」Q4||OC|H O由向呈数量积的概念,根据三耐积公式,有扫。
(完整版)两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
两角和与差的余弦公式推导过程
两角和与差的余弦公式推导过程有趣的数学——两角和与差的余弦公式
数学是一门富有智慧的学科，它将有趣的情趣注入到了平淡的生活中。
今天我
们就来探讨一下“两角和与差的余弦公式”。
首先，我们需要注意到一个定理：余弦定理，即，在三角形中，任意两边之间
经过的角的余弦等于它们之间的乘积除以乘积的两边长之积。
两角和与差的余弦公式是派生自该定理的：
$$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$$
$$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$$
其中，A为一个角，B为任意一个角，cosA和sinA分别表示角A的余弦和正
弦值。
推导过程可有以下步骤：首先，将余弦定理的左边的式子表示成可分解的乘积：
$$cos(A+B)=cos(90^o-B)+B)$$
利用正弦定理：````sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]````，也可表示为
$$cos(A+B)=1/2[sin(90^o-B)-sinB]+1/2[sin(90^o-B)+sinB]$$
最终可推出两角和与差的余弦公式：
$$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$$
$$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$$
上述的公式被广泛应用于物理学，几何学，宇宙学等领域，是研究形体空间性
质的重要工具。
可以说：两角和与差的余弦公式是一项优秀的成果，是数学之美中最富魅力的一面。
两角和差的正余弦公式的若干证明方法
两角和差的正余弦公式的若干证明方法两个角的和与差的正余弦公式是整个三角形恒定变形的基础，由这些公式推导出其他的恒定变形公式。
因此，如何证明第一个公式是一个非常重要的问题。
这里我们整理几种常见证明方法。
1. 几何方法几何法的优点是和初中的锐角三角函数内容关系密切，缺点是只对锐角成立(甚至两个角之和都是锐角)，不容易普及。
1.1. 矩形如图1，由矩形的对边相等可得\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta \\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{aligned} \\1.2. 面积法在 \triangle ABC 中，AD \perp BC 于 D， \angle BAD = \alpha，\angle CAD = \beta，如图2，有S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} \\即\frac12 AB\cdot AC\sin(\alpha+\beta) = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha+\frac12 AC\cdot AD\sin\beta \\于是\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\frac{AD}{AC}\cdot\sin\alpha+\frac {AD}{AB}\cdot\sin\beta \\[1ex] &=\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned} \\另外，同样的形式也可以直接从张角定理得到。
1.3. 正弦定理在上面的图2中，根据正弦定理，有\frac{\sin\angle BAC}{BC} = \frac{\sin B}{AC} =\frac{\sin C}{AB} \\即\begin{aligned} \frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} &=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{AC} =\frac{\sin(90^\circ-\beta)}{AB} \\[1ex] &=\frac{\cos\alpha}{AC} = \frac{\cos\beta}{AB}\end{aligned} \\注意BC = BD + DC = AB\sin\alpha + AC\sin\beta \\又有\frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} =\frac{\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta}{AB\sin\ alpha + AC\sin\beta} \\于是有\sin(\alpha+\beta)=\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\ beta \\1.4. 托勒密定理在半径为 R 的圆的一个内接四边形 ABCD 中，\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ，如图3，根据托勒密定理，有AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD \\结合正弦定理可得2R\sin(90^\circ-\alpha)\cdot2R\sin\beta+2R\sin(90^\circ-\beta)\cdot2R\sin\alpha=2R\sin90^\circ\cdot2R\sin(\alp ha+\beta) \\化简得\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha=\sin(\alpha+\b eta) \\1.5. 弦图我们可以用弦图证明勾股定理。
两角差的余弦公式推导五种方法
两角差的余弦公式推导五种方法余弦公式是数学中常用于计算三角形的边长和角度的公式，它是三角学中重要的推导和应用之一、本文将详细介绍余弦公式的五种推导方法。
方法一：向量法推导余弦公式从向量的角度出发来推导余弦公式是一种常见的方法。
我们假设在坐标平面上有两个向量OA和OB，它们的坐标分别为(Ax,Ay)和(Bx,By)。
两个向量所夹的夹角可以通过向量点乘的结果来计算，即向量OA和向量OB 的点乘结果等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值之积：OA · OB = ，OA， * ，OB，* cosθ其中，θ表示两个向量所夹的夹角。
这个公式可以推广到三维空间中去。
方法二：勾股定理与正弦定理联合推导我们知道，勾股定理告诉我们在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于另外两条边的长度之差与斜边长度的比值。
而正弦定理则告诉我们，在任意三角形中，一个角的正弦值等于它所对边的长度与斜边长度的比值。
考虑一个三角形ABC，设边长分别为a、b和c，夹角分别为A、B和C。
假设我们已经知道了角A、角B和边c的长度。
根据勾股定理，可以得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC同时，根据正弦定理，可以得到：a / sinA =b / sinB =c / sinC将正弦定理中的b / sinB代入勾股定理中的cosB，可以得到：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab这就是余弦公式。
方法三：平面解析几何法推导余弦公式我们可以将三角形放在一个坐标平面上，并设其顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)。
然后使用两点间距离公式计算边长a、b和c的长度，再使用向量的内积公式得到两个向量的夹角的余弦值。
设向量AB的坐标为(x2-x1,y2-y1)，向量AC的坐标为(x3-x1,y3-y1)，则向量AB和向量AC的点乘结果等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值之积：AB · AC = ，AB， * ，AC， * cosABC通过计算两个向量和它们的点乘结果的模长，可以得到：(x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] * √[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2] * cosABC将AB的长度表示为√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，AC的长度表示为√[(x3-x1)^2+(y3-y1)^2]，可以得到余弦公式。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB ＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |=.在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S △OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcos α；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsin β.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ). 由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
两角和与差的余弦公式推导过程
两角和与差的余弦公式推导过程余弦定理是高中数学中的一道重要定理，它用于求解三角形的边长或者角度。
在余弦定理的基础上，可以推导出两角和与差的余弦公式，它们可以用于求解两个角的和、差的余弦值。
一、余弦定理的推导我们首先考虑一个三角形ABC，假设其三边长度分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
现在我们要推导出余弦定理。
由于三角形是平面上的图形，我们可以将其放在一个坐标系中进行研究。
假设三角形的三个顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则边AB的长度a可以表示为：a=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)同样地，可以得到边BC和AC的长度分别为：b=√((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)c=√((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)根据三角形的余弦定理，我们知道：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC将abc都展开并整理，可以得到：(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 - 2√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) * √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) * cosC化简上式，得到余弦定理：(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (x3- x2)^2 + (y3 - y2)^2 - 2(x2 - x1)(x3 - x2) - 2(y2 - y1)(y3 - y2) * cosC这就是余弦定理的推导过程。
二、两角和与差的余弦公式的推导在推导两角和与差的余弦公式之前，我们先回顾一下三角函数的和差公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB现在，我们要利用这些和差公式来推导两角的和与差的余弦公式。
两角差的余弦公式推导五种方法
两角差的余弦公式推导五种方法方法一：几何推导考虑一个单位圆，假设有两条弧分别占据了角度θ和φ。
可以通过绘制从圆心到两条弧上的点，然后将这两条线段与x轴延长交于一点，得到一组直角三角形。
设圆心为O，圆上两点为A和B，点A与点B分别所在的弧度为θ和φ。
将OA和OB分别伸长为均垂直于x轴的直线，交于一点C。
则OC的长度可根据余弦定理计算。
根据余弦定理，∠COA的余弦为：cos(θ-φ) = (OC² + AC² - OA²) / (2 * OC * AC)=(OC²+1-1)/(2*OC)=OC/2通过简单的代数计算，可以得到：OC = 2 * cos(θ-φ)因此，两角差的余弦公式可以得到为：cos(θ-φ) = 2 * cos(θ-φ)方法二：三角恒等式推导可以通过三角函数的和角公式和差角公式推导出两角差的余弦公式。
具体推导过程如下：根据三角函数的和角公式，cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinB。
令A=θ，B=-φ，代入以上公式中可以得到：cos(θ-φ) = cosθ * cos(-φ) - sinθ * sin(-φ)由于cos(-φ) = cosφ，sin(-φ) = -sinφ，代入上式中得到：cos(θ-φ) = cosθ * cosφ + sinθ * sinφ这就是两角差的余弦公式。
方法三：向量推导将θ和φ表示为向量的夹角，可以通过向量的内积以及向量的模的乘积推导出两角差的余弦公式。
设向量a和b分别表示角度θ和φ所在的方向，向量a的模为1，向量b的模为1根据向量的内积公式，有：a ·b = ，a， * ，b，* cos(θ-φ)代入，a，=1，b，=1，化简得：cos(θ-φ) = a · b这就是两角差的余弦公式。
方法四：指数推导假设e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
那么，e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x)。
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两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：
方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法
设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．
过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．
综上所述，.
说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.
∵，且，
∴，∴，
∴
，
∴，
∴，.
说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点
，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设，
则.
在△OPQ中，∵，
∴，
∴.
说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.
方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法
设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..
根据三角形面积公式，有，
∴.
∵，，，
∴，
∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.
(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；
(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ；
(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.
(五)应用数量积推导余弦的差角公式
在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).
由向量数量积的概念，有.
由向量的数量积的坐标表示，有
.
于是，有.
说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.
综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。