第二章平面向量复习(教、学案)
高一数学必修四第二章平面向量复习学案.
第二章平面向量复习学案一.知识回顾 （一）向量的基本概念：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向 量的_____.2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。
3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量. 与AB u u u r共线的单位向量是____. （二）向量之间的关系：共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量.规定:_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方 向相反的向量叫做___________;（四）两个定理：1.向量共线定理:向量与非零向量共线⇔有且只有一个实数λ,使得____________. 推论：平面上三点A,B,C 共线⇔对于平面内任意一点O ,存在实数λ,μ, 使μλ+=其中λ+μ=____.2.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使a =_______________. （五）向量的坐标表示及运算1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: ),(y x j y i x a =+=ρρρ.2. 平面向量的坐标运算: 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则+=_____________; -=______________ ;λ=__________. 3. 向量平行的坐标表示: b a // ⇔_____________________ .4. 向量模的公式: 设=(x,y),=____________________5. 若已知点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) , 则向量AB =____________;若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________00y x（六）平面向量的数量积1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,,其夹角为θ,a b ⋅r r=________叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),a b ⋅r r=________________; 3.两个向量垂直的等价条件:设两个非零向量b a ,,则有向量式: a ⊥b ⇔__________； 坐标式：a ⊥b ⇔ ___________ 4.几个重要性质:①22a a a a =⋅=r r r r ；②若与同向，则a b ⋅r r =_____;若与反向，则a b ⋅r r =______;③两个非零向量,,其夹角为θ,则θcos =___________.④ a b a b ⋅≤⋅r r r r（七）向量中一些常用的结论：在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为__________②0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r为ABC ∆的_____心；③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为ABC ∆的______心；④||||||==(或222==)⇔O 是ABC ∆的_____心；⑤向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的______心.二.典例剖析题型一：平面向量及其线性运算例 1.如图所示，OADB 是以向量b OB a OA ρρ==,为邻边的平行四边形，又31,31==，试用b a ρρ, 表示.,,MN ON OM题型二：平面向量的坐标运算()()().,//211,3.2是坐标原点的坐标的试求满足，，，已知例O =+⊥-==题型三：平面向量的数量积的应用 （一）与长度，距离有关的问题例3.已知向量r r a 与b 的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.（二）与垂直有关的问题例4.已知,1||,2||==b a ϖϖa ϖ与b ϖ的夹角为3π,若向量b k a ϖϖ+2与b a ϖϖ+垂直, 求k .（三）与夹角有关的问题例5.三角形ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)cos ∠ABC 的值.（四）与最值有关的问题B D例6.已知()()ββααsin cos sin cos ，，，==b a ρρ且()03>-=+k b k a b a k ρρρρ. （1）用k 表示数量积b a ρρ•；（2）求b a ρρ•的最小值，并求出此时a ρ与b ρ的夹角θ的大小.当堂检测:1．下列命题正确的是 （ ）A ．单位向量都相等B ．若，，c b b a ρρρρ////则c a ρρ//.C ．||||b a b a ρρρρ-=+，则0a b ⋅=r rD ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr2．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 3.O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=OA OP+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知向量()()()，，，，，，143221=-==c b a ρρρ若用a ρ和b ρ表示c ρ，则=→c _____________.5．若)3,2(=a ρ，)7,4(-=b ρ，则a ρ在b ρ上的投影为________________.6．已知)2,1(=→a ，),1(m b =→，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是_________7．已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.8.已知(1,2)a =r,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直？（2）ka +rb 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？。
高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4
第二章平面向量复习课（2课时）[第一部分：知识归纳]1.知识结构中的应用中的应用何中的应用何中的应用平面向量2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.②. 向量共线的两种判定方法：a∥b(0≠b)01221=-=⇔yxyxbaλ③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =22yx+④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-⑤.cos =||||baba∙∙222221212121yxyxyyxx+++=⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）3.学习本章应注意的问题及高考展望①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。
③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P125—126第1、2、3题[第三部分：应用举例]（供选用）例1.如图△ABC 中，−→−AB = c ，−→−BC = a ，−→−CA = b ，则下列推导不正确的是……………（ ）A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
平面向量复习课(学案)
《平面向量》复习课（学案）【复习要求】1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；【知识提要】1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )= ，22b (x ,y )= 。
（1）a b = ⇔1212x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥ ⇔a b 0⋅= ⇔1212x x y y 0+=；（3）∥b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ 确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2=+ ；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+ 。
【超级链接】相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】1．下列命题中：①若a b ⊥ ，则|a b||a b|+=- ；②若∥b ，则a b |a||b|⋅=⋅ ；③若与b 反向，则|a b ||a ||b |-=+ ；④若与b 不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+=，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心3．已知OA (1,2)=- ，OB (3,m)= ，且OA AB ⊥ ，则m ＝ 。
高中数学第二章平面向量章末复习课学案新人教A版必修4
第二章平面向量章末复习课[ 整合·网络建立][ 警告·易错提示]1．相关向量的注意点(1)零向量的方向是随意的．(2)平行向量无传达性，即 a∥ b， b∥ c 时， a 与 c 不必定是平行向量．(3)注意数目积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有近似的地方也有差别：关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不可以两边同除以一个向量，即两边不可以约去一个向量，牢记两向量不可以相除(相约)．(2) 向量的“乘法”不知足联合律，即( a·b) c≠a( b·c).专题一相关向量共线问题相关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥ b? a＝λ b( b≠0) ? x1y2－ x2y1＝0.[ 例 1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，务实数k 的值．解：法一：向量 k a＋2b 与2a－4b 平行，则存在独一实数λ，使k a＋2b＝λ (2a－4b)．因为 k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝( k －6， 2 ＋4)．k2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，因此 ( k－ 6， 2k＋ 4) ＝λ(14 ，－ 4) ．1因此 k－6＝14λ，解得λ ＝－2，2k＋ 4＝－ 4λ，k＝－1.即实数 k 的值为－1.法二：因为k a＋2b＝ k(1，2)＋2(－3，2)＝( k－ 6， 2k＋ 4) ，2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，ka＋2b 与2a－4b 平行，因此 ( k－ 6)( － 4) － (2 k＋4) ×14＝ 0.解得 k＝－1.概括升华1．向量与非零向量 a 共线?存在独一实数λ 使b＝λa.2. 在解相关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝( x1，y1)与 b＝( x2，y2) 共线 ? x1y2－x2y1＝ 0.[ 变式训练 ]平面内给定三个向量a＝(3，2)， b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求知足 a＝ m b＋ n c 的实数 m、n；(2)若 ( a＋k c ) ∥ (2 b－a) ，务实数k.解： (1) 因为a＝mb＋nc，因此 (3 ， 2) ＝ ( －m＋ 4n，2m＋n) ．m＝5－ m＋4n＝3，，9因此解得82＋＝2，m nn＝9.(2) 因为 ( a＋k c) ∥ (2 b－a) ，a＋k c＝ (3 ＋4k， 2＋k) ， 2b－a＝ ( － 5，2) ．16因此 2(3 ＋ 4k ) ＋ 5(2 ＋ k ) ＝ 0，即 k ＝－ 13.专题二 相关向量的夹角、垂直问题非零向量 a ＝ ( x 1，y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) 的夹角为 θ，则a ⊥b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，a ·bx x y y 2cos θ＝＝1 2＋ 12.2＋ 2·2| a || b |x 1 y 1 x 2＋ y 1[ 例 2] 已知向量 ， 知足 | a | ＝ 3，| | ＝2，|a ＋ | ＝ 13，求向量 ＋ 与 －b 的a bb ba b a夹角 θ 的余弦值．解： 由已知 | a | ＝ 3， | b | ＝ 2， | a ＋ b | ＝ 13，因此 ( a ＋ b ) 2＝ 13. 因此 a 2＋2a ·b ＋ b 2＝13，则 ( 3) 2＋ 2a ·b ＋ 22＝ 13，得 2a ·b ＝ 6. ( a － b ) 2＝a 2－ 2a ·b ＋ b 2＝ ( 3) 2－ 6＋ 22＝ 1，因此 | a － b | ＝ 1.（ a ＋ b ）·（ a － b ）因此 cos θ ＝＝| a ＋ b || a － b |a 2－b 2 （ 3）2－2213 13× 1 ＝13＝－13.概括升华1．本例的本质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线组成的向量的夹角，经过模的平方，交流了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不一样的.2 2[ 变式训练 ](1) 若非零向量 a ， b 知足 | a | ＝ 3 | b | ，且 ( a －b ) ⊥(3 a ＋ 2b ) ，则 a 与 b的夹角为 ()ππ3πA. 4B. 2C. 4 D ．π(2)(2016 ·全国Ⅰ卷 ) 设向量 a ＝ ( ， ＋1)， ＝ (1 ，2) ，且 ⊥ ，则 ＝ ________．x x b a b x(1) 分析： 由 ( a － b ) ⊥(3 a ＋2b ) 得 ( a － b ) ·(3 a ＋2b ) ＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝0. 又因2 2为| a | ＝ 3 | b | ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a |2 － | a | · | b | · cos θ－ 2| b |2 ＝0，8 2 2因此 | b |2 －| b |2 · cos θ－ 2| b |2 ＝ 0.332π因此 cos θ ＝ 2 . 又因为 0≤ θ ≤π，因此 θ＝ 4 .2(2) 因为 a ⊥ b ，因此 a · b ＝ 0，即 x ＋ 2( x ＋ 1) ＝ 0，因此 x ＝－ 3.2答案： A(2) －3专题三 相关向量的模的问题利用数目积求解长度问题是数目积的重要应用，要掌握此类问题的办理方法：(1)| a | 2＝a 2＝ a ·a ；(2)| a ± b | 2＝ a 2± 2a ·b ＋ b 2；(3) 若 a ＝ ( x ， y ) ，则 | a | ＝x 2＋ y 2；(4) 应用三角形或平行四边形法例．→→→→→[例 3] 设点 M 是线段 BC 的中点，点2A 在直线 BC 外， BC ＝ 16，| AB ＋ AC | ＝| AB －AC | ，→则| AM |＝()A ．8B ．4C ．2D ．1(2) 设向量 a ＝ (0 ，－ 1) ，向量 b ＝(cosx ，sinx )，则| ＋ | 的取值范围为 ________．a b→→2分析： 法一：因为 BC ＝ 16，因此 | BC | ＝ 4.→ → →又| AB － AC |＝ | CB |＝4，→ → → →因此 | AB ＋ AC | ＝ 4，因为 M 为 BC 的中点，因此 BM ＝－ CM .→ → → → →→1→→因此 AM ＝ AB ＋ BM ＝AC ＋ CM ，因此 AM ＝ 2( AB ＋ AC ) ，→1→→ 1因此 | AM | ＝ 2| AB ＋AC | ＝ 2× 4＝ 2.→ →→ →法二：如下图，四边形ABDC 是平行四边形，又 | AB ＋ AC | ＝ | AB － AC | ，→→因此 | AD | ＝ | CB | ，因此四边形 ABDC 是矩形，→1 →因此 | AM | ＝ 2 |BC |，→2又 BC ＝ 16，→因此 | BC | ＝4，→因此 | AM |＝2.4因此 a ＋ b ＝ (cos x ， sin x － 1) ．因此 | ＋ | ＝ cos2 x ＋（ sinx － 1） 2＝ 2－ 2sin x ＝a b2（ 1－ sin x ）因为－ 1≤ sinx ≤ 1，因此 0≤| ＋ | ≤2.a b答案： (1)C (2)[0 ， 2]概括升华解答该类题目有以下几个重点点：1．依据题意找寻或画出三角形或平行四边形，察看图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法例、平行四边形法例求相关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0 等．3．数形联合法的运用可使解题简捷．→→[ 变式训练 ]已知向量 a 和 b 的模都是2，其夹角为60°，又知 OP ＝ a ＋ 2b ， OQ＝－ 2a→＋ b ，则 | PQ | ＝ ________．→ → →分析： PQ ＝ OQ － OP ＝－ 3a －b ，→→ →| PQ | 2＝ PQ · PQ ＝ ( －3a － b ) 2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2.因为 | a | ＝ | b | ＝2， a ·b ＝ | a || b |cos 60 °＝ 2，→2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2＝9×4＋6×2＋ 4＝ 52. 因此 | PQ | →因此| |＝2 13.PQ答案： 213专题四 数形联合思想平面向量的线性运算和数目积运算的定义及运算法例、运算律的推导中都浸透了数形结合的思想． 引入向量的坐标表示，使向量运算完整代数化，将数和形密切联合起来．运用数形联合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[ 例 4]已知向量 a 与 b 不共线，且 | a | ＝ | b | ≠0，则以下结论正确的选项是 ( )A ．向量 a ＋ b 与 a － b 垂直B ．向量 a － b 与 a 垂直C ．向量 a ＋ b 与 a 垂直D ．向量 a ＋ b 与 a － b 共线→ →分析： 如下图，作 OA ＝ a ， OC ＝ b ，以 OA 和 OC 为邻边作 ?OABC .因为 | a | ＝ | b | ≠0，→→又因为 a＋ b＝OB， a－ b＝CA，因此( a＋ b)⊥(a－ b)．答案： A概括升华经过此题能够得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上能够作为结论记着．→→[ 变式训练 ]已知△ ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·( PB＋→PC)的最小值是()3 4A．－2 B ．－2 C ．－3 D ．－1分析：成立如下图的平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(－1，0)， C(1，0)．→→设 P( x， y)，则 PA＝(－ x，3－y) ，PB＝ ( －1－x，－y) ，→PC＝(1－x，－ y)，→→→PA·( PB＋ PC)＝( －x， 3 －y) ·( － 2x，－ 2y)＝2x2＋ 2y2－ 2 3y＝2 （x－0）2＋y－3 2－3，223 →→ →3因此当 x＝0， y＝2 时， [ PA· ( PB＋PC)] min＝－2. 答案： B。
高中数学 第二章《平面向量》单元复习学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》单元复习一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD a =，则EA +EB +EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． OAPQBab5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知b a a b a λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uu u r uuu r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①BC AC AB =-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 16．(本小题14分)已知向量a =(6，2)，b =(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ；BACODE(2)a ⊥b ；(3)a ，b 的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,)22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．AB CP Q。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
高中数学第二章平面向量本章复习教案苏教版必修4
第二章平面向量本章复习整体设计知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课知识巩固向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为AB →，a (手写时为a →)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0 ⇔|a |＝0.向量a 0为单位向量⇔|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同．a ＝b ⇔ (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2等等．指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：本章的重要定理及公式：(1)平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的条件：a∥b(b≠0)⇔存在惟一的实数λ使得a＝λb；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．(3)两个向量垂直的条件当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0 ⇔x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：①～③略．应用示例例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)k a ＋b ＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直． 由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19， 即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.这是一个以k 、λ为未知数的二元一次方程组．解这个方程组得k ＝－13，λ＝－13，即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b .因为λ＝－13<0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向．点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k －3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－13，然后再求λ.例2如图1，已知在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c .若a·b ＝b·c ＝c·a .求证：△ABC 为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．证法一：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． 又∵b·c ＝c·a ，∴c·(a －b )＝0. ∴－a 2＋b 2＝0.∴|a|2＝|b |2，即|a|＝|b |. 同理可得|c|＝|b |，∴|a|＝|b|＝|c |. ∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，b ＝－a －c. ∴a 2＝b 2＋c 2＋2b·c ，b 2＝a 2＋c 2＋2a·c . 而b·c ＝c·a (已知)，∴a 2－b 2＝b 2－a 2. ∴a 2＝b 2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b |. 同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c |. ∴△ABC 为正三角形．证法三：如图2，以AB 、BC 为邻边作平行四边形ABCD ，则AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →，图2∴BD →＝a －c .又∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0. ∴b ·BD →＝0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC ＝AC ， ∴△ABC 为正三角形．证法四：取BC →的中点E ，连结AE ，则 AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AE →·a ＝12(c －b )·a ＝0.∴AE →⊥a .∴AB＝AC.同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.例3已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y＝－k a ＋t b 且x ⊥y .试求k ＋t2t的最小值．活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k 与t 之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．解：由已知，得|a |＝32＋－2＝2，|b |＝122＋322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简，得k ＝t 3－3t 4，∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力. 变式训练1.如图3，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图3解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， ∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0. ∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， ∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. ∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .2．将函数y ＝2x 2进行平移，使得到的图形与抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．解法一：设平移向量a ＝(h ，k)，则将y ＝2x 2按a 平移之后得到的图象的解析式为y ＝2(x －h)2＋k.设M(m ，n)和M′(－m ，－n)是y ＝－2x 2＋4x ＋2与y ＝2(x －h)2＋k 的两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2m 2＋4m ＋2，－n ＝－－2＋－＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－4.∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y ＝2(x －h)2＋k 的图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋k ＝4－1－2＋k ＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－1，k ＝－4.故所求解析式为y ＝2(x ＋1)2－4，即y ＝2x 2＋4x －2.解法二：将y ＝2x 2按向量a ＝(h ，k)平移，设P(x ，y)为y ＝2x 2上任一点，按a 平移之后的对应点为P′(x′，y′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋h ，y′＝y ＋k ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－h ，y ＝y′－k.∴y－k ＝2(x －h)2是平移之后的函数图象解析式．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋k ，y ＝－2x 2＋4x ＋2消去y ，得4x 2－4(h ＋1)x ＋2h 2＋k －2＝0.又∵两交点关于原点对称， ∴x 1＋x 2＝0，即＋4＝0，h ＝－1.又y 1＋y 2＝0，∴2x 21－4hx 1＋2h 2＋k ＋2x 22－4hx 2＋2h 2＋k ＝0.∴2(x 21＋x 22)＋4(x 1＋x 2)＝－4－2k.∴2(x 1＋x 2)2＋4(x 1＋x 2)－4x 1x 2＝－4－2k.∵x 1x 2＝2h 2＋k －24，x 1＋x 2＝0， ∴－4×2h 2＋k －24＝－4－2k. ∴k＝－4.∴y＝2(x ＋1)2－4，即y ＝2x 2＋4x －2. 知能训练课本复习题1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．作业1．课本复习题7、8、9、10.2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．设计感想1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．备课资料一、备用习题1．下列四个等式中正确的是( )A.AB →＋BA →＝0B.AB →＝OA →－OB →C ．a·b －b·a ＝0D ．(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →2．若直线y ＝2x 按向量a 平移得到直线y ＝2x ＋6，那么a ( )A ．只能是(－3,0)B ．只能是(0,6)C ．只能是(－3,0)或(0,6)D ．有无数个3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－3,1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( ) A.13 B ．－13C ．－3D ．34．已知三个点M(－1,0)，N(5,6)，P(3,4)在一条直线上，P 分MN →的比为λ，则λ的值为( )A.13B.12C ．2D ．35．以A(2,7)，B(－4,2)，C(－1，－3)为顶点的三角形，其内角为钝角的是( )A ．∠A B．∠BC ．∠C D．不存在6．平面上有三个点C(2,2)、M(1,3)、N(7，k)，若∠MCN＝90°，那么k 的值为…( )A ．6B ．7C ．8D ．97．有下列五个命题：①若a ≠0，且a·b ＝0，则b ＝0；②若a ≠0，且a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ；④(a·b )c ＝a (b·c )；⑤若|a·b|＝|a||b|，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号全部填上)8．已知P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－π4，3π4]． (1)若用f(x)表示向量OP →与OQ →的夹角θ的余弦，求f(x)；(2)若t ＝cosx ，将f(x)表示成t 的函数φ(t)，并求φ(t)的定义域．参考答案：1．D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.⑤8．解：(1)∵OP →＝(1，cosx)，OQ →＝(cosx,1)，OP →与OQ →的夹角为θ，∴f(x)＝cos θ＝OP →·OQ →|OP →||OQ →|＝1×cosx＋cosx×11＋cos 2x ·cos 2x ＋1＝2cosx 1＋cos 2x . (2)∵t＝cosx ，∴φ(t)＝f(x)＝2t 1＋t2. ∵x∈[－π4，3π4]，观察余弦曲线y ＝cosx 在[－π4，3π4]上的图象可知，t ＝cosx∈[－22，1]， ∴函数φ(t)的定义域为[－22，1]． 二、关于一题多解培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．思路2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．推进新课新知探究向量的坐标运算及其综合应用．通过幻灯出示题目让学生思考讨论：设向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由题意得e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.∵向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴2t 2＋15t ＋7<0，即－7<t<－12. 活动：引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a 、b ，若a 与b 的夹角θ为钝角，则a·b <0，反之，却不一定成立．因为当a·b ＝|a||b |cos θ<0时，a 与b 的夹角也可能为π，因此，a 与b 的夹角为钝角 a·b <0且a ≠λb (λ<0)，所以，正确的解答应在上述t 的范围中去掉夹角为π的情形，即设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，其中λ<0，解得t ＝－142.故所求实数t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)． 比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，尽管由ab ＝0 ⇒a ＝0或b ＝0.又如|a·b|≤|a||b |，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b )c ≠a (b·c )，尽管(ab)c ＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．应用示例1已知向量a 是以点A(3，－1)为起点，且与向量b ＝(－3,4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系？对此题来说，若要利用两向量垂直的条件，则需设a 的终点坐标，然后表示a 的坐标，再根据两向量垂直的条件建立方程．解：设a 的终点坐标为(m ，n)，则a ＝(m －3，n ＋1)，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ －－＋＋＝0，－2＋＋2＝1， ①②由①得n ＝14(3m －13)，代入②得25m 2－150m ＋209＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m 1＝195，n 1＝－25或⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝115，n 2＝－85.∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.变式训练1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，(1)若OC →＝OA →＋OB →，OD →＝OA →－OB →，求OC →及OD →的坐标；(2)求OA →·OB →.解：(1)OC →＝(2，－16)，OD →＝(－8,8)．(2)OA →·OB →＝33.2.如图4所示，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y)，CD →＝(－2，－3)．图4(1)若BC →∥DA →，求x 与y 间的关系式；(2)若又有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积.解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y)，又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y)，∴x(2－y)－y(－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.②联立①②化简，得y 2－2y －3＝0，∴y＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16； 当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16. 点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体.例2设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 、b 满足|k a ＋b |＝3|a －k b |(k 为正实数)．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)把a 与b 的数量积表示为关于k 的函数f(k)，求f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角．活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对有困难的学生教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件地转化及解答的规范．(1)证明：|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a|2－|b|2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解：由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，化简，得a·b ＝k 2＋14k ，故f(k)＝k 2＋14k(k>0)． (3)解：由y ＝k 2＋14k(y>0)，得k 2－4yk ＋1＝0. ∵k>0，方程有解，∴Δ＝16y 2－4≥0，解得y≥12，即k ＝1时，f(k)取最小值为12. 这时，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12，又0≤θ≤π，∴a 与b 的夹角为π3. 点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．例3有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．解：如图5所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记CE →、CF →，重力记为CG →.图5由C 为绳子的中点知|CE →|＝|CF →|.由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋2≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ≈8.90.02＝445， 即绳子所受的张力为445 N.点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．知能训练课本复习题11、12、13.课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．作业如图6，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，E、F 分别为BD 、AC 的中点，求证：EF∥BC.图6证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，∵AD∥BC，∴BC →＝λAD →＝λb ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a .∵E 为BD 中点，BE →＝12BD →＝12(b －a )，F 为AC 中点， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋12CA → ＝BC →＋12(BA →－BC →) ＝12(BA →＋BC →)＝12(BC →－AB →) ＝12(λb －a )， ∴EF →＝BF →－BE →＝12(λb －a )－12(b －a )＝(12λ－12)b . ∵b ＝1λBC →， ∴EF →＝[(12λ－12)×1λ]BC →. ∴EF →∥BC →，即EF∥BC.点评：证明线段平行，也就是证明向量共线．证明向量a 、b 共线，即是想办法证明a ＝λb (b ≠0)，进而想办法找到λ.设计感想1．本教案的设计思想是：以向量的两种运算思路为主线，以向量的代数、几何双重特点的应用为平台，将向量体现的思想方法贯穿其中，巩固加强本章向量知识．2．平面向量是中学数学的重要内容，它与函数、三角函数等多个知识点相联，因此它与其他知识点的交汇也就成了近几年来高考命题的热点．尤其是向量体现的思想方法，几乎包括了中学的全部．如：数形结合思想，例3中函数与方程思想，解决物理问题的转化与化归思想，对向量共线与否中的分类讨论思想．因此我们应给予足够的重视，充分利用向量解题的优化特点，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以提高学生综合应用能力，也适应高考对平面向量的考查要求．备课资料一、备用习题1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，若向量a ＋k b 与a －b 垂直，则k 的值为……( )A.233 B ．7 C ．－113 D ．－2332．已知向量AB →＝(1,2)，OB →＝(0,1)，则下列各点中在直线AB 上的是( )A ．(0,3)B ．(1,1)C ．(2,4)D ．(2,5)3．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 34．若|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝4，则|a －b |为( ) A.13 B ．13 C.42 D ．425．已知a ＝(2,1)，与a 平行且长度为25的向量b 是( )A ．(4,2)B ．(－4，－2)C ．(2,1)或(－2，－1)D ．(4,2)或(－4，－2)6．已知向量i ，j ，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，与2i ＋j 垂直的向量是( )A ．2i －jB ．i －2jC ．2i ＋jD ．i ＋2j7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a8．向量a ＝(n,2)与b ＝(4，n)共线，则n ＝________.9．已知a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，那么实数t 的值是________．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，x ＝2a －b ，y ＝3b －a ，求x 与y 的夹角．参考答案：1．A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C8．±2 2 9.－45。
平面向量运算复习课教案
平面向量运算复习课教案一、知识概述1.向量的定义平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2.向量的表示向量有多种表示方法，常用的有以下几种：- 以带箭头的有向线段表示，箭头所指的方向为向量的方向；- 以字母表示；- 以坐标形式表示。
3.向量的运算加法- 几何意义：将两个向量的初点合并，终点相连得到一个新向量；- 可以满足交换律和结合律。
减法- 几何意义：将被减向量平移至与减向量重合，然后连接两个向量的起点和终点来得到一个新向量；- 等价于加上对应的相反向量。
数乘- 几何意义：将向量的长度乘上一个实数得到一个与原向量方向相同或相反的向量，当实数为负时，向量方向相反；- 支持分配律和结合律。
数量积- 几何意义：两个向量的数量积是一个标量，它等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上的投影长度；- 支持交换律和分配律。
二、教学目标- 理解向量的定义和表示方法；- 掌握向量的加、减和数乘运算；- 熟悉向量的数量积及其应用。
三、教学重点和难点1.教学重点- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
2.教学难点- 向量的数量积的理解和应用。
四、教学方法- 以例题带动思考；- 鼓励学生自主思考，课后布置练。
五、教学过程1.引入- 向学生提出问题：有两个向量 a 和 b，如何求它们的和？- 让学生自由讨论一段时间，然后引出向量的加法运算。
2.讲解向量的加法、减法和数乘运算- 通过几何图形演示，讲解向量加法、减法和数乘的定义、性质和计算方法。
3.讲解向量的数量积- 通过几何图形演示，讲解向量数量积的定义和计算方法；- 通过例题，讲解向量数量积的性质和应用。
六、教学效果评估1.课堂测验- 布置一些选择题和填空题，考察学生对向量的定义、表示、运算和数量积的掌握情况。
2.作业- 布置一些练题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用。
七、板书设计- 向量的定义；- 向量的表示；- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
平面向量二轮复习教学设计
平面向量二轮复习教学设计引言：平面向量是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学竞赛中常考的内容之一。
为了帮助学生复习平面向量的知识并提升其应用能力，本文设计了一节针对平面向量的复习教学。
目标：在本节课中，我们的目标是复习和巩固平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法和减法、向量的数量积以及平面向量的基本运算规则。
同时，通过一些典型的习题和应用题，培养学生分析和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的基本概念和表示方法（15分钟）- 复习向量的定义：有大小和方向的量。
- 复习向量的表示方法：用有向线段表示。
2. 向量的加法和减法（20分钟）- 复习向量的加法和减法的定义。
- 给出几个示例，让学生进行计算和分析。
3. 向量的数量积（30分钟）- 复习向量的数量积的定义和性质。
- 解释数量积的几何意义和计算方法。
- 给出几个应用题，让学生进行计算和分析。
4. 平面向量的基本运算规则（20分钟）- 复习平面向量的基本运算规则：交换律、结合律、分配率等。
- 给出几个示例，让学生进行推导和计算。
5. 综合应用题（30分钟）- 准备一些综合应用题，让学生综合运用平面向量的知识解决实际问题。
- 强调问题分析和解决方法，引导学生思考和讨论。
教学方法：1. 理论讲解与示范：通过讲解向量的基本概念和运算规则，并通过示例演示计算方法和解题思路。
2. 互动讨论与群体合作：在讲解的过程中，引导学生积极回答问题，并鼓励学生相互交流和讨论。
3. 实际应用与综合训练：通过提供一些实际问题和综合应用题，让学生运用所学的平面向量知识解决问题，提升其应用能力。
教学评价：为了评价学生的学习效果和掌握程度，本节课可采用以下方式进行评价：1. 平时表现：包括学生在课堂上的表现、回答问题的积极性和参与度等。
2. 作业评价：布置一些与教学内容相关的练习题或作业，通过批改和讲解答案来评价学生的学习情况。
3. 小组合作评价：对学生进行小组合作评价，评估学生在群体讨论和合作中的表现和贡献。
初中平面向量复习教案
初中平面向量复习教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过实际例子解释向量的表示方法，如箭头表示法和平行四边形法则。
1.2 向量的性质强调向量是矢量，具有大小和方向。
解释向量的相等性、相反向量、单位向量等概念。
1.3 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算。
利用平行四边形法则和三角形法则进行向量加法和减法运算。
第二章：向量的几何表示2.1 向量的几何表示法介绍向量的几何表示方法，包括箭头和平行四边形。
强调箭头表示法中的长度和方向，以及平行四边形法则的应用。
2.2 向量的模和方向解释向量的模（长度）和方向的概念。
利用直角坐标系和极坐标系表示向量的模和方向。
2.3 向量的图像利用图形展示向量的加法、减法和数乘运算。
强调图形中的平行四边形法则和三角形法则的应用。
第三章：向量的坐标表示3.1 向量的坐标表示法介绍向量的坐标表示方法，包括在直角坐标系中的表示。
解释二维和三维空间中向量的坐标表示方法。
3.2 向量的坐标运算复习向量的加法、减法和数乘运算的坐标表示。
利用坐标运算解决实际问题，如计算向量的模和方向。
3.3 向量的坐标图像利用坐标系中的图形展示向量的加法、减法和数乘运算。
强调图形中的平行四边形法则和三角形法则的应用。
第四章：向量的数量积4.1 向量的数量积概念介绍向量的数量积（点积）的概念和计算公式。
解释数量积的几何意义，如两个向量的夹角余弦值。
4.2 向量的数量积运算复习向量的数量积的运算规则，包括交换律、结合律等。
利用数量积解决实际问题，如计算两个向量的夹角余弦值。
4.3 向量的数量积图像利用图形展示向量的数量积的几何意义。
强调图形中的夹角余弦值和数量积的应用。
第五章：向量的投影5.1 向量的投影概念介绍向量的投影的概念，包括在二维和三维空间中的投影。
解释投影的计算方法和几何意义。
5.2 向量的投影运算复习向量的投影的运算规则，包括正交投影和一般投影。
利用投影解决实际问题，如计算向量在某一方向上的投影长度。
必修4 第二章 平面向量导学案
第二章平面向量2。
1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量;2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3。
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1。
向量的定义：__________________________________________________________;2。
向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3。
向量的相关概念:（1）向量的长度（向量的模)：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________(4）平行向量：________________________________（5）共线向量:________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：(1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1。
判断下例说法是否正确,若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；(4)向量a和b是共线向量，//b c，则a和c是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量;例2。
20170625第二章 平面向量复习学案
第二章 平面向量复习学案20170625【本章整合】【要点梳理】 一、向量的概念1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量．2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．3．向量的长度（模）：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB ．4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a 、b 是两个平行向量，那么通常记作a ∥b ．平行向量也叫做共线向量．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a ，都有0∥a ．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 、b 是两个相等向量，那么通常记作a =b ．【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）． A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身） C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍 D ．CB →与DA →不共线 二、向量的加、减法1．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB=a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b AB BC AC =+=．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法．这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则．2．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a +0=0+a =a3．公式及运算定律： ①12231++...+n A A A A A A=0②|a +b |≤|a |+|b |③a +b =b +a ④（a +b ）+c = a +（b +c ）4．相反向量：①我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a ．a 和－a 互为相反向量．②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋（－a ）=（－a ）＋a =0． ④如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =－b ，b =－a ，a ＋b =0．⑤我们定义a －b = a ＋（－b ），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）． A ．BC → B ．AB → C ．AC → D ．AM →【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．三、数乘向量1．向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a|，②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，的方向与a 的方向相反；λ=0时，λa =0．2．运算定律：①λ（ua ）=（λu ）a ②（λ＋u ）a =λa ＋u a ③λ（a ＋b ） =λa ＋λb ④（－λ）a =－（λa ） =λ（－a ） ⑤λ（a －b ） =λa －λb3．定理：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么a 与b 共线．相反，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即| b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b = u a ；当a 与b 反方向时，有b =－u a ．则得如下定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0 ．求证：G 是△ABC 的重心．四、平面向量基本定理1．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．向量a 与b 的夹角：已知两个非零向量a 和b ．作OA =a ，OB=b ，则A O B θ∠=（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角．当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．3．补充结论：已知向量a 、b 是不共线的两个向量，且m 、n ∈R ，若m a ＋n b =0，则m =n =0． 【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b表示向量OP →．五、正交分解与坐标表示1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．即若a =11(,)x y ，b =22(,)x y ， 则a ＋b =1212(,)x x y y ++，a －b =1212(,)x x y y --．3．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．即若a =11(,)x y ，则λa =11(,)x y λλ．4．当且仅当x 1y 2－x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线． 5．从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则OC OA OB λμ=+，其中λ+μ=1．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标．【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标．六．数量积（内积）1．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a •b 即a •b =|a ||b |cos θ．其中θ是a 与b 的夹角，|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．数量积的运算定律：①a •b = b •a ②（λa ）•b =λ（a •b ）=a •（λb ） ③（a + b ）•c =a •c + b •c ④（a +b ）² = a ²+2a •b +b ² ⑤（a －b ）² = a ²－2a •b +b ² ⑥（a +b ）•（a －b ）= a ²－b ²． 4．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a •b =1212x x y y +．则： ①若a =(,)x y ，则|a |²=22x y +，或|a|=．如果表示向量a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为11x y （，）、22x y （，），那么a =2121x x y y --（，），|a． ②设a =11x y （，），b =22x y （，），则a ⊥b 12120x x y y ⇔+=⇔a •b =0． 5．设a 、b 都是非零向量，a =11x y （，），b =22x y （，），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos ||||a ba b θ⋅==．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角．第二章 平面向量复习学案20170625答案解析【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤答案：D 解析：|a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0， ∴|a |＞0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确． 【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线答案：C 解析：当菱形ABCD 与其他两个菱形不共面时，BD 与EH 异面，故选C ． 【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）．A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身）C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线答案：D 解析：易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →；对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|；对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的．【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）．A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →答案：C 解析：原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →． 【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0 答案：D【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）．A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b答案：B 解析：解法一：BC →＝BA →＋AC →＝OA →－OB →＋（－2OA →）＝－OA →－OB →＝－a －b ．解法二：∵b ＋BC →＝OC →＝－a ，∴BC →＝－a －b ．【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．解：如图所示， AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ，CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2（a －b ）＝2b －2a ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C 解析：∵AC →＝25AB →＝25（AC →＋CB →），∴AC →＝23CB →＝－23BC →，∴λ＝－23，故选C ．【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23答案：A 解析：解法一：∵A 、D 、B 三点共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．解法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23（CB →－CA →）＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23，故选A ．【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0．求证：G 是△ABC 的重心．解：如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－（GB →＋GC →）()以GB →，GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →， 又∵在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →， ∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案：C 解析：由623x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得33x x =⎧⎨=-⎩，∴x －y ＝6，故选C ．【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b 表示向量OP →．解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23（OB →－OA →）＝a ＋23（b －a ）＝13a ＋23b ．∵OP →与OM →共线，令OP →＝tOM →，则OP →＝t ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ． 又设OP →＝（1－m ）ON →＋mOB →＝34a •（1－m ）＋mb∴⎩⎨⎧ t 3＝34(1－m )23t ＝m，∴⎩⎨⎧m ＝35t ＝910．∴OP →＝310a ＋35b ．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标． 解：（1）a ＋b ＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；a －b ＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；2a ＋3b ＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）．（2）3a －b ＋c ＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）． 【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．解：（1）∵a ＝mb ＋nc ，∴（3，2）＝m （－1，2）＋n （4，1）＝（－m ＋4n ，2m ＋n ）．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59n ＝89．（2）∵（a ＋kc ）∥（2b －a ），又a ＋kc ＝（3＋4k ，2＋k ），2b －a ＝（－5，2）， ∴2×（3＋4k ）－（－5）×（2＋k ）＝0．∴k ＝－1613．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．解：设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），依题意有：AC →＝（2，2）、BC →＝（－2，3）、AB →＝（4，－1）．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23．因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1．因为（x 1＋1，y 1）＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23． 因为（x 2－3，y 2＋1）＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0．∴EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23． 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×（－1）＝0，所以EF →∥AB →． 【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标． 解：设a ＝（m ，n ），b ＝（p ，q ），则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1p 2＋q 2＝1m ＋p ＝1n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12q ＝－32n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12q ＝32n ＝－32．故a ＝（12，32）、b ＝（12，－32）或a ＝（12，－32）、b ＝（12，32）．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°答案：B 解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°． 【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4答案：C 解析：a 在b 方向上的投影为|a |cos ＜a ，b ＞＝4×cos30°＝23．【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．解：a •b ＝|a ||b |cos60°＝1．因为c ⊥d ，所以c •d ＝0，即（2a －3b ）•（ma ＋b ） ＝2ma 2＋（2－3m ）a •b －3b 2＝2m －12＋2－3m ＝0，解得m ＝－10． 【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角． 解：设＜a ，b ＞＝θ，（1）由a ⊥b 得λ＝－12．（2）cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ＜0且cos θ≠－1得λ＜－12．（3）由cos θ＞0且cos θ≠1，得λ＞－12，且λ≠2．。
高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案
1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
高中数学 第二章 平面向量复习导学案 新人教版必修4
必修4 第二章§2-3、4平面向量【课前预习】阅读教材P93-112完成下面填空1．平面向量的基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =（2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
若),(),,(2211y x B y x A ，则AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3）向量共线的两种判定方法：a ∥ｂ(0≠r b )12210x y x y λ⇔=⇔-= a b 。
2．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。
并规定0与任何向量的数量积为0。
注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.（3）两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量；1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别地a ⋅a = |a |2或||=a 4︒ cos θ =||||⋅a b a b 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |。
（4）向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
第二章平面向量复习教案
普通高中课程标准实验教科书-[人教版A]第二章平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）与三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)与向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念与坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数与向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式与几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:3. 向量运算及平行与垂直的判定:则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅4. 两点间的距离:5. 夹角公式:6. 求模：（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题例1．已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i－3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b（四）基础练习：《习案》P178面6题、P180面3题。
初中平面向量复习教案
初中平面向量复习教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的定义及其几何表示。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘以及向量共线定理。
3. 学会用向量解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平面向量的概念：向量的定义、向量的几何表示。
2. 向量的线性运算：向量加法、向量减法、数乘向量。
3. 向量共线定理：共线向量、相反向量、平行向量。
4. 向量的模：向量模的定义及计算。
5. 向量的坐标表示：二维空间向量的坐标表示及运算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的概念、线性运算、共线定理、模的计算、坐标表示。
2. 教学难点：向量的坐标表示及运算，向量共线定理的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念、性质及运算规律。
2. 利用图形演示，直观展示向量的几何表示及运算过程。
3. 运用例题分析，引导学生学会运用向量解决实际问题。
4. 开展小组讨论，让学生在合作交流中掌握向量的相关知识。
五、教学过程1. 导入新课：回顾平面向量的概念及其几何表示。
2. 讲解向量的线性运算：向量加法、向量减法、数乘向量。
3. 讲解向量共线定理：共线向量、相反向量、平行向量。
4. 讲解向量的模：向量模的定义及计算。
5. 讲解向量的坐标表示：二维空间向量的坐标表示及运算。
6. 例题分析：运用向量解决实际问题。
7. 小组讨论：探讨向量共线定理在实际问题中的应用。
8. 课堂小结：回顾本节课所学内容，总结向量的基本性质及运算规律。
9. 作业布置：巩固所学知识，提高运用向量解决问题的能力。
10. 课后反思：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学质量。
六、教学评价1. 评价内容：学生对平面向量的概念、线性运算、共线定理、模的计算、坐标表示的理解和掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈、小组讨论等。
3. 评价指标：a. 学生能准确描述平面向量的概念及其几何表示；b. 学生能熟练运用向量进行线性运算，包括加法、减法、数乘；c. 学生能理解和应用向量共线定理，判断共线向量、相反向量、平行向量；d. 学生能正确计算向量的模，理解其意义；e. 学生能运用向量的坐标表示解决实际问题。
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第二章 平面向量复习课（一）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件
是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)
2. 平面向量数量积的运算律:
)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅
.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a
4. 两点间的距离:
221221)()(||y y x x AB -+-=
5. 夹角公式
:
222221212121
cos y x y x y y x x +⋅++==θ
6. 求模：
= 22y x += 221221)()(y y x x -+-=
（二）习题讲解：第二章 复习参考题
（三）典型例题
例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，OC =c ，
且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c
解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），
设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3, b =， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b
（四）基础练习：
（五）、小结：掌握向量的相关知识。
（六）、作业：
第二章 平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：
（二）典型例题
例1．已知圆C ：4)3()3(22=-+-y x 及点A （1，1），M 是圆上任意一点，点N 在线
段MA 的延长线上，且N A A M 2=，求点N 的轨迹方程。
练习：1. 已知O 为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），
=x ,y=· （x ，y ∈R ） 求点P （x ，y ）的轨迹方程；
2. 已知常数a >0，向量)0,1(),,0(==a ，经过定点A （0，－a ）以λ+为方向向量的直线与经过定点B （0，a ）以λ2+为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ.求点P 的轨迹C 的方程；
例2.设平面内的向量)7,1(=, )1,5(=, )1,2(=，点P 是直线OM 上的一个动点，求当⋅取最小值时，的坐标及∠APB 的余弦值．
解 设),(y x OP =．∵ 点P 在直线OM 上，
∴ OP 与OM 共线，而)1,2(=OM ，∴ x －2y =0即x =2y ， 有),2(y y OP =．∵ )7,21(y y OP OA PA --=-=，
)1,25(y y OP OB PB --=-=，
∴ )1)(7()25)(21(y y y y PB PA --+--=⋅
= 5y 2－20y +12
= 5(y －2)2－8．
从而，当且仅当y =2，x =4时，⋅取得最小值－8， 此时)2,4(=，)5,3(-=，)1,1(-=． 于是34||=，2||=，8)1(51)3(-=-⨯+⨯-=⋅，
∴ 17
1742348
cos -=⋅-==∠APB 小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业：。