第二章平面向量复习(教、学案)

第二章 平面向量复习课（一）

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件

是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2

.

5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)

2. 平面向量数量积的运算律:

)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(

3. 向量运算及平行与垂直的判定:

).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅

.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a

4. 两点间的距离:

221221)()(||y y x x AB -+-=

5. 夹角公式

:

222221212121

cos y x y x y y x x +⋅++==θ

6. 求模：

= 22y x += 221221)()(y y x x -+-=

（二）习题讲解：第二章 复习参考题

（三）典型例题

例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，OC =c ，

且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c

解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），

设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3, b =， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b

（四）基础练习：

（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）、作业：

第二章 平面向量复习课（二）

一、教学过程

（一）习题讲解：

（二）典型例题

例1．已知圆C ：4)3()3(22=-+-y x 及点A （1，1），M 是圆上任意一点，点N 在线

段MA 的延长线上，且N A A M 2=，求点N 的轨迹方程。

练习：1. 已知O 为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），

=x ,y=· （x ，y ∈R ） 求点P （x ，y ）的轨迹方程；

2. 已知常数a >0，向量)0,1(),,0(==a ，经过定点A （0，－a ）以λ+为方向向量的直线与经过定点B （0，a ）以λ2+为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ.求点P 的轨迹C 的方程；

例2.设平面内的向量)7,1(=, )1,5(=, )1,2(=，点P 是直线OM 上的一个动点，求当⋅取最小值时，的坐标及∠APB 的余弦值．

解 设),(y x OP =．∵ 点P 在直线OM 上，

∴ OP 与OM 共线，而)1,2(=OM ，∴ x －2y =0即x =2y ， 有),2(y y OP =．∵ )7,21(y y OP OA PA --=-=，

)1,25(y y OP OB PB --=-=，

∴ )1)(7()25)(21(y y y y PB PA --+--=⋅

= 5y 2－20y +12

= 5(y －2)2－8．

从而，当且仅当y =2，x =4时，⋅取得最小值－8， 此时)2,4(=，)5,3(-=，)1,1(-=． 于是34||=，2||=，8)1(51)3(-=-⨯+⨯-=⋅，

∴ 17

1742348

cos -=⋅-==∠APB 小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：