组合数学习题

9 3
=84.
§ 1.5 组合恒等式
1.用二项式定理展开 (2x 7)7.
2.在 (3x 2 y)18展开式中, x5 y13的系数是什么? x8 y10的系数
是什么?
3.用组合分析的方法证明恒等式
n
2n
n k 0
n
k
.
4.设n为正整数,则 (1)k C(n,k)3k 的值是( (-2)n ).
y1 1 y2 1L yn 1 r
即
y1 y2 L yn r n
上式的非负整数解的个数等于原方程的正整数解的个数,故原方
程正整数解的个数为
F
(n,
r
n)
n
r r
n n
1
r r
1 n
r n
11.
4.有纪念章4枚,纪念册6本,分送给10位同学,问有多少种分法? 如果限制每人得一件物品,则又有多少种分法?
再让5女人就坐共有 5!=120; 故由乘法规则得5男5女交替就坐方式数为 24×120=2880.
§ 1.2 排列
5.在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中,有多少个数含 有数字1?又有多少个数不含数字1?
解 (1) 先计算不含数字1的个数.
不考虑10,000,000,000本身,把任何一个小于该数的不含1的 正整数看作10位数,但全是0除外.相当于从{0,2,3,…,9} 9个数中 选取,共有10个位置,故共有 910-1个. (2) 含1的数共有 1010-(910-1)+1 个.
N1
1
7! 4!2!
105.
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然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解 先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间 隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
§ 1.2 排列
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解 由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千 位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一 个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
24×5=120(种). 8. 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子 最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案?
解 如果_O_O_O_O_O_,3个空盒可插在两个球之间,共有 C(6,3)=20种, 又5个有标志的球共有 5!=120种排法 , 故由乘法规 则得所求排列数为 20×120=24 0(种).
2.求在1000和9999之间各位数字不相同且由奇数构成的整数 个数.
解 由于它们之间的数都是4位数且要求各位都是奇数,故所 求整数个数为 P45 5 4 3 2 120.
§ 1.2 排列
3.10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式?如果其中有两个 人不愿坐在一起,又有多种就坐方式?
解 这是全排列问题. (1) 所有就坐方式为: P(10,10)=10! (2) 所有就坐方式为: P(10,10)-2×P(9,9)=8×9! 4.10个人围园桌而坐,若两人不愿坐在一起,问有多少种就坐 方式所?若以1由0乘人法是规5男则5得女所且求交奇替数就个坐数,有为多少5种×8就×坐8×方7式=2?240个. 解 这显然是园排列问题. (1) 所有就坐方式为: 10!/10-2×9!/9=9!-2×8!=7×8!. (2) 先让5男围围桌就坐有 5!/5=4!=24;
它是重集B={4·纪念册,6 ·纪念章}的可重全排列,排列数为
M 10! C(10, 4). 4! 6!
5.为数众多的一分、二分、五分、一角硬币中有多少种方法选 出六枚硬币？
解 这是属于重集
B { 1分, 2分, 5分, 1角}
的6-组合数问题,故有
F
(4,
6)
4
6 6
1
9 6
解 (1) 由于没有限制每一个同学可得纪念册和纪念章的本数和 枚数,故此问题属于可重组合问题.
将4枚纪念章分给10位同学的方法有F(10,4)=C(13,4);
§ 1.3 组合
将6本纪念册分给10位同学的方法数为 F(10,6)=C(15,6);
于是由乘法规则得所有的分法数为 N=C(13,4) C(15,6). (2) 由于每个人限制得一件物品,故此问题属于可重全排列问题.
C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解 令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
解 依据余数分别为[0],[1],[2],[3]把1000个数的集合分成四个 子集B,C,D,E,且各为250个数.
(1) 从同一集合中选三个数只有B符合,有C(250,3)种; (2) 从两个集合中选三个数,C或E中选2个数,D中选1个数,或B中 1个,D中2个共有3C(250,2)C(250,1)种; (3) 从三个集合中各选1个数,从B,C和E中各选三个数,有
§ 1.3 组合
1.空间中有30个点,这30个点无四个点共面,问它们能确定多 少三角形?能确定多少四面体?
解 由于任意三点可确定一个三角形,故有C(30,3)=4060个. 又由于无四点共面每四点可确定唯一一个四面体,故有 C(30,4)=22405个.
2.从整数1,2,…,1000中选取三个数使得它们的和是4的倍数, 求这样的选法有多少种?
6.单词“MISSISSIPPI”中的字母有多少种不同的排列方法？
如果两个S不相邻，又有多少种排列方法？
解 这是可重全排列问题. (1) 这相当于重集B={1·M,4·I,4·S,2·P}的全排列,故全排列数
为
N 11! 34650.
1 4! 4! 2!
§ 1.2 排列
(2) 先对重集B`={1·M,4·I,2·P}的做全排列,故全排列数为