高等代数发展史
高等代数简介
高等代数简介一、高等代数的教学目的及重要性代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。
所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。
高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。
高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。
通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。
随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。
高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。
二、高等代数简要发展史代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。
18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。
历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程1010n n n a x a x a -+++=其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。
事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。
这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。
同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。
浅谈代数学发展的三个阶段
（三）结构代数阶段
1、世纪的代数纯形式研究。 2、多种多样的代数系统。 3、群论的产生和发展。 4、域论的产生和发展。 5、环论的产生和发展。 6、近数学的接待发展。
综上可知:
中学数学学习的主要内容是符号代数阶段的简单知识;
高等代数学习的主要内容是符号代数阶段及其向结构代 数阶段过渡时期的理论问题;
二、代数学发展的三个阶段
（一）文词代数阶段
1、四千年以前，埃及与古巴比伦的代数萌 发。
2、公元一世纪，《九章算术》的线性方程 组问题。
3、公元9世纪到12世纪的文词《代数学》
4、16世纪三次四次方程的解法。
（二）符号代数阶段
1、17世纪的代数符号化。 2、17—19世纪的多项式理论。 3、17—19世纪的线性方程组理论。 4、19世纪的矩阵理论。 5、19世纪的伽罗华理论。
同学们中有什么联系呢
浅谈代数学发展的三个阶段
主讲 侯维民
一、问题的提出
同学们中学学代数，现在学高等 代数，升入本科后还要学抽象代数，那 么中学代数、高等代数、抽象代数之间 有什么联系呢？让我们从代数学发展的 历史来看这个问题。
高等代数发展史
⾼等代数发展史初等代数从最简单的⼀元⼀次⽅程开始，⼀⽅⾯进⽽讨论⼆元及三元的⼀次⽅程组，另⼀⽅⾯研究⼆次以上及可以转化为⼆次的⽅程组。
沿着这两个⽅向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的⼀次⽅程组，也叫线型⽅程组的同时还研究次数更⾼的⼀元⽅程组。
发展到这个阶段，就叫做⾼等代数。
⾼等代数是代数学发展到⾼级阶段的总称，它包括许多分⽀。
现在⼤学⾥开设的⾼等代数，⼀般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
⾼等代数在初等代数的基础上研究对象进⼀步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，⽐如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的⽅法和运算的⽅法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有⽅向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，⽽是向量了，其运算性质也由很⼤的不同了。
⾼等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究⾼次⽅程的求解问题上，许多数学家⾛过了⼀段颇不平坦的路途，付出了艰⾟的劳动。
⼈们很早就已经知道了⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程的求解⽅法。
关于三次⽅程，我国在公元七世纪，也已经得到了⼀般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了⼗三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开⽅术”⾥，充分研究了数字⾼次⽅程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了⾼次⽅程的⼀般解法。
在西⽅，直到⼗六世纪初的⽂艺复兴时期，才由有意⼤利的数学家发现⼀元三次⽅程解的公式卡当公式在数学史上，相传这个公式是意⼤利数学家塔塔⾥亚⾸先得到的，后来被⽶兰地区的数学家卡尔达诺（1501?1576）骗到了这个三次⽅程的解的公式，并发表在⾃⼰的著作⾥。
所以现在⼈们还是叫这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，它应该叫塔塔⾥亚公式。
三次⽅程被解岀来后，⼀般的四次⽅程很快就被意⼤利的费拉⾥（1522?1560）解岀。
高等代数的发展历程和内容
高等代数的发展历程和内容高等代数是数学中的一个分支，它是研究抽象代数系统的一门学科，也是现代数学中的重要组成部分。
高等代数的发展历程和内容与人类文明的发展和数学领域的进展密不可分，本文将对高等代数的发展历程和内容进行探讨。
一、高等代数的起源和发展历程高等代数的起源可以追溯到古代数学，例如古希腊的欧几里得几何和毕达哥拉斯学派的数论。
但是，高等代数真正的奠基人是法国数学家维达，他在18世纪提出了代数方程的理论，开创了代数学的新纪元。
此后，高等代数在欧洲迅速发展，德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日、英国数学家哈密顿等人的贡献不可忽视。
19世纪中期，高等代数得到了进一步的发展，主要是由于德国数学家克莱因、约旦、诺伯特等人的贡献。
他们创立了群论、环论、域论等代数学分支，将代数学从数论、几何学中解放出来，使代数学成为一门独立的学科。
20世纪初，高等代数的发展进入了新的阶段，主要是由于俄国数学家柯西、勒贝格、李亚普诺夫等人的贡献。
他们在代数学中引入了拓扑学、微分几何学等现代数学分支，使代数学与其他数学分支相互融合，形成了一门更加丰富多彩的学科。
二、高等代数的内容高等代数的内容非常广泛，包括群论、环论、域论、线性代数、范畴论等多个分支，下面分别进行介绍。
1.群论群论是代数学的重要分支，它研究的是代数结构中的群。
群是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群论的研究对象包括群的性质、群的分类、群的表示等。
2.环论环论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的环。
环是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的研究对象包括环的性质、环的分类、环的表示等。
3.域论域论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的域。
域是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律、存在乘法逆元素等性质。
域论的研究对象包括域的性质、域的分类、域的表示等。
4.线性代数线性代数是代数学的重要分支，它研究的是线性方程组的解法和矩阵的性质。
高等代数数系发展
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分数系
有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征. 巴比伦的分数是 60 进位的，埃及采用的是单分数（unit fraction），阿拉伯的分数更 加复杂：单分数、主分数和复合分数. 这种繁复的分数表示必然 导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直 到 15 世纪以后才逐步形成现代的分数算法. 与之形成鲜明对照 的是中国古代在分数理论上的卓越贡献.
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自然数系
位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的 文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系. 人类第一个 认识的数系，就是常说的“自然数系”. 但是，随着人类认识的 发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来. 首先，自然数系是一 个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限 于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分. 同时，作 为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由 地施行它们的逆运算. 这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以 弥补.
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算筹
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算筹
根据史书的记载和考古材料的发 现，古代的算筹实际上是一根根 同样长短和粗细的小棍子，一般 长为 13-14cm，径粗 0.2∼0.3cm， 多用竹子制成, 也有用木头、兽 骨、象牙、金属等材料制成的， 大约二百七十几枚为一束，放在 一个布袋里，系在腰部随身携带. 算筹最晚出现在春秋晚期战国初 年（公元前 772∼ 公元前 221）， 在算盘出现前一直是中国重.... . . . . .... .... .... . .
浅论高等数学的发展历史及学习方法
浅论高等数学的发展历史及学习方法
在中世纪，欧洲的大学开始教授一些现代高等数学的基础知识，如代数和几何等。
真
正意义上的高等数学的发展始于17世纪的微积分诞生。
微积分由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时独立发现，并且为当时的科学研究提供了重要支持。
从此，微积分成为
了高等数学的核心内容。
18世纪末19世纪初，法国数学家拉格朗日、拉普拉斯等人奠定
了微积分的严格基础，使其成为一门完整的学科。
随着数学的发展，高等数学的内容也逐渐丰富起来。
除了微积分外，线性代数、概率
论与数理统计、常微分方程、偏微分方程等也成为了高等数学的重要组成部分。
尤其是线
性代数的出现，使得高等数学的研究更加深入，计算机科学和工程技术等学科中的应用也
得以快速发展。
在学习高等数学时，学习方法至关重要。
第一，要注重理论基础的学习。
高等数学的
理论基础是建立在中学数学基础上的，因此对中学数学基础的掌握是学习高等数学的前提。
第二，要注重实际问题的应用。
高等数学的内容广泛且深入，掌握其中的原理和方法并能
够灵活应用于实际问题是非常重要的。
要注重思维能力的培养。
高等数学要求学生具备较
强的抽象思维能力和逻辑推理能力，有时候还需要一定的创造力。
学生在学习过程中应注
重思维能力的培养，可以通过做一些数学推理题目来提高。
第四，要注重实践操作的训练。
高等数学是一门实践性很强的学科，只有通过大量的实践操作，才能更好地理解数学的原
理和方法。
学生应多做一些习题、实验和实践项目。
代数式的发展简史
代数式的发展简史代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与符号的关系。
代数式的发展史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始探索未知数和变量之间的关系。
然而，代数的真正发展始于16世纪的欧洲，特别是文艺复兴时期。
在文艺复兴时期，数学开始成为一门独立的学科，并且代数式的研究逐渐得到重视。
法国数学家维阿里于1557年出版了一本名为《代数的新分析》的书，这本书被认为是代数学的里程碑。
维阿里在书中引入了字母作为未知数的符号，并且发展了一套运算规则，这为代数式的处理提供了基础。
随着时间的推移，代数的发展进入了17世纪，这个时期的代数学家们开始研究多项式的性质和解法。
法国数学家费马在17世纪提出了一个著名的数论问题，即费马大定理，这个问题在代数学的发展中起到了重要的推动作用。
18世纪是代数学史上一个重要的时期，代数的发展进入了一个新的阶段。
欧拉是18世纪最重要的代数学家之一，他对代数式的理论做出了重要贡献。
欧拉提出了代数方程的根与系数之间的关系，即欧拉公式，这个公式对后来的代数研究产生了深远的影响。
19世纪是代数式发展史上的又一个重要时期。
这个时期的代数学家们开始研究更为复杂的代数结构，如群、环、域等。
德国数学家高斯是19世纪代数学的杰出代表之一，他在代数方程的解法和代数理论的发展方面做出了突出的贡献。
高斯提出了代数方程的基本定理，即每个非常数代数方程都有复数根的定理，这个定理对代数学的发展产生了深远的影响。
20世纪是代数学发展的黄金时期，代数的研究领域进一步扩展。
在这个时期，代数学家们开始研究更为抽象的代数结构，如线性代数、抽象代数等。
同时，计算机的出现也为代数式的发展提供了新的工具和方法。
代数式的发展史是代数学发展史的一部分，它记录了人们对数与符号关系的认识和研究的历程。
从古希腊时期到现代，代数式的发展经历了漫长而曲折的道路。
代数式的发展不仅推动了数学的发展，也对其他学科的发展产生了深远的影响。
无论是古代的未知数问题，还是现代的抽象代数理论，代数式的发展都是数学发展史上的重要组成部分。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
浅论高等数学的发展历史及学习方法
浅论高等数学的发展历史及学习方法高等数学是指从微积分、线性代数、概率论等方面对数学进行深入研究的学科。
在现代数学的体系中，高等数学是数学学科的重要组成部分之一。
在物理、工程、计算机科学等应用领域，高等数学也是必不可少的基础学科。
本文将从高等数学的发展历史和学习方法两方面进行浅论。
1、微积分的发展微积分是高等数学的重要分支。
17世纪初，牛顿和莱布尼茨开创了微积分的理论体系，从而推动了科学的发展。
18世纪，欧拉、拉格朗日、科西、拉普拉斯等数学家进一步拓展了微积分在数学和物理领域中的应用。
19世纪，高斯、柯西等数学家将微积分与复变函数理论等方面结合起来，使得微积分得到了更加广泛的应用。
20世纪以来，微积分还在概率论、偏微分方程等领域中发挥着重要的作用。
2、线性代数的发展线性代数是数学中的另一个重要分支。
19世纪初，高斯、凯莱和李卜兹等数学家在研究代数系统的基础上，创立了线性代数的体系。
20世纪初，线性代数在矩阵论和线性优化等方面有了广泛的应用。
到了20世纪中期，线性代数的理论体系得到了进一步的拓展和完善，并开始在计算机科学和人工智能等领域中发挥重要作用。
3、概率论的发展概率论也是高等数学中的一个重要分支。
概率论的基础可以追溯到17世纪初，但其现代形式的体系是在20世纪初确定的。
20世纪中期，随机过程理论在概率论研究中应用，使概率论得到了更加深入的探究。
同时，在统计学、金融学等领域中的应用也促进了概率论的发展。
1、抓住前置知识高等数学是建立在基础数学基础上的学科，因此在学习高等数学之前，必须掌握良好的前置知识。
例如，要学习微积分，必须先学好初等数学中的代数、三角学等知识；要学习线性代数，必须先掌握向量、矩阵等基本知识。
只有充分掌握了前置知识，才能更好地理解高等数学的概念和方法。
2、注重实践高等数学是一门理论和实践相结合的学科。
因此，不仅要掌握理论知识，还要注重实践操作。
例如，在学习微积分时，应多进行练习，掌握不同类型的微积分题目。
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
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高等代数
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任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数
数学课程
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 简介
03 研究 05 关系
目录
02 发展史 04 代数学
基本信息
初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究 二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也 叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展 到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。
发展初期
十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》 的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，另 一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。
其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。 代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
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关系
关系
很多人把高等代数和线性代数混为一谈，但其实高等代数是大学数学专业开设的专业课，线性代数是大学中 除了数学专业以外的理科，工科和部分医科专业开设的课程。
代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三 大学科进行的。
代数学与另两门学科的区别，主要在以下两点：
发展史
发展初期
发展内容
高等代数石生明
高等代数石生明代数是数学中重要的一个分支，它应用到许多领域有着广泛的用处。
其中，把代数应用在数量关系中的研究称为代数学。
石生明，一位著名的数学家，他在《论证法》中提出了代数推理的新思想，他是中国历史上第一个提出代数概念的数学家，他发展的代数理论，被称为“石生明代数”。
下面将对石生明的代数发展和贡献进行简要介绍，以便对读者更加了解石生明以及他在中国数学发展中的贡献。
石生明是中国历史上第一个提出了代数概念的数学家，他发展的代数理论，被称为“石生明代数”，它包括等式、方程、双余定理等。
石生明代数有两个主要特点：一是把计算和推理结合起来，以满足实际应用的要求；二是该理论可以把多个计算概念组合运用。
石生明的代数应用于研究解方程的问题。
他发现当左右两边的等式中含有内容相同的项时，可以把它们运用代数的计算方法去解决。
用石生明的代数知识解若干方程，可以得出石生明推断规律，即“方程的解是独立的”，即特定方程的解可以不受其他方程的影响而独立确定。
石生明的成就，为我们的数学提供了广阔的天地，也把代数纳入数学的主流，他的理论及其作品，被世人所景仰，并且在当今仍然具有重要的参考价值。
石生明的代数，比较完整地体现了中国古代数学的特点，强调计算与推理的结合，发展了概念丰富，形式多样、应用广泛的中国代数，它引发了中国数学文化进程中的第一次动力，在古代数学史上具有重要的作用。
从中可以看出，石生明代数的发展起着重要作用，而石生明本人更是为中国数学史上的发展作出了重要的贡献。
无论是从石生明的代数的特点，还是从石生明本人的贡献上来看，都可以看出，石生明代数对中国数学史上发展无疑是有着重要的意义。
综上所述，石生明代数是中国数学发展史上一个永恒的巅峰，它不仅使中国数学得到发展与发达，并且有助于推动了数学的发展。
石生明也为我们提供了良好的学习模范，表明我们可以在数学、思想和社会科学等方面都有所贡献，使中国数学发展得更加显著。
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
代数发展史
代数发展史一门科学的历史是那门科学中最珍贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”〔algebra〕一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米〔al-Khowārizmī，约780－850〕一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《复原与对消的科学》．al-jabr 意为“复原”，这里指把负项移到方程另一端“复原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“a l-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣兴盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
高等代数发展史
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式卡当公式在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的，后来被米兰地区的数学家卡尔达诺（1501〜1576）骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解岀来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里（1522〜1560）解岀。
代数学的发展
代数学的发展初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
精品科普讲座—高等代数的开创性进程
凡是给出这样一个公式的，就把方程称为“可以代数求解”，凡是给不出这样一个公 式的，就把方程称为“不可以代数求解”。
二次方程的代数解法，很早就解决了。三次、四次方程的代数解法，已在16世纪 由意大利数学家塔塔里亚和费拉利等人解决了。
数学家的目光自然地转移到五次方程或更高次方程的求根公式上。在 17世纪和 18世纪，几乎所有数学家都研究过这个问题，但都没有成功。著名数学家欧拉和拉格 朗日也研究过这个问题，拉格朗日说，这个问题好像是在向人类的智慧挑战。
阿贝尔是一个意志非常坚强的人，他钻研数学的目的，不是为了金钱，也不是为 了出人投地，更不是为了成名成家，而是为了科学。即使再极端的困难，甚至在连肚 子都填不饱的情况下，他仍然没有放弃数学研究，而是信心十足地探讨数学问题。
1826年，阿贝尔到了法国。他把写成的长篇论文《论一个非常宽广的超越函数 族》，托人转交给大数学家柯西，直到年底一直音讯杳然。
从此，阿贝尔一头扎进数学家的著作里，刻苦攻读，成了“数学迷”。 中学还没有毕业，阿贝尔就向当时公认的数学难题，关于五次方程的代数解法展
开了进攻。 我们知道一元一次方程的求根公式，也了解一元二次方程的两个根的求根公式。 比如在二次方程ax＋bx＋c=0，其中 x是未知数， a， b，C都是 已知数，那么
1820年，阿贝尔在亲友的帮助和支持下，考入大学。当时，这所大学没有数学系， 而阿贝尔的特长在数学方面，于是他在完成学校规定的课程外。
把全部时间和精力用于研究数学。 在大学期间，阿贝尔继续研究五次方程的求解问题。怎样用加、减、乘、除和开 方的代数运算，来求出五次方程的解呢？他冥思苦想，反复运算，希望有朝一日能解 决这个难题。 阿贝尔善于学习前人的经验，特别对一些数学大师的著作深有研究。欧拉、拉格 朗日、柯西、高斯等人的著作和文章，都对阿贝尔很有启发。
浅论高等数学的发展历史及学习方法
浅论高等数学的发展历史及学习方法高等数学是一门研究微积分、数理方程、数理逻辑等数学基础理论及其在科学实践中的应用的学科。
它在数学学科体系中占有重要地位，是大多数理科、工科专业的必修课程。
高等数学发展至今已有数百年的历史，经历了从初级代数到高级微积分的漫长发展过程，学习高等数学的方法也有着相应的变化和优化。
高等数学的发展历史可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨的微积分学理论的创立。
他们的工作为后来的高等数学的发展奠定了基础。
18世纪末至19世纪初，欧拉、拉普拉斯、拉格朗日等伟大的数学家又进一步推动了高等数学的发展。
他们在微积分、数理方程等领域的研究成果为后来的学者提供了丰富的素材。
20世纪初，数学家希尔伯特提出了数学的公理化体系，给高等数学的教学、研究提供了统一的思想方法。
从此以后，高等数学的研究更加系统化、严谨化，高等数学教材也逐渐完善和规范化。
高等数学的学习方法多种多样，以下是一些常用的学习方法。
培养数学思维的能力。
高等数学强调的是抽象思维和逻辑推理能力的培养。
学习者需要通过大量的练习来锻炼思维的敏捷性和逻辑的严密性。
在解题过程中要善于归纳总结，学会用不同的方法去解决同一问题，培养灵活的思维方式。
理解与应用相结合。
高等数学的内容比较抽象和理论化，很容易让学生把数学当成一门死记硬背的科目。
但高等数学的理论框架是为了解决实际问题而建立起来的，因此理解数学知识并将其应用到实际问题中是学习高等数学的关键。
要注重培养数学模型建立和问题解决的能力，在学习的过程中注意与实际应用的联系，从而深化对数学的理解。
注重习题的训练。
高等数学强调实际计算和推理能力的培养，而这些能力需要通过大量的习题练习来提高。
选择适当的习题作为练习对象，注重不同类型题目的训练，可以提高解题的熟练度以及对数学知识的理解。
要注重习题的分析和归纳总结，从中发现规律、掌握解题技巧，形成更为系统的数学思维。
注重学科之间的联系。
高等数学与物理、力学、电路等学科有着密切的联系。
代数发展史
三 三大几何难题
• 三等份任意角 • 立方倍积问题——求作一立方体，使其体积
等于已知立方体体积的二倍
• 化圆为方问题——求作一正方形，使其面积 等于一已知圆的面积
第十三页，共17页
历史上的代数与当前中学代数
• 原始代数从古巴伦人就开始了，最早的问题是解方程。称为《还
原与对消的科学》， 也称《解方程的科学》或《方程学》。 在中国是1859年由李善兰和伟列亚力共同翻译以上书籍时，首
群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在 着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使 得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元 和逆元素。
群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进 和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多 地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念 有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上 与数的概念获得了统一。
第三页，共17页
一. 三次方程与四次方程
1. 二次方程求解 公元前1700年，发现最早二次方程的解 法——“已知两数的和与积求此两数”
• 花拉子米（Al-Khowarizmi）(约780-850) 首先给出了求根公式
3. 韦达公式
第四页，共17页
一. 三次方程与四次方程
1。塔塔利亚
x3 + px = q (p, q > 0)
1824年: 《论代数方程，
证明一般五次方程的 不可解性》
方程次数大于等 于五时，任何以其 系数符号组成的根 式都不可能表示方 程的一般解。
阿贝尔方程
第十页，共17页
N. H. Abel, 1802-1829
二 高次方程可解性问题的解决
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初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史
代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。
既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些
代数运算表示出来。
阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。
后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。
伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。
伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。
他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。
有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。
公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。
我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。
”
伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。
他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。
随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。
伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。
从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。
在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。
高等代数的基本内容
代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。
代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。
虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。
比如群、环、域等。
多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。
多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。
研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。
多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。
这些大体上和中学代数里的内容相同。
多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。
解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。
德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。
行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。
行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。
矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
比较重要的代数系统有群论、环论、域论。
群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。
现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。
高等代数与其他学科的关系
代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。
那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？
首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。
尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。
这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。
代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。
其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。
代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。