最新数列概念及其表示

利用各类数列的要求判断．
3．通项公式 如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中 的 n 就可以求出数列中的指定项， 如果给出数列中的前几项， 也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归 纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立， 并不知道． 注意 一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数
n
n
1 n＋
.
(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1 －0.0001，而 0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，
2 ∴它的一个通项公式为 an＝ 3 (1－10－n)
(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5， 偶数项是 4. 所以，它的一个通项公式为
2.1 数列概念和表示
新课讲解
1.数列的概念 数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序 有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}． 注意 判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和
项是否相同．
2．数列的分类 按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其 中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}． 按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减 数列，常数列，摆动数列． 注意 判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，
an (2)∵bn＝ ，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5， an＋1 a5＝8， a1 1 a2 2 ∴b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ， a2 2 a3 3 a3 3 a4 5 b3 ＝ ＝ ， b4 ＝ ＝ . a4 5 a5 8 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为 ， ， ， . 2 3 5 8
解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 n－1 × 3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.
an＝ 2＋
a20＝ 3× 20－1＝ 59.
(2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 101 * 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝ ∉ N ， 3 ∴10 不是该数列的项．
1 1 (3)－ ， ，( 2× 1 2× 2 1 1 3 (4) ，－ ， ，( 2 2 8 2 1 (5)1， ， ，( 2 2
答案 (1)16 (2) 1 5
1 (3)－ 2× 3 1 (4)－ 4 2 (5) 4 － 3 32
例题讲解
题型二 数列通项公式的应用 例 2. 已知数列 2， 5，2 2， 11，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
列不存在通项公式．
4．递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法， 是指已知数列{an} 的第一项 ( 或前几项 ) 及相邻两项 ( 或几项 ) 间关系可以用一个 公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出 a1 或 a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项． 注意 并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存
例题百度文库解
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； an (2)通过公式 bn＝ 构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} an＋1 的前 4 项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
1 (1) n 1 an 4 2
9 (1) n1 5，n为奇数， 或an＝ . 2 4，n为偶数

跟踪练习
1. 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1)1,4,9，( 1 (2)1， ，( 3 )，25,36； 1 1 )， ， ； 7 9 1 1 )， ，－ ； 2× 4 2× 5 5 )， ，( 32 1 )， . 4 )；
解: (1)该数列第 1,2,3,4 项的分母分别为 2,3,4,5，恰比项 数多 1. 分子中的 22,32,42,52 恰是分母之平方，－1 不变，故它的 一个通项公式为 an ＝ n＋1 2－1 . n＋1
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号 因子 ( － 1)n ，分子均为 1 不变，分母 2,6,12,20 可分解为 1× 2,2× 3,3× 4,4× 5，则它的一个通项公式为 an＝(－1)
跟踪练习
1.已知数列{an}的通项公式 an＝2n2－n. (1)写出这个数列的第 4 项和第 6 项； (2)试问 45 是否是{an}中的项，3 是否是{an}中的项？
解：(1)a4＝2× 42－4＝28， a6＝2× 62－6＝66. (2)令 2n2－n＝45，得 2n2－n－45＝0，得 n＝5， 9 n＝－ (舍)，故 45 是此数列中的第 5 项． 2 令 2n2－n＝3，得 2n2－n－3＝0，此方程不存在正整数 解，故 3 不是此数列中的项．
在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几 项寻求递推关系，递推公式可能不止一个.
5．求和公式
S n a1 a2 ... an
S (n 1) 1 an S n S n 1 (n 2)
例题讲解
题型一 探求数列的通项公式 例 1. 分别写出下列数列的一个通项公式， 数列的前 4 项 已给出． 22－1 32－1 42－1 52－1 (1) ， ， ， ，…； 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)－ ， ，－ ， ，…； 2 6 12 20 (3)0.6, 0.66, 0.666, 0.6666，…； (4)5,4,5,4，….