最新数列概念及其表示
数列的基本概念与简单表示法
(2)(1 ),4,9,16,25,(36 ),49
⑵ an=n2
(3) - 1, 1 ,(- 1 ), 1 ,- 1 , 1 ,(- 1 )
2
3
(3)an
4
56
(1)n 1 n
7
(4)1, 2,( 3 ),2, 5,( 6 ), 7
(4)an n
目标3：数列是特殊的函数
显也然就,是有说了每通个项序公号式也,只都要 依对次应用着一1,2个,3,数…（代项替）公式
本节课学习的主要内容有： 1.数列的有关概念;
2.数列的通项公式； 3.数列的实质；
4.本节课的能力要求是：
(1) 会由通项公式 求数列的任一项； (2) 会用观察法由数列的前几项求
数列的通项公式. (3)检验某数是否是该数列中的一项.
课后作业：
1、学习反馈训练（时间：15---20分钟）
2、思考题： ①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”
an
1 n1 n n 1
(2) 0 ，2 ，0 ，2
分析： 1
2
3
4
1 11
1 12
1 13
1 14
0
2
0
2
解： 这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通 项公式是
an 1 1n
2、根据数列{ a n }的通项公式，写出它的
前5项：
a (1) n n2 n
a (2) n 5 2n1
(n N* , n 64)
a 2n1 n
1 ，2 ，3 ，，n ， 2
n (nN* )
a n n
2 ，4 ，6 ，…，2n ，… 3
a 2n
n
新教材2023版高中数学第一章数列1数列的概念及其函数特性1
方法归纳
正确理解数列及相关概念，注意以下几点： (1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以 相同，但与顺序有关； (2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…， an，…}.
跟踪训练1 (多选题)下列说法正确的是( )
A．数列{2n＋1}的第5项是10
2．在数列－1，0，19 ， 18，…，nn−22，…中0.08是它的(
)
A．第100项 B．第12项
C．第1nn−22. 令an＝0.08，即nn−22＝1080， 所以n＝10或n＝52(舍去)，故选C.
3 ． 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an ＝ n2 － n ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，12，－13
，
1；
4
(2) 3，3， 15， 21；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法归纳
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间 的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数 列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－ 1)n＋1来调整．
变式探究 本例中，数列{an}中有多少个负数项？
解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 令an<0，则0<n<238， 又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{an}中共有9个负数项．
数列的概念及其表示
数列的概念及其表示 【考纲解读】考点内容解读 1.数列的有关概念，规律及应用了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表，图形，通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2.数列的通项公式及前n 项和 了解递推公式的概念及数量前n 项和的定义【分析解读】了解数列的概念和相关的表示方法，了解数列的通项公式和递推公式，了解数列的通项公式与前n 项和之间的关系，了解数列是自变量为正整数的一类函数。
考查数列的相关概念和性质，培养创新能力和抽象概括能力。
【知识清单】考点一 数列的概念与通项公式1数列的概念按照一定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排列在第一位的数称为这个数列的第一项，通常也叫做首项，往后各项依次叫做数列的第2项，……，第n 项……数列的一般形式可以写成123,,,n a a a a ，其中n a 数列的第n 项，我们把上面的数列简单的记为{}n a 数列的简单表示方法：列表法、图像法、通项公式法（解析法）。
2数列的分类(1) 根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列----项数有限的数列无穷数列----项数无限的数列（2）按照数列的每一项随序号的变化情况分类：递增数列----从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列----从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；常数列----各项相当的数列；摆动数列----从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项都小于它的前一项的数列。
3数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看成是*N （或者它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的一列函数值。
反之，对于函数()y f x =，如果()(1,2,3)f i i = 有意义那么我们可以得到一个数列(1),(2),(3)()f f f f n4如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子表示出来，那么这个公式叫做这个数列的通项公式考点二 递推公式如果已知数列{}n a 的首项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任何一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
数列的概念与简单表示法 课件
探究点二
根据数列的前几项写出通项公式
给出数列{an}的前n项求数列的通项公式时，常用观 察分析法，观察各项与对应的项数之间的联系，如果关 系不明显，应该将项作适当的变形或分解，让规律显现 出来，便于找到通项公式．同时，还必须熟练地掌握一 些基本数列的通项公式，如：
探究点一
数列的有关概念
理解数列的概念应注意以下几个方面： (1)数列中项与项之间用“，”隔开． (2)数列中的项通常用an表示，其中右下角标表示项的位
置序号，即an为第n项．
(3)“顺序”的重要性：顺序对于数列来讲是十分重要的， 几个不同的数，它们按照不同的顺序排列所得到的数列 是不同的，这是数列与集合的不同之处．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增 数列是________，递减数列是________，常数列是 ________，摆动数列是________，.(将合理的序号填在横 线上) [提示] 紧扣数列的有关概念判断．
[解析] (1)是有穷递增数列； (2)是无穷递增数列(因为n－n 1＝1－n1)； (3)是无穷递减数列； (4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，是无穷数列； (6)是常数列，是有穷数列．
1．数列及其有关概念 (1)数列：按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列． (2)项：数列中的 每个数 叫做这个数列的项，第1项通常
也叫做 首项 ，若是有穷数列，最后一项也叫做末项．
2．数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简 记为 {an} ，这里n是序号．
{an}与an有什么区别？
提示：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1， a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数 列{an}的第n项．
数列的概念和简单表示优秀课件2
a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ . 3_ 4_ 6_ 2_ 5_ 1 2 3 4 5
(2 )
n a ( 1 ) n n
- 3_ -_ 5_ a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ . 2_ - 1_ 4_ 1 2 3 4 5
数列的概念和简单表示
一.复习:
确定性
互异性
无序性
集合元素的性质 函数的概念
函数就是特 殊的映射
二.引入:
看下面一组实例： (1) 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 (2) 正整数1,2,34,…的倒 数1，1/2，1/3，1/4… (3)某种细胞分裂问题：1， 2，4，8，16，… (4)1的正整数次幂： 1,1,1,1,… (5) 无穷多个1数排成一列 数：1，1，1，…
(4)实质：
不一样。
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一 个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1， 2 ，…， n} ）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相 应的函数解析式，即数列是特殊的函数。
(4)数列的分类:
数列
有穷数列
无穷数列
项 数 有 限 的 数 列
项 数 无 限 的 数 列
2 an 例： 4 已 知 数 列 { an} 满 足 a 1 ， an+ 1= 1 2 + an (n N) . 写 出 它 的 前项 5 ,归 纳 其 通 项 公 式 ,
*
并 验 证 是 否 满 足 递 推 公 式 .
2 1 2 a2 , 分 析 ： 它 的 前 5 项 为 : a = 1 ， 1 2+1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 5 , a5 a3 , a4 . 1 5 2 2 2 3 2+ 2+ 2+ 2 3 5 2 猜想: an . 经 验 证 它 满 足 递 推 公 式 . n+1
数列的概念与简单表示法
课题 数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⑴数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2、数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4、递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他项.3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.则项之和为的前若记数列, }{ n n S n a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1)( 2)( 11n S n S S a n n n 题型一、已知通项，求数列的每一项例1 、 根据下面数列 {a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)1n na n =+ ()(2)1n n a n =-⋅解：1）在通项公式中依次取 n =1，2，3，4，5，得到数列{a n } 的前5项为.65,54,43,32,21（2）数列 {a n } 的前5项为－1，2， － 3，4， － 5.变式1、根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：⑶a n =5×(-1)n+1 5,-5,5,-5,5∴ n n n a a 2211=⋅=-变式5、 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.1111(1)0,(21)(2)1,2n n nn n a a a n a a a a ++==+-==+题型五、根据数列和求通项公式例6. 已知数列{a n }的前n 项和为1322++=n n s n ,求n a 。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数学作为一门精确的科学，涉及到各种各样的概念与性质。
其中，数列是数学中一个重要的概念，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。
本文将探讨数列的概念与性质，以及与数列相关的一些定理和推论。
一、数列的概念和表示方法数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。
数列通常用{an}表示，其中an表示数列中的第n个数。
例如，数列{1，2，3，4，5，……}是一个从1开始的自然数数列。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指在数列中存在最后一个数，而无限数列则没有最后一个数。
二、数列的常见性质1. 数列的有界性数列可以是有界的，也可以是无界的。
如果一个数列存在上界和下界，我们称它是有界的；如果一个数列没有上界或下界，我们称它是无界的。
例如，数列{1，2，3，4，5，……}是无界的，而数列{1，1/2，1/3，1/4，……}是有界的，因为它的上界是1，下界是0。
2. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等。
我们用an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的一般项公式，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
例如，数列{1，3，5，7，9，……}就是一个公差为2的等差数列。
3. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等。
我们用an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的一般项公式，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
例如，数列{2，4，8，16，32，……}就是一个公比为2的等比数列。
三、数列的定理和推论1. 首项和公差确定等差数列如果一个数列的首项和公差确定了，那么这个数列就确定了。
换句话说，如果两个等差数列的首项和公差相同，那么它们的所有项都相等。
2. 等差数列的前n项和对于等差数列{an}，它的前n项和Sn可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的和。
3. 等比数列的前n项和对于等比数列{an}，如果公比r不等于1，那么它的前n项和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
数列的概念与常见类型
数列的概念与常见类型数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。
数列的类型多种多样，常见的有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
本文将介绍数列的基本概念，并详细阐述常见的数列类型及其特点。
一、数列的概念与性质数列是指按照一定次序排列的一组数，其中每一个数被称为数列的项。
数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁、a₂、a₃等分别表示第1项、第2项、第3项，以此类推。
数列的每一项都有自己的位置，也即项的序号。
数列可以有有限项，也可以有无限项。
有限项的数列在一个特定的位置停止，而无限项的数列则继续向后延伸。
数列的常见性质有首项、公差（对于等差数列）、公比（对于等比数列）、通项公式等。
二、等差数列等差数列是指数列中的任意两项之间的差值始终相等的数列。
等差数列的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。
等差数列的公差决定了数列中每一项与前一项的差值。
等差数列常见的应用包括数学、物理、经济等领域。
例如，当我们计算等差数列中某一位置的值时，可以直接利用通项公式进行计算，而不需要一个个遍历数列的每一项。
此外，等差数列还可以用来表示一些增长或减少规律明显的现象。
三、等比数列等比数列是指数列中的任意两项之间的比值始终相等的数列。
等比数列的通项公式可表示为an = a₁ * r^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，r表示公比。
等比数列的公比决定了数列中每一项与前一项的比值。
等比数列在很多领域中都有重要的应用。
例如，当物体的速度以一定比例递减时，可以用等比数列来表示每个时间点上的速度。
此外，等比数列还可以用来表示一些指数增长或衰减的现象，如人口增长、细菌繁殖等。
四、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，后续每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列可以表示为{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。
数学知识点：数列的概念及简单表示法
数学知识点：数列的概念及简单表示法
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'
或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。
§6.1 数列的概念及其表示法
解题导引
栏目索引
解析 由an(an-1+2an+1)=3an-1· an+1(n≥2,n∈N*), 可得 - =2
1 - 1 =3-1=2, a2 a1 1 1 an 1 an
1 an
1 , an1
∴数列
1 1 ∴ - =2n. an 1 an
栏目索引
解析 当n≥2时,an=2Sn-1, ∴an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, 即an+1=3an, ∴数列{an}的第2项及以后各项构成等比数列,a2=2a1=2,公比为3,∴an=2· 3n-2,n≥2,
当n=1时,a1=1,
∴数列{an}的通项公式为an= 答案
1, n 1 an= n2 2 3 , n 2 1, n 1, n2 2 3 , n 2.
易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件.
栏目索引
方法 2 由递推公式求数列的通项公式
由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
(n≥2,n∈N*)求解.
an a2 a3 * (2)形如an+1=an· f(n),常用累乘法,即利用an=a1· · · … · ( n ≥ 2, n ∈ N )求解. a1 a2 an1
栏目索引
若p=r,则 ,可用等差数列的通项公式求 , 是等差数列,且公差为
1 an
q p
1 an
进而求an;
若p≠r,则采用(3)的方法来求 ,进而求an. (5)形如an+2=pan+1+qan(p+q=1),常用构造等比数列法. 将an+2=pan+1+qan变形为an+2-an+1=(-q)· (an+1-an),则{an-an-1}(n≥2,n∈N*)是等 比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n)(n≥2,n∈N*),然后用累加法求an.
数列的概念与表示方法
第三讲 数列的概念与表示方法【知识要点】1.数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3，…，a n ,…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项.2.数列的表示方法（1）列举法 （2）图象法 （3） 解析法 （4）递推法 3.数列的分类4.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项，如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 （1）已知数列的前n 项，求其通项公式①据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n 或（-1）n+1来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决.题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10， (2),3231,1615,87,43,21(3),1337,1126,917,710,1,32--- (4) ，3333,333,33,3题型二 已知数列的前n 项和，求通项公式例2已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .题型三 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项例3数列{}n a 中，452+-=n n a n .⑴18是数列中的第几项？⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.题型四 数列的单调性及其应用例4设)10(4log log )(2<<-=x x x f x ，设数列{}n a 的通项满n f n a2)2(= (*∈N n ),问{}n a 有没有最小的项？若有求出最小项，若没有请说明理由.【课堂练习】1. 已知数列{}的n a 前n 项和21++=n n S n , 则65a a +=（ ）A.201 B.241 C.281 D.321 2. 已知数列{a n }的通项公式是a n =1+bn an, 其中a , b 均为正常数, 那么a n 与a n +1的大小关系是（ ）A. a n ＞a n +1B. a n ＜a n +1C. a n =a n +1D. 不确定3. 数列{a n }满足a 1=21, a 1+a 2+…+a n =n 2·a n , 则a n = . 4. 将奇数分组如下: (1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), …, 使得第n 组中含有n 个数, 那么第n 组中的这n 个奇数的和是 5. 在数列{a n }中, 已知S n =3+2a n , 求a n .6. 数列{a n }中, 前n 项和S n =an 2+b n , 其中a , b 是常数, 且a ＞0, a +b ＞1, n ∈N *. (1) 求{a n }的通项公式a n , 并说明a n +1＞a n ＞1(n ∈N *); (2) 令c n =log na a n +1, 试判断数列{a n }中任意相邻两项大小.【思维拓展】例1在数列{a n }中，a 1=1, nn a n a )111(1+-=+,(1)求数列｛an ｝的通项公式；(2)若对于一切n>1的自然数，不等式32)1(log 121 (221)+->+++++a a a a a n n n 恒成立，试求实数a 的取值范围．【课外作业】1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3，则a 5+a 6的值为( ) A.91B.152C.218D.2792.已知数列1，1212321321，，，，，12344321，，，，…，则56是数列中的( ) A.第48项B.第49项C.第50项D.第51项3.已知数列{a n }的通项a n =nanb c+ (a 、b 、c 都是正实数)，则an与a n +1的大小关系是( )A.a n ＞a n +1B.a n ＜a n +1C.a n =a n +1D.不能确定4.在数列{a n }中，a n =4n-52,a 1+a 2+…+a n=an 2+bn,n ∈N *，其中a,b 为常数，则ab 等于( ) A.1B.-1C.2D.-25.在数列{a n }中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则n a =( )A.2+n lnB.2+(n-1)n lnC.2+n n lnD.1+n n ln6.已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________________.7.已知数列 2 008，2 009，1，-2 008，-2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 009项之和S 2 009等于_____________. 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.⑴求321a a a ++；⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求na a a a ++++ 321.9. 已知函数,22)(x x x f --=数列{}n a 满足n a f n 2)(log 2-=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列{}n a 是递减数列．。
第1讲-数列的概念
第1讲-数列的基本概念学习提纲与学习目标1、数列的定义、通项公式和前n项和公式2、数列前n项和公式与通项公式的关系3、数列前n项和公式和通项公式的求法1．数列的定义及其表示按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列的一般形式为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为数列的第n 项。
项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列。
对于数列{}n a ：如对任意n N *∈，总有1n n a a +>，则称{}n a 为递增数列； 如对任意n N *∈，总有1n n a a +<，则称{}n a 为递减数列； 如对任意的n N *∈，均有1n n a a +=，则称数列{}n a 为常数列；如存在正数M ，使||n a M ≤对任意的n N *∈均成立，则称{}n a 为有界数列； 如对任意正数M ，总存在n a ，使得||n a M >，则称数列{}n a 为无界数列；如存在正整数N ，使得对任意的n N *∈，均有n N n a a +=，则称数列{}n a 为周期数列。
从定义看，数列是定义域为正整数集N *（或其子集{1,2,3,,}n ）的一种特殊的函数。
对于数列{}n a ，如果任意一项n a 均与它的前一项1n a -（或前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，则称这个公式为该数列的递推公式，这样的数列称为递推数列。
例如斐波拉契数列{}n a ，其中121a a ==，12(3)n n n a a a n --=+≥，事实上，我们碰到的数列大多是递推数列。
2.数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列{}n a 的通项公式。
例如，数列{}n a 的第n 项为12n -，则12n n a -=叫数列{}n a 的通项公式。
注意：（1）并非每个数列都有通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .3．数列的前n 项和公式对于数列{}n a ，我们称12n n S a a a =+++为数列{}n a 的前n 项和，如果n S 与n 之间可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列{}n a 的前n 项和公式。
数列概念知识点归纳总结
数列概念知识点归纳总结数列是数学中常见的一个概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将对数列的概念进行归纳总结，并探讨一些相关的知识点。
一、数列的定义及表示法数列是一系列有序的数按一定规律排列而成的集合。
通常用大写字母A、B、C等表示数列，用小写字母a1、a2、a3等表示数列中的元素。
数列可以分为等差数列和等比数列两类。
等差数列中的每个相邻元素之差相等，而等比数列中的每个相邻元素之比相等。
以等差数列为例，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
二、数列的求和公式在数列中，我们有时需要计算其中一段连续元素的和。
此时可以使用数列的求和公式来计算，具体公式如下：1. 等差数列的求和公式对于等差数列an=a1+(n-1)d的前n项和Sn，其求和公式为Sn=n/2[a1+an]。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)的前n项和Sn（其中r为公比），其求和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
三、常见数列的性质和特点1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常特殊的数列，其前两个元素为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
2. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 任意两项的平均数等于它们的中项。
- 等差数列的倒数也是等差数列。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
3. 等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列的任意一项都不为零。
- 等比数列的倒数也是等比数列。
- 等比数列的前n项和与后n项和之比为公比的n次方减1除以公比减1。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务管理利润、收入、支出等财务数据可以构成数列。
通过对数列的研究，可以分析财务情况的变化趋势，对财务决策提供参考。
2. 自然科学自然界中的很多现象都可以用数列来描述，比如物种数量的增长、天体运动的规律等。
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法(最新)
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高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….（4）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n.（5）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类（1）根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.（2）按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f（n）来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.（4）有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：（5）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。
数列的概念及其表示
数列的概念（an 与Sn的关系、最大项和最小项、递推关系式求通项）1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法：数列有三种常见表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的前n项和：一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.1．求数列中最大项和最小项的方法在数列{an}中，若ann≥an－1，n≥an＋1.若ann≤an－1，n≤an＋1.(n≥2) 2．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．数列通项公式的注意点(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．4．递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n 的值，直接代入求出a n都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第1项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的a n ，也可通过变形转化，直接求出a n6.数列{a n }的a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项为a n ，则a n S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的一般步骤(1)当n ＝1时，由a 1＝S 1求a 1的值；(2)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，求得a n 的表达式；(3)检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n ；(4)写出a n 的完整表达式．7.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .例：a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)已知a 1且a n a n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .例：a 1＝1，a n ＝n n －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．例：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．例：a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋3a n(n ∈N *)．8．利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想一：根据递推公式，写出数列的前n 项直到出现周期情况后，利用a n ＋T ＝a n 写出周期(n ＋T )－n ＝T .思想二：利用递推公式“逐级”递推，直到出现a n ＋T ＝a n ，即得周期T ＝(n ＋T )－n .9．判断数列的单调性的两种方法。
数列的概念与表示ppt课件
(3)已知数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当 n∈N*， an＋2＝5an＋1－6an，求 an.
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解析:(1)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t ＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为 an＋1 ＋3＝2(an＋3)，令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1 ＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 b1＝4 为首项，2 为公比的 等比数列，则 bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1－3.
an ＝
1，n是奇数，等． 0，n是偶数
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写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)0.8，0.88，0.888，…； (4)23，－1，170，－197，2116，…. (5)1，0，13，0，15，0，17，0，… (6)32，1，170，197，….
(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组 成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项 为 2＋1，所以 an＝(－1)n·2＋（n－1）n.
－n1，n为正奇数， 也可写为 an＝ 3n，n为正偶数.
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解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用 (－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一 项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分 解为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个 相 邻 奇 数 的 乘 积 ． 故 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an ＝
2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列的概念
第七章数列第一节数列的概念【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用a n与S n的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【考情分析】考点考法:高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.S n和a n的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n2.数列的表示法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n与a n+1的关系式或a1,a2和a n-1,a n,a n+1的关系式等表示数列的方法函数法a n=f(n),n∈N*【微点拨】(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.3.数列的分类单调性递增数列∀n∈N*,a n+1>a n递减数列∀n∈N*,a n+1<a n常数列∀n∈N*,a n+1=a n摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n【微点拨】(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.4.数列的前n项和数列{a n}的前n项和S n=a1+a2+a3+…+-1+a n,则a n=1,=1,--1,≥2.【基础小题·自测】类型辨析改编题号12,3,4 1.(多维辨析)(多选题)下列结论不正确的是()A.数列5,2,0与2,0,5是同一个数列B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{a n}的前n项和为S n,则对∀n∈N*,都有a n=S n-S n-1【解析】选ACD.A中两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;B正确;C中数列可能是常数数列或摆动数列;D中当n=1时,a1=S1-S0无意义.2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为()A.a n=-1r1B.a n=-12r1C.a n=2(-1)2-1D.a n=22r1【解析】选C.将0写成01,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n≥2,n∈N*C.a n+1=a n+(n+1),n≥2,n∈N*D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得数列满足a n-a n-1=n,n≥2,n∈N*.4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{a n}满足a n=(r1)2,则S3=________.【解析】数列{a n}满足a n=(r1)2,可得a1=1,a2=3,a3=6,所以S3=1+3+6=10.答案:10【巧记结论·速算】在数列{a n}中,若a n最大,则≥-1,≥r1(n≥2).若a n最小,则≤-1,≤r1(n≥2).【即时练】已知数列中,a n=n2-5n+4,则数列的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项【解析】选D.根据题意,数列中,a n=n2-5n+4,则a n+1-a n=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,当n<2时,有a n+1-a n<0,则有a1>a2,当n=2时,有a n+1-a n=0,则有a2=a3,当n>2时,有a n+1-a n>0,则有a3<a4<……故数列的最小项是第2项、第3项.【核心考点·分类突破】考点一通项公式的探索及应用[例1](1)(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=9+12n,则在下列各数中,是{a n}的项的是()A.21B.33C.152D.153【解析】选ABD.由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.(2)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.①23,45,87,169;②-12,23,-34,45;③3,4,3,4;④6,66,666,6666.【解析】①4个项都是分数,它们的分子依次为2,22,23,24,分母是正奇数,依次为2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=22r1.②4个项按先负数,后正数,正负相间排列,其绝对值的分子依次为1,2,3,4,分母比对应分子多1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=(-1)nr1.③4个项是第1,3项均为3,第2,4项均为4,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=3,=2-14,=2(k∈N*).④4个项,所有项都是由数字6组成的正整数,其中6的个数与对应项数一致,依次可写为6=23(10-1),66=23(102-1),666=23(103-1),6666=234-1),所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=23(10n-1).【解题技法】由数列的前几项求通项公式的方法(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.【对点训练】1.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项【解析】选D.因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为a n=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.2.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(3)23,415,635,863,1099,…;(4)9,99,999,9999,….【解析】(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为a n=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式为a n=(-1)n·1(r1).(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式为a n=2.(2-1)(2r1)(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,故所求数列的一个通项公式为a n=10n-1.考点二已知S n或S n与a n的关系求a n[例2]金榜原创·易错对对碰①若数列{a n}的前n项和S n=2n+1,则数列的通项公式为a n=________.②若数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列的通项公式为a n=________.【解析】①当n=1时,a1=S1=21+1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=3,=1,2-1,≥2.答案:3,=1,2-1,≥2.②当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=2n-1.答案:2n-1【解题技法】1.已知S n求a n的三个步骤(1)利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系式,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的解析式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时a n的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.2.已知S n与a n的关系求a n的两个方法(1)利用S n-S n-1=a n(n≥2)消去S n,转化为a n与a n-1的关系求a n;(2)利用a n=S n-S n-1(n≥2)消去a n,转化为S n与S n-1的关系,求出S n后再求a n.提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.【对点训练】1.已知正项数列{a n}中,1+2+…+=(r1)2,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=nB.a n=n2C.a n=2D.a n=2 2【解析】选B.因为1+2+…+=(r1)2,所以1+2+…+-1=(-1)2(n≥2),两式相减得=(r1)2-(-1)2=n(n≥2),所以a n=n2(n≥2),①又当n=1时,1=1×22=1,a1=1,适合①式,所以a n=n2,n∈N*.2.记S n为数列{a n}的前n项和,若S n=2a n+1,则S n=________.【解析】因为S n=2a n+1,所以S n+1=2a n+1+1,所以a n+1=2a n+1-2a n,所以a n+1=2a n,当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,所以数列{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以S n=-(1-2)1-2=1-2n.答案:1-2n【加练备选】1.已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=2n,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=21=2,因为a1+2a2+3a3+…+na n=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=2n-1(n≥2),②由①-②得na n=2n-2n-1=2n-1,所以a n=2-1.显然当n=1时不满足上式,所以a n=1,,≥2.答案=1,≥22.已知数列的前n项和S n=3n+b,求的通项公式.【解析】当n=1时,a1=S1=3+b.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,因此,当b=-1时,a1=2适合a n=2·3n-1,所以a n=2·3n-1.当b≠-1时,a1=3+b不适合a n=2·3n-1,所以a n=3+,=1,2·3-1,≥2.综上可知,当b=-1时,a n=2·3n-1;当b≠-1时,a n=3+,=1,2·3-1,≥2.考点三数列的性质及其应用【考情提示】数列作为一种特殊的函数,除考查求通项公式、求和等之外,还考查数列的单调性,项的最值,周期性等,解题时要类比函数的研究方法,结合数列的特性.角度1数列的单调性及项的最值[例3]已知数列{a n}的通项公式为a n=3-23r1(n∈N*).则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项C.数列中的各项都在区间[14,1)内D.数列{a n}是单调递减数列【解析】选C.令n=10,得a10=2831.故选项A不正确,令3-23r1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项.因为a n=3-23r1=3r1-33r1=1-33r1,又n∈N*,所以数列{a n}是单调递增数列,所以14≤a n<1,所以数列中的各项都在区间[14,1)内,故选项C正确,选项D不正确.【解题技法】关于数列的单调性及项的最值(1)求数列项的最值需要先研究数列的单调性,一是通过列举项找规律;二是利用数列递增(减)的等价条件,求出递增、递减项的分界点处的n值.(2)利用函数方法,令n∈(0,+∞),研究对应函数的单调性、图象确定最值,再回归到数列问题.【对点训练】已知数列{a n}的通项公式为a n=3r2,若数列{a n}为递减数列,则实数k的取值范围为()A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.因为a n+1-a n=3r3+2r1-3r2=3-3-2r1,由数列{a n}为递减数列知,对任意n ∈N*,a n+1-a n=3-3-2r1<0,所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).角度2数列的周期性[例4]已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=m,a2=n,S n为数列{a n}的前n项和,则S2029的值为()A.2029n-mB.n-2029mC.mD.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{a n}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2029=S338×6+1=a1=m.【解题技法】关于数列的周期性在求数列的某一项的值,且该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,一般地,求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求出所求项.【对点训练】已知数列{a n}中,a1=12,a n+1=1+1-,则a2025=()A.-2B.12C.-13D.3【解析】选B.因为a1=12,所以a2=1+11-1=3,a3=1+21-2=-2,a4=1+31-3=-13,a5=1+41-4=12,…,所以数列{a n}是周期数列且周期T=4,所以a2025=a1=12.。
数列概念及其表示
(2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
PART 1
解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 an＝ 2＋ n－1 ×3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.
例 5.已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋
nn1－1(n≥2)给出．
例题讲解
(1)写出数列{an}的前 5 项； PART 1
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)a1＝1；a2＝a1＋2×11＝32； a3＝a2＋3×12＝53；a4＝a3＋4×13＝74； a5＝a4＋5×14＝95.
1. 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n+1) an+1 2- n an2+an+1an＝0， 求它的通项公式．
跟踪练习
PART 1
解：由已知得aan＋n 1＝n＋n 1， ∴当 n≥2 时， aa21＝12，aa32＝23，aa43＝34，…，aan－n 1＝n－n 1. ∴aa21·aa32·aa43…aan－n 1＝12×23×34×·…·×n－n 1＝n1.
跟踪练习 (1)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
PART 1
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
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解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 n－1 × 3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.
an＝ 2＋
a20＝ 3× 20－1＝ 59.
(2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 101 * 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝ ∉ N ， 3 ∴10 不是该数列的项．
2.1 数列概念和表示
新课讲解
1.数列的概念 数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序 有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}． 注意 判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和
项是否相同．
2．数列的分类 按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其 中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}． 按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减 数列，常数列，摆动数列． 注意 判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，
跟踪练习
1.已知数列{an}的通项公式 an＝2n2－n. (1)写出这个数列的第 4 项和第 6 项； (2)试问 45 是否是{an}中的项，3 是否是{an}中的项？
解：(1)a4＝2× 42－4＝28， a6＝2× 62－6＝66. (2)令 2n2－n＝45，得 2n2－n－45＝0，得 n＝5， 9 n＝－ (舍)，故 45 是此数列中的第 5 项． 2 令 2n2－n＝3，得 2n2－n－3＝0，此方程不存在正整数 解，故 3 不是此数列中的项．
利用各类数列的要求判断．
3．通项公式 如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中 的 n 就可以求出数列中的指定项， 如果给出数列中的前几项， 也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归 纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立， 并不知道． 注意 一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数
解: (1)该数列第 1,2,3,4 项的分母分别为 2,3,4,5，恰比项 数多 1. 分子中的 22,32,42,52 恰是分母之平方，－1 不变，故它的 一个通项公式为 an ＝ n＋1 2－1 . n＋1
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号 因子 ( － 1)n ，分子均为 1 不变，分母 2,6,12,20 可分解为 1× 2,2× 3,3× 4,4× 5，则它的一个通项公式为 an＝(－1)
例题讲解
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； an (2)通过公式 bn＝ 构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} an＋1 的前 4 项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
1 1 (3)－ ， ，( 2× 1 2× 2 1 1 3 (4) ，－ ， ，( 2 2 8 2 1 (5)1， ， ，( 2 2
答案 (1)16 (2) 1 5
1 (3)－ 2× 3 1 (4)－ 4 2 (5) 4 － 3 32
例题讲解
题型二 数列通项公式的应用 例 2. 已知数列 2， 5，2 2， 11，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
an (2)∵bn＝ ，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5， an＋1 a5＝8， a1 1 a2 2 ∴b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ， a2 2 a3 3 a3 3 a4 5 b3 ＝ ＝ ， b4 ＝ ＝ . a4 5 a5 8 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为 ， ， ， . 2 3 5 8
n
n
1 n＋
.
(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1 －0.0001，而 0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，
2 ∴它的一个通项公式为 an＝ 3 (1－10－n)
(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5， 偶数项是 4. 所以，它的一个通项公式为
在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几 项寻求递推关系，递推公式可能不止一个.
5．求和公式
S n a1 a2 ... an
S (n 1) 1 an S n S n 1 (n 2)
例题讲解
题型一 探求数列的通项公式 例 1. 分别写出下列数列的一个通项公式， 数列的前 4 项 已给出． 22－1 32－1 42－1 52－1 (1) ， ， ， ，…； 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)－ ， ，－ ， ，…； 2 6பைடு நூலகம்12 20 (3)0.6, 0.66, 0.666, 0.6666，…； (4)5,4,5,4，….
1 (1) n 1 an 4 2
9 (1) n1 5，n为奇数， 或an＝ . 2 4，n为偶数
跟踪练习
1. 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1)1,4,9，( 1 (2)1， ，( 3 )，25,36； 1 1 )， ， ； 7 9 1 1 )， ，－ ； 2× 4 2× 5 5 )， ，( 32 1 )， . 4 )；
列不存在通项公式．
4．递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法， 是指已知数列{an} 的第一项 ( 或前几项 ) 及相邻两项 ( 或几项 ) 间关系可以用一个 公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出 a1 或 a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项． 注意 并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存