第九章 线性系统的状态空间分析与综合习题

第九章 线性系统的状态空间分析与综合

9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为

b a a a a a E t d di L i R u ++=，t d d K E m b b θ=，a m m i C M =，t d d f t d d J M m

m m m m θθ+=2

2； )]

()([)()(2

m b m a a m m a m a m

a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ。 ⑴ 设状态变量m x θ=1，m x θ =2，m x θ =3，输出量m

y θ=，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量a i x =1，m x θ=2，m x θ =3，输出量m

y θ=，试建立其动态方程； ⑶ 设x T x =，确定两组状态变量间的变换矩阵T 。

解：⑴ 由传递函数得 a m a m m a m b m a m a u C x R J f L x C K f R x

J L ++-+-=323)()( ，动态方程为 []x

y u x x x x x x

001100010001032121321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡αα ，其中)/()()/()()/(21m a a m m a m a m b m a m a a m J L R J f L J L C K f R J L u C u +=+==αα；

⑵ 由微分方程得

3

1332311x f x C x J x x u x K x R x L m m m a b a a -==---= ，即 []x

y u x x x a a a a x x x

a 020001010

0032133311311321=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢

⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ ，其中 m

m m m a b a a J f a J C a L K a L R a ////33311311-==-=-=；

⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213331

321010001

0x x x a a x x x 。

9-2 设系统的微分方程为

u x x x

=++23 其中u 为输入量，x 为输出量。

⑴ 设状态变量x x =1，x

x =2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。

解：⑴ u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121 ，[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=-11121

T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥

⎦⎤⎢⎣⎡--=2111

T ；u x x x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。 9-3 设系统的微分方程为

u y y y

y 66116=+++ 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩

阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，

[]x y u x x 00610061161

00010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ；[]x

y u x x 100

006610

1101600=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---= ； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，

9-4 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。试求动态方程，并画出状态变量图。

解：由图中信号关系得，31x x

= ，u x x x 232212+--= ，32332x x x -= ，1x y =。动态方程为 u x x ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020********* ，[]x y 001； 状态变量图为

9-5 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程

2321321321216

1162u x x x x

u u x x

u x x

+---=-+=+= ，3

2122

112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。

解：状态方程 u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，x

y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011； 状态变量图为

9-6 已知系统传递函数为

3

48

6)(22++++=s s s s s G ，

试求出可控标准型(A 为友矩阵)、可观标准型(A 为友矩阵转置)、对角型(A 为对角阵)动态方程。

解：135

.015.113

452)(2++++=++++=s s s s s s G ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为

[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25104310 ；[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10254130 ；[]u

x y u x x +=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=115.05.13001 。

9-7 已知系统传递函数为

)

2()1(5

)(2

++=

s s s G ， 试求约当型(A 为约当阵)动态方程。

解：2

)1(5)1(525)(+++-++=s s s s G ；

u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=555100110002 ，[]x y 011=。 9-8 已知矩阵

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=0001

100001000010

A , 试求A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将A 约当化。

解：特征方程0)I det(=-A s ，即014

=-s ；特征值11=λ、12-=λ、j =3λ、j -=4

λ；

特征向量依次对应矩阵1

-T 的列，所求变换矩阵为T ；

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=

-j j j j T 111111*********；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j T 111

11111111121；⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-j j TAT A 00

0000001000

11。 9-9 已知矩阵

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=1001A ， 试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。 解：幂级数法求解，

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=k k k

A 100)1(；⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡===Φ-∞=∑t t k k k t

A e e t A k e t 00!1)(0； 拉普拉斯变换法求解，