第九章 线性系统的状态空间分析与综合习题
自动控制原理第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b aaa a a E dtdi L i R U ++=+ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 my θ=,试建立其动态方程。
解：（1）由题意可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121xy xx x x x m m mmθθθθ ，由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m m a m mmb ba a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-===12333221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a ma mm a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 0100010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a m J L C 00a U y =[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x（2）由题意可知：,1a i x =mm m y x x θθθ===,,32可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==23133231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a aa b a a a a m a b a a a aθθθθθ可列动态方程如下由 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm m x x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm a x x i x θθ 321得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-======3133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ 由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=m m mm J f J C T 0100018-2 设系统微分方程为 u y y yy 66116=+++ 。
2018华中科技大学829《自动控制原理》考试大纲
2018华中科技大学硕士研究生入学考试《自动控制原理》考试大纲科目名称：自动控制原理(含经典控制理论、现代控制理论)代码：829第一部分考试说明一．考试性质《自动控制原理》是为我校招收控制科学与工程专业硕士研究生设置的考试科目。
它的评价标准是高等学校优秀毕业生能达到良好及以上水平，以保证被录取者具有较扎实的专业基础。
二．考试形式与试卷结构（一）答卷方式：闭卷，笔试；（二）答题时间：180分钟。
（三）题型：计算题、简答题、选择题第二部分考查要点（一）自动控制的一般概念1．自动控制和自动控制系统的基本概念，负反馈控制的原理；2．控制系统的组成与分类；3．根据实际系统的工作原理画控制系统的方块图。
（二）控制系统的数学模型1．控制系统微分方程的建立，拉氏变换求解微分方程。
2．传递函数的概念、定义和性质。
3．控制系统的结构图，结构图的等效变换。
4．控制系统的信号流图，结构图与信号流图间的关系，由梅逊公式求系统的传递函数。
（三）线性系统的时域分析1．稳定性的概念，系统稳定的充要条件，Routh稳定判据。
2．稳态性能分析（1）稳态误差的概念，根据定义求取误差传递函数，由终值定理计算稳态误差；（2）静态误差系数和动态误差系数，系统型别与静态误差系数，影响稳态误差的因素。
3．动态性能分析（1）一阶系统特征参数与动态性能指标间的关系；（2）典型二阶系统的特征参数与性能指标的关系；（3）附加闭环零极点对系统动态性能的影响；（4）主导极点的概念，用此概念分析高阶系统。
（四）线性系统的根轨迹法1．根轨迹的概念，根轨迹方程，幅值条件和相角条件。
2．绘制根轨迹的基本规则。
3．0o根轨迹。
非最小相位系统的根轨迹及正反馈系统的根轨迹的画法。
4． 等效开环传递函数的概念，参数根轨迹。
5． 用根轨迹分析系统的性能。
（五）线性系统的频域分析1． 频率特性的定义，幅频特性与相频特性。
2． 用频率特性的概念分析系统的稳态响应。
3． 频率特性的几何表示方法。
《Simulink与控制系统仿真(第3版)》的课件 线性系统状态空间分析和非线性系统分析
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
线性系统的时域分析与校正习题及答案
当
h(t ) = 0.9 = 1 −
T − τ −t 2 / T ; e T T − τ −t1 / T ; e T
t2 = T [ln(
T−τ ) − ln 0.1] T T−τ ) − ln 0. 9] T
当
h(t ) = 0.1 = 1 −
t1 = T [ln(
则
t r = t2 − t1 = T ln
T1 = 4， T2
3-7
⎛ ts ⎞ ∴ ts = ⎜ ⎜T ⎟ ⎟ T1 = 3.3T1 = 3.3 。 ⎝ 1⎠
设角速度指示随动系统结构图如图 3-48 所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，
且调节时间尽可能短，问开环增益 K 应取何值，调节时间 t s 是多少？ 解 依题意应取
ξ =1 ， 这 时 可 设 闭 环 极 点 为
10 101
h(T ) = 0.632
（b）系统达到稳态温度值的 63.2%需要 0.099 个单位时间。
（2）对（a）系统：
Gn (s) =
C ( s) =1 N (s)
n(t ) = 0.1 时，该扰动影响将一直保持。
对（b）系统：
Φ n ( s) =
C ( s) = N (s)
1 10s + 1 = 100 10s + 101 1+ 10s + 1
（1） 若 ξ = 0.5 对应最佳响应，问起博器增益 K 应取多大？ （2） 若期望心速为 60 次/min，并突然接通起博器，问 1s 钟后实际心速为多少？瞬时最大 心速多大？ 解 依题，系统传递函数为
K 2 ωn 0.05 Φ( s) = = 2 2 K 1 s + 2ξω n s + ω n s2 + s+ 0.05 0.05
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
自动控制原理第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b aaa a a E dtdi L i R U ++=+ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 my θ=,试建立其动态方程。
解：（1）由题意可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121xy xx x x x m m mmθθθθ ，由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m m a m mmb ba a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-===12333221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a ma mm a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 0100010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a m J L C 00a U y =[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x（2）由题意可知：,1a i x =mm m y x x θθθ===,,32可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==23133231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a aa b a a a a m a b a a a aθθθθθ可列动态方程如下由 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm m x x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm a x x i x θθ 321得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-======3133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ 由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=m m mm J f J C T 0100018-2 设系统微分方程为 u y y yy 66116=+++ 。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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842自动控制理论
842自动控制理论一、考试性质《自动控制理论》是为控制科学与工程专业的硕士研究生及控制工程专业学位硕士研究生入学设置的专业课考试科目。
它的评价标准是高等学校优秀毕业生能达到良好及以上水平，以保证被录取者具有较扎实的专业基础。
二、考查目标要求考生能系统理解经典控制理论及现代控制理论的基本理论，掌握其基础知识和方法，具备运用各种方法分析和解决问题的能力。
三、考试形式本考试为闭卷考试，满分为150分，考试时间为180分钟。
试卷结构：题型有计算题、简答题、论述题、证明题。
四、考试内容(一)自动控制的一般概念1.自动控制和自动控制系统的基本概念，负反馈控制的原理；2.控制系统的组成与分类；3.根据实际系统的工作原理画控制系统的方块图。
（二）控制系统的数学模型1. 控制系统微分方程的建立，拉氏变换求解微分方程。
2. 传递函数的概念、定义和性质。
3. 控制系统的结构图，结构图的等效变换。
4. 控制系统的信号流图，结构图与信号流图间的关系，由梅逊公式求系统的传递函数。
（三）线性系统的时域分析1．稳定性的概念，系统稳定的充要条件，Routh稳定判据。
2．稳态性能分析（1）稳态误差的概念，根据定义求取误差传递函数，由终值定理计算稳态误差；（2）静态误差系数和动态误差系数，系统型别与静态误差系数，影响稳态误差的因素。
3．动态性能分析（1）一阶系统特征参数与动态性能指标间的关系；（2）典型二阶系统的特征参数与性能指标的关系；（3）附加闭环零极点对系统动态性能的影响；（4）主导极点的概念，用此概念分析高阶系统。
（四）线性系统的根轨迹法1．根轨迹的概念，根轨迹方程，幅值条件和相角条件。
2．绘制根轨迹的基本规则。
3．等效开环传递函数的概念，参数根轨迹。
4．用根轨迹分析系统的性能。
（五）线性系统的频域分析1．频率特性的定义，幅频特性与相频特性。
2．用频率特性的概念分析系统的稳态响应。
3．频率特性的几何表示方法。
4．Nquisty稳定性判据。
线形系统的状态空间分析与综合
T A i T , 的特征向量 0 。
TB 0
一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特
秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是
rank B AB An1B n
其中 n为矩阵 A 的维数，S B AB An1B 称为系统的
可控性判别阵。 14
二、 线性系统的可控性与可观测性（14）
例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。
解： 该桥式电路的微分方程为
试判别系统的可控性。
解： 根据状态方程可写出
n4
20
二、 线性系统的可控性与可观测性（20）
s 1 0 0 0 1
sI A B 0 s 1 0 1 0
0 0 s 1 0 1
0 0 5 s 2 0
考虑到 A 的特征值为1 2 0, 3 5, 4 5 ，所以只
需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当 s 1 2 0
1
二、 线性系统的可控性与可观测性（1）
现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可 控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可 控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可 观测。
7
二、 线性系统的可控性与可观测性（7）
此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 t0的选取有
关，是相对于Tt 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定
线性定常系统的状态空间分析与综合2
从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f
861自动控制原理
杭州电子科技大学全国硕士研究生入学考试业务课考试大纲考试科目名称：自动控制原理科目代码：861 一、自动控制的一般概念1．自动控制和自动控制系统的基本概念，负反馈控制原理。
2．控制系统的组成与分类。
3．根据实际系统的工作原理画控制系统的方块图。
二、控制系统的数学模型1．控制系统微分方程的建立，拉氏变换求解微分方程。
2．传递函数的概念、定义和性质。
3．控制系统的结构图，结构图的等效变换。
4．控制系统的信号流图，结构图与信号流图间的关系，由梅孙公式求系统的传递函数。
三、线性系统的时域分析1．稳定性的概念，系统稳定的充要条件，劳斯稳定判据。
2．稳态性能分析（1）稳态误差的概念，根据定义求取误差传递函数，由终值定理计算稳态误差。
（2）静态误差系数，系统型别与静态误差系数，影响稳态误差的因素。
3．动态性能分析（1）一阶系统特征参数与动态性能指标间的关系。
（2）典型二阶系统的特征参数与性能指标的关系。
（3）附加闭环零极点对系统动态性能的影响。
（4）主导极点的概念，用此概念分析高阶系统。
四、线性系统的根轨迹法1．根轨迹的概念，根轨迹方程，幅值条件和相角条件。
2．绘制根轨迹的基本规则。
3．参数根轨迹的概念。
4．用根轨迹分析系统的性能。
五、线性系统的频域分析1．频率特性的定义，幅频特性与相频特性。
2．用频率特性的概念分析系统的稳态响应。
3．频率特性的几何表示方法。
（1）典型环节及开环系统幅相频率特性曲线（乃氏曲线或极坐标图）的画法。
（2）典型环节及开环系统对数频率特性曲线（伯德图）的画法。
（3）由对数幅频特性求最小相位系统的开环传递函数。
4．乃奎斯特稳定性判据。
（1）根据乃氏曲线判断系统的稳定性。
（2）由对数频率特性判断系统的稳定性。
5．稳定裕量（1）当系统稳定时，系统相对稳定性的概念。
（2）幅值裕量和相角裕量的定义及计算。
6．闭环频率特性的有关指标及近似估算。
7．频域指标与时域指标的关系。
六、系统校正1．校正的基本概念，校正的方式，常用校正装置的特性，串联超前、迟后、迟后－超前和PID校正方法。
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
线性系统理论(xue)
线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。
21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。
3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。
2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。
性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。
非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。
⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。
考研必备之自动化专业 自控原理 第九章 状态空间分析法答案-计算题
9.3.5 计算和证明题9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示，21,m m 为质量块，1m 受外力)(t F 作用。
弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
图9-7 题9.3.5.1图提示：设中间变量质量块1m 的位移为z ，根据牛顿定律有z m y z k t F 11)()( ①同理对质量块2m 有y m y k y z k 221)( ②设状态变量z x 1 12x z x y x 3 34x y x由式① 13111112)(m t F x m k x m k z x由式② 32211214x m k k x m k y x因此有)(001000100000001143212212111114321t F m x x x x m k k m k m k m k x x x x43210100x x x x y 9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。
试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。
y 图 9-8 题9.3.5.2图提示： xy u x x 011012129.3.5.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
（1）u u u y y y y 86375 （2）u u u y y y y 23375提示：（1） x u x x 168100573100010 y ，状态结构图略 （2） ux u x x54110057310001y ，状态结构图略。
9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
（1）t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(Φ （2）tt e e t 220)1(211)(Φ 提示：（1）不是状态转移矩阵，因为I )0(Φ。
（2）是。
2010)(0t t A Φ 9.3.5.5 线性系统u x x101000 ，11)0(x ，在单位阶跃输入时系统的响应x (t)。
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
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第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为b a a a a a E t d di L i R u ++=，t d d K E m b b θ=，a m m i C M =，t d d f t d d J M mm m m m θθ+=22； )]()([)()(2m b m a a m m a m a ma m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ。
⑴ 设状态变量m x θ=1，m x θ =2，m x θ =3，输出量my θ=，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量a i x =1，m x θ=2，m x θ =3，输出量my θ=，试建立其动态方程； ⑶ 设x T x =，确定两组状态变量间的变换矩阵T 。
解：⑴ 由传递函数得 a m a m m a m b m a m a u C x R J f L x C K f R xJ L ++-+-=323)()( ，动态方程为 []xy u x x x x x x001100010001032121321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡αα ，其中)/()()/()()/(21m a a m m a m a m b m a m a a m J L R J f L J L C K f R J L u C u +=+==αα；⑵ 由微分方程得31332311x f x C x J x x u x K x R x L m m m a b a a -==---= ，即 []xy u x x x a a a a x x xa 0200010100032133311311321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ ，其中 mm m m a b a a J f a J C a L K a L R a ////33311311-==-=-=；⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32133313210100010x x x a a x x x 。
9-2 设系统的微分方程为u x x x=++23 其中u 为输入量，x 为输出量。
⑴ 设状态变量x x =1，xx =2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。
解：⑴ u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。
9-3 设系统的微分方程为u y y yy 66116=+++ 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。
试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，[]x y u x x 0061006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ；[]xy u x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-4 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。
试求动态方程，并画出状态变量图。
解：由图中信号关系得，31x x= ，u x x x 232212+--= ，32332x x x -= ，1x y =。
动态方程为 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020********* ，[]x y 001； 状态变量图为9-5 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程23213213212161162u x x x xu u x xu x x+---=-+=+= ，32122112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。
解：状态方程 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，xy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011； 状态变量图为9-6 已知系统传递函数为3486)(22++++=s s s s s G ，试求出可控标准型(A 为友矩阵)、可观标准型(A 为友矩阵转置)、对角型(A 为对角阵)动态方程。
解：135.015.113452)(2++++=++++=s s s s s s G ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25104310 ；[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10254130 ；[]ux y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=115.05.13001 。
9-7 已知系统传递函数为)2()1(5)(2++=s s s G ， 试求约当型(A 为约当阵)动态方程。
解：2)1(5)1(525)(+++-++=s s s s G ；u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=555100110002 ，[]x y 011=。
9-8 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A , 试求A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将A 约当化。
解：特征方程0)I det(=-A s ，即014=-s ；特征值11=λ、12-=λ、j =3λ、j -=4λ；特征向量依次对应矩阵1-T 的列，所求变换矩阵为T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-j j j j T 111111*********；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j T 11111111111121；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-j j TAT A 00000000100011。
9-9 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ， 试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。
解：幂级数法求解，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=k k kA 100)1(；⎥⎦⎤⎢⎣⎡===Φ-∞=∑t t k k k tA e e t A k e t 00!1)(0； 拉普拉斯变换法求解，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---)1/(100)1/(11001)I (11s s s s A s ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=Φ---t t e e A s L s 00])I [()(11。
9-10 求下列状态方程的解：x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=300020001 。
解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Φ---t t te e e t 32000000)(，得到 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---)0()0()0(00000023132x x x e e e x t t t 。
9-11 已知系统的状态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101 ， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。
试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。
解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-t t te e s x L x 212)]([1。
9-12 已知系统的状态转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t tt t t tt e e e e e e e e t 222232332223)(，试求该系统的状态阵A 。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Φ==4321)(0t t A 。
(注：原题给出的)(t Φ不满足A =Φ)0( 及A t t A t )()()(Φ=Φ=Φ 。
) 9-13 已知系统动态方程u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210311032010 ，[]x y 100=， 试求传递函数)(s G 。
解：B A s C s G 1)I ()(--=，[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++----+-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-210231503620396710021031103201100)(22231s s s s s s s s s s s s s s s G ； 67372)(32--++=s s s s s G 。
9-14 试求所示系统的传递函数矩阵。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011。
解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=---2222311611666161166116161161001)I (s s s s s s s s s s s s s s s A s ； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=1012016116661611611201161161)(22223s s s s s s s s s s s s s G ； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++--+++==442845429461161)(22223s s s s s s s s s s G 。
9-15 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，试列写可控标准型(A 为友矩阵)离散动态方程，并求出1)(=k u 时的系统响应。