第3章习题及答案(3-5)未

[3-1] 基本微分方程中没有包含水的密度，为什么说它表示了质量守恒定律?

答：首先，连续性方程：

()()()[]z y x n t z y x z v y v x

v z y x ∆∆∆∂∂

=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρρ 表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律，且各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映动量守恒定律的方程（如Darcy 定律）建立起来的。

其次，在基本微分方程，如承压水运动微分方程中：

t

H

z H K z y H K y x H K x s ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ 它表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或弹性贮存）的水量。它还通过应用Darcy 定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。这一结论也适用于半承压水运动和潜水运动的基本微分方程。

最后，由：

()βαρβραρμn g g n g dV dV b s +=+=+-=，

所以在各基本微分方程当中，水的密度的影响是通过贮水率μs 来表达的。

[3-2] 推导渗流的连续性方程、承压水运动的基本微分方程、半承压水运动的基

本微分方程、潜水运动的基本微分方程（选做其二）。

答：（1）连续性方程：

设在充满液体的渗流区内，以p （x ，y ，z ）点为中心取一无限小的平行六面体（其各边长度分别为△x ，△y ，△z ，且和坐标轴平行）作为均衡单元体（图1）。

x

y

z

a a'

d

d'

c

c'b

b'

Δz

Δy Δx

p (x,y,z )

o

图1 均衡单元体

如p （x ，y ，z ）点沿坐标轴方向的渗流速度分量为v x 、v y 、v z ，液体密度为ρ，那么，通过abcd 面，在△t 时间内流入的水流质量1x v ρ可利用Taylor 级数求得：

()t z y x x v v t z y v x x x ∆∆∆⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∆∂∂-

=∆∆∆ρρρ211 （1.1） 同理，可求出通过右侧a ′b ′c ′d ′面流出的质量为

()t z y x x v v t z y v x x x ∆∆∆⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡∆∂∂+

=∆∆∆ρρρ212

（1.2）

因此，沿x 轴方向流入和流出单元体的质量差为：

()()()t z y x x v t z y x x v v z y x x v v x x x x x ∆∆∆∆∂∂-=∆⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡

∆∂∂+-∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∂∂-ρρρρρ2121 （1.3）

同理，可以写出沿y 轴方向和沿z 轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为：

()t z y x y

v y ∆∆∆∆∂∂-

ρ和()t z y x z

v z ∆∆∆∆∂∂-

ρ

因此，在△t 时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：

()()()t z y x z v y v x

v z y x ∆∆∆∆⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρ （1.4）

在均衡单元体内，液体所占的体积为n △x △y △z ，其中n 为孔隙度。相应的，单元体内的液体质量为ρn △x △y △z 。因此，在△t 时间内，单元体内液体质量的变化量为：

[]t z y x n t

∆∆∆∆∂∂

ρ （1.5） 在连续流条件下（渗流区充满液体等），根据质量守恒定律，两者应该相等。因此，

()()()[]z y x n t z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂

=∆∆∆⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρρ （1.6） 式（1.6）即为渗流的连续性方程。

（2）承压水运动的基本微分方程：

假设，地下水流动主要是沿水平面方向进行，垂直流速可以忽略，只考虑垂向压缩。于是，只有水的密度ρ、孔隙度n 和单元体高度△z 三个量随压力而变化，（1.6）式的右端可改写成；

[]()()z

y x t

p

n y x t p z n t p n z t p z n z y x n t ∆∆∆∂∂+=∆∆⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂∆+∂∂-∆+∂∂∆=∆∆∆∂∂βαρρβαραρρ1 （2.1）

于是连续性方程（1.6）变为：

()()()()z y x t p n z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-βαρρρρ （2.2） 因为水头γ

p

z H +

=，故有：

t

p t H g t p ∂∂+∂∂=∂∂ρ

ρρ （2.3） 将dp V

dV

d ρβρ

ρ=-=式代入上式得； t

H p g t p ∂∂-=∂∂βρ1 （2.4） 因为水的压缩性很小，l-βp ≈ 1，所以，

t

H g t p ∂∂≈∂∂ρ （2.5）

将（2.5）式代入（2.2）式，得：

()

z y x t

H

n g z y x z v y v x v z v y v x v z y x z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-βαρρρρρ2 （2.6） 上式中，左端第二个括弧项比第一个括弧项要小得多，因此可以忽略不计，于是（2.6）式变为：

()z y x t H

n g z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-βαρ （2.7）

同时，根据Darcy 定律在各向同性介质中，有：

z

H

K v y H K v x H K

v z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,, （2.8） 将式（2.8）代入式（2.7），得：

()z y x t H

n g z y x z H K z y H K y x H K x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂∂∂βαρ （2.9） 根据贮水率的定义，上式可改写为： z y x t H

z y x z H K z y H K y x H K x s ∆∆∆∂∂=∆∆∆⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ （2.10） 整理上式，得：