线性方程组直接解法
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3-8
W
Y
Gauss消元法的基本步骤2（4阶）
可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程上 可以完成第一次消元，得同解方程组：
a1(11) x1 a1(12) x2 a1(13) x3 a1(14) x4 b1(1)
a2(22) x2 a2(23) x3 a2(24) x4 b2(2) (3- 4)(a) a3(22) x2 a3(23) x3 a3(24) x4 b3(2)
3-9
W
Y
Gauss消元法的基本步骤3（4阶）
第二步: 消x2 ,首先找到乘数
li 2
a(2) i2
a(2) 22
,i
3,4
程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原
方程组的解，此过程称为回代过程。
我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方
程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
3-7
W
a1(11) x1 a1G(12)axu2ss消a1元(13) 法x3 的 基a1(14本) x步4 骤b11(（1)4阶）
个方程中,并以
a3(11) a1(11)
,
a4(11) a1(11)
分别
乘第一个方程加到第三 ,第四个方程上消 x1,这些乘数实际上可记为
l21
a2(11) a1(11)
, l31
a3(11) a1(11)
, l41
a4(11) a1(11)
或记为li1
ai(11) a1(11)
百度文库
（i 2,3,4）
a
(1) 43
x3
a4(14) x4
b4(1)
统一加上标 ,并简记为 A(1) x b(1) , A(1) A,b(1) b,首先消元 :
第一步
: 找乘数, 假定a1(11)
0, 要消第二个方程中
x1 , 可以
a2(11) a1(11)
为乘数,
而以
a2(11) a1(11)
乘第一个方程加到第二
a4(22) x2 a4(23) x3 a4(24) x4 b4(2)
变化以后的方 程组系数及右 边的常数项可 总结出如下的 计算公式：
完成第一次消元之后的 方程组记为：
A(2) x = b (2)
ai(j2)
a (1) ij
li1a1(1j)
bi(2) bi(1) li1b1(1)
i, j 2,3,4
12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15
(3- 3)
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组：
x115xx22
x3 6 9x3 57
(3- 3)(a)
21x2 17x3 93
其矩阵形式为： an1x1 an2 x2 ann xn bn
Ax=b
(3-2) 其中： a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21 a22 an1an2
a2n ann
，x
x2 ：
xn
，b
b2 ∶
3-3 bn
W
Y
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。
第三章
线性方程组
直接解法
3-1
W
Y
第三章目录
§1. Gauus 消元法 §2. 主元素法
2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆
数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因 而即使是确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
3-5
W
Y
§1 Gauss消元法
Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:
例1 解线性方程组： x1 x2 x3 6
求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。
§6.方程组的性态和条件数 3-2
W
Y
方程在组科的学求研解究问和题工是程基技线本术性的中，方所常提程见出组的的的，计很概算多问念问题题中如，插线值性函
数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等， 都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法在 数值计算中占有较重要的地位。
设n阶线性方程组：a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a2 1x1a22 x2 a2n xn b2 (3-1)
Y
求为aa解32((能1111步))更xx骤11清，楚并aa地32((且1122得))很xx到22容算易法aa地，32((11可33))下xx推33面广以至aa4一阶32((1144))般线xx的性44 n方阶程bb线32((组11性))为方(例3程总-组4结。)
a
(1) 41
x1
a4(12) x2
3-6
W
Y
例1（续）
再消一次元得：
二次消元后将方程化为
倒三角形式，然后进行
x115x2x29 xx33
6 57
22 5
x3
66 5
(3- 3)(b)
回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。
上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将
方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过
3-4
W
Y
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类： 1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有
限步四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小
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Gauss消元法的基本步骤2（4阶）
可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程上 可以完成第一次消元，得同解方程组：
a1(11) x1 a1(12) x2 a1(13) x3 a1(14) x4 b1(1)
a2(22) x2 a2(23) x3 a2(24) x4 b2(2) (3- 4)(a) a3(22) x2 a3(23) x3 a3(24) x4 b3(2)
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Gauss消元法的基本步骤3（4阶）
第二步: 消x2 ,首先找到乘数
li 2
a(2) i2
a(2) 22
,i
3,4
程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原
方程组的解，此过程称为回代过程。
我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方
程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
3-7
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a1(11) x1 a1G(12)axu2ss消a1元(13) 法x3 的 基a1(14本) x步4 骤b11(（1)4阶）
个方程中,并以
a3(11) a1(11)
,
a4(11) a1(11)
分别
乘第一个方程加到第三 ,第四个方程上消 x1,这些乘数实际上可记为
l21
a2(11) a1(11)
, l31
a3(11) a1(11)
, l41
a4(11) a1(11)
或记为li1
ai(11) a1(11)
百度文库
（i 2,3,4）
a
(1) 43
x3
a4(14) x4
b4(1)
统一加上标 ,并简记为 A(1) x b(1) , A(1) A,b(1) b,首先消元 :
第一步
: 找乘数, 假定a1(11)
0, 要消第二个方程中
x1 , 可以
a2(11) a1(11)
为乘数,
而以
a2(11) a1(11)
乘第一个方程加到第二
a4(22) x2 a4(23) x3 a4(24) x4 b4(2)
变化以后的方 程组系数及右 边的常数项可 总结出如下的 计算公式：
完成第一次消元之后的 方程组记为：
A(2) x = b (2)
ai(j2)
a (1) ij
li1a1(1j)
bi(2) bi(1) li1b1(1)
i, j 2,3,4
12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15
(3- 3)
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组：
x115xx22
x3 6 9x3 57
(3- 3)(a)
21x2 17x3 93
其矩阵形式为： an1x1 an2 x2 ann xn bn
Ax=b
(3-2) 其中： a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21 a22 an1an2
a2n ann
，x
x2 ：
xn
，b
b2 ∶
3-3 bn
W
Y
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。
第三章
线性方程组
直接解法
3-1
W
Y
第三章目录
§1. Gauus 消元法 §2. 主元素法
2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆
数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因 而即使是确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
3-5
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Y
§1 Gauss消元法
Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:
例1 解线性方程组： x1 x2 x3 6
求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。
§6.方程组的性态和条件数 3-2
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方程在组科的学求研解究问和题工是程基技线本术性的中，方所常提程见出组的的的，计很概算多问念问题题中如，插线值性函
数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等， 都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法在 数值计算中占有较重要的地位。
设n阶线性方程组：a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a2 1x1a22 x2 a2n xn b2 (3-1)
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求为aa解32((能1111步))更xx骤11清，楚并aa地32((且1122得))很xx到22容算易法aa地，32((11可33))下xx推33面广以至aa4一阶32((1144))般线xx的性44 n方阶程bb线32((组11性))为方(例3程总-组4结。)
a
(1) 41
x1
a4(12) x2
3-6
W
Y
例1（续）
再消一次元得：
二次消元后将方程化为
倒三角形式，然后进行
x115x2x29 xx33
6 57
22 5
x3
66 5
(3- 3)(b)
回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。
上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将
方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过
3-4
W
Y
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类： 1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有
限步四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小