厦门大学高数试卷及答案
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
厦门大学《高等数学(AC)》课程试卷07年
一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。
2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。
3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。
4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。
5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。
二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。
2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。
3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。
4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。
四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。
2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。
3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。
4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。
厦门大学 高等数学试卷 多元函数的积分
一、空间区域的确定和表示确定空间区域的方法有两种：1）直观作图法。
2）解析法。
一般情况下是两种方法相结合。
1）直观作图法，就是根据区域的边界曲面作草图，从草图可直观确定空间区域的形状、边界曲面的交线、在坐标面上的投影区域，最后给出空间区域的表示。
2）解析法，就是本着空间区域是有界实体这一事实，从而可知它在坐标面上的投影区域一定是由封闭曲线所围成，通过边界曲面方程来确定：①曲面在坐标面上的投影区域的边界曲线。
②边界曲面的交线在坐标面上的投影曲线。
③由坐标面上的边界曲线和投影曲线来确定它们所围成的封闭区域，该封闭区域就是空间区域在坐标面上的投影区域。
④由等量线的变化确定上下曲面。
两种方法中，直观作图法只要作图正确，就不容易出错，其难点在于作图；解析法可以不作图，纯粹由曲面方程解析式入手，给出空间区域的表示，其难点在于封闭区域多个时，投影区域是哪一个？是一个，还是多个？上下曲面的如何选定？两种方法相结合效果更好。
二、空间区域的投影坐标面的选取：1）多个边界曲面的投影区域为整个坐标面，则该坐标面为优先考虑的投影坐标面。
2）当边界曲面个数多，其中有柱面（包括平面）时，①先考虑选取与非平面柱面的母线相垂直的坐标面为投影坐标面。
②选取与最多边界平面相垂直的坐标面为投影坐标面。
三、多元函数的积分，主要掌握下面几点： 1）积分区域的确定。
确定积分区域的思想和方法主要是投影的思想方法。
比如：空间区域Ω在xoy 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在x 轴（或y 轴）上的投影（轴上区间x I （或yI ）），那么：)}()(,|),{(x y y x y I x y x D x 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(y x x y x I y y x D y 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(y x z z y x z x y y x y I x z y x x 2121≤≤≤≤∈=Ω或)},(),(),()(,|),,{(y x z z y x z y x x y x I y z y x y 2121≤≤≤≤∈=Ω 空间区域Ω在yoz 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在y 轴（或z 轴）上的投影（轴上区间yI （或z I ）），那么：)}()(,|),{(y z z y z I y z y D y 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(z y y z y I z z y D z 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(z y x x z y x y z z y z I y z y x y 2121≤≤≤≤∈=Ω或)},(),(),()(,|),,{(z y x x z y x z y y z y I z z y x z 2121≤≤≤≤∈=Ω 空间区域Ω在zox 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在x 轴（或z 轴）上的投影（轴上区间x I （或z I ）），那么：)}()(,|),{(x z z x z I x y x D x 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(z x x z x I z y x D z 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(z x y y z x y x z z x z I x z y x x 2121≤≤≤≤∈=Ω 或)},(),(),()(,|),,{(z x y y z x y z x x z x I z z y x z 2121≤≤≤≤∈=Ω为求投影，必须先求空间曲面的交线及其在坐标面上的投影，或平面曲线的交点及其在轴上的投影（即交点坐标）。
【厦大习题集】高等数学习题及详细解答1
1. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(2,9,6)M -且与向量0OM u u u u u r垂直；解 所求平面的法线向量为2,9(6),n =-, 由平面的点法式方程，得所求平面的方程为 2299()()(66)0x y z -+---=, 即2961210x y z +--=.(2) 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行；解 由于平行平面的法向量相同，法向量(3,7,5)n =-，故所求平面方程为()()()3370510,x y z ---++=, 即2751210x y z -+-=(3) 过点(1,0,1)-，且同时平行于向量2=++a i j k 和=-b i j ；解 法向量2113110=⨯==+--ij kn a b i j k ，所求平面方程为1(1)1(0)3(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+= 即 340x y z +--=(4) 过三点1(1,0,1)M -、2(1,3,2)M --和3(0,2,3)M ; 解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n . 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M , 所以→→k j i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M .根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 ()(1429(40))1x y z -++--=, 即 149150x y z +--=.(5) 求过点(1,1,1)，且垂直于平面7x y z -+=和051223=+-+z y x 的平面方程.解 由条件，所求平面的法向量n 与平面7=+-z y x ,051223=+-+z y x 的法向量都垂直，因此 12111101553212=⨯=-=++-ij kn n n i j k 取(2,3,1)=n ，所求方程为 2(1)3(1)1(1)0⋅-+⋅-+⋅-=x y z 即 2360++-=x y z(6) 平行于xOy 面且经过点(2,5,3)-;解 所求平面的法线向量为(0,0,1)j , 于是所求的平面为 0205130,(.(3))()x y z z ⋅-+⋅++⋅-==即. (7) 过点(3,1,2)--和y 轴解 所求平面可设为0Ax Cz +=. 因为点(3,1,2)--在此平面上, 所以 320A C --=,将23C A =-代入所设方程得 230Ax Az -=, 所以所求的平面的方程为230x z -= 2. 指出下列平面的特殊位置:⑴ 0y =; ⑵ 310x -=; ⑶ 3260x y --=; ⑷ 0x y -=; ⑸ 1y z +=; ⑹ 230x y z -+= 解 (1) xOz 平面.(2) 垂直于x 轴的平面, 它通过x 轴上的点1(, 0, 0)3.(3) 平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是23-和. (4) 通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为1. (5) 平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1. (6) 通过原点的平面.3.求平面2230x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解 此平面的法线向量为(1,2,2)n =-. 此平面与yOz 面的夹角的余弦为 ^22111cos cos(, )||||32(2)1α⋅====⋅+-+n i n i n i ;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 ^22122cos cos(, )||||32(2)1γ⋅====⋅+-+n k n k n k .4. 分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ， 解之得 97=l ，913=m ，937=n .（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l =-.5. 求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角；解 设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ， 则 32cos 223θ==⨯所以 4πθ=.6. 求点(1,1,2)到平面2230x y z ++-=的距离. 解 利用点到平面的距离公式可得222211122343212d ⨯+⨯+⨯-==++ 7. 已知(5,11,3)A --, (7,10,6)B -和(1,3,2)C ---,求平行于ABC ∆所在的平面且与它的距离等于2的平面的方程.解 设所求平面的法向量为n因为n AB ⊥u u u r, n AC ⊥u u u r , (12,21,9)AB =-u u u r , (6,8,5)AC =-u u u r则 AB AC ⨯=u u u r u u u r1221933630685-=-+--i j ki j k所以取n (11,2,10)=-，则设所求的平面方程为 112100x y z D -++=由已知条件得2221112(3)10(2)211(2)10D⨯-⨯-+⨯-+=+-+330D -=, 1233,27D D ==-所以所求平面方程为11210330x y z -++= 或 11210270x y z -+-=习题6.41. 求下列各直线方程:⑴ 通过点1(1,2,2)M -和2(2,1,1)M -的直线解 所求直线的方向向量为12(1,3,3)s M M ==-u u u u u u r, 所求的直线方程为122133x y z -+-==-. ⑵ 过点(3,2,1)-且平行于直线121123x y z -++==-的直线 解 所求直线的方向向量为(1,2,3)s =-所求的直线方程为321123x y z --+==-. ⑶ 过点(1,3,2)A -且和x 轴垂直相交的直线因为直线过A 点和x 轴垂直相交,所以交点为(1,0,0),B 取(0,3,2),BA s −−→==-所求直线方程⑷ 通过点(1,0,2)且与两直线11111x y z -+==-和11110x y z -+==-垂直的直线. 解 所求直线的方向向量为12111211=⨯=-=----ij ks n n i j k ， 所以，直线方程为：12112--==x y z . (5) 通过点(1,2,1)M -且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；解 所求直线的方向向量为：()121cos 60,cos 45,cos120,,222︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线方程为：121112x y z --+==-. 2. 求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 先求直线上的一点. 取1x = 有 ⎩⎨⎧=+--=+232z y z y .解此方程组, 得2y =-, 0z =, 即(1,2,0)-就是直线上的一点.再求这直线的方向向量s . 以平面1x y z ++=-和234x y z -+=的法线向量的向量积作为直线的方向向量s : ()(23)11143213=++⨯-+==---ij ks i j k i j k i j k因此, 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-zy x .令tz y x =-=-+=-31241, 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz t y t x 3241.132.032x y z -+-==-3. 求过点(1,2,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=.所平面的方程为()()()1611421130,x y z --+++-=,即161411110---=x y z . 4. 求直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 的交点坐标和夹角. 解直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，代入得03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t , 10-=t ，从而交点为101-（，，）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ， 所以 6πθ=.5. 判别下列直线与平面的位置关系:⑴ 34273x y z++==-- 和 42230x y z ---= ⑵ 121327x y z -+-==- 和 641450x y z -+-= ⑶ 53250210x y z x y z -+-=⎧⎨---=⎩ 和 43770x y z -+-=⑷ 2994x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩和 347100x y z -+-=解 （1）所给直线的方向向量为(2,7,3)=--s , 所给平面的法线向量为(4,2,2)=--n . 因为()()(247232)()0⨯=-+--+⨯⨯-=⨯s n , 所以 ⊥s n ,从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(3,4,0)--不满足平面方程4223--=x y z , 所以所给直线不在所给平面上.（2） 所给直线的方向向量为, 所给平面的法线向(3,2,7)s =-量为(6,4,14)n =-.因为P s n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.（3）直线的方向向量为：1253259211=⨯=-=++--i j ks n n i j k ，平面的法向量为437=-+n i j k ，而(59)(437)0⋅=++⋅-+=s n i j k i j k ， 所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上. （4）直线的方向向量为(1,2,9)=-s ，因为 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯ 所以直线与平面相交但不垂直.6. 求下列各平面的方程：⑴ 通过点(2,0,1)M -，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； 解 (1) 解 所求平面的法线向量与直线32121-=-=+z y x 的方向向量1(2,1,3)s =-)垂直. 因为点(2,0,1)-和(1,0,2)-都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量2(1,0,2)(2,0,1)(3,0,3)s =---=-也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为12213533=⨯=-=++-ij k n s s i j k .所求平面的方程为251)),(0(x y z -+++= 即015=-++z y x⑵ 通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 平行的平面； 解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为k j i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=,所求平面的法线向量可取为121231323151=⨯=--=-----i j kn s s i j k ,又平面过点(2,3,1)--，由平面点法式方程得，所求平面的方程为 ()()13223310()x y z ---+-+= 即 1323170.x y z ++-=7. 求点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影.解 平面的法线向量为(1,1,1)n =-. 过点(1,2,0)-并且垂直于已知平面的直线方程为21111-+==-x y z. 将此方程化为参数方程2,1,x t y t z t =+=-+=-,代入平面方程10.+-+=x y z 中, 得 2(1)10++-++=t t t 解得23=t . 再将23=t 代入直线的参数方程, 得83=x , 13=-y , 23=-z . 于是点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影为点812(, -, -)333.8. 求点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为k j kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=.过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为 313()(0)2y z -+--=, 即10y z +-=. 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得1x =, 21-=y , 23=z .点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点1(2,)1,-P 与点)23,21 ,1(-间的距离,即 222136(21)(1)(1)222=-+-++-=d . 9. 设0M 是直线外一点, M L 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点0M 到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d .证 设点0M 到直线L 的距离为的方向L 向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以和→MN 为邻→M M 0边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||0s s ⨯=⋅M M d . 因此 →||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d .10. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面2210--+=x y z 上的投影直线的方程．解 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即 01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x 这平面与已知平面2210--+=x y z 垂直的条件是(1)2(1)(1)(1)(2)0+⋅+-⋅-+-+⋅-=λλλ,解之得3=-λ代入平面束方程中得2220-++=x y z 投影平面方程为，所以投影直线为22202210-++=⎧⎨--+=⎩x y z x y z .习题6.51. 求以点122-（，，）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径2221(2)23=+-+=R , 球面方程为 222()()(9)122-+++-=x y z即 2222440.++-+-=x y z x y z2. 方程22224220+++-++=x y z x y z 表示什么曲面? 解 由已知方程得2222()()(1212)++-++=x y z所以此方程表示以1,21(,)--为球心, 以2为半径的球面.3. 将yOz 坐标面上的抛物线2y z =绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解 将方程中的y 换成22±+y x 得旋转曲面的方程222+=y x z4. 将xOz 坐标面上的椭圆22936+=x z 分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解 椭圆绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为2229(36.)++=x y z 即 222222 1.622++=x y z椭圆绕z 轴旋转而得的旋转曲面的方程为22236.)(9++=x y z 即 222222 1.662++=x y z5. 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴1=x ; ⑵2=-+y x ; ⑶ 224x y +=; ⑷ 224x y -=解 (1) 在平面解析几何中, 1=x 表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中,1=x 表示一张平行于yOz 面的平面.(2) 在平面解析几何中, 2=-+y x 表示一条斜率是1-, 在y 轴上的截距也是2的直线; 在空间解析几何中，2=-+y x 表示一张平行于z 轴的平面.(3) 在平面解析几何中, 224+=y x 表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 224+=y x 表示母线平行于z 轴, 准线为224+=y x 的圆柱面.(4) 在平面解析几何中, 224x y -=表示双曲线; 在空间解析几何中,224x y -=表示母线平行于z 轴的双曲面.6. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221994x y z ++=; ⑵ 222144-+=x z y ; (3) 222(1)-=+z x y 解 ⑴这是yOz 面上的椭圆22194+=y z 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是xOz 面上的椭圆22194+=x z 绕x 轴旋转一周而形成的. ⑵ 这是xOy 面上的双曲线2214-=x y 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线2214-+=z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3) 这是zOx 面上的曲线22(1)-=z x 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线22(1)-=z y 绕z 轴旋转一周而形成的.7. 指出下列各方程表示哪种曲面,并作图：⑴220+-=x y ax ; ⑵ 20-=y z ; ⑶ 22244+-=x y z ; ⑷ 2294=+x y z ；(1) 220+-=x y ax 表示母线平行z 轴的圆柱面。
厦门大学2011-2012学年第一学期高等数学(理工A类)期末试卷
（4）
(
1 cos 2 x | x | sin x)dx
x t 3 3t 1 2、 （10 分）设函数 y ( x) 由参数方程 确定，求曲线 y y ( x) 向上凸的 x 取值 3 y t 3t 1
范围. 3、 10 分） （ 设函数 f ( x),g( x) 在 x 0 的某个邻域内连续， lim 且
x 0
g( x ) f ( x) 1， lim 2 2 x 0 g ( x ) 1 cos x
试问: x 0 是否是 f ( x) 的极值点？如果是极值点，是极大还是极小？其极值为多少？ 4、 （10 分）求函数 y ln x 的最大曲率. 5、 （10 分）求函数 f ( x) ln(1 x ) 的凹凸区间及拐点.
厦门大学《高等数学 A》课程期末试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：高等数学 A 教学组
V 1、求下列各题积分： （每题 5 分，共 20 分） （1）
试卷类型： 卷） （A
sin x 1+ cos x dx
1 1 2
(2)
ln 2 x x2 dx
（3）
1 x2 dx x2
2
6、 （10 分）求函数 f (x)=
ex 0
t 4 16 dt 的最小值. 1 t
7、 （10 分）设 f (x) 在 [0,1] 上可导，且 0 f (x)<1,x (0,1), f (0) 0 ，证明
[ f (x)dx]2 f 3 (x)dx .
0 0
1
1
8、 （10 分）已知函数 f (x) 连续，且 lim
14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x ydy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
14-15厦门大学微积分I高等数学期末试卷(A卷)
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x ydy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
厦门大学《高等数学(AC)》经管类(A卷)期末试卷及答案
一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、 220limarctan xt x x e dtx x-→-⎰. 2、设函数()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，求(7)f .3、设(cos )ln(sin )f x dx x c '=+⎰，求()f x .4、已知点()3,4为曲线2y a =a , b .5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间与极值.6、设函数21()cos x f x x⎧+=⎨⎩0,0.x x ≤> 求2(1)f x dx -⎰.7、求曲线3330x y xy +-=的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、31sin cos dx x x ⎰.2、.3、523(23)x dx x +⎰.4、41cos 2xdx x π+⎰. 5、312⎰ 6、2220x x edx +∞-⎰，其中12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭.三、应用题（每小题6分，共12分）1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数y 是日产量x 的函数为： 2100,102100.x x y xxx ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩并且生产出的合格品都能售出。
如果售出一件合格品可盈利A 元，但出一件次品就要损失3A元。
为获得最大利润，日产量应为多少？ 2、设函数()f x 连续，(1)0f =，且满足方程1()()xf x xe f xt dt -=+⎰，求()f x 及()f x 在[]1,3上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当0x >时，证明：(1ln x x +>2、设函数)(x f 在[],a b 上连续，()0f x ≥且不恒为零，证明()baf x dx ⎰0>.一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、解：2220023200011lim lim lim arctan 33xxt t x x x x x e dtx e dte x x x x ---→→→---===⎰⎰ 2、 解：两边求导有233(1)1xf x -=，令2x =，得1(7)12f =。
厦门大学高等代数课程试卷
必要性。对矩阵
A，存在可逆矩阵
P，Q
使得 A =
P
æ ç
I
r
è
ö
0
÷ ø
Q
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)Q
。令
S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
，
T = (Ir , 0)Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是 n ´ r 矩阵和 r ´ n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以
P，使得
P-1 AP
=
æ ç
Ir
è
ö
0
÷ ø
。令 S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ,T ø
=
(Ir , 0)P-1 ，则
A
=
ST
， TS
=
Ir
，
r(S ) = r(T ) = r 。
由j(x1),...,j(xr ) 的线性无关性，得 k1 = ... = kr = 0 ，进而 kr+1 = ... = kn = 0 。因此
j
(j
(x1
),
...,
j
(xr
),
xr
+1
,
...,
xn
)
=
(j
(x1
),
...,
j
(x
r
),
x
r
+1
,
...,
xn
)
æ ç
I
r
è
0
ö ÷ ø
。
这说明存在可逆矩阵
(Ir
微积分期末试卷及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、 设(,)f u v 具有连续偏导数，(,)y x z f x y =，则z x ∂=∂ 1ln y x f fyx y y u v-∂∂+∂∂ 。
2、 二次积分23211d d y x x e y --⎰⎰的值是 41(1)2e -- 。
3、 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 240x y +-= 。
解 设(,,)23z F x y z z e xy =-+-，该点的法向量{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,122,1,0.x F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂==-=⎨⎬∂∂∂⎩⎭切平面方程为2(1)(2)0x y -+-=。
4、 若3(,)[cos ()](sin )x x du x y e y yf x dx x e y dy =++-，则()f x 23x ，(,)u x y = 3c o s xx y e y C++ 。
5、 设L 为闭域D 的正向边界闭曲线，则22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰可以通过A表示为 2A 。
（A 为D 的面积） 解：由格林公式22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰()d d 2d d 2DDQ Px y x y A x y ∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰。
6、 级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛性为 条件收敛 。
解： 111ln(1)n n n u n ∞∞===+∑∑， 因为1ln(1)lim11n n n→∞+=，由比较判别法的极限形式知 111ln(1)nn n u n ∞∞===+∑∑发散！ 厦门大学《高等数学B 》课程试卷主考教师：高数B 组 试卷类型：（A 卷）考试时间：2013.06.14 8:00—10:00但作为交错级数的原级数满足莱布尼兹判别条件：（1）111ln(1)ln(1),1n n u u n n ++>+>+即；（2）1lim ln(1)0n n→∞+=，故，111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑是条件收敛。
厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
一、单选题（32 分. 共8 题, 每题4 分）1) 设b 为3 维行向量，V ={(x1 , x2 , x3 ) | ( x1 , x2 , x3 ) =b}，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间；B) 对任意的b ，V 均不是线性空间；C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组I：α1 ,α2 ,...,αs 可以由向量组II：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA)若向量组I 线性无关，则s t ；B) 若向量组I 线性相关，则s >t ；C) 若向量组II 线性无关，则s t ；D) 若向量组II 线性相关，则s >t 。
3)设非齐次线性方程组AX =⎭中未定元个数为n，方程个数为m，系数矩阵A 的秩为r，则。
DA)当r <n 时，方程组AX =⎭有无穷多解；B) 当r =n 时，方程组AX =⎭有唯一解；C) 当r <m 时，方程组AX =⎭有解；D) 当r =m 时，方程组AX =⎭有解。
4)设A 是m ⨯n 阶矩阵，B 是n ⨯m 阶矩阵，且AB =I ，则。
AA) r( A) =m, r(B) =m ；B) r( A) =m, r(B) =n ；C) r( A) =n, r(B) =m；D) r( A) =n, r(B) =n 。
5)设K 上3 维线性空间V 上的线性变换ϕ在基⋂,⋂{1 1 1,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3|||1 1 1|{1 2 1112222{ 1 11| | |2|| || 2 |A) |2 0 2 |；B) | 11 10 1 |；C) |10 1 ；D)|2 0 2 |。
|1 2 1 || 1 | 2|1 2 1 || 1 |26)设ϕ是V 到U 的线性映射，dim V =n, dim U =m 。
厦门大学高等数学期末考试试卷(含答案)
厦门大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
3．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
4．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
9．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
11．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
13．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
厦门大学高数(非数学专业)理工类竞赛卷答案
学号院系 高等数学竞赛(理工类)试题姓名 （ 2006年7月6日 晚 7•00 ~ 9•00 ）一、单项选择题（每题4分 共20分）1．方程x e x =--21在),0(+∞内实根的个数为（ B ）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 若)(x f 在]1,0[上连续且可导，1)0()1(=-f f ，⎰'=102)]([dx x f I ， 则有（ C ）。
A. I = 1B. I < 1C. I ≥1D. I = 03．设(,)f x y 连续，且(,)(,),Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由0y =2,1y x x ==所围区域，则(,)f x y 等于（ D ）。
A ．xy ； B. 2xy ； C. 1xy +； D. 18xy +。
4. 设f 在Ω上可积，且Ω区域具有轮换对称性（即若(,,)x y z ∈Ω，则(,,),(,,)y z x z x y ∈Ω∈Ω），则（ A ）。
A.(,,)(,,)(,,)f x y z dv f y z x dv f z x y dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；B. 1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 其中1Ω为Ω的0z ≥部分区域； C.(,,)0f x y z dv Ω=⎰⎰⎰；D. 以上结论均不成立。
5. 设函数(),(),()p x q x f x 都连续，且11223()()()y c y x c y x y x =++是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解，则（ B ）。
A. 123y y y +-是方程的解B. 123,,y y y 线性无关C. 123,,y y y 可能线性无关，也可能线性相关。
D. 123,,y y y 线性相关二、填空题（每题4分 共20分） 1．设函数xx xx x x x f ++-+-+=22ln 212arctan)(222，则 =')(x f 2。
厦门大学高等数学-期末考试题-A3
厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）姓名班级学号成绩考试时间：120分钟满分：100分命题人：高兵龙说明：1、考生必须在规定时间内完成该试卷；2、必须使用黑色签字笔作答；3、考生必须按时交卷。
4、（7分）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-=52arctan 2te ty y t x 所确定，求dx dy，并求出0=t 处曲线的切线方程.解：5、（8分）已知曲线n x x f =)(，求：(1)曲线在点（１,１）处的切线方程； (2)设该切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，试计算).(lim n n f ξ∞→解：四、（6分）证明当10<<x 时，xxe x-+<112 证明：五、（8分）已知函数)(x f 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，且0)2008(=f ，求证：在)2008,0(内至少存在一点c ，使cc f c f )()('-=成立． 证明：六、（8分）设某厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数q =100—2p （其中p 为价格，q 为产量），问产量多少时利润最大？并求最大利润. 解：七、（10分）求函数21xy x x =+-的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形。
解：厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）参考答案一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 92. !)2(n n -3. 1 4．22e 5.C xxx +-sin 2cos 6. 4-三、计算题（共5小题，共32分） 1.（5分） 解：2. 解：⎰+-dx e e xx 11⎰⎰+-+=dx e dx e ex x x1111分 ⎰⎰--+-+=dx e e dx e e xxx x 11 3分 ⎰⎰--+++++=)1(11)1(11xx x x e d ee d e 4分 C e e x x ++++=-)1ln()1ln( 5分3. 解：点连续在点可导，故在1)(1)(==x x f x x f 1分)1(l i m l i m 21)1(21++=∴-+→-→bx ax e x x x 0=+b a 即 3分 1)1(lim)1()1(21-++-='-→++x b a e f x x 又 21)1(2lim 11lim 1)1(21=--=--=++→-→x x x e x x x 5分 1)1()1(lim)1(21-++-++='-→-x b a bx ax f xa x axax x bx ax x x =--=-+=--→→1lim 1lim 2121 6分 2,2-==∴b a 7分4．解：对522=+-te ty y 两边对t 求导0222=+--t e dtdyty y dt dy 222--=ty y e dt dy t 3分22)1)((\22-+-==ty t y e dt dx dt dy dx dy t 5分 2,0,23,0====y x dx dy t 时 切线方程：223+=x y 7分5．解：（1）1)(-='n nx x f ，n f k ='=)1( ２分 切线方程 )1(--=n nx y ４分（2）令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e 8分四、 证明：)1()1()(2x e x x f x +--=令 1分 则 1)21()(2--='x e x x f 3分04)(2<-=''x xe x f内单调减少在所以)1,0()(x f ' 4分 单调减少从而，故又)(,0)(0)0(x f x f f <'=' 5分 即，故又,0)0()(0)0(=<=f x f fxxe x -+<112 6分五、证明：令 )()(x xf x F =， 1分则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导， 3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 5分 至少存在一点c，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ，也即cc f c f )()('-= 得证。
厦门大学 【精品】2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷
厦门大学2016-2017学年第2 学期高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)npn n ∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →=（ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ）A ．直线L 平行于平面πB ．直线L 在平面π上C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ）A ．33()2b a π-B ．332()3b a π-C ．334()3b a π-D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
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2008—2009学年第一学期《高等数学》期中试卷解答
一、填空题 （每小题4分，共24分）
1、 当2→x 时，713→+=x y ，为了使001.07<-y ，则δ应不大于____
2、 已知2)
3(lim 0=→x f x x ，则=→x x f x )2(lim 0__________ 3、 如果=+→)1ln(1
02)(cos lim x x x ____________
4、 当0→x 时，)(12122x o bx ax x +++=-，a ,b 分别是__________
5、 设a 是实数，函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=-1,01,11cos )1()(x x x x x f a ，则当)(x f 在1=x 处可导时，a 必定满足_____________
6、 设x x
x f )11()(+=，则=')5.0(f _______________
二、单项选择题 （每小题4分，共24分）
1、设函数111)(--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x e x f ，则（ ） （A ）x =0, x =1都是f (x )的第一类间断点。
（B ）x =0, x =1都是f (x )的第二类间断点。
（C ）x =0是f (x )的第一类间断点，x =1是f (x )的第二类间断点。
（D ）x =0是f (x )的第二类间断点，x =1是f (x )的第一类间断点。
2、若函数)(x f 可导，且4)0()],1[sin(sin )(2=+='f x x f ，则)(x f 的反函数)(y g x =的导数)4(g '的值为（ ）
（A ）)4(sin sin 12 （B ）)
5(sin sin 12 （C ）)1(sin sin 12 （D ）0 3、设,sin 22y e x y =-则
=dx dy （ ）
（A ）y e y x 22cos 2+ （B ）22cos 2x
y e x y
-+ （C ）0 （D ）222cos 2x e y x y -+ 4、设参数方程为⎩⎨⎧==t
b y t a x sin cos ，则二阶导数=22dx y d （ ） （A ）t a b 2sin （B ）t a b 32sin - （C ）t a b 2cos （D ）t
t a b 2cos sin - 5、设函数31
2)(-=x x f ，则（ ）
（A ）在其有定义的任何区间),(21x x 内，必是单调减少的；
（B ）在点1x 及2x 处有定义，且21x x <时必有)()(21x f x f >；
（C ）在其有定义的任何区间),(21x x 内，必是单调增加的；
（D ）在点1x 及2x 处有定义，且21x x <时必有)()(21x f x f <；
6、在区间[0,8]内，对函数328)(x x x f -=，罗尔定理的结论（ ）
（A ）不成立 （B ）成立，并且0)2(='f
（C ）成立，并且0)4(='f （D ）成立，并且0)8(='f
三、计算题：（每小题4分，共12分）
1、设x x y sin 2=，求)100(y
2、设)()(ln x f e x f y =，其中)(x f 可微，求dy
3、求极限x x x x x e e x x x 2arcsin )1ln()(tan )2cos 1)((lim tan 0+---→
四、证明题 （A 型题满分40分，B 型题满分28分）
（以下每一题中设有A 型题和B 型题，只需选定其中的一类题做）
1．（A ）（8分）根据函数极限的定义证明：313lim
424n n n →∞+=- （B ）（5分）根据函数极限的定义证明：21214lim 221x x x →--=+
2． (A)(8分)
设1103,1,2,n x x n +<<== ，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限。
(B)(6分)设11x =，11,(1,2,)1n n n x x n x +=+=+ ，证明证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限。
3．(A)(8分)证明：若()f x 在[a,b]上连续，且()()1f a f b +=，则存在[,]a b ξ∈，使得1
()2f ξ=。
(B)(5分) 若()f x 在[a,b]上连续，且对[,]x a b ∀∈，()0f x ≠，则()f x 在[a,b]上恒正或恒负。
4．(A)(8分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足()()()f xy f x f y =，且(1)
f '存在，求()(0)f x x '≠。
(B)(6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足()()()f x y f x f y +=，且(0)1f '=，求()f x '。
5．(A)(8分)设()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()f x +()f x '的零点。
(B)(6分) 设()f x 在[0,1]上可导，对于任意(0,1)x ∈都有()1f x '≠，0()1f x <<,且方程()f x x =在(0,1)上有实根，证明此实根是惟一的。