3.4 确定圆的条件教案

确定圆的条件
教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条 直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等 概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培 养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进 一步体会解决数学问题的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性， 发展实践能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并 能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过 不在同一条直线上的三个点作圆．
教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．4A) 第二张：(记作§3．4B) 第三张：(记作§3．4C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条 直线．那么，经过一点能作几个圆经过两点、三点……呢本节课我们 将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么 [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等．

作法：如下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，
2
在 AB 的两侧找出两交点 C、D，作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家 觉得作圆的关键是什么
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因 此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随 之确定．
2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆 (2)作圆，使它经过已知点 A、B．你是如何作的你能作出几个这 样的圆其圆心的分布有什么特点与线段 AB 有什么关系为什么 (3)作圆，使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直 线上)．你是如何作的你能作出几个这样的圆 [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径， 下面请大家互相交换意见并作出解答．

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作 圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的 任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个 圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此 圆心到 A、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性 质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心 应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都 能满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点 都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于 线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有 无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心， 使它到三点的距离相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线 段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段 BC 的 垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点的距离相

等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出
一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)
作法
图示
1．连结 AB、BC
2．分别作 AB、BC 的垂 直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O 3．以 O 为圆心，OA 为 半径作圆 ⊙O 就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，则 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等；连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，则 FG 上的任一点到

B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无
数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个 圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三 角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的 内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外 心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外 接圆，它们外心的位置有怎样的特点 解：如下图．
O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边

上，钝角三角形的外心在三角形的外部． Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具
找到圆形工件的圆心
解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等， 又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出 圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．
板书设计 §3．4 确定圆的条件
一、1．回忆及思考(投影片§3．4A)