代数式的变形竞赛题
代数式恒等变形及答案
代数式恒等变形A 卷1、若3265122-+-+=+--x bx a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。
2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+-x x ，则=+441xx （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案：C 解答：∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：本题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。
3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D解答：∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
4、（全国竞赛题）如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是（ ） A 、6 B 、8 C 、20 D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ，6=b ，12=c ∴20=++c b a提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。
初中数学代数式的变形与应用题
初中数学代数式的变形与应用题一、代数式的变形代数式的变形是数学中的一项重要基本技能，可以帮助我们简化计算、研究问题、解决实际应用等。
下面我们来学习一些常见的代数式变形方法，并通过一些应用题来巩固所学知识。
1. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母和相同指数的项合并在一起的操作。
比如，对于代数式3x + 2x + 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和5x相加，得到10x。
这样可以简化代数式，使之更容易计算或分析。
2. 提取公因子提取公因子是将代数式中共有的因子提取出来的操作。
比如，对于代数式4x + 2y，我们可以提取出公因子2，得到2(2x + y)。
这样可以简化代数式，更容易进行进一步求解或运算。
3. 分解因式分解因式是将代数式分解为乘积形式的操作。
比如，对于代数式5x^2 + 10x，我们可以因式分解为5x(x + 2)。
这样可以帮助我们更好地理解代数式的结构，并在解决问题时提供便利。
二、代数式的应用题通过对代数式的变形，我们可以将数学问题转化为代数式的问题，并通过解代数式来解决实际问题。
下面我们来看几个应用题，并利用代数式的变形与应用来解决这些问题。
例题一：若甲乙两人的年龄比为2：5，已知甲的年龄比乙的年龄小15岁，求甲的年龄。
解析：设甲的年龄为2x岁，则乙的年龄为5x岁。
根据题意，有2x = 5x - 15。
进行变形，得到3x = 15，解得x = 5。
代入甲的年龄2x，得甲的年龄为2 × 5 = 10岁。
例题二：一个数字的个位数和十位数之和是8，个位数比十位数小2，求该两位数。
解析：设十位数为x，个位数为y，则根据题意有y + x = 8，y = x - 2。
将第一个等式变形为y = 8 - x，代入第二个等式得到8 - x = x - 2。
解得2x = 10，即x = 5。
代入第一个等式得到y = 3。
所以该两位数为53。
通过以上两个例题，我们可以看到，代数式的变形与应用在解决实际问题时起到了重要作用。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
代数式专项训练及答案
代数式专项训练及答案一、选择题1．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（ ） A ．228421a a a -++B ．328421a a a +--C ．381a -D ．381a +【答案】D【解析】【分析】利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：根据题意，得：S 长方形=(4a 2−2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1，故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键．2．下列运算正确的是（ ）．A ．()2222x y x xy y -=--B ．224a a a +=C ．226a a a ⋅=D ．()2224xy x y = 【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案．【详解】解：A.、()2222x y x xy y -=-+，故本选项错误；B.、2222a a a +=，故本选项错误；C.、224a a a ⋅=，故本选项错误；D 、 ()2224xy x y =，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键．3．如果多项式4x 4+ 4x 2+ A 是一个完全平方式，那么A 不可能是（ ）．A ．1B ．4C ．x 6D ．8x 3【答案】B【解析】【分析】 根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】∵4x 4+ 4x 2+1=（2x+1）2，∴A=1，不符合题意，∵4x 4+ 4x 2+ 4不是完全平方式，∴A=4，符合题意，∵4x 4+ 4x 2+ x 6=（2x+x 3）2，∴A= x 6，不符合题意，∵4x 4+ 4x 2+8x 3=（2x 2+2x ）2，∴A=8x 3，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．4．下列运算正确的是（ ）A ．21ab ab -=B 3=±C ．222()a b a b -=-D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解：A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误；B 3=，故B 项错误；C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误；D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查：（1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.5．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ）A ．（11，3）B ．（3，11）C ．（11，9）D ．（9，11） 【答案】A【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A ．考点：坐标确定位置．6．下列运算正确的是（ ）A ．2m 2+m 2＝3m 4B ．（mn 2）2＝mn 4C ．2m•4m 2＝8m 2D ．m 5÷m 3＝m 2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算后即可解答．【详解】选项A ,2m 2+m 2＝3m 2，故此选项错误；选项B ,(mn 2)2＝m 2n 4，故此选项错误；选项C ,2m •4m 2＝8m 3，故此选项错误；选项D ,m 5÷m 3＝m 2，正确．故选D ．【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为2412a ab -+（ ），你觉得这一项应是（ ）A ．23bB ．26bC ．29bD ．236b【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得出缺失平方项．【详解】根据完全平方的形式可得，缺失的平方项为9b2故选C．【点睛】本题考查了整式的加减及完全平方式的知识，掌握完全平方公式是解决本题的关键．8．下列命题正确的个数有（）①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；④黄金分割比的值为≈0.618.A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】C【解析】【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；【详解】①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C．【点睛】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．9．计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2 C．2x D．4x2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．【详解】3x2﹣x2=（3-1）x2=2x2，故选B．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.10．下列计算正确的是（ ）A ．2x 2•2xy ＝4x 3y 4B ．3x 2y ﹣5xy 2＝﹣2x 2yC ．x ﹣1÷x ﹣2＝x ﹣1D ．（﹣3a ﹣2）（﹣3a +2）＝9a 2﹣4【答案】D【解析】A 选项：2x 2·2xy ＝4x 3y ，故是错误的；B 选项：3x 2y 和5xy 2不是同类项，不可直接相加减，故是错误的；C.选项：x －1÷x －2＝x ，故是错误的；D 选项：(－3a －2)(－3a ＋2)＝9a 2－4，计算正确，故是正确的.故选D.11．下列运算正确的是（ ）A ．426x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．222()x y x y -=-【答案】C【解析】试题分析：4x 与2x 不是同类项，不能合并，A 错误； 235x x x ⋅=，B 错误；236()x x =，C 正确；22()()x y x y x y -=+-，D 错误．故选C ．考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．12．下列说法正确的是（）A ．若 A 、B 表示两个不同的整式，则A B 一定是分式 B ．()2442a a a ÷=C ．若将分式xy x y+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若35,34m n ==则2532m n -= 【答案】C【解析】【分析】根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.【详解】A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称A B是分式.故此选项错误.B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误.C. 若将分式xy x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253332544m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C【点睛】本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.13．下列计算正确的是（ ）A ．2571a a a -÷=B ．()222a b a b +=+C ．2+=D ．()235a a =【答案】A【解析】 分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．详解：A 、2571a a a-÷=，正确； B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故此选项错误；C 、，无法计算，故此选项错误；D 、（a 3）2=a 6，故此选项错误；故选：A ．点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14．下列计算，正确的是（ ）A ．2a a a -=B ．236a a a =C ．933a a a ÷=D ．()236a a = 【答案】D【解析】A.2a 和a,和不能合并,故本选项错误;B.2356a a a a ⋅=≠ ,故本选项错误;C.9363a a a a ÷=≠,和不能合并,故本选项错误;D.()236 a a =,故本选项正确;故选D.15．下列运算中正确的是（ ）A ．2235a a a +=B ．222(2)4a b a b +=+C ．236236a a a ⋅=D ．()()22224a b a b a b -+=- 【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案．【详解】A 、2a+3a=5a ，故本选项错误；B 、（2a+b ）2=4a 2+4ab+b 2，故本选项错误；C 、2a 2•3a 3=6a 5，故本选项错误；D 、（2a-b ）（2a+b ）=4a 2-b 2，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．16．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b b a +-B ．11(1)(1)22x x +-- C ．(3)(3)x y x y --+D ．()()m n m n ---+ 【答案】D【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】（-m-n ）（-m+n ）=（-m ）2-n 2=m 2-n 2，故选D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．17．已知x=2y+3，则代数式9-8y+4x 的值是（ ）A ．3B ．21C ．5D ．-15【答案】B【解析】【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案.【详解】解:∵x=2y+3∴x-2y=3∴98494(2y x y x -+=--⨯)=9-4(-3)=21故选：B【点睛】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.18．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1【答案】B【解析】【详解】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为：2，，…，， 下边三角形的数字规律为：1+2，，…，， ∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n.故选B ．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．19．在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2019时对应的指头是（ ）（说明：数1、2、3、4、5对应的指头名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）A ．食指B ．中指C ．小指D ．大拇指【答案】B【解析】【分析】根据题意，观察图片，可得小指、大拇指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，进而可得答案．【详解】解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．=⨯+，又∵2019是奇数，201925283∴数到2019时对应的指头是中指．故选：B．【点睛】此题主要考查了数字变化类，只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可．关键规律为：大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．20．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是()A．点F B．点E C．点A D．点C【答案】A【解析】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A共爬行了8cm（称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm，所以它停的位置是F点．详解：一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A共爬行了8cm，而2014÷8=251……6，所以当电子甲虫爬行2014cm时停下，它停的位置是F点．故选A．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．。
专题01代数式的恒等变形【2022中考数学专题复习高频考点拓展讲练】(原卷版)
专题1 代数式的恒等变形（原卷版）专题诠释：代数式的恒等变形是中考最常见的题型，恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。
通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+针对训练类型一 通过恒等变形求代数式的值典例1 设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，求m 2−n 2mn 的值．典例2 已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．针对练习11．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．2．已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：∵a +b ＝8 ab ＝15∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4又∵a ＞b∴a ﹣b ＞0∴a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√5，且x ＜0，求x +1x 的值．类型二 通过恒等变形求代数式的最值典例3 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ．典例4（2021秋•鼓楼区校级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式2x 2+4x−3x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x ﹣1，可设2x 2+4x ﹣3＝（x ﹣1）（2x +m ）+n ．因为（x ﹣1）（2x +m ）+n ＝2x 2+mx ﹣2x ﹣m +n ＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以2x 2+4x ﹣3＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以{m −2=4−m +n =−3，解得{m =6n =3，所以2x 2+4x−3x−1=(x−1)(2x+6)+3x−1=2x +6+3x−1． 这样，分式就被拆分成了一个整式2x +6与一个分式3x−1的和的形式， 根据你的理解解决下列问题：（1）请将分式3x 2+4x−1x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，求m 2﹣n 2+mn 的最大值．针对练习23．若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．类型三 通过代数式的恒等变形求字母的取值范围典例5已知：2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．针对训练34．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k y k x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。
数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.假设1,那么111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2．解析：1，那么a ，b ，c 均不为0．选A ．2．假设x 33=1000，且x 22496，那么(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于．解析：3-，4．假设2，x 22=4，那么x 19921992的值是 ( )A ．4B ．19922C ．21992D ．41992解析：由2 ①平方得x 2-22=4 ②又x 22=4 ③所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ．5．在等式2中,当1时2,当1时20,那么9b 2．解析：以12代入2得2 ①以120代入2得20 ②①-②,222，所以11．因此9．于是9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．6．a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，那么a 2－＋b 2＋11＝50．7．a a 1+2，那么441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m －m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m-=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a, 的形式,那么a 19921993.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，假设，，那么解析:勾股定理：m222=522n222=322 可得：m2 - n2 =16 11．7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617( )的值.2分析：7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2及b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经说明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最根本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19 ①同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758 ②由①、②联立，设，得71919758,解得，即，由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以 1.5()=49-7×∴21此时即可求得-9-178.5=4800说明：此题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力及观察综合能力，并且计算也要很细心，因此此题属于对学生数学素质综合检查的题目．此题改编自下面的问题“8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值〞．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a及b两数之与等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，那么m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m〔m2＋m－1〕＋〔m2＋m－1〕＋1998＝〔m2＋m－1〕〔m＋1〕＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，那么x3+2x2+3= 4 ．3.假设=+++=-+1855,013232x x x x x 则204．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。
初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案
2、解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。
①当a，b，c为两正一负时：
；
②当a，b，c为两负一正时：
由①② 知 所有可能的值为0。
应选A
3、解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝ ，AD＝ 。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－ ）2＝b2－ C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有
3、若 ，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。
4、设a、b、c 、d是 四个整数，且使得 是一个非零整数，求证：｜m｜一定是个合数。
5、若 的十位数可取1、3、5、7、9。求 的个位数。
参零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。
2、已知-1＜a＜0，化简 得＿＿＿＿＿＿＿
3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________
4、已知x1、x2、……、x40都是正整数，且x1+x2+……+x40＝58，若x12+x22+… …+x402的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿＿＿＿ ＿
A. B. C. 2D. 3
5、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6、设a、b、c为实数， ，则x、 y、z中，至少有一个值（ ）
A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0
5、计算 ________________
代数式的变形竞赛题
代数式的变形竞赛题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1．配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.解∵a为x2-3x+1=0的根,∴ a2-3a+1=0,,且=1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 若,试比较A、B的大小.解设则.∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,可知∴A＞B.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若求x+y+z的值.解令则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值. 解设 a+b+c=k则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.而显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例9 已知求证:.证明6.其他变形例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______. 解 x2=x(x+1)-x或 x2=x(x-1)+x例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757强化练习1.选择题（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8（2）已知则的值是（）.(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%2.填空题（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,b+c+d+e=_______.(2)若=_____.(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证7.已知a2+c2=2b2,求证8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.参考答案2.(1)-32,210 (2) (3)23.略.4.5. 6.略, 7.略.8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=[2x2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.。
第4讲 代数式的变形
八年级数学竞赛辅导资料（4）代数式的变形一、内容提要1、证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形。
具体证法一般有如下几种：（1）从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
（2）把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
（3）证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
（作差法）（4）作商法：左边的代数式除以右边的代数式的值等于1。
2、代数式的变形经常用到配方法，即利用完全平方公式，将代数式中的一 些项配成完全平方式，其中往往用到拆项和补项的技巧。
二、例题例1 求证：3 n+2－2 n ＋2＋2×5 n+2＋3 n －2 n ＝10（5 n+1+3 n －2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n ）＋（－2 n+2 －2 n ）＝10×5 n+1＋3 n (32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n －2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n （32＋1）－2 n (22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n －5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n －10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n －5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a 3+b 3+c 3=3abc证明：∵a 3+b 3+c 3－3abc ＝（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ） ∵:a+b+c=0∴a 3+b 3+c 3－3abc ＝0 即a 3+b 3+c 3=3abc又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c ）两边立方 a 3=－（b 3+3b 2c+3bc 2+c 3）移项 a 3＋b 3+c 3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b －c 代入左边,得（－b －c ）3+ b 3+c 3＝－（b 3+3b 2c+3bc 2+c 3）+b 3+c 3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 设d c b a ,,,都是整数，且2222,d c n b a m +=+=，试把mn 表示成两个整数的平方和。
道代数式的恒等变形练习题
9.在△ABC 中，BC=a， .
15.实数 x 、 y 、 z 满足： x y 2 ， 2xy 2 2z 2 1 0 ，求 x y z
16. a、b、c 为三角形的三条边长，满足 ac2+b2c-b3=abc．若三角形的一个内角为 100°，则三角形的另两个角之 差的正弦等于
.
59.已知实数 x1、x2、…、x2002 满足
x1 1
x2 1
x 2002
1 =
1 2
(x1+x2+…+x2002)则，x1+2x2+…+2002x2002 的
值为=
60.已知整数 a、b、c 满足不等式 a2+b2+c2+42≤ab+9b+8c，则 a、b、c 分别等于
．
61. 已知实数 a, b, c 满足 a 2b 2, 且 ab 3 c2 1 0 ，则 bc 的值为
17.若 a、b、C 为实数， a b c, a b c 1, a 2 b 2 c 2 3 ,则 b c 的取值范围是
18.已知 xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16．则 1 1 1 xy 2z yz 2x zx 2 y
19.已知 x、y 为正整数，且满足 2x2+3y2=4x2y2+1．则 x2+y2=
2
3 a
1 a2
1 a3
，则 a
1 a
的值为
36.已知 x2 5x 2006 0, 则 (x 2)3 (x 1)2 1 x2
代数式的变形与求值题精选
代数式的变形与求值题精选1．当代数式-b的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( )A．5 B．6 C．7 D．82．当x=1时，代数式x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式x3+bx+7的值为A．7 B．10 C．11 D．12 ( )3.已知，则的值等于（） A. B. C. D.4．已知的值为正整数，则整数x的值为 ( )A．4 B．5 C．4或5 D．无限个5．已知有理数a、b满足ab＝1，M＝，N＝，则M、N的大小关系是 ( ) A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法确定6．如果x2＋x－1＝0，那么代数式x3＋2x2－7的值为 ( )A．6 B．8 C．－6 D．－87．已知一个凸四边形ABCD的四条边长依次是a、b、c、d，且a2＋ab－a c－b c＝0，b2＋b c－b d－cd ＝0，那么四边形ABCD是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形8. 四个互不相等的整数a、b、c、d，如果abcd＝9，那么a+b+c+d＝（）A.0B.8C.4D.不能确定9．若单项式-2a2m-1b2与ab n-3的和仍是单项式，则m+n________．10．如果(2+b2) 2－2(2+b2)－3=0，那么2+b2=_________．11．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14，bc=a2-4a-5，•那么a的取值范围是______．12. 已知代数式x2+4x－2的值为3，求代数式2x2+8x－5的值．13．x a=4，x b=3，求x a-2b的值．14．已知x＋5y＝6，求x2＋5xy＋30y的值．15.已知x2+xy=3，xy+y2=-2，求2x2-xy-3y2的值。
16．已知x2－2x－1=0，且x<0，求的值．17. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a+b│－│b－1│－│a－c│－│1－c│的值.18．已知a－b＝－3，b－c＝2．求代数式(a－b)2＋2(b－c)2－3(a－c)2的值．19．先化简，再求值：，其中是方程x2+3x+1=0的根．20.已知，，，求多项式的值．。
初中数学奥赛专题复习知识梳理+例题精讲第十一讲代数式的恒等变形试题
代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义 两个代数式，假如对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等。
2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。
恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
3、根本思路 〔1〕由繁到简，即从比拟复杂的一边入手进展恒等变形推到另一边；〔2〕两边同时变形为同一代数式；〔3〕证明：0=-右边左边，或者1=右边左边，此时0≠右边。
4、根本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比拟法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】【例1】1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【稳固】z y x 、、为三个不相等的实数，且x z y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。
【拓展】假设0≠++z y x ，yx z c z x y b z y x a +=+=+=，，，求证：1111=+++++c c b b a a 。
【例2】证明：a a z a y a x aaz z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。
思路点拨：此题可采用比差法以及拆分法两种方法进展证明。
【稳固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。
2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。
【拓展】求证：()()()()()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x【例3】ac a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111 思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应用初二数学试题试卷
⼋年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应⽤初⼆数学试题试卷专题05 和差化积——因式分解的应⽤阅读与思考：因式分解是代数变形的有⼒⼯具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、⼀元⼆次⽅程等知识的基础，其应⽤主要体现在以下⼏个⽅⾯：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定⽅程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常⽤到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)xx x x x +=++-+;2. 42241(221)(221)xx x x x +=++-+;3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±；4.1(1)(1)ab a b a b ±-=± ；5. 3332223()()ab c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220aab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代⼊关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运⽤因式分解，从变形条件等式⼊⼿，在字母允许的范围内，把⼀个代数式变换成另⼀个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、⽅程和函数的重要⼯具，换元、待定系数、配⽅、因式分解⼜是恒等变形的有⼒⼯具．求代数式的值的基本⽅法有； (1)代⼊字母的值求值； (2)代⼊字母间的关系求值； (3)整体代⼊求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+- （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨⽤字母表⽰数，通过对分⼦、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列⽅程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定⽅程、⽅程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察⽅程、⽅程组的特点，利⽤整数解这个特殊条件，从分解因式⼊⼿．解不定⽅程的常⽤⽅法有：(1)穷举法； (2)配⽅法； (3)分解法； (4)分离参数法．⽤这些⽅程解题时，都要灵活地运⽤质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+．解题思路：先分解因式再代⼊求值.【例6】⼀个⾃然数a 恰等于另⼀个⾃然数b 的⽴⽅，则称⾃然数a 为完全⽴⽅数，如27＝33，27就是⼀个完全⽴⽅数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是⼀个完全⽴⽅数．（北京市竞赛试题）解题思路：⽤字母表⽰数，将a 分解为完全⽴⽅式的形式即可．能⼒训练A 级1. 如图，有三种卡⽚，其中边长为a 的正⽅形卡⽚1张，边长分别为a ，b 的长⽅形卡⽚6张，边长为b 的正⽅形卡⽚9张，⽤这16张卡⽚拼成⼀个正⽅形，则这个正⽅形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．⽅程25510x xy x y --+-=的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果2(1)1x m x -++是完全平⽅式，那么m 的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知22230xxy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433xxy x y x y xy y ---++的值为( )．A . －1B ．0C ．2D ．17．已知a b c ＞＞，22222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的⼤⼩关系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某⼀⾃然数，代⼊代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--?? （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. ⼀个⾃然数a 恰好等于另⼀个⾃然数b 的平⽅，则称⾃然数a 为完全平⽅数，如64＝82，64就是⼀个完全平⽅数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是⼀个完全平⽅数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成⽴.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则2n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满⾜3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在⽇常⽣活中如取款、上⽹等都需要密码，有⼀种⽤“因式分解”法产⽣的密码，⽅便记忆．原理是：如对于多项式4 4xy -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“018162”作为⼀个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，⽤上述⽅法产⽣的密码是：__________．（写出⼀个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是⼀个三⾓形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．⾮负(太原市竞赛试题)6．若x 是⾃然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y ⼀定是完全平⽅数B ．存在有限个x ，使y 是完全平⽅数C . y ⼀定不是完全平⽅数D ．存在⽆限多个x ，使y 是完全平⽅数7．⽅程2223298xxy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0 （“五⽺杯”竞赛试题）8．⽅程24xy x y -+=的整数解有( )组．B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学⽣数学竞赛试题）10．当我们看到下⾯这个数学算式333337133713503724372461++==++时，⼤概会觉得算题的⼈⽤错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动⼿计算⼀下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下⾯规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充⼀个新数，⽽以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则⼜可扩充⼀个新数，…每扩充⼀个新数叫做⼀次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最⼤新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,ab 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最⼤公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）。
七年级数学竞赛专题4代数式的值
3ab+2b-2a），则= 6、若a、b、c、d为互不相等的整数，且abcd=25，则a+b+c+d= 、已知 ，求代数式，求代数式 的值的值 变式题：已知 =3，求分式 的值．8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．时，该多项式的值．9、把（x2-x-1）n展开得a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求a0+a2+a4+…+a2n的值．当x=1时，有a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．练习：已知已知（（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值（3）a0+a2+a4值10、已知：、已知： ，求证x+y+z=0．11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．的值．解：已知a100=199，得a99=197，依次求出，依次求出a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199 =（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×=50×200=10000200=10000．12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f（-7）=7，求f（7）的值．）的值．13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．的值．变式题：已知x2+4x-1=0，求代数式14、已知a 为有理数，为有理数，且且a 3+a 2+a+1=0，求代数式1+a+a 2+a 3+…+a 1995的值．的值．15、求代数式5x 2-4xy+y 2+6x+25的最小值．的最小值．16、已知m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9，当x 、y 各取何值时，m 的值最小？的值最小？ 17、已知a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，且a=1，求代数式（a+b-c ）2004的值．的值．19、已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc ＞0，，，求代数式x 2000-6xy+y 3的值．的值．20、已知a+b+c=0，a 2+b 2+c 2=1，求代数式a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）的值．）的值．21、若、若 ，求，求的值．的值．22、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a 2+b 2+c 2的值．的值．23、已知a 是方程2x 2+3x-1=0的一个根，求代数式 的值．的值．24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值．值．25、小明做一道数学题，“求代数式10x 9+9x 8+8x 7+7x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了第几项前的符号？几项前的符号？ 26、，求代数式3a 3-（a+a 3-2a 2-2）-2（1+a 2+a 3-6a ）的值）的值代数式的值一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）1、若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+1999的值等于（于（ ）A、1997 B、1999 C、2001 D、2003 二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）2、已知x=1999，则|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7= -199903、已知a2+bc=14，b2-2bc=-6，则3a2+4b2-5bc= 18．三、解答题（共30小题，满分149分）分）4、已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）的值．（21）5、若x+7y=y-3x，求的值．（）6、若a、b、c、d 为互不相等的整数，且abcd=25，求a+b+c+d的值．（a，b，c，d分别是±1，±5 0 ）7、已知已知 ，求代数式求代数式 的值．的值． 8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．时，该多项式的值．（b=-1当x=-2时，原式=6b+5=-1）9、把（x2-x-1）n展开得a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求a0+a2+a4+…+a2n的值．的值．当x=1时，有a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．10、已知：、已知： ，求证x+y+z=0．11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．的值．解：已知a100=199，根据（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0可得，98×98×199-99×199-99×199-99×a a99+1=0，解得，a99=197，依次可以求出a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199=（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×=50×200=10000200=10000．12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f （-7）=7，求f （7）的值．）的值．（a（-7）7+b（-7）3-7c-5=7，∴a77+b73+7c=-12，∴f （7）=-12-5=-17）13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．的值．（x3+3xy+y3=（x+y）（x2-xy+y2）+3xy=1）14、已知a 为有理数，为有理数，且且a 3+a 2+a+1=0，求代数式1+a+a 2+a 3+…+a 1995的值．的值．（0） 15、求代数式5x 2-4xy+y 2+6x+25的最小值．的最小值． （5x 2-4xy+y 2+6x+25=（2x-y ）2+（x+3）2+16） 16、已知m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9，当x 、y 各取何值时，m 的值最小？（m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9=（2x-3y ）2+（y+2）2+5）17、已知a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac，且a=1， 求代数式（a+b-c ）2004的值．的值．解得：（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2=0 故（a+b-c ）2004=（1+1-1）2004=1 18、已知a 、b 、c 、d 都是正整数，并且a 5=b 4，c 3=d 2，c-a=9，求a-b 的值．的值．根据已知a 5=b 4，c 3=d 2，得出a ，b ，c ，d 之间的关系，进而求出（关系，进而求出（ ）（ - ）=9，进一步得出得出 =5， =4，从而可以求出a-b=16-32=-16．19、已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc ＞0，，，求代数式x 2000-6xy+y 3的值．的值．判断a 、b 、c 的符号两负一正，以及当a ＞0时，时， =1，当a ＜0时，时， =-1，可求x=-1，将y 的不等式变形为等式变形为+ + ，由a+b+c=0，得b+c=-a ，a+c=-b ，a+b=-c ，可求y=-3，∴x2000-6xy+y 3=1-18-27=-44．20、已知a+b+c=0，a 2+b 2+c 2=1，求代数式a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）的值．）的值．解：将等式a+b+c=0左右两边同时平方，得，（a+b+c ）2=0，变形得，a 2+b 2+c 2+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∵a 2+b 2+c 2=1， ∴1+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∴ab+ac+ba+bc+ca+cb=-1， 即：a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）=-1．21、若、若，求，求的值．的值．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有，由等比定理有若= =1，所以a+b-c=c ，a-b+c=b ，-a+b+c=a ，于是有于是有 = =8．（2）若a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，于是有于是有 = =-1． 解法2：若：若=k ，则a+b=（k+1）c ，①a+c=（k+1）b ，②，②b+c=（k+1）a ．③；①+②+③有2（a+b+c ）=（k+1）（a+b+c ），所以（a+b+c ）（k-1）=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，时， = =8．当a+b+c=0时，时，= =-1．22、已知已知 ，试求代数式试求代数式的值．由 ， 2a 2-5a+2=0，∴（2a-1）（a-2）=0，∴2a-1=0，a-2=0，解得a= 或a=2，故为23、已知a 是方程2x 2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．的值．（将（将逐步转化为含有2a 2+3a 因式的形式用1代替，代替， 得）24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值．（可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2 故为3）25、小明做一道数学题，“求代数式10x 9+9x 8+8x 7+7x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？项前的符号？（把x=-1代入得-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5，误求得代数式的值为7，比-5大12，则12÷12÷2=62=6，系数为6，五次项） 26、，求代数式3a 3-（a+a 3-2a 2-2）-2（1+a 2+a 3-6a ）的值．（11a= ）27、已知已知=3，求分式求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以a ，b ）（= ）28、当x=-5时，代数式ax 4+bx 2+c 的值是3，求当x=5时，代数式ax 4+bx 2+c 的值．的值． （3） 29、已知（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0是关于x 的恒等式．求：（1）a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值；（2）a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5的值；的值； （3）a 0+a 2+a 4的值．的值．（1）令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（2×2×1-11-1）5=1； （2）令x=-l ，得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=[2×（-1）-1]5=-243； （3）将上面两式相加，得2a 0+2a 2+2a 4=-242， 解得a 0+a 2+a 4=-121．30、已知x 2+4x-1=0，求代数式2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值．的值．解：原式=2x 2（x 2+4x-1）-2（x 2+4x-1）-1=-1．31、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a 2+b 2+c 2的值．的值．把a=2代入得b+c=1，bc=0，∴a 2+b 2+c 2=22+（b+c ）2-2bc=5 32、若a 、b 、c 都是有理数，且a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，求代数式a 5+b 5+c 5的值．的值．根据a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）=0，进而判断abc=0，故可判断代数式a 5+b 5+c 5的值．的值．解答：解：a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）=0，得abc=0∴a 5+b 5+c 5=0，故答案为0．33、已知已知，试求代数式试求代数式 的值．解：由已知条件知a≠a≠00， ∵ ，∴，∴ ，即 ，∴，∴ ．。
初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1
初中数学因式分解(一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用,即为因式分解(1）a2—b2=（a+b）（a-b);（2）a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)（a2—ab+b2);（4）a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式:（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc—ca)；(7）a n-b n=（a—b)（a n-1+a n—2b+a n—3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数;(8）a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n—2-b n—1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=（a+b）（a n-1-a n-2b+a n—3b2—…—ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1）-2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4; （2)x3-8y3—z3—6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; （4）a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1）x9+x6+x3—3； (2)（m2-1）（n2-1）+4mn；（3)(x+1）4+（x2-1）2+(x-1）4; （4）a3b—ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1)（x2+x+2）-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)（4x2+8x+3）-90．例8 分解因式：（x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3—36x2—7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy（x2+y2)．练习一1．分解因式:（2）x10+x5—2；（4)（x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：（1)x3+3x2—4；（2)x4-11x2y2+y2；（3）x3+9x2+26x+24; (4）x4-12x+323．3．分解因式：（1)（2x2-3x+1)2-22x2+33x—1；（2）x4+7x3+14x2+7x+1；(3）（x+y)3+2xy（1-x—y)-1；(4）（x+3)(x2—1）(x+5)—20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1)a2-b2=（a+b)(a-b）；(2）a2±2ab+b2=（a±b）2；（3)a3+b3=(a+b)（a2-ab+b2);（4)a3—b3=（a-b）(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c）2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2—ab—bc-ca）；(7）a n-b n=（a-b）（a n—1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n—2+b n-1)其中n为正整数；(8）a n—b n=(a+b）(a n-1—a n—2b+a n-3b2-…+ab n-2—b n—1)，其中n为偶数;（9)a n+b n=(a+b)（a n—1—a n—2b+a n—3b2-…—ab n-2+b n-1），其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1)—2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4;（2)x3—8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4）a7—a5b2+a2b5—b7．解 (1)原式=—2x n—1y n(x4n-2x2ny2+y4）=-2x n-1y n［(x2n)2-2x2ny2+（y2)2］=—2x n-1y n（x2n-y2）2=—2x n-1y n（x n-y)2(x n+y)2．（2）原式=x3+(—2y）3+(—z）3—3x（-2y)（-Z）=(x—2y-z）(x2+4y2+z2+2xy+xz—2yz)．(3）原式=（a2—2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝（a—b)2+2c（a—b）+c2=（a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5），解法如下：原式=a2+（-b）2+c2+2(-b）c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4）原式=(a7—a5b2）+（a2b5-b7）=a5(a2—b2）+b5（a2-b2）=（a2—b2）(a5+b5)=（a+b）（a-b）（a+b）（a4—a3b+a2b2—ab3+b4）=（a+b）2（a-b)（a4—a3b+a2b2-ab3+b4）例2 分解因式：a3+b3+c3—3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．分析我们已经知道公式(a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3—3ab(a+b）．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b）3-3ab（a+b)+c3—3abc=［（a+b)3+c3］-3ab（a+b+c)=(a+b+c)［(a+b）2-c(a+b）+c2]—3ab（a+b+c)=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3—3abc显然，当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且,当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a n—b n来分解．解因为x16—1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1），所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x—1），再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成—1+9．原式=x3—9x-1+9=（x3—1）-9x+9=（x-1）(x2+x+1）—9(x—1)=（x—1)(x2+x—8）．解法2 将一次项—9x拆成-x-8x．原式=x3-x—8x+8=(x3-x）+（-8x+8）=x（x+1)(x-1)-8(x—1)=（x-1)（x2+x—8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3—9x+8=（9x3-9x)+(-8x3+8）=9x(x+1)（x—1）—8(x—1）(x2+x+1）=（x-1)（x2+x—8）．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2—9x+8=x2(x-1）+(x-8)(x-1)=（x-1)(x2+x-8）．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项,添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：（1)x9+x6+x3-3；(2）（m2-1）（n2—1）+4mn；(3)(x+1)4+（x2—1）2+(x—1)4；(4）a3b—ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1—1．原式=x9+x6+x3—1-1—1=（x9—1）+(x6—1)+（x3—1）=（x3—1）（x6+x3+1)+(x3—1)(x3+1）+（x3-1）=（x3-1)（x6+2x3+3)=（x-1)(x2+x+1)（x6+2x3+3)．（2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=（m2—1）（n2—1）+2mn+2mn=m2n2—m2—n2+1+2mn+2mn=（m2n2+2mn+1）-(m2-2mn+n2)=（mn+1）2—(m-n）2=(mn+m—n+1)(mn—m+n+1)．（3)将（x2-1）2拆成2(x2—1)2-（x2—1）2．原式=(x+1）4+2(x2-1)2-(x2-1)2+（x-1）4=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+(x-1）4］—（x2—1)2=［（x+1）2+（x-1）2］2-（x2-1）2=（2x2+2）2—(x2—1）2=（3x2+1)（x2+3）．(4）添加两项+ab-ab．原式=a3b—ab3+a2+b2+1+ab—ab=（a3b—ab3)+（a2-ab)+（ab+b2+1)=ab(a+b)（a—b)+a（a—b）+（ab+b2+1）=a(a—b)［b(a+b）+1］+(ab+b2+1）=［a(a-b)+1］(ab+b2+1）=(a2—ab+1）（b2+ab+1）．说明（4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解，再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习,积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1）(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=（y+1)(y+2）—12=y2+3y—10=(y-2)（y+5)=(x2+x—2)(x2+x+5）=（x-1)（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2）（4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=（x+1）(x+2）(2x+1）（2x+3）—90=[(x+1)(2x+3）］［（x+2)（2x+1）]—90=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2)—90．令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)—90=y2+y-90=（y+10）(y—9）=(2x2+5x+12)（2x2+5x-7）=(2x2+5x+12）（2x+7)(x—1）．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x（x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)（y+x）=（x2+6x+8）（x2+5x+8)=（x+2）(x+4）(x2+5x+8）．说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2—7x+6．解法1 原式=6（x4+1）＋7x(x2—1）-36x2=6［（x4-2x2+1）+2x2]+7x(x2—1）-36x2=6［(x2—1)2+2x2］+7x(x2—1)-36x2=6(x2—1）2+7x(x2—1）—24x2=[2(x2—1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2—3x—2)（3x2+8x-3)=(2x+1）(x—2）(3x—1)（x+3)．说明本解法实际上是将x2—1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6（t2+2）+7t—36］=x2（6t2+7t-24)=x2（2t—3)（3t+8）=x2[2(x—1/x）-3］[3(x—1/x)+8］=（2x2—3x—2)(3x2+8x—3）=（2x+1)(x—2）（3x-1）(x+3）．例10 分解因式：(x2+xy+y2）—4xy（x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy,用换元法分解因式．解原式=［（x+y）2—xy］2—4xy[（x+y)2—2xy］．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2—v）2-4v（u2-2v）=u4—6u2v+9v2=（u2—3v）2=（x2+2xy+y2—3xy)2=(x2-xy+y2)2．。
代数式的恒等变形
代数式的恒等变形《代数式的恒等变形：一场奇妙的数学之旅》嘿，你知道代数式的恒等变形吗？我跟你说呀，这就像是一场超级有趣的魔法游戏呢！我第一次接触代数式的恒等变形的时候，简直是一头雾水。
老师在黑板上写了那些奇奇怪怪的字母和符号，什么a啊，b啊，x呀，还有那些像迷宫一样的等式。
我当时就想，这都是啥呀？就好比你看到一堆杂乱无章的拼图碎片，完全不知道从哪里下手。
我同桌呢，是个数学小天才。
他看我愁眉苦脸的样子，就凑过来跟我说：“你看啊，代数式的恒等变形就像是给娃娃换衣服呢。
”我瞪大了眼睛，觉得他这个比喻特别新奇。
他接着说：“你看这个代数式，就像是一个娃娃，那些变形就像是给娃娃换上不同风格的衣服，但是不管怎么换，娃娃还是那个娃娃呀。
”我似懂非懂地点点头。
比如说吧，有这么一个简单的代数式：a + b = b + a。
这看起来就像是两个小朋友交换位置一样简单。
可是这就是一种恒等变形啊。
你想啊，如果把a当成小明，b当成小红，那不管是小明在前小红在后，还是小红在前小明在后，他们两个的组合本质上是一样的呀。
这时候我就想，哇，原来数学还能这么有趣地理解呢。
再复杂一点的，像(a + b)² = a² + 2ab+ b²。
这可就有点像搭积木了。
我们把(a + b)当成一个大积木块，这个大积木块展开之后就变成了a²、2ab和b²这几个小积木块。
我和同学们一起讨论这个式子的时候，可热闹了。
有个同学说：“这就像是把一个大蛋糕切成了好几块，但是蛋糕的总量是不变的。
”大家都笑了，觉得这个比喻也很恰当。
有一次，我们数学小组做一个关于代数式恒等变形的竞赛。
题目是要把一个超级复杂的代数式进行变形。
我们几个组员都绞尽脑汁。
我就想啊，如果这个代数式是一个大怪兽，那我们就要找到它的弱点，把它变成我们能掌控的样子。
我先按照之前学的知识，试着把一些项提出来，就像把怪兽的爪子先给绑住一样。
我的组员们也都纷纷出主意。
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代数式的变形（整式与分式）
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.
1．配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求的值.
解将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0
∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0
∴x=y=z,∴原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.
解∵a为x2-3x+1=0的根,
∴ a2-3a+1=0,,且=1.
原式
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0
∴p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 若,试比较A、B的大小.
解设则
.
∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,
可知∴A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即
∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
∵a2+b2+c2=1,
∴k=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),
∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,
∴k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0.
若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,
∴(a+b+c)2=1,
∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1
5.“拆”、“并”和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.
证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而
显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例9 已知
求证:.
证明
6.其他变形
例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.
解 x2=x(x+1)-x
或 x2=x(x-1)+x
例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
解得x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757
强化练习
1.选择题
（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（2）已知则的值是（）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.
（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%
2.填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若=_____.
(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______
3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.
4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.
5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.
6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
7.已知a2+c2=2b2,求证
8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.
参考答案
2.(1)-32,210 (2) (3)2
3.略.
4.
5. 6.略, 7.略.
8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,
∴f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2
=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x
=[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为
pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,
即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.。