运筹学第三章 对偶理论
《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
x1 x2 x3 2
s.t.
x12x1x2
x3 x2
1 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
•
这样所有的约束条件均为“≤”和“=”类型，按前述对
应关系原则，可写出其对偶问题为：
minW ( y) 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
min W ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
y1
s.t.
0
y1
y1
2 y2 y3/ y3// 0
y2
y/ 3
y3/ /
2
6 y2 3 y3/ 3 y3//
5
y1
,
y2
,
y/ 3
,
y3/ /
0
13
OR:SM
• 再设y/3-y//3=y3，代入上述模型得：
始问题，则（3-2）称为对偶问题。
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
• 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题 存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题， 可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从 非对称型进行分析。
• 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
变量 m个
约束 ≤ ≥
= （方程） 系数矩阵
b c
变量 ≥0 ≤0
无非负约束 转置
c b
19
OR:SM
•
这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述
对应关系直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。
• 例3 写出下列线性规划的对偶问题
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
运筹学3对偶
(LP) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥0
(DP) Min f = bT y s.t. AT y ≥ c y ≥0
则（DP）称为（LP）的对称形式对偶问题
例3．2 写出下面线性规划的对偶规划模型
max 3 x1 75x 2 2 x3 x 4 2 x1 5 x 2 6 x3 x 4 40 3 x 2 x x x 50 1 2 3 4 x1 2 x 2 3 x3 2 x 4 20 x j 0, j 1,2,3,4
令 y1 =
y1’ - y1’’，于是有
min f b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c m2 m 2 12 1 22 2 a1n y1 a2 n y2 amn ym cn y2 ,, ym 0 y1没有非负限制
对偶定理
•定理 3.1 (对称性定理) 对偶问题的对偶就是原
问题。
•定理 3.2（弱对偶定理）设 X, Y分别是 P 和 D 的可行解，则 CTX bTY。 •证：由 P 和 D 的约束条件 AXb, ATYC, X0, y0 可直接推得 CTX YT AX YTb =bTY，证毕。
某工厂拥有A、B、C三种类型的原料，生 产甲、乙两种产品。每件产品在生产中消耗 的原料数量，每件产品的价格以及三种原料 可利用的数量如下表所示：
产品
原料 A
甲
1
乙
1
原料数量 （吨）
300
B C
价格（元/件）
2 0
50
1 2
100
400 250
运筹学第三章 对偶理论
原问题变量
x1
3
2
0
0
0
CB
0 0 0 0 3 0 0 3 2
XB
x3 x4 x5 x3 x1 x5 x3 x1 x2
x1
1 [2] 4 3 0 1 0 0 0 1 0 0
x2
2 1 3 2 3/2 1/2 [1] 1/2 0 0 1 0
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
x4
0 1 0 0 -1/2 1/2 -2 -3/2 5/2 3/2 -2 -1/2
初 始 表
max z = 2x1+3x2+5x3
2/3 x1+ 1/3 x2 + 4/3x3 + x4= 11/6 st. 2/3 x1 + 4/3x2 + 10/3x3 + x5= 10/3 x1 , x2 , x3 ，x4 , x5 ≥0
5
x3 4/3 10/3 5 CN
Cj
CB 0 0 σ
j
2
第3章 线性规划对偶理论 及其应用
3.1 线性规划的对偶问题 例1 穗羊公司的例子
A（千克） B（吨） C（百工时） 单位产品利润（万元） I 1 2 4 3 II 2 1 3 2 每周可使用量 5 4 9
穗家公司由于订单较多，希望收购穗羊公司的各种 资源以扩大自己的生产能力，那么穗羊公司的资源 该如何定价呢？
原问题（LP1） 目标max型
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
对偶问题 （LP2） 目标min型
有n个变量（非负）
有m个约束 （小于等于） 价值系数 资源系数 技术系数矩阵
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
第三章 线性规划及其对偶问题
第三章 线性规划及其对偶问题线性规划是最优化问题的一种特殊情形，也是运筹学的一个重要分支，它的实质是从多个变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）．线性规划的应用极为广泛，自1949年美国数学家G. B. Dantzing 提出一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划无论在理论上、计算方法和开拓新的应用领域中，都获得了长足的进步，线性规划从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都有广泛的发展和应用．本章主要从线性规划的基本概念、数学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等方面进行介绍．§3.1 线性规划数学模型基本原理一、线性规划的数学模型满足以下三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型：（1）每一个问题都用一组决策变量T n x x x ][21，，， 表示某一方案；每一组值就代表一个具体方案．（2）有一个目标函数，可用决策变量的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．（3）有一组约束条件，可用一组线性等式或不等式来表示． 线性规划问题的一般形式为1211221111221121122222112212max(min)()()()..()0n n n n n n n m m mn n m n f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，，，．这里，目标函数中的系数n c c c ，，， 21叫做目标函数系数或价值系数，约束条件中的常数m b b b ，，， 21叫做资源系数，约束条件中的系数；，，，m i a ij 21(= )21n j ，，， =叫做约束系数或技术系数．二、线性规划问题的标准形式所谓线性规划问题的标准形式，是指目标函数要求min ，所有约束条件都是等式约束，且所有决策定量都是非负的，即1211221111221121122222112212min ()..0n n n n n n n m m mn n mn f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，或简写为11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，． 可以规定各约束条件中的资源系数0(12)i b i n ≥=，，，，否则等式两端乘以“1-”．线性规划问题的矩阵表示为min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，其中12[]n C c c c =，，，，12[]T n X x x x =，，，，11121212221212n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［，，，］，12[]T n b b b b =，，，． 任意的线性规划模型都可以转化为标准形式：（1）若目标函数是求最大值的问题，这时只需将所有目标函数系数乘以“－1”，求最大值的问题就变成了求最小值的问题，即)](min[)(max X f X f --=．求其最优解后，把最优目标函数值反号即得原问题的目标函数值．（2）若约束条件为不等式，这里有两种情况：一种是“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入一个非负的新变量（叫松驰变量），把不等式变为等式；另一种是“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负松驰变量（也叫剩余变量），把不等式变为等式．松驰变量在目标函数中对应的系数为零．（3）若存在取值无约束的变量k x ，可令k k k x x x ''-'=，其中k x '，0≥''k x ． 例3.1 将下列线性规划问题化为标准形式123123123123123max ()2372.3250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，为无约束． 解 将目标函数变为)](min[X f -，令543x x x -=，其中450x x ≥，，在第一个约束不等式中加入松驰变量6x ，在第二个约束不等式中减去剩余变量7x ，则可得标准形式12456712456124571245124567min[()]23()00()7()2.32()5,,,,,0f X x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -=-+--++++-+=⎧⎪-+--=⎪⎨-++-=⎪⎪≥⎩，，，，．三、线性规划的解的概念和基本定理 考虑线性规划标准形式的约束条件0AX b X =≥，，其中A 为n m ⨯矩阵，m n >，b 是m 维向量．假定增广矩阵,A b ［］的秩=矩阵A 的秩m =，把矩阵A 的列进行可能的重新排列，使,A B N =［］．这里B 为m m ⨯矩阵，且有逆矩阵存在，即0||≠B ，称B 为该线性规划问题的一个基．不失一般性，设111211212,,,m m m m mm a a a B PP P a a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［］， 称(12)j P j m =，，，为基向量，与基向量对应的变量(12)j x j m =，，，称为基变量，记为12T B m X x x x =［，，，］，其余的变量称为非基变量，记为12T N m m n X x x x ++=［，，，］．令m n -个非基变量均为0，并用高斯消元法，可得一个解12[][00]T T T T B N m X X X x x x ==，，，，，，，，称X 为该约束方程组的基解，其中b B X B 1-=．满足非负约束条件0≥X （基解的非零分量都0≥）的基解称为基可行解．对应于基可行解的基称为可行基．基可行解的非零分量个数小于m 时，称为退化解．线性规划的解的基本定理：引理3.1 线性规划问题的可行解12[]T n X x x x =，，，为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的．证 必要性由基可行解的定义可知．下证充分性若向量组k P P P ，，，21线性无关，则必有m k ≤；当m k =时，它们恰构成一个基，从而12[00]T k X x x x =，，，，，，为相应的基可行解．当m k <时，则一定可以从其余的列向量中取出k m -个与k P P P ，，，21构成最大的线性无关向量组，其对应的解恰为X ，所以它是基可行解． 定理3.1 线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的顶点． 证 不失一般性，假设基可行解X 的前m 个分量为正，故∑==mj jj b xP 1．（3.1）现在分两步来讨论，分别用反证法．（1）若X 不是基可行解，则它一定不是可行域D 的顶点．根据引理3.1，若X 不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量m P P P ，，， 21线性相关，即存在一组不全为零的数12i i m α=，，，，，使得02211=+++m m P P P ααα （3.2）用一个0>μ的数乘式（3.2），再分别与式（3.1）相加和相减，得到111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα-+-++-=，111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα++++++=．现取11122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=---，，，，，，，21122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=+++，，，，，，，由21X X ，可得121122X X X =+，即X 是21X X ，连线的中点．另一方面，当μ充分小时，可保证012i i x i m μα±≥=，，，，，即21X X ，是可行解，这证明了X 不是可行域D 的顶点．（2）若X 不是可行域D 的顶点，则它一定不是基可行解．因为X 不是可行域D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点，(1)(1)(1)112[]T nX x x x =，，，，T nx x x X ][)2()2(2)2(12，，， =，使12(1)01X X X ααα=+-<<，．设X 是基可行解，对应向量组m P P P ，，， 21线性无关，当m j >时，有0)2()1(===j j j x x x ，由于21X X ，是可行域的两点，应满足∑∑====mj mj jj j j b xP b x P 11)2()1(,．将这两式相减，即得∑==-mj j j jx xP 1)2()1(0)(．因21X X ≠，所以上式系数)()2()1(j j x x -不全为零，故向量组m P P P ，，， 21线性相关，与假设矛盾，即X 不是基可行解．定理3.2 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优．证 设k X X X ，，， 21是可行域的顶点，若0X 不是顶点，且目标函数在0X 处达到最优*0()f X CX =（标准形式是*()min ()f X f X =）．因0X 不是顶点，所以它可以用D 的顶点线性表示为01101kki i i i i i X X ααα===≥=∑∑，，．因此011k ki i i i i i CX C X CX αα====∑∑．（3.3）在所有的顶点中必然能找到某一个顶点m X ，使m CX 是所有i CX 中最小者，并且将m X 代替式（3.3）中的所有i X ，得到∑∑===≥ki ki m m i ii CX CX CX11αα，由此得到m CX CX ≥0．根据假设，0CX 是最小值，所以只能有m CX CX =0，即目标函数在顶点m X 处也达到最小值．§3.2 线性规划迭代算法单纯形法是求解线性规划问题的迭代算法．一、单纯形法的计算步骤单纯形法的基本思路是：从可行域中某个基可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶点），直到目标函数达到最优时，基可行解即为最优解．单纯形法的基本过程如图3.1所示．为计算方便，通常借助于单纯形表来计算，从初始单纯形表3.1开始，每迭代一步构造一个新单纯形表．单纯型表中B X 列中填入基变量m x x x ，，， 21；B C 列中填入基变量的价值系数m c c c ，，， 21；b 列中填入约束方程组右端的常数；j θ列的数字是在确定换入变量后，按θ规则计算填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量j x 的检验数是∑=-=-=mi j j ij i j j z c a c c 1σ，1j m n =+，，（这里令∑==mi ijj j ac z 1）．（1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表． （2）检验各非基变量j x 的检验数∑=-=-=mi j j iji j j z c ac c 1σ（1j m n =+，，）．若所有0≥j σ，则已得到最优解，停止计算．否则转入下一步．（3）在0(1)j j m n σ<=+，，，中，若所有0≤jk a ，则此问题无最优解，停止计算．否则转入下一步．（4）根据min{|0}j j k σσσ<=，确定k x 为换入变量．按θ规则计算min 0i l ik ik lkb ba a a θ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭， 可确定l x 为换出变量，转入下一步．（5）以lk a 为主元素进行迭代（用高斯消元法），把k x 所对应的列向量120010k k k lk mk a a P l a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥←⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦变换成第行， 将B X 列中的l x 换为k x ，得到新的单纯形表，重复步骤（2）—步骤（5），直到终止．单纯形法的流程图如图3.2所示．若目标函数要求实现最大化，一方面可将最大化转换为最小化，另一方面也可在上述计算步骤中将判定最优解的0≥j σ改为0≤j σ，将换入变量的条件min{|0}j j k σσσ<=改为max{|0}j j k σσσ>=．二、初始可行基的确定 （1） 若线性规划问题是11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，， 则从(12)j P j n =，，，中一般能直接观察到存在一个初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦．（2）对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可以利用化标准形式的方法，在每个约束条件的左端加入一个松驰变量，经过整理重新对j x 及ij a 进行编号，可得下列方程组．，，m n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x =+++=+++=+++++++++ 11,2211,221111,11显然得到一个m m ⨯单位矩阵B 可作为初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （3）对所有约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可采用人工变量，即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加入一个非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位矩阵作为初始可行基．例3.2 求解线性规划问题12121212max ()2328416..4120f X x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，，，，，． 解：将线性规划问题化为标准形式12345123142512345min[()]2300028416..4120f X x x x x x x x x x x s t x x x x x x x -=--+++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，．作初始单纯形表，按单纯形法计算步骤进行迭代，结果如下（表3.2）．表3.2最后一行的检验数均为正，这表示目标函数值已不可能再减小，于是得到最优解*42004T X =［，，，，］，目标函数值14)(*=X f ．三、单纯形法的有关说明对线性规划问题min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，（3.5） 若系数矩阵中不含单位矩阵，没有明显的基可行解时，常采用引入非负人工变量的方法来求初始基可行解．下面分别介绍常用的“大M 法”和“两阶段法”．（一）大M 法在约束条件式（3.5）中加入人工变量，人工变量在目标函数中的价值系数为M ，M 为一个很大的正数．在迭代过程中，将人工变量从基变量中逐个换出，如果在最终表中当所有检验数0≥j σ时，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解，否则无可行解．例3.3 求解线性规划问题12312312313123min ()3211423..210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解：将原问题化为标准形式并引入人工变量，得12345671234123561371234567min ()300211423..210f X x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-++++++-++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，．用单纯形法计算，得表3.3．根据表 3.3的最后一行的检验数均0≥，得最优解*4190000T X =［，，，，，，］，最优值2)(*-=X f ，由于人工变量的值均为零，故得原问题的最优解*419T X =［，，］，最优值为2)(*-=X f ．（二）两阶段法两阶段法是把线性规划问题的求解过程分为两个阶段：第一阶段，给原问题加入人工变量，构造仅含价值系数为1的人工变量的目标函数且要求实现最小化，其约束条件与原问题相同，即11111111211221112min ()00..0n n m n n n n nn n n m mn n n m m n m g X x x x x a x a x x b a x a x x b s t a x a x x b x x x ++++++=++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 然后用单纯形法求解上述问题，若得到0)(=X g ，这说明原问题存在基可行解，可进入第二阶段计算，否则原问题无可行解，停止计算．第二阶段，将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始单纯形表进行计算．例3.4 用两阶段法求解线性规划问题12312312313123min ()3211423.210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解 第一阶段，标准化并引入人工变量，得如下的线性规划=)(min X g 76x x +，1234123561371234567211423.210x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，． 用单纯形法计算该线性规划（见表 3.4），最优解为*[011120000]T X =，，，，，，，，最优值0)(*=X g ．表3.4由于人工变量076==X X ，所以得原问题的基可行解为[011120]T X =，，，，．于是进入第二阶段计算（见表3.5），最优解为*[41900]T X =，，，，，最优值2)(*-=X f ，于是原问题的最优解为*[419]T X =，，，最优值为2)(*-=X f ．§3.3 对偶问题的基本原理一、对偶问题的提出对偶性是线性规划的重要内容之一，每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，我们称一个叫原问题，另一个叫对偶问题，这两个问题有着非常密切的关系，让我们先分析一个实际的线性规划模型与其对偶线性规划问题的经济意义．例3.5 某工厂计划在下一生产周期生产3种产品1A ，2A ，3A ，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润（单位：千元），如表3.6所示，问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？解 设321x x x ，，分别为产品321A A A ，，的产量，构造此问题的线性规划模型为1231231231312123max ()8102237042280..3152250,,0f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．现在从另一个角度来讨论该问题．假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费．于是，需要为每种设备的台时进行估价．设4321y y y y ，，，分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价．由表3.6可知，生产一件产品1A 需用各设备台时分别为h h h h 2342，，，，如果将h h h h 2342，，，不用于生产产品1A ，而是用于出租，那么将得到租费43212342y y y y +++．当然，工厂为了不至于蚀本，在为设备定价时，保证用于生产产品1A 的各设备台时得到的租费，不能低于产品1A 的单位利润8千元，即823424321≥+++y y y y ．按照同样分析，用于生产一件产品2A 的各设备台时h 1，h 2，0，h 2所得的租费，不能低于产品2A 的单位利润10千元，即1022421≥++y y y ．同理，还有223321≥++y y y ．另外，价格显然不能为负值，所以01234iy i ≥=，，，，． 企业现在设备的总以时数为70h ，80h ，15h ，50h ，如果将这些台时都用于出租，企业的总收入为422150158070)(y y y y Y g +++=．企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足上述约束的条件下，应将设备价值定得尽可能低，因此取)(Y g 的最小值，综合上述分析，可得到一个与例3.5相对应的线性规划，即123412341231231234min ()70801550243282210..3220g Y y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y =++++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．称后一个规划问题为前一个规划问题的对偶问题，反之，也称前一个规划问题是后一个规划问题的对偶问题．二、原问题与对偶问题的表达形式和关系在线性规划的对偶理论中，把如下线性规划形式称为原问题的标准形式11221111221121122222112212min ()..0n n n n n n m m mn n mn f X c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 而把如下线性规划形式称为对偶问题的标准形式11221111221121122222112212max ()..0n n m m m m n n mn m nm g Y b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c y y y =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 若用矩阵形式表示，则原问题和对偶问题分别可写成如下形式：原问题min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．（3.6）对偶问题max ()..0g Y Yb YA C s t Y =≤⎧⎨≥⎩，，．（3.7）原问题与对偶问题的关系见表3.7．例3.6 求下面线性规划问题的对偶问题123412341342341234min ()23535224..600f X x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =+-++-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩，，，，，，，无约束． 解：根据表3.7可直接写出上述问题的对偶问题12312131********max ()546223..325100g Y y y y y y y y s t y y y y y y y y y =+++≥⎧⎪+≤⎪⎪-++≤-⎨⎪-+=⎪⎪≥≤⎩，，，，，，，无约束． 三、对偶理论定理3.3（弱对偶定理） 对偶问题（max ）的任何可行解︒Y ，其目标函数值总是不大于原问题（min ）任何可行解︒X 的目标函数值．证 由定理所设及问题（3.6）和问题（3.7）容易看出︒︒︒︒≤≤CX AX Y b Y ．定理3.4（对偶定理） 假如原问题或对偶问题之一具有有限的最优解，则另一问题也具有有限的最优解，且两者相应的目标函数值相等．假如一个问题的目标函数值是无界的，则另一问题没有可行解．证明从略．定理3.5（互补松驰定理） 假如︒X 和︒Y 分别是原问题（3.6）和对偶问题（3.7）的可行解，︒U 是原问题剩余变量的值，︒V 是对偶问题松驰变量的值，则︒X 、︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解的充要条件是0=+︒︒︒︒X V U Y ．证 由定理所设，可知有0AX U b X U ︒︒︒-=︒≥，，，（3.8） 0Y A V C Y V ︒︒︒︒︒+=≥，，．（3.9）分别以︒Y 左乘式（3.8），以︒X 右乘式（3.9），两式相减，得b Y CX X U U Y ︒︒︒︒︒︒-=+．若0=+︒︒︒︒X V U Y ，根据弱对偶定理知CX b Y CX Yb ≤=≤︒︒．这说明︒X ，︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解，反之亦然．根据互补松驰定理和决策变量满足非负条件可知，在最优解时，︒︒U Y 和︒︒X V 同时等于0，所以有)21(000n j x v j j ，，， ==， )21(000m i u y i i ，，， ==． 于是，互补松驰定理也可以这样叙述：最优化时，假如一个问题的某个变量取正数，则相应的另一个问题的约束条件必取等式；或者一个问题中的约束条件不取等式，则相应于另一问题中的变量必为零．例3.7 已知线性规划问题123451234512445min ()23523234.2330125jf X x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++⎧++++≥⎪-+++≥⎨⎪≥=⎩，，，，，，，．已知其对偶问题的最优解为5)(5/35/4**2*1===Y g y y ，，，试用对偶理论找出原问题的最优解．解：先写出它的对偶问题12121212121212max ()4322(1)3(2)235(3)..2(4)33(5)0g Y y y y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎪≥⎪⎩，，，，，，，．将*2*1y y ，的值代入约束条件，得（2），（3），（4）为严格不等式，由互补松驰定理得***2340x x x ===，因021≥y y ，，原问题的两个约束条件应取等式，故有**1534x x +=， **1523x x +=．求解后得到**1511x x ==，，故原问题的最优解为 **10001()5TX f X ==［，，，，］，．四、对偶问题的迭代算法对偶单纯形法是对偶问题的迭代算法，其基本思想是：从原问题的一个基本解出发，此基本解不一定是可行解，但它对应着对偶问题的一个可行解；然后检验原问题的基本解是否可行，即是否有负的分量．如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解．如果得到的基本解的分量皆非负，则该基本解为最优解．也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行解，使原问题的基本解由不可行逐步变为可行．当同时得到对偶问题与原问题的可行解时，便得到原问题的最优解．对线性规划问题的标准形式min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．对偶单纯形法的计算步骤如下：(1)找出原问题的一个基，构成初始对偶基可行解，使所有检验数0≥j σ，构成初始对偶单纯形表．(2)若所有0≥i b ，则当前的解是最优解，停止计算，否则计算min{|0}l i i b b b =<，则l 行为主行，该行对应的基变量为换出变量．(3)若所有0≥lj a ，则对偶问题无界，原问题无解，停止计算，否则计算min |0j k lj lj lka a a σσθ⎧⎫⎪⎪=<=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，则k 列为主列，该列对应的基变量为换入变量．(4)以lk a 为主元素进行迭代，然后转回步骤(2)． 对偶单纯形法的流程图如图3.3所示．例3.8 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题123123123123min ()23423..2340f X x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，，，．解：首先将“≥”约束条件两边反号，再加入松驰变量，可得原问题的一个基123451234123512345min ()2340023..2340f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩，，，，，，，．图3.3从表3.8看出，所有检验数0≥j σ，则对应对偶问题的解是可行的，因b 列数字为负，需进行迭代，计算min 344--=-｛，｝．所以5x 为换出变量．又因为24min 123θ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，，，所以1x 为换入变量，以换入、换出变量所在行列交叉处元素“－2”为主元素，按单纯形法计算步骤进行迭代，得表3.9．由表3.9的最后一行看出，所有检验数0≥j σ，故原问题的最优解为*[11/52/50]T X =，，．若对应两个约束条件对偶变量为1y ，2y ，则可得对偶问题的最优解为*[8/51/5]T Y =，．§3.4 线性规划问题灵敏度在建立实际的线性规划模型时，所收集到的数据不是很精确；另一方面在实际应用中，各种信息瞬息万变，已形成的数学模型中的某些数据需要随之而变．因此，对于一个线性规划问题，研究当数据发生变动时解的变化情况是很重要的．下面仅介绍两种数据变化而导致解的变化的情况，这就是灵敏度分析问题．一、价值系数的变化假设只有一个系数k C 变化，其它系数保持不变 ，k C 的变化只影响检验解而不影响解的非负定性，下面分别就k C 是非基变量系数和基变量系数两种情况进行讨论．（1）k C 是非基变量的系数由于B C 不变，因而j Z 对任何j 都不变．这时非基变量的系数k C 的变化只影响与k C 有关的一个检验数k σ的变化，而对其它j σ没有影响，设系数从k C 变化到k C '，这时检验数k k k Z C -=σ被k k kZ C -'='σ所代替，在当前解是原问题的最优解时，有0≥-=k k k Z C σ，假如()(k k k k k k C Z C Z C σ'''=-=-+)0k C -<，则k X 必须引进基，单纯形法继续进行，否则原解仍是k C 变化后的新问题的最优解，最优解不变相当于k C '变化的界限为)(k k k kZ C C C --≥'． （2）k C 为基变量的系数当k C 被k C '所代替时，j Z 变成j Z '，j j Z C '-可计算为kj k kj j j j a C C Z C Z C )(-'--='-． （3.10）特别是当k j =时，0=-k k Z C ，且1=kk a ，因此k k k k C C Z C -'='-，仍为零．由式（3.10）知，基变量k x 的价值系数k C 的变化会引起整个价值系数行的变化，变化值为)(k k C C -'-乘以最终表相应该基变量k x 所在的k 行的数值kj a ．k 列本身则调整为0='-'k k Z C ．由式（3.10）可看出，当对某个非基变量j x ，式（3.10）为负时会引起基的变化，若要保持最优解不变，分析变化值)(k k C C -'且大于或小于零以及kj a 值是正或负的情况，得出会保持最优解不变的k C '的变化界限为max 0min 0j j j j k kj k k kj j jkj kj C Z C Z C a C C a a a ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪'+<≤≤+>⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.8 以例3.2的最终表为例，设基变量2x 的系数2C 变化2C ∆，在原最优解不变条件下，确定2C ∆的变化范围．解 此时例3.2的最终表便成为表3.10为了保持原最优解不变，则2x 的检验数应当为零，进行行初等变换，得表3.11．从表（3.11）可得02232≥∆-C 且08812≥∆+C ． 由此可得2C ∆的变化范围为312≤∆≤-C ，即2x 的价值系数2C 可以在[0，4]之间变化，而不影响原最优解．二、资源系数的变化假设资源系数k b 变化为k b '，k b 的变化将会影响解的可行性，但不会引起检验数的符号变化．根据基可行解的矩阵表示可知，b B X B 1-=，所以只要k b 变化必定会导致最优解的数值发生变化，最优解的变化分为两类：一类是保持01≥-b B ，最优基B 不变；另一类是b B 1-中出现负分量，这将使最优基B 变化，若最优基不变，则只需将变化后的k b 代入B X 的表达式重新计算即可；若b B 1-中出现负分量，则要通过迭代求解新的最优基和最优解．设系数k b 变化到k k k b b b ∆+='，而其它系数都不变，这样使最终表中原问题的解相应变化为11111100k B k k k k m mk m b a b X B b b B b B b b b a b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中B X 为原最优解，i b '为B X 的第i 个分量，ik a 为1-B 的第i 行第k 列元素，为了保持最优基不变，应使0≥'B X ，即110k k m mk a b b b a '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦． 由此可得到保持最优基不变时，资源系数的变化界限为max 0min 0i i k ik k k ik ik ik b b b a b b a a a ⎧⎫⎧⎫''--⎪⎪⎪⎪'+>≤≤+<⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.9 若例3.2的第二个约束条件中2b 变化为22b b ∆+，在最优解不变的条件下，求2b ∆的变化范围．解 计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≥∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆+--000812141244002211b b B b B可得2224/(1/4)164/(1/2)82/(1/8)16b b b ∆≥-=-∆≥-=-∆≤--=，，．所以2b ∆的变化范围是（－8，16）．显然2b 的变化范围是（8，32）．。
运筹学第三章 对偶理论
8
线性规划的对偶理论
原始（ 非对称形式下对偶问题的一般形式 —原始（对偶） 原始 对偶） 对偶（原始） 对偶（原始）关系表
项目 目标函数类型
目标函数系数与右边项的对应 关系 变量个数与约束条件个数的对 应关系 原问题变量类型与对偶问题约 束条件类型的对应关系 原问题约束条件类型与对偶问 题变量类型的对应关系
约束条件类型
变量类型
线性规划的对偶理论
例：
maxz =5x1+12x2+4x3 x1 + 2x2+ x3 ≤ 4 2x1 - x2 +3 x3 = 2 x1 + x2 + x3 ≥6 x1 ≥ 0 ， x2 ≤ 0 ， x3 自由
min w = 4y1 + 2y2 + 6y3 y1 + 2y2 + y3 ≥ 5 2y1 - y2 + y3 ≤ 12 y1 +3y2 + y3 = 4 y1≥ 0， y2自由， y3 ≤ 0 ， 自由，
原问题（对偶问题） 原问题（对偶问题） max
目标函数各变量系数对应约束条 件右边项的系数 变量个数 n 约束条件个数 m 变量类型 ≥0 ≤0 自由 ≥ ≤ =
对偶问题（原问题） 对偶问题（原问题） min
右边项的系数对应目标函数系 数 约束条件个数 n 变量个数 m 约束条件类型 ≥ ≤ = ≤0 ≥0 自由 9
王 老 板
李 老 板
3
线性规划的对偶理论
王老板的家具生产模型： 王老板的家具生产模型： 家具生产模型 x1 、 x2是桌、椅生产量。 是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 是家具销售总收入（总利润）。 是家具销售总收入 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120（木工） （木工） 2x1+ x2 ≤ 50 （油漆工） 油漆工） x1 ， x2
华南理工大学-运筹学-第3章-线性规划的对偶理论(简)-工商管理学院
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其影子价格必
然为0。这意味着增加该资源的供应量不会为企业带来利
润或产出的增加。
17
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划问题的）对
偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理和单纯形法来求解
原问题的一种方法。
18
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
7
基本概念
2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向相反。
素从而影响原最优基的可行性，进而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数，那么只要b
的变化没有造成最优基的变化，则资源的影子价格保持不
变，此时可直接用影子价格乘以新增/减少的资源数量得
出最优利润的变化。
49
灵敏度分析示例1
在本例中，只要1落在[200, 400]内，最优基维持不变，
千克，最优解有什么变化？
1的周供应量1在什么范围内变化时，原生产组合（仅生产A和
B）仍为最优组合？
1增加至500时，最优解是什么？
44
灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
管理运筹学 第三章 对偶理论
可见，对于原LP问题是求极小值问题时， 对偶问题中：
约束条件左右两端符号（>=、<=、=）由原问题所对应
变量取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）决定，并且是不一
致的。
变量的取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）由原问题所对 应约束条件左右两端符号（>=、<=、=）决定，并且是一 致的。
原问题与对偶问题对应关系
LP
max z 2 x1 x2 3x3 5 x4
DLP
x1 2 x2 3 x3 x4 5 3x x 2 x x 9 3 4 s.t. 1 2 2 x1 2 x2 4 x3 x4 4 x1 0, x2 0, x3无约束，x4 0
min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
3.1.2 规范形式的线性规划问题
原问题（LP） 对偶问题（DLP）
max z CX AX b s.t. X 0
起源： 1928年美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼在研究对策论时发现线性规划与 对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原问 题和对偶问题。G.B.丹齐克 (1951)、 C.莱姆基 (1954)…. 应用： 在原问题和对偶问题的两个线性规划 中求解任何一个问题时，会自动地给出另 一个问题的最优解； 当对偶问题比原问题有较少约束时， 求解对偶规划比求解原规划要方便得多； 对偶规划中的变量最优解就是影子价 格。
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学之对偶理论
1.如果原问题是对目标函数CX求最大(小)值, 2.对偶问题就是对目标函数Yb求最小(大)值. 二,
对偶问题的一般规则
1.将原问题的不等式约束统一成 ≤ 的形式,对目标函数求最大值; 2.将原问题的不等式约束统一成 ≥ 的形式,对目标函数求最小值; 三, .原问题的每一个行约束(指除非负性条件外的线性等式或不等式约束) 对应对偶问题的一个变量. 1.若该行约束是不等式,则限制Yi ≥ 0 2.若该行约束是等式,则Yi 无符号限制. 四,原问题的每一个变量x j的相应的系数向量Pj = (a1 j , a 2 j , a mj )对应对偶问题 的一个行约束. 1.如果 原问题不等式 约束统一成 ≤ 的形式,且 该x j 有非负限制,则对应行约束为∑ aij y i ≥ c j ;
),对偶问题的形式 (一),对偶问题的形式 对称型对偶问题: 1,对称型对偶问题:已知 P,写出 D. , .
矩阵形式: 矩阵形式: P maxZ = CX AX ≤ b X≥0
D min W = Yb YA ≥ C Y≥0
例一, 例一,写出线性规划问题的对偶问题 max Z = 2 x 1 3 x 2 + 4 x 3
项目 A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题 约束的系数矩阵
对偶问题 约束的系数矩阵的 转置
约束条件的右端项向量 目标函数的价值系 数系数向量 目标函数的价值系数系 约束条件的右端项 数向量 向量
max z = CX
AX ≤ b
minω = Y ′b A′ Y ≥ C ′
X ≥0
Y ≥0
二,线性规划的对偶理论
模型对比: 模型对比:
max Z = 10 x
1
+ 18 x
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
《管理运筹学》课件03-对偶原理
扩展应用范围
研究对偶算法在其他领域的应用，如机器学习、 图像处理等。
05
对偶理论的扩展与展望
对偶理论与人工智能的结合
人工智能算法优化
对偶理论在人工智能领域的应用，主要是用于优 化算法，通过对偶形式将原问题转化为更易处理 的子问题，从而提高算法的效率和精度。
01 线性规划的对偶问题是在原问题的基础上，将约 束条件和目标函数互换，形成一个新的优化问题。
02 对偶问题可以帮助我们更好地理解原问题，并且 在某些情况下，可以通过求解对偶问题来得到原 问题的最优解。
02 对偶问题的数学表达通常包括原问题的目标函数 和约束条件的对偶形式。
整数规划的对偶问题
01
整数规划的对偶问题是在整数 规划问题的基础上，将约束条 件和目标函数互换，形成一个 新的优化问题。
01
缺点
02
对偶问题可能不是唯一的，因此需要选择 一个合适的问题进行求解。
03
对偶问题可能不是原问题的最优解，因此 需要验证转换后的解是否为最优解。
04
对偶算法可能无法处理一些特殊问题，如 非线性规划问题。
对偶算法的改进方向
开发更高效的算法
针对不同类型的问题，开发更高效的算法来求解 对偶问题。
改进转换过程
进一步探索对偶理论在其他领域的应 用，如生物学、物理学、社会科学等， 将对偶理论的应用范围不断扩大。
THANKS
感谢观看
对偶理论的应用场景
01 供应链管理
在供应链优化中，对偶理论可用于协调供应商和 制造商之间的利益，实现整体最优。
02 金融规划
在金融领域，对偶理论可用于投资组合优化、风 险管理等问题。
《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
• •
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
•
每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问 题存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问 题，可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直 接从非对称型进行分析。 • 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
max Z ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn
（2）写出相应的对偶问题（4个约束，分别对应4个对偶变量 y1、y2、y/3、y//3）
16
OR:SM
/ // min W ( y ) 2 y1 6 y2 0 y3 0 y3 / // y1 2 y2 y3 y3 0 / // 0 y1 y2 y 3 y3 2 / // s.t. 0 y1 y2 y3 y3 2 / // y 6 y 3 y 3 y 5 1 2 3 3 y , y , y/ , y// 0 1 2 3 3
《管理运筹学》
第3章
李存芳 博士/教授/硕士生导师
研究领域：战略管理、组织行为、运营管理 讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、运营管理 经济学 单 位：江苏师范大学商学院 物流管理系 E-mail：licf66@
第 3 章 线性规划的对偶问题
内容提要 Sub title
第一节 线性规划的对偶理论 第二节 对偶单纯形法
17 OR:SM
•
•
• •
• •
综合上述两个例子，可以看出，线性规划与其对偶模型 的关系有了新的拓展： （1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”或 “=”类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”或 “=”类型； （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个 数； （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的 目标函数的系数（成本系数）； （4）两个问题的系数矩阵互为转置; （5）一个问题的第i个约束为“=”，则另一个问题的第i 个变量为“无非负约束变量”（自由变量）。反之，一个问 题的第i个变量为“无非负约束变量”，则另一个问题的第i 个约束为“=”（方程）。
《运筹学》对偶理论
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
s.t
5
6 y2 y3 y1 2 y2
y
y4 3
2 y5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表:
对偶性质
原问 题最 优表
XB
b
x3
15/2
x1
7/2
x2
3/2
j
原问题的变量
x1
x2
0
max z c1x1 c2 x2
s.t.
11x1 12x2 21x1 22x2
b1 b2
x1
0,
x
无约束
2
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
21y2 22 y2
c1 c2
y1, y2 0
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
4
y1 , y2 , y3 0
线性规划的对偶模型
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式, 可以先化成对称形式
再写对偶问题。也可直接写出非对称形式的对偶问题。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
s.t.2111xx11
12 22
x2 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
min w b1 y1 b2 y2
运筹学 第03章 线性规划的对偶理论
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
运筹学对偶原理
y1
yi ym ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
[例4] 求解下列LP问题，并给出对偶问题的最优解 Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 0 x 1 + 2 x2 ≤ 4 x1 ,
产品甲生产能力工时天36利润百元件目标函数maxz3xst2x123x分别为出售abc工时所得利润百元工时w为总盈利额百元线性规划问题在形式上可以形成一对对称问题对任何线性规划求最大值问题都有一个与之对称的求最小值问题这两个有关的约束条件的系数矩阵具有相同的数据仅形式互为转置并且目标函数与约束右端项互换其目标函数的最优值也是彼此相等的我们把线性规划的这个对称问题称为对偶问题
消耗的资源（吨）
b1 b2 x nm b m x nm 0
x2
xn x n 1
a m1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n x1 x n2
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
3.3 对偶的经济解释
b1 W=yb=(y1 … ym ) = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym …
目标函数 Max z =3x1+5x2
约束条件
x1 +
x3
2x2 +x4
+x5
，
=8
s.t.
=12
= 36
运筹学—线性规划对偶理论及其应用
3
-1
-7
[-2]
基变量
3
2
0
0
0
b
CB
xB
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
0
5/4
1
0
-1/4
11/4
（1）+5*（3）/4
3
x1
1
3/4
0
0
1/4
9/4
（2）+3*（3）/4
0
x4
0
-1/2
0
1
-1/2
1/2
0
2
0
0
-1/3
-4/3
0
-7
继续迭代，并删除原第一列，得下表：
故新的最优生产计划是产品I、II分别生产1单位和2单位，总利润为7万元。
LP
DLP
3.2 对偶规划的基本性质
3.2.1 对称性定理：线性规划的对偶问题的对偶问题是原问题。
证明：
对偶定义
令w’=-w； 约束方程左右同乘“-1”
对偶定义
令z=-z’； 约束方程左右同乘“-1”
3.2 对偶规划的基本性质
3.2.2 弱对偶性定理： 如果X、Y分别是原问题和对偶问题的一个可行解，则其对应的原问题的目标函数值不大于对偶问题的目标函数值，也即
x5
x5
x6
0
x3
0
0
1
0
[-2]
2
-1
3
x1
1
0
0
0
-4/5
6/5
0
1
x2
0
1
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
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• 以下定理3.2.2-3.2.5，假定原问题是(3.1)，对 偶问题是(3.2)。
max z CX AX b s.t. X 0 (3.1)
min w b ' Y A 'Y C ' s.t. Y 0 (3.2)
3.2.2 弱对偶性定理：如果X、Y分别是原问题和对 偶问题的一个可行解，则其对应的原问题的目 标函数值不大于对偶问题的目标函数值，也即
初 始 表
max z = 2x1+3x2+5x3
2/3 x1+ 1/3 x2 + 4/3x3 + x4= 11/6 st. 2/3 x1 + 4/3x2 + 10/3x3 + x5= 10/3 x1 , x2 , x3 ，x4 , x5 ≥0
5
x3 4/3 10/3 5 CN
Cj
CB 0 0 σ
j
2
原问题变量
x1
3
2
0
0
0
CB
0 0 0 0 3 0 0 3 2
XB
x3 x4 x5 x3 x1 x5 x3 x1 x2
x1
1 [2] 4 3 0 1 0 0 0 1 0 0
x2
2 1 3 2 3/2 1/2 [1] 1/2 0 0 1 0
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
x4
0 1 0 0 -1/2 1/2 -2 -3/2 5/2 3/2 -2 -1/2
原问题（LP1） 目标max型
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
对偶问题 （LP2） 目标min型
有n个变量（非负）
有m个约束 （小于等于） 价值系数 资源系数 技术系数矩阵
有n个约束（大于等于）
有m个变量（非负） 资源系数 价值系数 技术系数矩阵的转置
max z CX AX b s.t. X 0 (3.1)
2 约束方程不是“≤”的情况
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
解：约束方程第二 行左右同乘－1：
其对偶规划为：
令 得到原 问题的对偶问题为：
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
min w 5 y1 9 y 2 4 y 3 y1 3 y 2 2 y 3 2 2 y y 2 y 1 2 3 1 s.t. 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 y1 y 2 y 3 5 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
第3章 线性规划对偶理论 及其应用
3.1 线性规划的对偶问题 例1 穗羊公司的例子
A（千克） B（吨） C（百工时） 单位产品利润（万元） I 1 2 4 3 II 2 1 3 2 每周可使用量 5 4 9
穗家公司由于订单较多，希望收购穗羊公司的各种 资源以扩大自己的生产能力，那么穗羊公司的资源 该如何定价呢？
解:令
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t. 21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 无约束
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
C – CBB –1A≤ 0 - CBB –1≤0
令 Y‘ = CBB–1， ω= Y'b = CBB–1 b= z* 则 A'Y ≥ C' Y' = – σ S = CBB–1 Y≥0 YS' = – σ = C – CBB–1A
例：下表为“max，≤”型线性规划问题加入松弛变量 后的最优解单纯形表
3.2 对偶规划的基本性质
3.2.1 对称性定理：线性规划的对偶问题的对偶问题 是原问题 证明： max z=CX
s.t. AX≤b X ≥0
对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 11x1 12 x 2 b1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 s.t.21x1 22 x 2 b2 y1 , y 2 0 x1 , x 2 0 1 变量取值范围不符合非负要求的情况
I 式经过若干迭代，基矩阵为B，则上式等价与： max z = CBXB + CNXN + 0XS st. BXB + NXN+ I XS = b XB, XN, XS≥0
max Z = CB B -1b+（CN-CB B -1N）XN - CB B -1XS st. XB + B -1N XN + B -1XS = B -1b XB ，XN，XS ≥ 0
单纯形算法的矩阵表示
初始单纯形表 基 XS j 基为B时单纯形表 基 XB j 解 B b
-1
解 b
XB B CB
XN N CN
XS I 0
XB I 0
XN B -1N
XS B -1
CN - CB B –1N - CB B -1
例: max z = 2x1+3x2+5x3
2/3 x1+ 1/3 x2 + 4/3x3≤11/6 st. 2/3 x1 + 4/3x2 + 10/3x3≤10/3 x1 , x2 , x3 ≥0
资源定价问题（LP2）min w = 5y1+4y2+9y3 y1+ 2 y2 + 4y3≥3
产品1 产品2
2 y1 + y2 + 3y3≥2 y1 , y2 , y3 ≥0
3.1.2 规范形式线性规划的对偶问题
原问题（LP1） 对偶问题（LP2）
max z CX AX b s.t. X 0
min w b ' Y A 'Y C ' s.t. Y 0 (3.2)
y1 y 2 Y yn
矩阵转置
(A±B)'=A'±B' (AB)'= B'A' (A')'=A
3.1.3 非规范形式线性规划的对偶问题
max z c1 x1 c 2 x 2
max z 2 x1 x 2 3x3 5 x 4 x1 2 x 2 3x3 x 4 5 3x x 2 x x 9 1 2 3 4 s.t. 2 x1 2 x 2 4 x3 x 4 4 x1 0, x 2 0, x3无约束，x 4 0
• 例 求解下面线性规划的对偶规划
min z=3x1+2x2-6x3+x5 2x1+ x2- 4x3+x4+3x5≥7 x1+ 2x3 -x4 ≤4 -x1+3x2 -x4+ x5 = -2 x1,x2,x3≥0; x4≤ 0;x5无约束 max ω=7y1+4y2-2y3 2y1+ y2 - y3≤ 3 y1 +3y3≤ 2 -4y1+ 2y2 ≤ -6 y1 - y 2 - y3 ≥ 0 3y1 + y3 = 1 y1≥0, y2≤0, y3无约束
BV. x1 x5 x2 x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 -1/2 1/2 -3/2 x4 1 1/2 -1/2 -1/2 x5 0 1 0 0 b 5 1 2
（1）问题中有几个约束方程、几个决策变量、几 个松弛变量？ （2）此线性规划问题的最优解x*=? （3）对偶问题的最优解y*=?
max z c1 x1 c 2 x 2 '
令 x2 ' x2 0
' 11x1 12x 2 b1 ' s.t.21x1 22x 2 b2 x , x' 0 1 2
min w b1 y1 b2 y 2 11y1 21y 2 c1 将其约束方程第二行 s.t. 12 y1 22 y 2 c 2 左右同乘-1： y1 , y 2 0
XB x4 x5 x1 2/3 2/3 2 CB
3
x2 1/3 4/3 3
0
x4 1 0 0 0 0 x4 B-1N
0
x5 0 1 0
b
B
N
I
11/6 10/3 0 0
最 终 表
Cj CB XB
2 x1
3 x2
5 x3
0 x5
b B-1
2
3 3 σ
j
x1
x2
1
0 0 0
0
1 0
I
1
2 -3
2
-1 -1
解:约束方程第二行的 等式拆为两个不等式:
其对偶规划为：
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t. 12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2无约束