运筹学第三章 对偶理论

解:约束方程第二行的 等式拆为两个不等式:
其对偶规划为：
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t. 12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2无约束
令 得到原 问题的对偶问题为：
3.1.4 总结
方程对变量，变量对方程； 正常对正常，不正常对不正常； 变量正常是非负，方程正常看目标(max ≤ ，min ≥)。
对偶变量 y1 y2 y3
对偶变量 x1 x2
原问题变量 CB 0 3 2 -σ
j
原问题松弛变量 x3 1 0 0 0 y1 x4 5/2 3/2 -2 1/2 对偶问题变量 y2 y3 x5 -3/2 -1/2 1 1/2 b 3/2 3/2 1 13/2
XB x3 x1 x2
x1 0 1 0 0 y4
资源定价问题（LP2）min w = 5y1+4y2+9y3 y1+ 2 y2 + 4y3≥3
产品1 产品2
2 y1 + y2 + 3y3≥2 y1 , y2 , y3 ≥0
3.1.2 规范形式线性规划的对偶问题
原问题（LP1） 对偶问题（LP2）
max z CX AX b s.t. X 0
• 例 求解下面线性规划的对偶规划
min z=3x1+2x2-6x3+x5 2x1+ x2- 4x3+x4+3x5≥7 x1+ 2x3 -x4 ≤4 -x1+3x2 -x4+ x5 = -2 x1,x2,x3≥0; x4≤ 0;x5无约束 max ω=7y1+4y2-2y3 2y1+ y2 - y3≤ 3 y1 +3y3≤ 2 -4y1+ 2y2 ≤ -6 y1 - y 2 - y3 ≥ 0 3y1 + y3 = 1 y1≥0, y2≤0, y3无约束
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 11x1 12 x 2 b1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 s.t.21x1 22 x 2 b2 y1 , y 2 0 x1 , x 2 0 1 变量取值范围不符合非负要求的情况
x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量
对偶问题剩余变量
对偶问题剩余变量 y3 0 1 0 x5 y4 -1/4 1/2 3/2 y5 1/4 -3/2 1 x2 b 1/2 1/2 13/2
CB 4 9 σ
j
XB y2 y3
y1 -5/4 15/2 3/பைடு நூலகம் x3
y2 1 0 0 x4
原问题松弛变量
3.2 对偶规划的基本性质
3.2.1 对称性定理：线性规划的对偶问题的对偶问题 是原问题 证明： max z=CX
s.t. AX≤b X ≥0
对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
第3章 线性规划对偶理论 及其应用
3.1 线性规划的对偶问题 例1 穗羊公司的例子
A（千克） B（吨） C（百工时） 单位产品利润（万元） I 1 2 4 3 II 2 1 3 2 每周可使用量 5 4 9
穗家公司由于订单较多，希望收购穗羊公司的各种 资源以扩大自己的生产能力，那么穗羊公司的资源 该如何定价呢？
-1/2
1 -2 -CBB-1
2
3/2 17/2 CBB-1b
CN-CBB-1N
基为B时单纯形表
基 XB j 若B为最优基，则 CB – CBB –1B = 0 CN – CBB –1N ≤0 - CBB -1 ≤0 解 B -1b XB I 0 XN B -1N CN - CB B –1N XS B -1 - CB B -1
原问题变量
x1
3
2
0
0
0
CB
0 0 0 0 3 0 0 3 2
XB
x3 x4 x5 x3 x1 x5 x3 x1 x2
x1
1 [2] 4 3 0 1 0 0 0 1 0 0
x2
2 1 3 2 3/2 1/2 [1] 1/2 0 0 1 0
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
x4
0 1 0 0 -1/2 1/2 -2 -3/2 5/2 3/2 -2 -1/2
x5
0 0 1 0 0 0 1 0 -3/2 -1/2 1 -1/2
b
5 4 9 0 3 2 1 6 3/2 3/2 1 13/2
单纯形算法的矩阵表示
LP: max z = CX st. AX ≤ b X≥0
max z = CX + 0XS st. AX +I XS = b ( I式 ) X, XS≥0
C – CBB –1A≤ 0 - CBB –1≤0
令 Y‘ = CBB–1， ω= Y'b = CBB–1 b= z* 则 A'Y ≥ C' Y' = – σ S = CBB–1 Y≥0 YS' = – σ = C – CBB–1A
例：下表为“max，≤”型线性规划问题加入松弛变量 后的最优解单纯形表
BV. x1 x5 x2 x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 -1/2 1/2 -3/2 x4 1 1/2 -1/2 -1/2 x5 0 1 0 0 b 5 1 2
（1）问题中有几个约束方程、几个决策变量、几 个松弛变量？ （2）此线性规划问题的最优解x*=? （3）对偶问题的最优解y*=?
min w 5 y1 9 y 2 4 y 3 y1 3 y 2 2 y 3 2 2 y y 2 y 1 2 3 1 s.t. 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 y1 y 2 y 3 5 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
LP1: max z=3x1+2x2 =5 =4 2x1+ x2 ≤4 +x4 st. 4x +3x ≤9 +x5 = 9 1 2 x ,x ,x x11,x22≥03 ,x4 , x5≥0 LP2: min w = 5y1+4y2+9y3 yy1+ 2yy2+ 4y33– y4 =3 1 + 2 2 + 4y ≥3 st. 2yy1+ yy2+ 3y33≥2 – y5 = 2 2 1 + 2 + 3y y1 ,yy2, ,yy3, ≥0 , y4 , y5 ≥0 1 2 y3 x +2x +x x11+ 2x2 ≤5 3
max z 2 x1 x 2 3x3 5 x 4 x1 2 x 2 3x3 x 4 5 3x x 2 x x 9 1 2 3 4 s.t. 2 x1 2 x 2 4 x3 x 4 4 x1 0, x 2 0, x3无约束，x 4 0
• 以下定理3.2.2-3.2.5，假定原问题是(3.1)，对 偶问题是(3.2)。
max z CX AX b s.t. X 0 (3.1)
min w b ' Y A 'Y C ' s.t. Y 0 (3.2)
3.2.2 弱对偶性定理：如果X、Y分别是原问题和对 偶问题的一个可行解，则其对应的原问题的目 标函数值不大于对偶问题的目标函数值，也即
初 始 表
max z = 2x1+3x2+5x3
2/3 x1+ 1/3 x2 + 4/3x3 + x4= 11/6 st. 2/3 x1 + 4/3x2 + 10/3x3 + x5= 10/3 x1 , x2 , x3 ，x4 , x5 ≥0
5
x3 4/3 10/3 5 CN
Cj
CB 0 0 σ
j
2
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
min w b ' Y A 'Y C ' s.t. Y 0 (3.2)
y1 y 2 Y yn
矩阵转置
(A±B)'=A'±B' (AB)'= B'A' (A')'=A
3.1.3 非规范形式线性规划的对偶问题
max z c1 x1 c 2 x 2
I 式经过若干迭代，基矩阵为B，则上式等价与： max z = CBXB + CNXN + 0XS st. BXB + NXN+ I XS = b XB, XN, XS≥0
max Z = CB B -1b+（CN-CB B -1N）XN - CB B -1XS st. XB + B -1N XN + B -1XS = B -1b XB ，XN，XS ≥ 0
单纯形算法的矩阵表示
初始单纯形表 基 XS j 基为B时单纯形表 基 XB j 解 B b
-1
解 b
XB B CB
XN N CN
XS I 0
XB I 0
XN B -1N
XS B -1
CN - CB B –1N - CB B -1
例: max z = 2x1+3x2+5x3
2/3 x1+ 1/3 x2 + 4/3x3≤11/6 st. 2/3 x1 + 4/3x2 + 10/3x3≤10/3 x1 , x2 , x3 ≥0
2 约束方程不是“≤”的情况
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
解：约束方程第二 行左右同乘－1：
其对偶规划为：
令 得到原 问题的对偶问题为：
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
max z c1 x1 c 2 x 2 '
令 x2 ' x2 0
' 11x1 12x 2 b1 ' s.t.21x1 22x 2 b2 x , x' 0 1 2
min w b1 y1 b2 y 2 11y1 21y 2 c1 将其约束方程第二行 s.t. 12 y1 22 y 2 c 2 左右同乘-1： y1 , y 2 0
XB x4 x5 x1 2/3 2/3 2 CB
3
x2 1/3 4/3 3
0
x4 1 0 0 0 0 x4 B-1N
0
x5 0 1 0
b
B
N
I
11/6 10/3 0 0
最 终 表
Cj CB XB
2 x1
3 x2
5 x3
0 x5
b B-1
2
3 3 σ
j
x1
x2
1
0 0 0
0
1 0
I
1
2 -3
2
-1 -1
原问题（LP1） 目标max型
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
对偶问题 （LP2） 目标min型
有n个变量（非负）
有m个约束 （小于等于） 价值系数 资源系数 技术系数矩阵
有n个约束（大于等于）
有m个变量（非负） 资源系数 价值系数 技术系数矩阵的转置
max z CX AX b s.t. X 0 (3.1)
产品1 产品2
生产计划问题（LP1）max z 3 x1 2 x 2
x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x 2 9 x1 , x 2 0
方程对变量，变量对方程
原料A 原料B 工时C
Y1 Y2 Y3
原料A 原料B 工时C
解:令
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t. 21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 无约束
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0