高中数学《极化恒等式》PPT教学课件

A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
设D是BC的中点，则PB PC＝PD2－ 1 BC2 4
P0 B

P0C

2
P0 D

1 4
2
BC
| PD || P0 D | P0 D AB CE AB CB CA
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4， C(a,b), P(x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0) (2 x)(a x) a 1恒成立，即 x2 (a 2)x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上，CA CB 。
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线” 与“差对角线”的平方差的 1
4
C M
在 ABC中，M为BC的中点，易推导得到以下恒等式：
A
B
(1)余弦定理的向量形式：AB AC | AB | | AC | cos A, 即b c b2 c2 a 2 2
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD

2
AE

1
2
BD

(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
____1__6___．
点拨：在求 a b 的最值时，当| a b | ，| a b | 中有一个是定值时，不妨考虑极化恒等式。
例2
在
ABC
中，
P0
是边
AB 上一定点，满足 P0B uuur uuur uuur uuur

1 4
AB
，且对
于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C ，则（ D ）
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2

3 4
|
BC |2
|
4 BC |2

3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单 变量的范围、最值即可。
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA

P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
| PA|| DA DP |[1,9]
设正方形ABCD的边长为4，动点P以AB为直径的圆弧APB， 则PC PD的取值范围是
取CD的中点E，联结PE，在PDC内使用极化恒等式， 得PC PD＝PE2－ED2＝｜PE｜2－ 1 | CD |2 | PE |2 4,
4 | PE |[2,2 5],故PC PD[0，16]
A. ABC 90 B.BAC 90 C. AB AC D. AC BC
C
A
P
P0 B
例
3.在
ABC
中,
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P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B

1 4
AB
，
uuur uuur uuur uuur
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 。则( )
(2) AB AC＝AM 2－1 BC2＝AM 2－BM 2 4
结论：中线长公式： AB 2 AC 2 2( AM 2 BM 2 )
(3) AM CB＝1 ( AB2－AC2 ) 2
例1
(1)在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 3 ， BC 10 ，
uuur uuur 则 AB AC
16
取OB的中点D，作DE AB于E，
易知：OP BP＝PO PB＝ 1 [(PO PB)2－(PO PB)2 ] 4

1 [(2PD)2

2
BO ]

2
PD

1
4
4
而| PD |[| DE |,| AD |] [ 3 , 3 ] 42
故取值范围是[ 1 , 1 ] 16 2
（也可用正弦定理求 AB） 又由极化恒等式得：
PA PB PD 2 1 AB 2 PD 2 3 4
因为 P 在圆 O 上，所以当 P 在点 C 处时，| PD |max 3 当 P 在 CO 的延长线与圆 O 的交点处时，| PD |min 1 所以 PA PB[2,6]
2－
2
AB
＝|
PM
|2
－4
2
2
4
1 ｜PM｜ 3
PA PB[3,5]
在ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，P点在平面 ABC内， 且PB PC＝－9，则 | PA 的 | 取值范围为
解：PB PC＝| PD |2 1 | BC |2 ,点D为BC中点 4
| PD | 4
例2（. 自编）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，
则PA PB的取值范围是________.
解：取 AB 的中点 D，连结 CD,因为三角形 ABC 为 正三角形，所以 O 为三角形 ABC 的重心，O 在 CD 上，
且 OC 2OD 2 ，所以 CD 3， AB 2 3
在ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上， 若ABC的面积为2，则PC PB BC2的最小值是
取BC的中点D，在PBC内使用恒等式得：PC PB＝PD2－BD2＝| PD |2 1 | BC |2 , 4
因为ABC的高h 4 , PBC的高为 2 ,从而 | PD | 2 ,