必修二立体几何经典证明题

B 1

C B

A

D

C 1

A 1

必修二立体几何经典证明试题

1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，

∴1DC BC ⊥,

由题设知0

1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,

又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；

（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132

+⨯⨯⨯=1

2，

由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，

∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是

CD 上的点且1

2

DF AB =

，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2）若1PH =，2AD =

1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；

（3）证明：EF ⊥平面PAB .

【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =，所以PH ⊥平面ABCD 。 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。

因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。

则1122EG PH =

=， 111

332

E BC

F BCF V S E

G FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212。

（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1

//

2ME AB =。

因为1

//

2DF AB =，所以//ME DF =

，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。

因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。 因为PA AB A =，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。

3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，

分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．

求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．

【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。 又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111

BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1

111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE

4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．

（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．

如图，连接AC ，∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点，∴AC 必经过F

1分

又E 是PC 的中点，所以，EF ∥AP

2分

∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD

（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD

面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ，

又AP ⊂面PAD ，∴AP ⊥CD

又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD

又AD ⊂面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD

A B

D

C

P M

F

G

E

D

A

C

B

E

F

（3）取AD 中点为O ，连接PO ，因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P —ABCD 的高

∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积12

33

V PO AB AD =

⋅⋅=

5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.

（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；

（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.

【解析】（I ）证明：由已知MA 平面ABCD ，PD ∥MA ， 所以 PD ∈平面ABCD 又 BC ∈ 平面ABCD ，

因为 四边形ABCD 为正方形，所以 PD ⊥ BC

又 PD ∩DC=D ，因此 BC ⊥平面PDC

在△PBC 中，因为G 平分为PC 的中点，

所以 GF ∥BC 因此 GF ⊥平面PDC

又 GF ∈平面EFG ， 所以 平面EFG ⊥平面PDC.

（Ⅱ ）解：因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，AB CD

所以 V p-ABCD =1/3S 正方形ABCD ，PD=8/3 由于 DA ⊥面MAB 的距离

所以 DA 即为点P 到平面MAB 的距离，

三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 Vp-MAB ：Ｖp-ABCD=1:4。

6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。EF//AC ，AB=2,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;

证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG,且EF=1，AG=1

2

AG=1 所以四边形AGE F 为平行四边形 所以AF ∥EG

因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CE FG 为菱形。所以CF ⊥EG.

因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所