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数学分析(3)期末试卷

2005年1月13日

班级_______ 学号_________ 姓名__________

考试注意事项：

1.考试时间：120分钟。

2.试卷含三大题，共100分。

3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！

4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)

1、 设z x u y

tan =，则全微分=u d __________________________。

2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则

=x u _________________________。

3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x

x

⎰

=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=L

s x yd _____________。

6、 在xy 面上，若圆{}

12

2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关

于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S

2

_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y

x y x y x f 1

sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2

x

y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、 求

x x x e x x

d sin e

2⎰

∞+---。提示：C bx b bx a b

a e x bx e ax ax

+-+=⎰)cos sin (d sin 2

2。

5、 利用坐标变换求⎰⎰+-D

y x y

x y

x d d sec

2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

6、 求曲面2222≤++z y x 与22y x z +≥所围成的立体体积。

7、 计算y x z x z y z y x S

d d d d d d 333++⎰⎰，其中S 是球面2222R z y x =++)

0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。

三、证明题（每题10分，共20分）

1、 试证：函数⎪

⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0 ,0

,0,),(222222

2

y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在，但

在原点不可微，并且),(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。

2、 试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对

方程)(x f y =和)(x g z =表示，并求x y d d 和x

z d d ，以及交线在点0P 的法平面方程。

数学分析3期末考试题

一.选择题（每题4分，共16分）

1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A. 0)0(='f B. 0)0(=f C.1)0(='f D.1)0(=f

2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.

dx x x

⎰

+∞

+0

21 B. dx x x ⎰+∞∞-+214cos

C.

)1(,11

≤⎰

+∞

p dx x p D. )1(,)(ln 12≤⎰+∞p dx x x p

3.下列说法错误的是 （ ） A.设2

R E ⊂为任一有界无穷点集，则E 在2

R 中至少有一个聚点.

B.设{}2

R P k ⊂为一个有界点列，则它必存在收敛子列.

C.2

R E ⊂为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D.2

R E ⊂为有界闭集，则E 不一定为一列紧集. 4.下列

说

法

正

确

的

是

（

）

A.若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.

B.若级数∑n u 是收敛的，∑n v 是发散的，则+∑n u ∑n

v

可以是收

敛的.

C.若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则+

∑n u ∑n

v

可以是收敛的.

D. 若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则n n v u ∑也是发散的. 二.填空题（每空3分，共15分）

1．级数∑-n

x n n

2)1(的收敛半为 ，收敛区间

为 .

2．若x

y

z arctan =在)1,1(处可微，则=)1,1(x z ，

=)1,1(y z .

3. 函数)sin(y x y z +=的全微分为 . 三.计算题（共40分）

1．计算下列定积分（每题4分，共8分）

（1）dx x x ⎰+-1

02

211 （2）dx x x e e 2

1)(ln 1⎰