第4章 动态规划
《数据结构与问题求解：Java语言描述》笔记
《数据结构与问题求解：Java语言描述》阅读笔记目录一、内容综述 (2)1. 本书简介与背景介绍 (3)2. 本书阅读目的与预期成果 (4)二、基础概念与预备知识 (5)1. 数据结构定义与重要性 (7)2. 算法概念及其与数据结构的关系 (9)3. Java语言基础语法回顾 (9)4. 预备知识 (11)三、数据结构概述 (13)1. 数据结构的分类与特点介绍 (14)2. 数据结构的选择与应用场景分析 (16)四、线性数据结构 (18)1. 数组的概念与应用 (20)2. 链表的概念与应用 (20)3. 队列和栈的概念与应用 (22)4. 线性数据结构的性能分析 (23)五、非线性数据结构 (25)1. 树形数据结构概述 (26)2. 二叉树及其相关操作与应用实例分析讲解 (27)3. 图论中的基本概念及图的表示方法介绍等 (28)一、内容综述《数据结构与问题求解：Java语言描述》是一本关于数据结构和算法的经典教材，作者是Robert Sedgewick和Kevin Wayne。
本书以Java语言为实现工具，详细介绍了数据结构的基本概念和常用算法，以及如何将这些概念和算法应用于实际问题。
全书共分为5章，分别是基本数据结构、排序算法、图论、动态规划和高级数据结构。
第1章主要介绍了基本数据结构，包括线性表、栈和队列等。
线性表包括顺序表、链表和树表等，讲解了它们的基本操作和应用场景。
栈和队列分别介绍了它们的抽象数据类型、操作方法和应用实例。
第2章主要介绍了排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序和堆排序等。
每种排序算法都详细讲解了其原理、实现过程和优缺点，以及在不同场景下的应用。
第3章主要介绍了图论的基本概念和常用算法，如图的表示、遍历、最短路径算法(Dijkstra算法、FloydWarshall算法)、最小生成树算法(Kruskal算法、Prim算法)等。
还介绍了图的一些扩展概念，如带权有向图、带权无向图、加权图等。
数学建模第三版习题答案
数学建模第三版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。
《数学建模第三版》是一本经典的教材，其中的习题对于学生来说是非常重要的练习材料。
在这篇文章中，我将为大家提供《数学建模第三版》习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学建模的知识。
第一章：数学建模的基础知识1. 数学建模的定义：数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。
2. 数学建模的基本步骤：问题的分析与理解、建立数学模型、求解数学模型、模型的验证与应用。
3. 数学建模的分类：确定性建模和随机建模。
4. 数学建模的特点：抽象性、理想化、简化性和应用性。
第二章：线性规划模型1. 线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划模型的求解方法：图形法、单纯形法和对偶理论。
3. 线性规划模型的应用：生产计划、资源分配、运输问题等。
第三章：整数规划模型1. 整数规划模型的基本形式：目标函数是线性的，约束条件中包含整数变量。
2. 整数规划模型的求解方法：分枝定界法、割平面法、动态规划法等。
3. 整数规划模型的应用：项目选择、装配线平衡问题、旅行商问题等。
第四章：动态规划模型1. 动态规划模型的基本思想：将一个大问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
2. 动态规划模型的求解方法：递推法、备忘录法和自底向上法。
3. 动态规划模型的应用：背包问题、最短路径问题、最长公共子序列问题等。
第五章：非线性规划模型1. 非线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件中包含非线性函数。
2. 非线性规划模型的求解方法：牛顿法、拟牛顿法、全局优化法等。
3. 非线性规划模型的应用：经济增长模型、生态系统模型、医学诊断模型等。
第六章：图论模型1. 图论模型的基本概念：顶点、边、路径、回路等。
2. 图论模型的求解方法：深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法等。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
算法设计与分析习题与实验题(12.18)
《算法设计与分析》习题第一章引论习题1-1 写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。
解答：Algorithm compare(a,n)BeginJ=1;While (j<n and a[j]<=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return trueElseWhile (j<n and a[j]>=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return true else return false end ifEnd ifend习题1-2 写一个算法交换两个变量的值不使用第三个变量。
解答：x=x+y; y=x-y; x=x-y;习题1-3 已知m,n为自然数，其上限为k（由键盘输入，1<=k<=109）,找出满足条件(n2-mn-m2)2=1 且使n2+m2达到最大的m、n。
解答：m:=k; flag:=0;repeatn:=m;repeatl:=n*n-m*n-m*n;if (l*l=1) then flag:=1 else n:=n-1;until (flag=1) or (n=0)if n=0 then m:=m-1until (flag=1) or (m=0);第二章基础知识习题2-1 求下列函数的渐进表达式：3n 2+10n ; n 2/10+2n ; 21+1/n ; log n 3; 10 log3n 。
解答： 3n 2+10n=O （n 2）， n 2/10+2n =O （2n ）， 21+1/n=O （1）， log n 3=O （log n ），10 log3n =O （n ）。
习题2-2 说明O (1)和 O (2)的区别。
习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：!n ，3/22,2,20,3,log ,4n n n n n 。
解答：照渐进阶从低到高的顺序为：!n 、 3n、 24n 、23n 、20n 、log n 、2习题2-4（1） 假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为n n T 23)(⨯=。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
环境规划与管理的数学基础(第四章 讲义)
n
xw w1xw 1 1ww 2x22 ww nnxn
wixi
i1 n
wi
i1
式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本 贡献不同而取的不同的数值。
h
12
1. 位置特征数 （3）几何平均数
1
xGnx1x2 xnx1x2 xnn
（4）调和平均数
n
n
H 1 1 1 n 1
x1 x2
h
38
三、动态规划
在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问 题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选 择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响 到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策 过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划 方法求解。
h
39
三、动态规划
基本原理为：作为多阶段决策问题，其整个过程 的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状 态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言， 其后一系列决策必须构成最优决策。
h
23
3.狄克逊（dixon）法
狄克逊法是采用极差比的方法，经严密推算和简化而得 到的准则。 狄克逊研究了n次测量结果，按其数值大小排列成如下次
序：
(1 ) (2 )当 x i (服n )从正态分布时
h
24
用不同的公式求得 f 值，再经过查表，得到相应的 临界值，进行比较,若计算值>f(n，α)视为异常值， 舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为
h
4
2、图示法
对数坐标系 两个轴(x和y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都 是按上面所述的原则作成的
• 半对数坐标系
• 一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分 度不均匀的对数坐标轴。
动态规划写课程设计
动态规划写课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解动态规划的概念、原理和应用场景。
2. 学生能掌握动态规划问题的解题步骤，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
3. 学生能运用动态规划解决经典问题，如背包问题、最长递增子序列等。
技能目标：1. 学生能够运用动态规划的思想分析问题，提高问题求解的效率。
2. 学生能够运用编程语言实现动态规划的算法，解决实际问题。
3. 学生能够通过动态规划的实践，培养逻辑思维和编程能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习动态规划，培养面对复杂问题时的耐心和毅力。
2. 学生在学习过程中，学会与他人合作、交流，培养团队协作精神。
3. 学生能够认识到算法在生活中的广泛应用，激发对计算机科学的兴趣和热爱。
课程性质：本课程为计算机科学或信息技术相关专业的核心课程，旨在培养学生解决实际问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的编程基础和算法知识，具有一定的逻辑思维能力。
教学要求：教师需结合实际案例，引导学生掌握动态规划的核心思想，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
同时，关注学生的情感态度价值观的培养，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：介绍动态规划的定义、特点和应用场景，使学生了解动态规划的核心思想。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：动态规划的定义、动态规划与分治、贪心算法的关系、动态规划的应用场景。
2. 动态规划解题步骤：讲解动态规划问题的解题方法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：状态定义、状态转移方程、边界条件、动态规划算法的设计方法。
3. 经典动态规划问题：通过分析经典问题，使学生掌握动态规划的应用。
教材章节：第三章 动态规划经典问题内容列举：背包问题、最长递增子序列、最长公共子序列、矩阵链乘、最优二叉搜索树。
4. 动态规划实践：结合编程实践，让学生动手解决实际问题，提高动态规划的应用能力。
计算机算法基础(第一章)
计算机算法基础(第一章)
3. 我们的主要任务
算法学习将涉及5个方面的内容： 1）设计算法：创造性的活动 2）表示算法：思想的表示形式 3）确认算法：证明算法的正确性 程序的证明 4）分析算法：算法时空特性分析 5）测试程序：调试和作出时空分布图 本课程集中于学习算法的设计与分析。通过学
以下给出算法执行时间：上界（О）、下界（Ω）、
“平均”（ ）的定义。
计算机算法基础(第一章)
1）上界函数
定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，有 |f(n)| ≤ c|g(n)|
则记作f(n) = Ο(g(n))
含义：
如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所 用的时间总是小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n)是计算 时间f(n)的一个上界函数。 f(n)的数量级就是g(n)。
3 item←A(j);i←j-1
4 while item<A(i) do //0≤i<j//
5
A(i+1)←A(i); i←i-1
6 repeat
7 A(i+1) ←item;
8 repeat
end INSERTIONSORT
计算机算法基础(第一章)
(8, 5, 4, 9) (8, 5, 4, 9) (5, 8, 4, 9) (5, 8, 4, 9) (4, 5, 8, 9) (4, 5, 8, 9)
试图求出最小的g(n)，使得f(n) = Ο(g(n))。
计算机算法基础(第一章)
多项式定理: 定理1 若A(n) = amnm+…+a1n+a0是一个m次多项
式，则有A(n) = Ο(nm)
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
运筹学第三版课后习题答案
运筹学第三版课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识，可以应用于各个领域，如物流管理、生产调度、供应链优化等。
而《运筹学》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和应用。
本文将针对该教材的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握运筹学的知识。
第一章：线性规划1. 习题1.1：求解线性规划问题的常用方法有哪些？答：求解线性规划问题的常用方法包括单纯形法、对偶理论、整数规划等。
其中，单纯形法是最常用的方法，它通过迭代寻找目标函数值最小（或最大）的解。
2. 习题1.2：什么是线性规划的对偶问题？如何求解线性规划的对偶问题？答：线性规划的对偶问题是指通过原始问题的约束条件构造一个新的问题，该问题的目标是最大化（或最小化）原始问题的目标函数值。
求解线性规划的对偶问题可以使用对偶理论，通过将原始问题转化为对偶问题的等价形式，再利用对偶问题的特性进行求解。
第二章：整数规划1. 习题2.1：什么是整数规划问题？与线性规划问题有何不同？答：整数规划问题是指决策变量的取值必须为整数的线性规划问题。
与线性规划问题相比，整数规划问题的解空间更为有限，求解难度更大。
整数规划问题在实际应用中常常涉及到资源的离散分配、路径选择等问题。
2. 习题2.2：列举几个整数规划问题的应用场景。
答：整数规划问题的应用场景包括生产调度、物流路径优化、设备配置等。
例如，在生产调度中，需要确定每个生产批次的数量和时间，以最大化产能利用率和最小化生产成本。
第三章：动态规划1. 习题3.1：什么是动态规划？它的基本思想是什么？答：动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。
其基本思想是利用子问题的解构建全局最优解，从而避免重复计算和提高求解效率。
2. 习题3.2：动态规划在哪些问题中有应用？答：动态规划在最短路径问题、背包问题、序列比对等问题中有广泛的应用。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
《运筹学》习题集汇总
第一章线性规划1．1 将下述线性规划问题化成标准形式 1 min z ＝－3x 1 ＋ 4x 2 － 2x 3 ＋ 5 x 4st.4x 1 － x 2 ＋ 2x 3 － x 4 ＝－2 x 1 ＋ x 2 － x 3 ＋2 x4 ≤ 14 －2x 1 ＋ 3x 2 ＋x 3 －x 4 ≥ 2 x 1 ,x 2 ，x 3 ≥ 0，x 4 无约束2 min z ＝ 2x 1 －2x 2 ＋3x 3－ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝ 4 －2x 1 ＋ x 2 －x 3 ≤ 6 x 1≤0 ，x 2 ≥ 0，x 3无约束st。
1．2用图解法求解LP 问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1 min z ＝2x 1＋3x 24x 1＋6x 2≥6st 2x 1＋2x 2≥4 x 1,x 2≥02 max z ＝3x 1＋2x 2 2x 1＋x 2≤2 st 3x 1＋4x 2≥12x 1，x 2≥03 max z ＝3x 1＋5x 2 6x 1＋10x 2≤120 st 5≤x 1≤103≤x 2≤84 max z ＝5x 1＋6x 2 2x 1－x 2≥21．3 找出下述LP 问题所有基解,指出哪些是基可行解，并确定最优解（1)min z ＝5x 1－2x 2＋3x 3＋2x 41st －2x 1＋3x 2≤2 x 1，x 2≥0x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝7 st 2x 1＋2x 2＋x 3 ＋2x 4＝3x 1，x 2，x 3，x 4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1 maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1,x 2≥02 maxz ＝2x 1＋x 23x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24x 1,x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
数学建模第四版习题答案
数学建模第四版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过数学方法解决实际问题。
《数学建模（第四版）》是一本经典的教材，其中的习题是学生巩固知识和提高能力的重要练习。
本文将对《数学建模（第四版）》部分习题进行解答和讨论。
第一章是数学建模的基础知识。
习题1.1要求解释什么是数学建模，以及它在现实生活中的应用。
数学建模是将实际问题转化为数学问题，通过数学方法进行求解和分析。
它在工程、经济、环境等领域都有广泛的应用，如物流优化、金融风险评估等。
第二章是线性规划问题。
习题2.3要求利用线性规划方法解决一个生产计划问题。
假设某工厂有两种产品A和B，每种产品的生产需要不同的资源和时间。
通过建立数学模型，可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
第三章是整数规划问题。
习题3.2要求解决一个装载问题。
假设有一辆货车和若干货物，每个货物有不同的重量和体积。
货车的载重和容积有限，需要确定如何装载货物，使得装载量最大化。
通过整数规划方法，可以得到最优的装载方案。
第四章是非线性规划问题。
习题4.1要求求解一个最优化问题。
假设有一家公司要选择最佳的投资组合，以最大化收益。
通过建立数学模型，并应用非线性规划方法，可以确定最佳的投资策略。
第五章是动态规划问题。
习题5.3要求解决一个路径规划问题。
假设有一个迷宫，求从起点到终点的最短路径。
通过动态规划方法，可以逐步确定最优的路径，以及到达每个位置所需的最小代价。
第六章是图论问题。
习题6.2要求解决一个旅行商问题。
假设有若干个城市，旅行商需要依次访问每个城市，并返回起点城市。
通过建立图模型，并应用图论算法，可以确定最短的旅行路线，以及访问每个城市的顺序。
第七章是随机过程问题。
习题7.1要求求解一个排队论问题。
假设有若干个顾客到达某个服务点，服务点只能同时为一个顾客提供服务。
通过建立排队模型，并应用随机过程理论，可以确定顾客等待时间的分布，以及服务点的利用率。
总之，《数学建模（第四版）》的习题涵盖了数学建模的各个方面，从基础知识到高级应用，从线性规划到随机过程。
运筹学第3版熊伟编著习题答案
求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件，1 月初仓库库存 200 件。1～
6 月份产品 A 的单件成本与售价如表 1－25 所示。
表 1－25
月份
1
2
3
4
5
6
产品成本(元/件)
300 330 320 360
360
300
销售价格(元/件)
350 340 350 420
410
340
（1）1～6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。
【解】设 xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为 1～6 月份的生产量和销售量，则数学模型为
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max Z 300x1 350 y1 330x2 340 y2 320x3 350 y3 360x4
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产 A、B、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如表 1－23 所示．
表1－23
产品 资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
利润(元/件)
10
14
12
1400
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是 150、260 和 120,最高月需求是 250、310 和 130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设 x1、x2、x3 分别为产品 A、B、C 的产量，则数学模型为
xj 0, j 1, 2, ,10
第4章 最优化方法(运筹学)
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报 最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等， 使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
运筹学第3版熊伟编著习题答案
1.5炼油厂计划生产三种成品油,不同的成品油由半成品油混合而成,例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合,辛烷值不低于94,每桶利润5元,见表1－26.
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
基本最优解 ,最优解的通解可表示为 即
〔4〕
[解]单纯形表：
C<j>
3
2
1
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C<i>
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C<j>-Z<j>
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C<j>-Z<j>
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率是30％,这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型.
[解]是设xij为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
运筹学课后习题答案第六版
运筹学课后习题答案第六版运筹学是一门应用数学学科，旨在研究如何在有限资源和约束条件下做出最佳决策。
它涉及到决策分析、优化理论、线性规划、整数规划、动态规划等多个领域。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供《运筹学课后习题答案第六版》的相关内容。
第一章：决策分析决策分析是运筹学的基础，它主要涉及到决策的目标、决策的环境、决策的准则等方面。
在第一章的习题中，我们需要运用决策树、决策表、决策矩阵等方法来解决实际问题。
比如，一个公司需要决策是否要进军某个新市场，我们可以通过绘制决策树来分析各种可能的结果和概率，从而选择最佳的决策。
第二章：线性规划线性规划是运筹学中的重要工具，它主要涉及到线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。
在第二章的习题中，我们需要运用单纯形法、对偶理论等方法来求解线性规划问题。
比如，一个工厂需要决策如何分配有限的资源以最大化利润，我们可以建立一个线性规划模型，然后通过单纯形法来求解最优解。
第三章：整数规划整数规划是线性规划的扩展，它主要涉及到目标函数和约束条件都是整数的最优化问题。
在第三章的习题中，我们需要运用分支定界法、割平面法等方法来求解整数规划问题。
比如，一个物流公司需要决策如何安排货物的配送路线以最小化成本，我们可以建立一个整数规划模型，然后通过分支定界法来求解最优解。
第四章：动态规划动态规划是一种用来解决多阶段决策问题的方法，它主要涉及到状态转移方程和最优子结构的求解。
在第四章的习题中，我们需要运用贝尔曼方程、最短路径算法等方法来求解动态规划问题。
比如，一个投资者需要决策在不同时间点买入和卖出股票以最大化收益，我们可以建立一个动态规划模型，然后通过贝尔曼方程来求解最优解。
第五章：网络优化网络优化是一种用来解决网络流问题的方法，它主要涉及到网络的建模和最大流最小割定理的求解。
在第五章的习题中，我们需要运用最大流算法、最小割算法等方法来求解网络优化问题。
“管理运筹学”教学大纲
“管理运筹学”教学大纲一、课程简介“管理运筹学”是一门研究企业管理中决策与优化问题的课程。
本课程旨在让学生掌握运筹学的基本理论和方法，学会运用运筹学工具解决企业管理中的实际问题，提高决策效率和创新能力。
二、课程目标1、掌握运筹学的基本概念和原理，了解运筹学在企业管理中的应用。
2、掌握线性规划、整数规划、动态规划等常用运筹学方法，能够运用相关软件进行求解和分析。
3、理解运筹学在决策分析、资源优化配置、风险管理等方面的应用，能够运用运筹学方法解决实际问题。
4、培养学生的创新思维和综合分析能力，提高其在实际工作中运用运筹学的能力。
三、课程内容1、运筹学概述：介绍运筹学的定义、发展历程和应用领域，阐述运筹学在企业管理中的重要性。
2、线性规划：介绍线性规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解线性规划在生产计划、资源分配等问题中的应用。
3、整数规划：介绍整数规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解整数规划在排班安排、仓库管理等问题中的应用。
4、动态规划：介绍动态规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解动态规划在最优路径选择、生产策略制定等问题中的应用。
5、决策分析：介绍决策分析的基本概念和方法，包括风险决策、不确定决策和多目标决策等，重点讲解如何运用运筹学方法进行决策分析。
6、资源优化配置：介绍资源优化配置的基本概念和方法，包括供应链优化、库存管理和排班安排等，重点讲解如何运用运筹学方法进行资源优化配置。
7、风险管理：介绍风险管理的基本概念和方法，包括风险识别、评估和控制等，重点讲解如何运用运筹学方法进行风险管理。
本课程总计36学时，分为理论授课和实践操作两个环节。
理论授课主要讲解运筹学的基本理论和常用方法，实践操作则通过案例分析和软件操作等方式加深学生对运筹学应用的理解和实践能力。
具体安排如下：1、理论授课：32学时，每周2学时，共16周。
2、实践操作：4学时，集中安排在学期末进行。
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2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C3 的两条路线
f3(C3 )
d mind
(C (C
3 3
, ,
D1 ) D2 )
f4(D1 ) f4(D2 )
8 5 min10 2
12
(最短路线为 C 3 D2 E )
问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。
据此，有下式：
n
max z gi ( xi )
i 1
n
xi a i1 xi 0 i 1.2. .n
27
令：fk(x) 表示 以数量为 x 的资金分配给前k 个工厂，所 得到的最大利润值。
用动态规划求解，就是求 fn(a) 的问题。
7
动态规划基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优
解。
8
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间 的数字表示距离（或运费），试求从A点到G点的最短距离 （总运输费用最小）。
5 A
3
1
1 B1 3
1 19
(最短路线为 A B2 C1 D1 E )
（最短距离为19）
22
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量 方法。其特点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个 一维最优化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察 问题的一种途径，而不是一种算法。必须对具体问题进行具 体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然 后再用动态规划方法去求解。
因而也就决定了整个过程的一条活动路线，这样的一 个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段 决策问题。
12
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等 人在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段 决策问题转化为一系列单阶段最优化问题，从而逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法：动态规划。
T(n)
=n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
5
算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的 数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被 重复计算了许多次。
T(n)
=n
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
6 8
f2 (B2 ) mind(B2 ,C2 ) f4 (C2 ) min10 7 14
d (B2 , C3 ) f4 (C3 )
4 12
(最短路线为 B2 C1 D1 E )
20
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
11
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为
若干个互相联系又互相区别的阶段。
• 在每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到
最好的效果。
• 各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前
面临的状态，又影响以后的发展。
• 当各个阶段的决策确定后，就组成了一个决策序列，
Bellman在1957年出版的《Dynamic Programming》是动 态规划领域的第一本著作。
对最佳路径（最佳决策过程）所经过的各个阶段，其中每 个阶段始点到全过程终点的路径，必定是该阶段始点到全 过程终点的一切可能路径中的最佳路径（最优决策），这 就是Bellman提出的著名的最优化原理。
25
动态规划求解的多阶段问题的特点：
• 每个阶段的最优决策过程只与本阶段的初始状态有关， 而与以前各阶段的决策（即为了到达本阶段的初始状态 而采用哪组决策路线无关）。换言之，本阶段之前的状 态与决策，只是通过系统在本阶段所处的初始状态来影 响本阶段及以后各个阶段的决策。或者说，系统过程的 历史只能通过系统现阶段的状态去影响系统的未来。
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
第三阶段（C →D）： C 到D 有 6 条路线。
首先考虑经过 C1 的两条路线
f3(C1 )
d mind
(C1 (C1
, ,
D1 ) D2 )
ff44((DD12))
3 min9
5 2
8
(最短路线为 C1 D1 E )
6
算法总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求 得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算 法。
T(n)
=n
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4) T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
16
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C2 的两条路线
f3(C2 )
d mind
(C (C
2 2
, ,
D1 ) D2 )
f4 (D1 ) f4(D2 )
6 min5
5 2
7
(最短路线为 C2 D2 E )
18
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
第二阶段（B →C）： B 到C 有 9 条路线。
首先考虑经过 B1 的3条路线
d (B1 , C1 ) f3 (C1 )
12 8
f2 (B1 ) mind (B1 , C2 )
f3 (C2 ) min14 7
20
d (B1 , C3 ) f3 (C3 )
10 12
(最短路线为 B1 C1 D1 E )
19
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6A5 B2 10 Nhomakorabea1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 B2 的3条路线
d (B2 , C1 ) f4 (C1 )
3
动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过 程最优化问题的数学方法。
动态规划在经济管理、工程技术、工农业生产及军事 部门中都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
4
算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分 解成若干个子问题
• 具有这种性质的状态称为无后效性（即马尔科夫性）状 态。
• 动态规划方法只适用于求解具有无后效性状态的多阶段 决策问题。
26
三. 投资分配问题
现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用 于扩大再生产。
假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi) 为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。
当 k=1 时， f1(x) = g1(x) （因为只给一个工厂）
动态决策问题的特点：
系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状 态，不断地做出决策；
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
23
动态规划方法的关键：在于正确地写出基本的递推关 系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。
要做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联 系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值 函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题，然 后逐个求解。
机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷 下进行生产。要求制定一个五年计划，在每年开始时，决 定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数 量，使在五年内产品的总产量达到最高。
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不 断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情 况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态），使 之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
简言之， 一个最优策略的子策略必然也是最优的
13
二. 最短路径问题
例1、从A 地到E 地要铺设一条煤气管道,其中需经过三级
中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。 问应该选择什么路线，使总距离最短？