解直角三角形 专题复习

《解直角三角形》专题复习

一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2

1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21

AB=BD=AD 】

4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2

AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h •=•）

由上图可得：AB •CD=AC •BC

二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°

c a

sin =∠=斜边的对边A A

c b

cos =∠=斜边的邻边A A

b a

tan =∠∠=的邻边的对边A A A

a

b cot =∠∠=的对边的邻边A A A

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.

三、锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A

（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系

tanA=A A cos sin cotA=A

A sin cos

（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

A

C B

D

sin A

2ab

=

）结论：直角三角形斜边上的高

东

西

2

八、基本图形（组合型）

翻折平移

九、解直角三角形的知识的应用问题：

(1)测量物体高度．

(2)有关航行问题．

(3)计算坝体或边路的坡度等问题

十、解题思路与数学思想方法

图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题

抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用

【聚焦中考考点】

1、锐角三角函数的定义

辅助线构造

2、特殊角三角函数值

3、解直角三角形的应用

【解直角三角形】经典测试题

（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若2

2cos =

A ，3tan =

B ，则这个三角形一定是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）

A. sin65°< cos26°

B. sin65°> cos26°

C. sin65°= cos26°

D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）

A. 7米

B. 9米

C. 12米

D. 15米

4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交

角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）

A. αsin 1

B. α

cos 1

C. αsin

D. 1

图2

图1

5、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定

6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．

A ．3

B ．22

C ．3

D ．3

22

7、如果∠A 是锐角，且3

sin 4

B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒

C ．4560A ︒<∠<︒

D ．6090A ︒<∠<︒

8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αα

αα

-+的值等于（ ）

A.47

B.1

2

C ．13

D ．0

9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。

11、如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,3

1tan =+=∠CE DC AEN 。

（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。

12、某船向正东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30o ,又航行了半小时到D 处，望灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。（结果不取近似值）

D

A C B

图3 图4