解直角三角形专题复习

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中考数学专题复习：解直角三角形

中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。

24 解直角三角形复习

2.如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米，那么分所住楼房的高度为________米．
3．如图3，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为 30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为______米．
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300 450
1 2
1 2
2
3
450
1
┌
600
1
┌
3
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h
l
铅垂线
仰角水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
解直角三角形：(如图)
铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB=20m，观察点
E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到 0.1m，
3 ≈1.732）．
题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知
道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图 1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面； ②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
题型3 解斜三角形
1、如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．

解直角三角形及其应用复习

P
30°
A
200米
45°
O
B
L Uห้องสมุดไป่ตู้D
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
45°
30°
O
B
400米
A
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解直角三角形（复习）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
引例：如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42米,请根据这些条件求出南峰塔的高度?
(供选用数据:sin64°=0.9, cos64°=0.4, tan64°=2, cot64°=0.5) A

解直角三角形专项复习(附带知识点和练习)

第24章:解直角三角形第一课时:锐角三角函数2、30°，60°，45°的函数值习题： 1、求下列各式的值（1） cos 260°＋sin 260°（2） tan450.sin450-4sin300.cos450+cos 2300 （3）（4）1－2 sin30°cos30° （5）3tan30°－tan45°+2sin60° （6）45tan 45sin 45cos -30tan 160sin 160cos ++2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，。

求∠A 的度数33、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，已知∠B=30°，计算的值。

4、如图，在△ABC 中，∠A=30度，求AB 。

5、在Rt △ABC 中，∠C=90度，tanA+tanB=4, △ABC 面积为8，求AB 的长。

6、在Rt △ABC 中，∠C=90度，化简7、已知：α为锐角，且满足3tan 2 α-4tan α+3 =0，求α的度数。

第二课时：解直角三角形的应用（测高问题）tan sin ACD BCD ∠+∠tan B AC ==知识点：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做仰角。

视线在水平线下方的角叫做俯角。

强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。

习题： 1、2、3、4、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在从离B 点21米远的建筑物CD 顶端C 测得A 点的仰角为45°，到B 点的俯角为30°，问离B 点30米远的保护文物是否在危险区内？约等于1.732）5、如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A 到公路L 的垂直距离AD 为21米，A 到公路点C 的俯角为30°，到公路点B 的俯角为60°，一辆汽车在公路L 上沿CB 方向匀速行驶，测得它从点C 到点B 所用的时间为0.4秒。

解直角三角形复习

８．等腰三角形一腰上的高线长为1cm，这个高与底边的夹角的正切值为1，则这个等腰三角形的面积是____________.
9.若某一斜坡的坡度i=１： 3 ，则坡面的坡角为_________.
10、在△ABC中，∠C=90°,a=5,b=5，解这个直角三角形.
A
11.如图，在△ABC中，
已知AC=6，∠C=75°，
５．计算： tan10°·tan20°·tan30°…tan80°=_____
sin 3cos ６．已知α为锐角tanα=，则 2 co s 3s in =_____
７．若∠ A为锐角，且tan A=，则（）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
ca
cos B=
c
a
tan A=
b tan B= b
a
b
cot A=
a
cot B= a
b
三.解直角三角形的应用
1.重点是把实际问题转化为数学问题. 2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角(如图7-１-２所示).
图7-１-２
∠B=45°，
求△ABC的面积。
B
C
12.某段公路，每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进100m，路面就上升4m，则路面的坡
度为( )
A. 1 50
C.22°
1 B. 25
D. 39
156 13.如图7-１-４所示，是某市的一块三角形空地，准备在
上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售
价为a元，则购买这种草皮至少需要( )

解直角三角形专题

解直角三角形----专题【一】知识梳理【1】锐角三角函数定义锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数【2】特殊角的三角函数值3、三角函数的关系【3】三角函数关系: ①互余两角的关系sinA=cosB ， tanA •tanB=1（倒数关系） ②同角的正弦、余弦关系:（平方关系）斜对==c A a sin a b B c aB c bB ===tan cos sin 邻对斜邻====b a A c b A tan cos 1cos sin 22=+A A 注：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，一个角固定，它的三角函数值也确定，与它所在的图形没有关系注意：⑴、锐角α的三角函数的取值范围：0<sin α<1, 0<cos α<1; tan α>0 ⑵、锐角三角函数的增减性： ①、锐角α的正弦、正切值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小（递增） ② 、锐角α的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大（递减）③相等角的同种三角函数关系：相等若A=Bsin A=sin B, cos A=cos B, tan A=tan B【4】解直角三角形: 1、直角三角形的性质三边关系：222c b a =+三角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：2、解直角三角形的应用①识图：把题中的已知条件在图上做标记②转化：把实际问题转化为数学问题，进一步转化为解直角三角形问题 3、解直角三角形应用时的常见图形短：中：长＝１：３：２１:１：２【5】题目类型斜对==c A a sin a b B caB c b B ===tan cos sin 邻对斜邻====b a A c b A tan cos 选择方案：有‘斜’用‘弦’，无‘斜’用‘切’，宁‘乘’勿‘除’，虚线代表高，第一、二个图往往用方程解决①求锐角三角函数例题1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，则cosA= tanA= 、sinB= 、tanB=例题2、如图放置的两个三角板,连结AD,则tan ∠ADB=（2）3、如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（） A ．B ．C ．D ．4、如图则sin ∠ABC=（3）（4） 5、已知cosA=31，则AA A A tan 2sin 4tan sin 3+-=6、Rt △ABC 中，∠C=900，sinA= 53,则 cosA =_______. tanA ＝ .方法：1、定义2、转化为求等角的三角函数注意：求三角函数时要在直角三角形中求 (1)C BA 437、已知⊙O的半径是5，△ABC内接于⊙O，AB=AC,BC=8，则sinB=8、已知△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，AD是中线，则sin∠ACD=9、如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，则sin∠ACE= .（8）（9）10、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是A. B. C. D.11、如图，直线l1，l2，l3，分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，D，且相互平行，若l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，则sin∠BAL1=______．（10）（11）12、如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点处，AB,CD相较于点 P，则cos∠APD=13、如图，⊙O半径为3，AB=2，则sinC=（12）（13）14、在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=______．15、如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数错误！未找到引用源。

解直角三角形知识点复习

解直角三角形知识点复习一、知识回顾：1.在R t △ABC 中，∠C=90°， AC=b ，则BC=a ，AB=c则sinA=斜边的对边A ∠ = = ；cosA= = = ； tanA= = = . ∴ < sinA < ， < cosA < ， < tanA < .Sin49º sin58º ，cos37º cos40º ，(填大于或小于) 2. 在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB= ， sinA= ，cosB= , cosA= ，sinB= ， tanA= ,tanB= .3.互为余角三角函数关系：Sin(90º-∠A)= ,cos(90º-∠A)= 。

4.同角三角函数关系：Sin 2A+ = 1 , tanA= 。

5.6.解直角三角形定义：在直角三角形中，除外，已知，且至少有，，叫做。

7. 在R t △ABC 中，∠C=90°则（1）三边关系：；(2)两锐角关系：；（3）边与角的关系：sinA=cosB= ,cosA= = , tanA= = . 8.解直角三角形类型：（1）在R t △ABC 中∠C=90°, a=3，b=1，解这个直角三角形；（2）在R t △ABC 中∠C=90°，a=3,c=2，解这个直角三角形；（3）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，a=3，解这个直角三角形；（4）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，c=2，解这个直角三角形。

9.解直角三角形应用常识：（1）仰角，俯角；（2）坡面的铅直高度用h 表示，水平宽度用l 表示，则坡面的坡度表示为，如果把坡面与水平面的夹角记为α（叫做坡角），那么坡度i 等于坡角的。

解直角三角形专题复习

三角形专题一．知识要点： 1、锐角三角函数的定义.cot tan cos sin 90Rt 的对边的邻边＝，的邻边的对边＝，斜边的邻边＝，斜边的对边＝，＝中，△如图，在A A A A A A A A A A C ABC ∠∠∠∠∠∠︒∠BACac2、特殊角的三角函数值3、互为余角的三角函数关系sinA ＝cos （90º－A ）， cos A ＝sin （90º－A ）， tan A ＝cot （90º－A ）， cot A ＝an （90º－A ）．4、锐角三角函数值随角度的变化规律当角度在0—90°变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．5、锐角的三角函数值的取值范围0＜sin α＜1， 0＜cos α＜1， tan α＞0， cot α＞0．6、解直角三角形（1）由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，可供解直角三角形的依据是： ①直角三角形角的关系：∠A ＋∠B ＝90º； ②直角三角形边的关系：a 2＋b 2＝c 2； ③直角三角形的边角的关系：．＝＝，＝＝，＝＝，＝＝abA B baB A c bA B c a B A cot tan cot tan cos sin cos sin （3）直角三角形的解法（4）在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角． ②坡度与坡角如图，通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角．hαl二.典型例题:例1．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度.如图（左），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高.如图（右），设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2，已知d 1=4 m ，∠θ1=40°,∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ）参考数据：sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7256,sin40°=0.6428,cos40°=0.7660,tan40°=0.8391.分析：此题是日常生活中的常见事例，考查对生活常识的了解.楼梯的倾斜角变小时，斜度线要变长，即由AC 增加到AD ，楼梯所占用地板的长度也增长，即由BC 到BD ，所求的增加部分就是DC 的长，分别在直角三角形ABC 、ABD 中求出BC 和BD 长即可求出CD 长.解：∵在Rt △ABC 中，BC=d 1,∠ACB=∠θ1,∴AB=BC ·tanACB=BC ·tan θ1=d 1·tan40°=4tan40°. 又∵在Rt △ABD 中，BD=d 2,∠ADB=∠θ2, ∴AB=BD ·tanADB=BD ·tan θ2=d 2·tan36°， ∴DC=d 2－d 1=4.62－4=0.62（m ）. 答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 m.例2．如图，北部湾海面上，一艘解放军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 处训练，突然接到基地命令，要舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把渔民送到基地医院？（精确到0.1 h ）分析：这是一道常见的基本图形题，通过作辅助线CD ⊥AB 于D ，构造可解的直角三角形ADC 、BDC ，求出AC 和BC 的长，可采用代数的方法列方程求解.解：过C 作CD ⊥AB 于D ，由题意知∠CAB=30°,∠CBD=45°，AB=40海里.设CD=x ，则BD=x ，BC=2x ，在Rt △ADC 中，AC=2x,AD=2x ·cos30°=3x ，∵AB=40， ∴3x ＋x=40，∴x=20(3－1)，∴AC ＋BC=2x ＋2x=2×20(3－1)＋ 2×20(3－1)=20(2＋2)(3－1).∵军舰的速度是20海里/时，∴所需时间为20)13)(22(20-+≈2.5（h ）.答：需要2.5小时才能把渔民送到基地医院.例3．已知：如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB=2 km.在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠DAC=45°,∠DCB=28°，今将△ACD 区域进行规划，除其中面积为0.5 km 2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿地，试求绿化用地面积.（结果精确到0.1 km 2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317）分析：要求绿地的面积就是三角形ADC 的面积减去水塘的面积，所以先要求出AC 、DB 的长.在直角三角形ABD 中，利用正切求出DB ，然后在直角三角形DBC 中求出BC 的长，进而求出AC 的长.解：在Rt △ABD 中，∵∠ABD=90°，∠DAB=45°,∴AB=BD=2 km. 在Rt △DBC 中，∵∠DCB=28°，∴tanDCB=BCDB，∴BC=︒28tan BD =5371.02≈3.72（km ）.∴S △ACD =21 (AB ＋BC)·BD=21×5.72×2=5.72(km 2).∴S 绿地=21 (S △ADC －0.5)= 21(5.72－0.5)≈2.6(km 2). 答：绿化用地的面积为2.6 km 2.例4．如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)分析：要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.解.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122， x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11CD AC =, 即5.11CD 26=CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).例5．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在BC 和土坡的坡面CD 上，如果CD 与地面成45°，∠A=60°,CD=4 m,BC=(46－22) m ，求电线杆AB 的长为多少米？分析：求AB 的长需求直角三角形ABE 中的BE 长，而BC=(46－22) m ，只要求出CE 的长即可，所以在直角三角形DFC 中，由坡面CD 可求CF 、DF ；在Rt △DFE 中，求出EF ，由线段BC 、CF 和EF 求得BE 的长.解：如图延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F ，∵在Rt △DFC 中，∠DCF=45°，CD=4 m,∴CF=DF=CD ·sin45°=4×22=22（m ）；在Rt △DFE 中，62332230tan DF EF ==︒=（m ）， ∴BE=BC ＋CF ＋FE=()6662222264=++-（m ）.∴在Rt △ABE 中，∠A=60°，2636660tan BE AB ==︒=（m ）.答：电线杆AB 的长为62米.例6．如图，由于水资源缺乏，B 、C 两地不得不从黄河上的扬水站A 处，在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：若图1－5－12(a)(b)(c)中实线表示管道铺设线路.在图(b)中，AD ⊥BC 于D ；在图(c)中，OA=OB=OC ，为减少渗漏节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a 的等边三角形，请你通过计算,判断哪个铺设方案好.A(a) (b)(c)分析：本题贴近实际，题型新颖，是一道理论与实践相结合的好题，由题意知，只要求出管道的长度再相加即可，利用等边三角形的知识与三角函数相结合解决.解：如图(a)所示方案的线路总长为AB ＋AC=2a.在图(b)中，在Rt △ABD 中，AD=AB ·sin60°=23a,∴图(b)所示的方案线路总长为AD ＋BC=(23＋1)a. 在图(c)中，延长AO 交BC 于点E ，∴AB=AC,OB=OC,∴OE ⊥BC,BE=EC=21a,在Rt △OBE 中，∠OBE=30°,a 3323a2130cos BE OB ==︒=, ∴图(c)所示的线路总长为OA ＋OB ＋OC=3OB=3a. ∵a 2a 123a 3<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<,∴图(c)所示的方案最好. 例7．已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD=BC=43，求梯形的面积.分析：求梯形的面积需要求出梯形的两底AD 、BC 和高的长，而BC 的长已知，只需求出AD 和高的长即可.图1解法一：过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E ，（如图1） ∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°,∠1=∠2=∠3=30°.∵在Rt △BED 中，BD=34，∠3=30°， ∴BE=BD ·sin30°322134=⨯=，ED=BD ·cos30°=62334=⨯. ∵在Rt △BEA 中,∠EAB=60°,BE=23，∴233260tan BE AE ==︒=.∴AD=DE －AE=6－2=4. ∴S 梯形=()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+. 解法二：过D 点作DF ⊥BC 于F ，过A 点作AH ⊥BD 于H ，（如图2）图2∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°，∠1=∠2=∠3=30°. ∴△ABD 是等腰三角形，∴DH=21BD=21×43=23. 在Rt △AHD 中，4233230cos DH AD ==︒=.又∵在Rt △BDF 中，DF=BD ·sin30°322134=⨯=， ∴S 梯形()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+=.例8．高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB 的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．（3分）解：连结AC 、EF（1）∵太阳光线是平行线∴AC ∥EF ∴∠ACB=∠EFD∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC ∽△EDF ∴DFBC ED AB =∴2.74.26.12AB = ∴AB=4.2答：大树AB 的高是4.2米．（2）（方法一）如图MG=BN=mAG=m tan α ∴AB=（m tan α＋h ）米（方法二）htan tan tan tan m AB h cot cot mAB cot cot mAG +β-αβα=+α-β=∴α-β=∴或例9.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即Csin cB sin b =．同理有A sin a C sin c =，B sin bA sin a =．所以Csin cB sin b A sin a ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠ A∠B ；第二步：由条件 ∠A 、∠B．∠C ；第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．解：(1)B sin b A sin a =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ，A sin a C sin c =或Csin cB sin b =(2)依题意，可求得∠ABC=65°，∠A=40°. BC=14．2． AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21.3海里．例10.某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）解：（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°∵tanC ＝ACAB∴AB ＝AC·tanC ＝9×33≈5.2（米）（2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD交AC 于E 点，（如图）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．例11.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得。

解直角三角形复习要点

解直角三角形复习知识点一、测量：①构造相似三角形测量物体的方法：构造可以测量的与三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算所求线段。

②运用勾股定理构造直角三角形进行测量时，常用的测量工具一般有：刻度尺、量角仪。

★解决问题时用到的知识：⑴等腰三角形的“三线合一”⑵三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

二、锐角三角函数：①概念：锐角A 的三角函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA=斜边的对边A ∠=ca，cosA=斜边的邻边A ∠=cb ，tanA=的邻边的对边A A ∠∠=b a ，cotA=的邻边A A ∠∠=b.分别叫做锐角∠A★关于三角函数概念的几点解释：①sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）②sinA 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体，其他函数同样不能拆开来理解。

③由定义易得：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0。

④当角的顶点处只有一个角或用希腊字母表示时，三角函数式中的“∠”习惯上省略。

如sinA 、 cosa 等，但对用三个字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“∠”不能省略，如tan ∠ABC 、 cot ∠1不能写成tanABC 、cot1.⑤sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是线段之间的一个比值（数值），没有单位，其大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

★注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

三、直角三角形的性质：①如上图：在Rt △ABC 中，∠C=90°②两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°③三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。

《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练

专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点学霸炼技法

坡度(坡
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
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一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
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(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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解直角三角形
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[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
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研究4
解题模型分析
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常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八

解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
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[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；

解直角三角形专题复习

解直角三角形专题复习一. 本周教学内容：直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt △中 ①的对边的斜边tan ααα=∠∠②的对边的斜边sin ααα=∠∠③的邻边的斜边cos ααα=∠∠在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41234.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪二. 例题分析例1. 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。

A E B分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。

本题已知所以可以过作于把放于tan ,,∠=⊥∠DBA D DE AB E DBA Rt DBE 15∆中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE 与BE 的长度关系，再结合等腰Rt △的性质，此题就不难解答了。

解：过D 作DE ⊥AB 于E ∴△DBE 和△DEA 为Rt △tan ∠==∴==DBE DE BE DE x BE x 155设则∴=+=AB DE BE x 6又为等腰为等腰 ∆∆∆∆ACB Rt A Rt DEA Rt ∴∠=∴45∴==∴=AE DE xAD x 2又， AC AB AC x x =∴==∴=∴=62626622∴==⋅==AD x AD 22222即例2. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后，自C 处沿BC 方向行100m 到D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）A分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt △ABC 与Rt △ADB 有一条共同的线段AB ，因此只要利用Rt △ABC 和Rt △ADB 分别用AB 表示出DB 和CB 即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。

中考专题复习解直角三角形（含答案）

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。

4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。

2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。

⽤字母表⽰，即。

坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。

【解直角三角形】专题复习

【解直角三角形】专题复习考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°， ∠C=90° ⇒BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°，D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理（可利用相似证明）：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD ⊥AB ⇒ BD AD CD ∙=2 AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2 6、常用关系式：由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα212223 1cos α 123 2221 0tan α 033 13不存在cot α 不存在31 33 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦（或正切）值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦（或余切）值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。

4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。

二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。

锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。

解直角三角形的整理和复习

锐角三角函数解决简单的实际问题。
学习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)．
2、解直角三角形的依据
三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）；
D.16 5
3、如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，
若 BD∶CD＝3∶2，则 tan∠ B＝( D )
3
2
6
6
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
4、(2014·安顺)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
E 为线段 AB 上一点且 AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC 于 F，连接 FB，
B．cot∠AED D．cos∠AED
．
4.如图,某地下车库的入口处有斜坡AB, 其坡度
i=1:1.5, 则AB= 13 m.
5. 计算：
（2012年南宁市） (1).2 sin
60°
3 tan
30°
1 3
0
(1)2009
（2011年青海） 12 4sin 600 (3 π）0 ( 1)1 3
大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
3、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮乘坐的一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
A

初三数学解直角三角形专题复习

第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点1、解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。

知识点2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=ab 2、直角三角形三边之间的关系： 222c b a =+（勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系： ︒=∠+∠90B A 。

（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；（2）、已知两边解直角三角形。

知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角：在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.2、仰角和俯角在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,l h i =坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==lhi ，这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大.二、【典型题例】考点1、解直角三角形例1．、1、在ABC ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、．（1）已知3=b ，ο30=∠A ，求a 和c ．（2）已知20=a ，20=b ，求A ∠．2、如图，已知△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长3、已知，如图，△ABC 中，∠A=30°，AB=6，CD ⊥AB 交AB 延长线于D ，∠CBD=60°。

解直角三角形 专题复习

中考数学专题复习：解直角三角形

24 解直角三角形复习

解直角三角形及其应用复习

解直角三角形专项复习(附带知识点和练习)

解直角三角形复习

解直角三角形专题

解直角三角形知识点复习

解直角三角形专题复习

解直角三角形复习要点

《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法

解直角三角形专题复习

中考专题复习解直角三角形（含答案）

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