埋置简谐扭转荷载作用下广义 Gibson饱和地基动力响应

摘 要：考虑地基为饱和半空间，研究了广义 Gibson 饱和地基内作用简谐扭转动荷载时地基的动力响应问题。从 Biot 饱和 地基固结理论出发， 结合扭转振动的特点， 建立了剪切模量随深度线性变化的饱和地基扭转振动的动力微分方程， 通过 Hankel 变换求解此微分方程，给出了 Hankel 变换域内的切向位移和剪应力关于待定系数的表达式。根据饱和地基表面为自由表面， 荷载作用面位移连续、剪应力差等于动荷载大小，波的辐射条件等边界条件求解出待定系数，借助 Hankel 逆变换给出地基 内的位移和应力的表达式。通过数值算例研究发现：在同一水平面内，地基内的切向位移和剪应力曲线的实部和虚部都呈现 出非常明显的波动变化规律；在竖向平面内，动荷载作用面上部区域内随深度逐渐增大时，地基内切向位移和剪应力曲线的 实部逐渐增大，而在动荷载作用面下部区域则正好相反；扭转动荷载的影响范围主要是荷载作用面上下 2 倍半径区域。 关 键 词：广义 Gibson 地基；饱和地基；埋置荷载；扭转荷载；动力响应 中图分类号：TU 435 文献标识码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 01－0149－07
第 36 卷第 1 期 2015 年 1 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.01.021
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 Jan.
No. 1 2015
埋置简谐扭转荷载作用下广义 Gibson 饱和地基动力响应
吴大志，张振营
（浙江理工大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310018）
Dynamic response of generalized Gibson saturated soil under an embedded harmonic torsional load
WU Da-zhi，ZHANG Zhen-ying
（School of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, Zhejiang 310018, China）
150
岩
土
力
学
2015 年
近海平台、高层建筑、高耸桥梁、高压输电塔等结 构会受到扭转荷载的影响，这些结构物的基础也会 承受扭转荷载的作用。 Reissner 等[1]和 Sagoci[2]最早 采用扁球面坐标系统研究了弹性半空间在扭转荷载 作用下动力响应问题，随后该问题被称为 RessinerSagoci 问题。Pekeris 等 研究了埋置瞬态扭矩作用 下弹性半空间表面的响应问题。Raham[4]研究了弹 性半空间内部作用一埋置轴对称分布的扭转荷载时 的 Ressiner-Sagoci 问题，考虑到地基水平向和竖向 力学特性的差异，Raham[4]还把所研究的问题拓展 到横观各向同性半空间。考虑到土体沉积过程中所 受附加应力的差异，许多学者
[18]
z
图 1 非均质饱和地基计算模型 Fig.1 Mechanical model of nonhomogeneous saturated soil
根据 Biot 理论，并考虑到扭转振动的特点，当 剪切模量与深度有关时饱和地基的轴对称平衡方 程可以表示为
1 2u dG u G 2 2 u G 2 r z dz z
（3） （ 4）
式中： z 、 r 均为土骨架的剪应力。 定义参数 b 来描述土体的非均质性，则广义
第1期
吴大志等：埋置简谐扭转荷载作用下广义 Gibson 饱和地基动力响应
151
Gibson 地基的剪切模量[21]为 G ( z ) G0 (1 z / b) 式中： G0 为半空间表面处的剪切模量。 设 y z b ，则式（5）可以表示为
1
引
言
学、基础工程、土-结构相互作用、力学和结构设计 等相关领域，一直都是科研工作者的研究热点。由 于风荷载、波浪荷载、船舶碰撞、高速车辆的作用，
动荷载作用下地基的动力响应问题涉及接触力
收稿日期：2013-08-21 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (No. 51108421)；浙江省重点科技创新团队计划资助(No. 2011R50020)。 第一作者简介：吴大志，男，1977 年生，博士，副教授，硕士生导师，主要从事岩土工程中土动力学、地基与基础的动力相互作用方面的教学和科 研工作。E-mail: wudz@
[5－ 8] [3]
以及相关参数对动力应的影响。
2
广义 Gibson 地基的基本方程
采用柱坐标系建立计算模型如图 1 所示。非均
质饱和地基剪切模量随深度 z 线性增大，距地表 h 深度处作用一简谐扭转荷载，该扭转动荷载作用于 半径为 a 的圆形区域。简谐荷载作用下各函数可表 e it 形式( 表示圆频率， i 1 )。由于 示为 f f 所研究的是轴对称扭转问题，则几个位移分量中仅 存在切向的位移 u eit 、 w eit 。为了书写方便，后 文中简谐因子 eit 均省略。
Abstract: This paper treats the ground soil as a saturated half space. It investigates the dynamic response of a generalized Gibson soil (whose shear modulus increases linearly with depth) subjected to an embeddd harmonic torsional load. It uses Biot’s theory of saturated soil and combines the characteristics of torsional vibration. It establishes the dynamic differential equations of generalized Gibson saturated soil. Using the technique of Hankel transform, it solves the differential equations. The tangential displacement and shear stresses in Hankel transform domain with several undetermined coefficients are formulated. Using the boundary conditions including the free surface at the top of the half-space, the tangential displacements near the loading area are continuous, the shear stresses near the loading area are discontinuous and the radiation boundary condition, the undetermined coefficients are solved. Then, the tangential displacement and the shear stress of the nonhomogeneous saturated soil are expressed explicitly in Hankel inverse transform. Selected numerical examples are presented. The numerical results reveal that in the same horizontal plane, both real and imaginary parts of the tangential displacement and shear stress show very significant fluctuations. In the vertical plane, the real parts of the tangential displacement and shear stress increase with depth in the zone above the loading surface, and decrease with depth in the zone below the loading surface. Besides, the influence range of the torsional dynamic load is about two times of the action radius to the loading surface. Key words: generalized Gibson soil; saturated soil; buried load; torsional load; dynamic response
f
2u 2 w f t 2 t 2
（1） （2）
2 u f 2 w w 0 t 2 n t 2 k t
式中： G 为土骨架的剪切模量， 并且随深度而变化； w n(v u ) ， u 和 v 分别为土骨架和孔隙流体 的切向位移；n 为饱和土体的孔隙率； n f
O a
认为土体的剪切
h r
模量随深度按一定规律增加，并研究了该类地基在 动荷载作用下的相应问题。 Wang 等[9]给出了横观各 向同性半空间内部分别作用线性变化、均匀分布、 抛物线分布矩形荷载时位移的闭合解。 自 Biot[10
－11]
(r , t ) f ( r )e iwt
广义 Gibson 饱和半空间
提出饱和弹性多孔介质的动力方程后，饱和土体的 动力响应问题成了人们研究的 热点。 Philippacopoulos[12] 通过积分变化方法研究了饱和 半空间内部一埋置竖向荷载作用时的动力响应问 题。Jin 等[13]研究了饱和半空间内部作用一水平简 谐荷载时的动力响应问题。Chen 等[14]通过 Fourier 变换和 Hankel 变换研究了饱和弹性半空间内部任 意埋置简谐荷载作用下地基的响应问题。至于饱和 地基的扭转振动问题，也有很多学者开展了研究。 陈龙珠等 [15] 研究了饱和半空间地基表面一刚性圆 形基础受简谐扭转荷载作用时的动力响应问题。 Cai [16] 等 研究了下卧基岩饱和弹性地基在简谐扭转动 荷载作用下的响应问题。陈刚等[17]研究了均质饱和 半空间地基中作用一圆形分布简谐扭转动荷载时地 基的动力响应问题，并通过算例分析讨论了渗透系 数、振动频率等参数对地基动力响应的影响。此 外， Chen 等 还研究了横观各向同性饱和地基内桩 基础在瞬态扭转荷载作用下的动力响应问题。吴大 志 [19] 系统研究了横观各向同性饱和地基在扭转荷 载作用下的动力相互作用问题。考虑到地基剪切模 量随深度变化的情况，杨云芳等[20]研究了剪切模量 随深度线性增大的饱和地基下卧基岩时表面一刚性 圆形基础在简谐扭转动荷载作用下的动力响应问 题，并通过数值算例分析了地基的非均质性和渗透 性对基础扭转特性的影响。 本文考虑地基为饱和地基，且土体剪切模量随 深度线性增大，给出了非均质饱和地基内部作用一 简谐扭转动荷载时地基内的位移和应力的解，并通 过数值算例研究了地基内的位移和应力的变化规律