9第九章思考题

1、如图9-6所示，一块无限长直导体薄板宽为d ，板面与y 轴垂直，板的长度方向沿x轴，板的两侧与一个伏特计相接。

整个系统放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，B的方向沿y 轴正方向。

如果伏特计与导体平板均以速度υ向x 轴正方向移动，则伏特计指示的电压值为多少？ 【答案：υBd 】详解：导体平板以速度υ向x 轴正方向移动时，其中的电子所受的洛伦兹力为B e F L υ=电子向导体薄板一侧积累形成电场，设稳定电场强度的大小为E ，这时电子所受的电场力为eE F e =由于洛伦兹力与电场力平衡，因此eE B e =υ电场强度的大小E 与导体薄板两侧电势差的关系为d U E =因此dU B =υ 由此解得导体薄板两侧电势差，即伏特计指示的电压值为Bd U υ=2、如图9-7所示，矩形区域为均匀稳恒磁场，半圆形闭合导线回路在纸面内绕轴O 以角速度ω作顺时针方向匀速转动，O 点是圆心且恰好落在磁场的边缘上，半圆形闭合导线完全在磁场外时开始计时。

试画出感应电动势随时间变化的函数关系图象。

【答案：函数关系图象见下图】详解：长度为L 的导体棒在磁感应强度为B的均匀磁场中以角速度ω绕棒的一端做匀速转动时，如果转动平面垂直磁场方向，金属棒中产生的电动势为图9-6图9-72i 21BL ωε=该电动势与时间无关。

半圆形闭合导线完全在磁场外时开始计时，则半圆形闭合导线在转动的前半周时间内，电动势的方向为逆时针，在后半周时间内电动势的方向为顺时针。

如果电动势以顺时针方向为正方向，则可以画出感应电动势随时间变化的关系曲线如图所示。

3、如图9-8所示，两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反的电流I ，并各以d I /d t 的变化率增长，一个矩形线圈位于导线平面内。

线圈中有没有感应电流？如果有感应电流存在，感应电流的方向如何？【答案：线圈中有感应电流；顺时针方向】详解：由7.1思考与讨论第3题的计算结果可知，通过如图所示矩形线圈的磁通量为)1ln(2π0m cbIaΦ+=μ 在该线圈中产生的感应电动势为tI c b a t Φd d )1ln(2πd d 0m i +-=-=με 由于两根无限长平行直载流导线对应同一个线圈，它们中的电流随时间的变化率相等，且d I /d t >0，因此距线圈近的无限长载流导线比远的导线在线圈中产生的感应电动势大，前者产生的感应电动势方向为顺时针，后者产生的感应电动势方向为逆时针，总感应电动势方向为顺时针。

可见，线圈中存在感应电流，且感应电流的方向为顺时针。

4、如图9-9所示，一个矩形线框两边长分别为a 和b ，置于均匀磁场中，线框绕MN 轴以匀角速度ω匀速旋转。

设t =0时，线框平面处于纸面内，则在任一时刻感应电动势的大图9-82121-图7-8I小为多少？ 【答案：t Bab ωωcos 】详解：设t =0时线框平面的法线方向垂直纸面向外，则在时刻t 通过矩形线框的磁通量为)90cos(m t BS Φω+=t Bab ωsin -=在任一时刻矩形线框中的感应电动势大小为t Bab tΦωωεcos d d mi ==5、如图9-10所示，在一根通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一个半径为r 、电阻为R 的导线小环，环中心距直导线为x ，且x >> r 。

当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电荷约为多少？【答案：xRIr 220μ】详解：由于x >> r ，因此认为导线小环所围面上各点的磁感应强度等于环中心的磁感应强度，即xIB 2π0μ=在直导线的电流被切断的过程中，导线小环中的磁通量变化为BS BS Φ=-=∆0m沿着导线环流过的电荷为RBS R Φq =∆=m 20π2π1r x I R ⋅⋅=μxR Ir 220μ= 6、如图9-11所示，磁换能器常用来检测微小的振动。

在振动杆的一端固接一个N 匝的矩形线圈，线圈的一部分在匀强磁场B中，设杆的微小振动规律为x =A sin ω t ，线圈随杆振动时，线圈中的感应电动势等于多少？ 【答案：t NBhA ωωcos 】详解：设t =0时通过每匝矩形线圈的磁通量为00m BS =ϕ图9-9N图9-10x图9-11则在任一时刻通过每匝矩形线圈的磁通量为)(0m x A Bh BS -+=ϕ因此线圈随杆振动时，线圈中的感应电动势为t Nd d m i ϕε-=txNBd d =t NBhA ωωcos = 7、一个半径为0.1m 的圆形闭合导线回路置于均匀磁场B中。

已知磁感应强度的大小为0.8T ，磁场方向与回路平面正交。

若圆形回路的半径从t = 0开始以恒定的速率d r /d t =-0.8 m/s 收缩，则在t = 0时刻闭合回路中的感应电动势大小为多少？如果要求感应电动势保持这一数值，则闭合回路面积应以多大的速率收缩？ 【答案：0.4V ；0.5m 2/s 】详解：在任一时刻通过圆形回路的磁通量为B r Φ2m π=因此闭合回路中的感应电动势为trrB t Φd d π2d d m i -=-=ε 在t = 0时刻，r =0.1m ，此刻闭合回路中的感应电动势0.8)(0.80.1π2i -⨯⨯⨯-=εV)(4.0=由于tS B t BS t Φd d d )d(d d m i -=-=-=ε 因此当εi =0.4V 时，闭合回路面积的增加速率为)/s m (5.08.04.0d d 2i -=-=-=B t S ε 其中负号表示闭合回路所包围面积在收缩。

8、将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有2.0×10-5 C 的电荷通过电流计。

如果连接电流计的电路总电阻为25Ω，则穿过环的磁通量变化了多少？ 【答案：5.0×10-4Wb 】详解：由于RΦq m ∆=因此穿过环的磁通量的变化量为qR Φ=∆m Wb 100.54-⨯=9、桌子上水平放置一个半径为0.1m 、电阻为2.0Ω的金属圆环。

如果地磁场的磁感应强度的竖直分量为5×10-5T 。

那么将环面翻转一次时，沿环流过任一个横截面的电荷等于多少？【答案：1.57×10-6C 】详解：将环面翻转一次穿过环的磁通量的变化量为B r B r B r Φ222m π2)π(π=--=∆这时沿环流过任一个横截面的电荷为R Φq m ∆=RBr 2π2=C 1057.16-⨯= 10、如图9-12所示。

电荷Q 均匀分布在一个半径为R ，长为l (l >>R )的绝缘长圆筒上。

一个静止的单匝矩形线圈的一条边与圆筒的轴线重合。

如果筒以角速度)1(0t αωω-=减速旋转，则线圈中的感应电流等于多少？ 【答案：0】详解：圆筒旋转时形成与轴线垂直的环形电流，该电流出现的方向向上的磁场。

尽管圆筒旋转的角速度发生变化会引起磁场的变化，但由于磁感应线始终与单匝矩形线圈平面平行，即通过单匝矩形线圈的磁通量始终为零，因此线圈中的感应电流为零。

图9-121、如图9-22所示，直角三角形金属框架MNP 放在均匀磁场中，磁场B平行于MN 边，NP 边的长度为l 。

当金属框架绕MN 边以匀角速度ω转动时，MNP 回路中的感应电动势和M 、P 两点间的电势差分别为多少？ 【答案：0；221Bl ω】 详解：由于磁感应线始终与直角三角形金属框架平面平行，即通过三角形线圈的磁通量始终等于零，因此当金属框架绕MN 边匀速转动时，MNP 回路中的感应电动势等于零。

NP 边中产生的动生电动势方向从P 到N ，其大小为221Bl PNωε= 由于εNM =0，则有εMP +εPN =0，因此221Bl PN MP ωεε-=-=即221Bl PM ωε=也就是说，MP 边中产生的动生电动势方向从P 到M 。

从M 、P 两点看，相当于εPM 和εPN 两个电源并联，因此M 、P 两点间的电势差为221Bl U U P M ω=-2、如图9-23所示，圆铜盘水平放置在均匀磁场中，磁场方向垂直盘面向上。

当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，铜盘上有没有感应电流产生？如果有感应电流，其方向如何？有没有感应电动势产生？如果有感应电动势，其方向如何？ 【答案：没有感应电流产生；有感应电动势产生；从铜盘边缘指向O 点】详解：当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴转动时，相当于许多沿半径方向的铜导线作切割磁感应线运动，从O 点和铜盘边缘某点看，相当于许多相同的电源并联，其感应电动势等于一根铜导线产生的感应电动势，其方向从铜盘边缘指向O 点。

由于O 点和铜盘边缘的点没有构成闭合回路，因此铜盘上没有感应电流产生。

图9-22P图9-233、如图9-24所示，边长为l 的等边三角形的金属框放在均匀磁场中，ab 边平行于磁感应强度B，当金属框绕ab 边以角速度ω 转动时，bc 边和ca 边上的电动势为多少？如果规定沿abca 绕向为电动势为正方向，金属框内的总电动势为多少？ 【答案：283Bl ω，283Bl ω-；0】详解：bc 边上的电动势与bc 边在垂直于磁场方向的分量l sin60°上产生的电动势相同，考虑到电动势的方向，得2)60sin (21 l B bc ωε=283Bl ω=与bc 边的道理相同，ca 边上的电动势为283Bl ca ωε-=其中的负号是由于ca 边上电动势方向从a 指向c 。

由于磁感应线始终与等边三角形金属框平面平行，即通过三角形线圈的磁通量始终等于零，因此当金属框架绕ab 边匀速转动时，金属框内的总电动势等于零。

4、金属杆MN 以2m/s 的速度平行于长直载流导线作匀速运动，长直导线与AB 共面且相互垂直，如图9-25所示。

已知长直导线中载有40A 的电流，则此金属杆中的感应电动势等于多少？M 、N 两点哪一点电势较高？【答案：1.11×10-5V ，；M 点电势高】详解：建立如图所示的坐标系，在导线上取微元d x ，其B⨯υ的方向沿x 轴负方向，大小为υB ，因此其上的动生电动势为x B l B d d )(d υυε-=⋅⨯=其中xIB π20μ=图9-24N 图9-25图9-25整根金属杆中的感应电动势为⎰-=21d π20x x x x I υμε120ln π2x xI υμ-=V 1011.15-⨯-= 其中的负号是表示金属杆中电动势的方向与x 轴方向相反，即从N 指向M 。

因此M 点的电势比N 点高。

5、在图9-26示的电路中，长度为0.05m 的导线MN 在固定导线框上以2m/s 的速度匀速向左平移，均匀磁场随时间的变化率为d B /d t =-0.1T/s 。

在某一时刻B = 0.5 T ，x =0.1m ，这时动生电动势的大小等于多少？总的感应电动势的大小等于多少？此后动生电动势的大小随着MN 的运动而发生怎样的变化？ 【答案：50mV ；49.5 mV ；变小】详解：动生电动势的大小为mV 501==υεBl在任一时刻穿过回路的磁通量为Blx Φ=m总的感应电动势为t Blx t Φd )d(d d m i -=-=εt B lx t x Bl d d d d --=tBlx Bl d d --=υ 当B = 0.5 T 、x =0.1m 时mV 10)1.0(1.005.0mV 503i ⨯-⨯⨯--=εmV 5.49-=即此刻总的感应电动势的大小等于49.5 mV 。