{高中试卷}高二年级期末考试数学试卷[仅供参考]

合集下载

高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)

高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷

云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷一、单选题1．已知集合S =｛1，2｝集合T =｛1，2，3｝则S T I 等于（） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知i 为虚数单位，设复数121i,3i z z =-=+，则12z z +=（） A ．1B ．4C ．iD ．4i3．已知,,a b c 都是实数.若a b >，则（） A ．c c a b > B ．ac bc > C ．a b c c> D ．a c b c ->-4．函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．π25．已知函数()f x x =，则()2f x =（） A ．2xB ．xC ．2D ．16．函数2x y =的最小值为（） A ．0B ．1C ．2D ．37．下列函数中，在()0,∞+上单调递增的是（） A ．2y x =-B ．1y x=C ．3x y =D ．1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩8．不等式()60x x -…的解集为（）A ．{0}x x <∣B ．{6}x x >∣C ．{0xx ∣…或6}x … D ．{}06xx ∣剟 9．PM MN +=u u u u r u u u u r（）A ．0rB ．NP u u u rC ．NM u u u u rD ．PN u u u r10．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若2,3,4a b c ===，则cos B =（）A ．1116B ．712 C ．25-D ．59-11．已知i 为虚数单位，则复数26i z =--在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若111,sin ,sin 63a A B ===，则b =（）A ．6B ．4C ．3D ．213．已知平面向量()()1,2,2,a b x ==r r .若a b r r ∥，则实数x 的值是（）A ．4B ．1C ．1-D ．4-14．下列函数中，是偶函数的为（）A ．()ln f x x =B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()e e x xf x -=+15．已知sin 5cos αα=，则tan α=（）A ．3B ．5C ．7D ．916．cos cos sin sin αβαβ+=（）A ．()cos αβ-B ．()cos αβ+C ．()sin αβ-D ．()sin αβ+17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成的角等于（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π218．设1cos sin 2αα-=，则sin2α=（）A ．38B ．34C ．12D ．1819．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（）A ．10人B ．12人C ．13人D ．15人20．已知0,0a b >>.若1ab =，则lg lg a b +=（）A ．0B ．1C ．2D ．321．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．1222．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度二、填空题23．已知()1,2P 是角α终边上的一点，则角α的正切值是.24．一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米. 25．已知0a >，则9a a+的最小值是. 26．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是[]2,12，数据分组为[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.三、解答题27．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，,PD DA PD AB ⊥⊥.(1)证明：PD BD ⊥；(2)若π2,3AD DAP ∠==，三棱锥D PBC -PA 与平面PBD 所成角的正弦值.29．已知常数,,a b c 满足a b c >>，且()20,a b c f x ax bx c ++==++.(1)证明：0a >且ca是()f x 的一个零点；(2)若(),m ∞∞∃∈-+，使得()f m a =-，记()1136c T f f m a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，下列结论：0,0,0T T T <=>，你认为哪个正确？请说明理由.。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)

i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)

高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为（A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2）（B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ．（18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分（18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分（Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】（2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分（20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值，当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分（Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-，当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*）当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。

湖北省2024年春季高二年级期末考试-数学试题参考答案

高二数学试卷参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.C3.A4.C5.C6.B7.D8.B1【解析】]4,1[-=A ，]2,0[=B ，所以]2,0[=B A ，故选D.2【解析】由极大值点的定义结合导函数图像可知个数为2个，故选C.3【解析】若0)()(<⋅b f a f ，由零点存在性定理知)(x f 在()b a ,上有零点，充分性满足；取1)(2-=x x f ，]2,2[-∈x ，必要性不满足，故选A.4【解析】由等比数列的性质可知512959==a T ，所以25=a ，所以425252573=≥+=+a q a qa a a ，故选C.5【解析】由投影向量的定义和公式可知a 在b 的投影向量为21,21,0()1,1,0(212==⋅b bb a ，故选C.6【解析】易知D 在椭圆内部，所以||||4||||21PD PF PD PF +-=+，由几何关系可知]1,1[||||2-∈-PD PF ，所以最小值为3，故选B.7【解析】当首位大于2时有48234=A 种；当首位为2，第二位非0时有18323=A 种；当首位为2，第二位为0时有4212=A 种；综上，总共有48+18+4=70种，故选D.8【解析】对于b a 、，同时12次方可得43与35，易知3453<，所以b a <；对于c b 、，同时e 4次方可得e5与4e ，由题干可知85255e e >>，所以45e e >，即c b >；对于c a 、，同时取对数可得33ln 与e 1，易知e133ln <，所以c a <，综上可得b c a <<，故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD10.ACD11.ABC说明：多选题有错选得0分，第9、10、11题选对一个答案给2分，选对两个答案给4分，选对3个答案给6分.9【解析】对于选项A ，由方差的运算性质可知203231109)(9)13(=⨯⨯⨯==-X D X D ，故A 正确；对于选项B ，由正态密度函数222)(21)(σμπσ--=x e x f 可知，当μ不变时，σ越小，函数值越大，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高；由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项CD 正确.故选ACD.10【解析】对于选项A ：因为)2(+x f 是偶函数，所以)2()2(+=+-x f x f ，即)(x f 的图象关于直线2=x 对称，所以选项A 正确；对于选项B ：由3)2()(=++x f x f 得3)4()2(=+++x f x f ，所以)4()(+=x f x f ，即4是函数)(x f 的一个周期，若6也为函数)(x f 的一个周期，则2为函数)(x f 的一个周期，那么)(23)2()(x f x f x f ==++，即23)(=x f 为常数函数，不合题意，所以选项B 错误；对于选项C ：由A 可知)3()1(f f =，对于3)2()(=++x f x f 可令1=x 得3)3()1(=+f f ，所以23)1(=f ，所以选项C 正确；对于选项D ：由A 可得)2()2(+=+-x f x f ，求导可得0)2()2(''=-++x f x f 即0)4()(''=-+x f x f ，对于3)2()(=++x f x f 求导可得0)2()(''=++x f x f ，所以)2()4(''+=-x f x f ，即函数)('x f 的图像关于直线3=x 对称，所以选项D 正确；故选ACD.11【解析】对于选项A ，将x 等量替换为x 1，则111ln -≤x x ，所以xx 11ln -≥，所以A 正确；对于选项B ，6066516606)611(666+=+++C C C ，因为n n 1)11ln(<+，所以e nn<+11(，所以B 正确；对于选项C ，因为nn 1)11ln(<+，所以∑∑===+>20241202412025ln 1ln(1n n n n n ，所以C 正确；对于选项D ，由A 令n n x 1+=得1111)1ln(+=+->+n n n n n ，即∑∑===+<+20241202412025ln 1ln 11n n n n n ，所以D 错误；故选ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1254413.),3[21,(+∞-∞ 14.}0{),4(2+∞e 12【解析】12544525352)52(122=⋅⋅+=C p .13【解析】]23,21[∈∀x ，当0≤a 时，ax x x f -=2)(在]23,21[上单调递增；),0[+∞∈∀x ，当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-=ax ax x ax ax x x f ,0,)(22，利用二次函数对称性可得223a ≤或21≤a 即3≥a 或210≤<a .综上所述，a 的取值范围是),3[]21,(+∞-∞ .14【解析】设直线与曲线x e x y =的切点为),(11y x ，则切线方程为)(111111x x ex e x y x x --=-，则过),0(t 的切线需满足：121x e x t =.令x e x x f 2)(=，则xe x x xf )2()('-=，所以)(x f 在)0,(-∞和),2(+∞单调递减，在)2,0(单调递增，且当-∞→x 时，+∞→)(x f ，当+∞→x 时，0)(→x f ，而0)0(=f ，所以}0{),4(2+∞∈e t .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.解：（1）展开式所有项的二项式系数和为5122=n，所以9=n ，·······································3分令9)21()(x x f -=，则所有项系数和为1)21()1(91010-=-==+++f a a a ；······················6分（2）由题意得nnn C a )2(9-⋅=，不妨令nn n n C a b 2||9⋅==，则⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k b b b b ，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--119911992222k k k k k k k k C C C C ，化简可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-≥≥⋅-21911210k k kk解得320317≤≤k ，因为N k ∈，所以6=k ········································10分所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项：66695376)2(x x C =-⋅.································13分【备注】若最终式子均正确且结果算错，扣1分.16.解：（1）因为8.11=μ，2.3=σ，15=+σμ，所以旅游费用支出不低于1500元的概率为15865.02)(1)(=+<<--=+≥σμσμσμx P x P ，········4分所以325.7915865.0500=⨯，估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元.······························7分（2）假设:0H “客户星级”与“客户来源”独立，没有关联····················10分635.6937.7700300600400400100300200100022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=）（χ，···········································13分根据小概率值0.01α=的独立性检验，0H 不成立，即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.···························15分【备注】根据评分细则酌情扣分.17.解：（1）2222')]1()[1(111)(x a x x x a ax x x a x a x f ---=-+-=--+=，11=x ，12-=a x ，·················2分①当01≤-a 即1≤a 时，易知)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增；······················3分②当11=-a 即2=a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增；·····························4分③当110<-<a 即21<<a 时，易知)(x f 在)1,0(-a 和),1(+∞单调递增，在)1,1(-a 单调递减；···5分④当11>-a 即2>a 时，易知)(x f 在)1,0(和),1(+∞-a 单调递增，在)1,1(-a 单调递减；·········6分综上所述：游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客200400600外地游客100300400合计3007001000当1≤a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当21<<a 时，)(x f 在)1,0(-a 和),1(+∞单调递增，在)1,1(-a 单调递减；当2>a 时，)(x f 在)1,0(和),1(+∞-a 单调递增，在)1,1(-a 单调递减；·························8分（2）由（1）可知，只有当21<<a 和2>a 时，)(x f 才有极大值，①当2>a 时，32)1(-=-==a f f 极大值，解得5=a ；······································10分②当21<<a 时，)1ln(2)1(---=-=a a a a f f 极大值，令)1ln(2)(---=a a a a g ，则11)1ln(1)1ln(1)('----=----=a a a a a a g ，0)1(2)1(111)(22''>--=-+--=a a a a a g ，所以)('a g 在)2,1(单调递增，所以01)2()(''<-=<g a g ，所以)(a g 在)2,1(单调递减，即0)2()(=>g a g ，所以3)(-=a g 在)2,1(无解，故不存在符合题意的a ；······················14分综上所述：5=a ·········································································15分【备注】没有“综上所述”扣1分，过程不规范酌情扣分.18.解：记事件i A ：学生通过第i 轮，事件i B ：学生通过第i 轮就选择奖品离开，事件i C ：学生通过第i 轮且继续答题，（3,2,1=i ）.由题意得21)(1=A P ，31)|(11=AB P ，32)|(11=AC P ，21)|(12=C A P ，21)|(22=A B P ，21)|(22=A C P ，21)|(23=C A P .（1）记事件B ：学生获得奖品.则321B B B B ++=，613121)|()()()(111111=⨯===A B P A P B A P B P ···················································1分12121213221)|()|()|()()(22121112=⨯⨯⨯==C B P C A P A C P A P B P ··································2分2412121213221)|()|()|()|()()(2322221113=⨯⨯⨯⨯==C A P A C P C A P A C P A P B P ·····················4分24724112161)()()()(321=++=++=B P B P B P B P ···············································6分（2）73247241121)()()()()()()|)((323232=+=+=+=+B P B P B P B P B B P B B P B B B P ；························9分（3）X 可取3,2,1,0，21)()0(1===A P X P ················································10分312132213121)|()|()()|()()()(()1(1211111121112111=⨯⨯+⨯=+=+=+==C A P A C P A P A B P A P A C P B A P A C B A P X P ··········································12分2412121213221)|()|()|()|()()3(232212111=⨯⨯⨯⨯===C A P A C P C A P A C P A P X P ·······································13分8124131211)3()1()0(1)2(=---==-=-=-==X P X P X P X P ······························15分所以X 的分布列为：24173241281131021)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .······················································17分【备注】解答没有用字母表示，只用数字计算，若结果正确不扣分，过程酌情扣分.19.解：（1）证明：因为)(x f 在]1,1[-单调递增，]1,1[-∈∀j i x x ，且j i x x <，则)()(|)()(|i j i j x f x f x f x f -=-，所以)1()1()()()]()([|)()(|01111--=-=-=-∑∑=-=-f f x f x f x f x f xf x f n ni i i ni i i，取)1()1(--=f f M ，即可得∑=-≤-ni i iM xf x f 11|)()(|，所以)(x f 是]1,1[-上的有界变差函数·········4分（2）]1,1[-∈∀j i x x 、，且j i x x <，则)(2||2|))((||)()(|i j i j i j i j i j x x x x x x x x x f x f -=-≤+-=-，所以4)]1(1[2)(2|)()(|1111=--=-≤-∑∑=-=-n i i i ni i i x x xf x f ，取4=M ，即可得∑=-≤-ni i i M x f x f 11|)()(|，所以2)(x x f =是定义在]1,1[-上的有界变差函数··················································9分（3）取11+-=i n x i ，n i ,,1 =，其中00=x ，则11)1()1cos(11)(1+--=+-+-=+-i n i n i n x f i n i π，所以当2≥i 时，2111|21)1(11)1(||)()(|211+-++-=+---+--=-+-+--i n i n i n i n x f x f i n i n i i ，∑∑∑∑====--=+-+=+-++-+-=-n i ni n i ni i i i i i n i n i n f x f x f x f 122111112)111(12111(|)0()(||)()(|·········13分下证∑=-ni i1112无界：令1ln )(--=x x x h ，xx x h 1)('-=，)(x h 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增，所以0)1()(=≥h x h ，X 0123P213181241即x x ln 1≥-，取n n x 1+=，即可得n n n 11ln ≤+，所以∑∑==+=+≥n i n i n i i i 11)1ln(21ln212，那么1)1ln(21121-+≥-∑=n i ni ，易知当+∞→n 时，+∞→-+1)1ln(2n ，所以∑=-ni i1112无界·········16分所以不存在常数0>M 使得∑=-≤-ni i iM xf x f 11|)()(|，因此)(x f 在]1,0[不是有界变差函数.···········17分【备注】解答过程根据评分细则酌情扣分.。

河南省濮阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案

高中二年级学业质量监测数学（答案在最后）2023.06一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()21ln 2f x x x=-，则()2f '=（）A.32 B.32-C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】由基本函数的导数公式即可求解.【详解】()1f x x x '=-，故()132222f '=-=-．故选：B2.在等差数列{}n a 中，已知3264,10a a a =+=，则数列{}n a 的公差为（）A.1 B.0C.-1D.2【答案】A 【解析】【分析】由2610a a +=，利用等差数列的性质得到45a =，再由34a =求得公差即可.【详解】解：由等差数列性质得264210a a a +==，所以45a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则43541d a a =-=-=，故选：A.3.已知()()21,155P AB P A ==，那么()P B A =∣（）A.475B.13C.34 D.23【答案】D 【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可；【详解】由条件概率公式得()()()2215135P AB P BA P A ===∣，故选：D.4.已知随机变量()22,X N σ ，且(04)0.4P X <<=，则(0)P X <=（）A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.6【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量()22,X N σ求解.【详解】解：因为随机变量()22,X N σ ，且(04)0.4P X <<=，所以1(04)10.4(0)0.322P X P X -<<-<===，故选：C .5.某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为cm y ，测得一些数据如下表所示第x 天1234567高度/cmy 1469111213由表格数据可得到y 关于x 的经验回归方程为0ˆ 2.4ˆya x =+，则第6天的残差为（）A.0.08-B.2.12C. 2.12- D.0.08【答案】A 【解析】【分析】根据样本中心得回归直线方程，由残差的计算即可求解.【详解】123456714691112134,877x y ++++++++++++====根据线性经验回归方程过样本中心()4,8，故有ˆ8 2.044a=⨯+，则有ˆ0.16a =-,此时ˆ 2.040.16yx =-，当6x =时，ˆ 2.0460.1612.08y =⨯-=，残差ˆ1212.080.08e =-=-，故选:A.6.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（）A.()f x 在(),2-∞-上单调递增B.()f x 在()0.3上单调递减C.()f x 在0x =处取得最大值D.()f x 在2x =-处取得最小值【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负与原函数的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】根据导函数图象，可知当()(),2,x f x ∞∈--单调递减；当()()2,0,x f x ∈-单调递增；当()()0,3,x f x ∈单调递减；当()()3,,x f x ∞∈+单调递增.()f x 在0x =处取得极大值，不一定最大值；()f x 在2x =-处取得极小值，不一定最小值，故ACD 错误，故选：B.7.若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域的一个子区间()2,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.15,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，得到2k ≥，求导，由()0f x '=，得12x =，结合函数在()2,1k k -+内不单调，得到不等式，求出答案.【详解】函数的定义域为()0,∞+，所以20k -≥，即2k ≥，()2141222x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，得12x =，或12x =-（不在定义域内舍去），由于函数在区间()2,1k k -+内不是单调函数，所以()12,12k k ∈-+，即1212k k -<<+，解得1522k -<<，综上可得，522k ≤<.故选：B.8.为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设A B C ､､三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.72种B.60种C.54种D.36种【答案】D 【解析】【分析】首先将4名学生分成三组，再进行全排列即可得共有36种不同的报名方法.【详解】第一步，将四位学生应分成三组，即随机选取2人为一组，其余剩下两人每人单独一组，故有24C 种分法；第二步，将三组学生排列到三门课程中，共有33A 种排列，所以不同的报名方法有2343C A 36=种.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若两个变量x y ､具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；B.在经验回归方程ˆ0.852y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy 平均减少0.85个单位；C.若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的经验回归方程为ˆ5350yx =-+，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件.D.线性经验回归方程ˆˆˆy bx a =+一定过样本中心(),x y .【答案】BD 【解析】【分析】经验回归直线一定过样本中心点，但可能不过何一个样本点，判断AD ；根据经验回归方程中ˆb的意义判断B 选项；根据验回归方程的意义判断C 选项.【详解】A 选项，两个变量x y ､具有线性相关关系，则经验回归直线可能不过任何一个样本点，故A 错误；B 选项，对于经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，当ˆ0y>时，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy平均增加ˆb 个单位；当ˆ0b <时，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy 平均减少ˆb 个单位；故B 正确.C 选项，当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件，但预测值与真实值未必相同，故C 错误；D 选项，由最小二乘法可知，线性经验回归方程必过样本中心(),x y ，故D 正确.故选：BD10.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A 在正中间，有24种排法C.若A 在B 左边，有24种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AB 【解析】【分析】A.利用插空法求得选项A 正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B 正确；C.利用缩倍法求得选项C 不正确；D.利用捆绑法求得选项D 不正确.【详解】A.若A 、B 不相邻，利用插空法得共有3234A A 72⋅=种方法，故A 正确；B.若A 站在最中间，有2242A A 24=种方法，故B 正确；C.若A 在B 左边，利用缩倍法共有5522A 60A =种方法，故C 不正确；D.若A 、B 两人相邻站在一起，利用捆绑法共有4242A A 48=，故D 不正确.故选：AB11.已知()*3,nn n ≥∈N 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则（）A.7n =B.展开式中有理项有2项C.第4项为54358x -D.第3项二项式系数最大【答案】ABC 【解析】【分析】根据二项式定理逐项分析:选项A ：21C 3C n n =，解得7n =，正确；选项B:143471T C 2rrr r x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当2r =和6r =时展开式为有理项，正确；选项C：3534447358T C x ⎛=-=- ⎝，正确；选项D ：根据二项式系数性质可知当3r =或4r =时，二项式系数7C r 最大，即第4或第5项的二项式系数7C r最大，错误；【详解】选项A ：第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有21C 3C n n =，则有()1321n n n -=⨯，化简整理得270n n -=，解得7n =或0n =（舍）.故A 正确；选项B：7143724477711T C C C 22rrrr r rr r r r r x x x ----⎛⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2r =和6r =时，1434r -为整数，故2r =和6r =时展开式为有理项.故B 正确.选项C:3335433244477135C C 28T x x x -⎛⎛⎫==-=- ⎪ ⎝⎭⎝，故C 正确；选项D:令()7C rf r =，根据二项式系数性质可知当3r =或4r =时，二项式系数7C r最大，即第4或第5项的二项式系数7C r 最大，故D 错误；故选：ABC12.学校食堂每天中午都会提供A ，B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n 天选择A 套餐的概率为n A ，选择B 套餐的概率为n B .一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择B 套餐的人数为X ，则下列说法中正确的是（）A.1n n A B +=B.数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列C.() 1.5E X = D.()361125P X ==【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种判断，对于B ，由题意得()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，变形后进行判断，对于CD ，由选项B 可求出n A ，则可求出n B ，得33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()E X ，()1P X =.【详解】由于每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种，所以1n n A B +=，所以A 正确，依题意，()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，则()12121,N 545n n A A n n +⎛⎫-=--≥∈ ⎪⎝⎭，又1n =时，1222453515A -=-=，所以数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，以14-为公比的等比数列，所以124121613161,,1515451545154n n nn n n n A A B A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯-=-=⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当30n >时，35n B ≈，所以()()2133323693,,1=C ,5551255X B P X E X ⎛⎫⎛⎫~=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABD 正确，C 错误，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的应用，考查互斥事件和对立事件的概率，考查二项分布，解题的关键是根据题意得到()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，从而可得数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，以14-为公比的等比数列，进而可求出n A 和n B ，考查数学转化思想，属于较难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知离散型随机变量X 的方差为1，则(31)D X +=__________．【答案】9【解析】【分析】利用方差的关系求解．【详解】()1D X =所以(31)9()9D X D X +==．故答案为：9．14.甲､乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，若采用3局2胜制（无平局），则甲最终获胜的概率为___________.【答案】0.352##44125【解析】【分析】分前两局甲均获胜，和前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，两种情况下求出概率相加即可.【详解】甲最终获胜分两种情况，一是前两局甲均获胜，二是前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，若前两局甲均获胜，概率为210.40.16p ==，若前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，则概率为122C ×0.40.60.40.192p =⨯⨯=，故甲最终获胜的概率120.160.1920.352P p p =+=+=.故答案为：0.35215.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为___________.【答案】2345【解析】【分析】根据题意可知，利用全概率公式即可求得该球是白球的概率为2345.【详解】设1A =“从甲袋中取出的一个球为白球”，2A =“从甲袋中取出的一个球为黑球”，B =“从乙袋中取出的一个球为白球”，根据全概率公式则有()()()()()1122352423595945P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣.故答案为：234516.已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足任意()()0,0x xf x f x >'-<成立，且()12f =，则不等式()2f x x <的解集为___________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】构造函数()()()2,0f x h x x x=->，求导可得单调性，即可求解.【详解】令()()()2,0f x h x x x=->，则()()()20xf x f x h x x'-'=<，所以()h x 在()0,∞+减函数，又()()1120h f =-=，由()()01h x h <=，可得1x >，故不等式()2f x x <的解集为()1,+∞,故答案为：()1,+∞四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}22111,0,2,n n n n n n a a a a a a a ++>=-=+.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列()11n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）证明过程见解析（2）1n nT n =+【解析】【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可；（2）根据（1）中证明过程得到数列{}n a 通项公式，得到数列()11n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭通项公式，再裂项相消求和即可.【小问1详解】()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+，因为0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以2为首项，以1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，()2111n a n n =+-⨯=+，所以()()1111111n n a a n n n n ==--++，111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18.已知函数()()3234f x x a x ax =---的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-.（1）求a b ､的值；（2）求()f x 在区间[]3,1-上的最值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩（2）最大值为8，最小值为4027-【解析】【分析】（1）求导，根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-求解；.（2）由（1）得到()3224f x x x x =+-，再利用导数法求解.【小问1详解】解：()()()()32234,3234f x x a x ax f x x a x a '=---=---，又函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-，所以()()1452196f a a b f a b ⎧=-=-⎪⎨=-='⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知()()()()32224,344232f x x x x f x x x x x =+-=+-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-，或23x =.当<2x -或23x >时，()0f x ¢>；当223x -<<时，()0f x '<.故()f x 的增区间为(),2-∞-和()2,;3f x ∞⎛⎫+⎪⎝⎭的减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭因为()()()24033,28,,11327f f f f ⎛⎫-=-==-=-⎪⎝⎭，所以()f x 在[]3,1-上的最大值为8，最小值为4027-.19.某公司对其产品研发的年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表；x12345y1.523.5815（1）求变量x 和y 的样本相关系数r （精确到0.01），并推断变量x 和y 的线性相关程度；（参考；若0.75r ≥，则线性相关性程度很强；若0.300.75r ≤<，则线性相关性程度一般，若0.25r ≤，则线性相关性程度很弱.）（2）求年销售量y 关于年投资额x 的经验回归方程.参考公式：样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr ---==∑∑；经验回归方程ˆˆˆybx a =+中()()()1122211ˆˆˆ,n niii i i i nni ii i x x y y x y nxyb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑7.14≈【答案】（1）0.92，变量x 和y 线性相关性程度很强（2）ˆ 3.3 3.9yx =-【解析】【分析】（1）根据公式求出相关系数约等于0.92，从而得到答案；（2）根据公式计算出ˆ 3.3b=，ˆ 3.9a =-，得到答案.【小问1详解】由题意，3,6x y ==，因为5552211155,307.5,123iii i i i i xy x y ======∑∑∑，所以55iix yxyr-=∑0.92=因为0.75r ≥，所以变量x 和y 线性相关性程度很强.【小问2详解】51522215123536ˆ 3.355535iii ii x yx ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑根据ˆˆa y bx=-得，ˆ6 3.33 3.9a =-⨯=-所以年销售量y 关于年投资额x 的经验回归方程为ˆ 3.3 3.9yx =-.20.某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀453580不优秀4575120合计90110200（1）根据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用()()()P B A L BA PB A =∣∣∣表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设A =“选到的学生语文成绩不优秀”，B =“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计()L BA ∣的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.050.010.001ax 3.8416.63510.828【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关（2）157【解析】【分析】（1）零假设0H 后，计算卡方的值与6.635比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可.【小问1详解】零假设为0H ：数学成绩与语文成绩独立，即数学成绩与语文成绩无关，根据表中数据计算得220.01200(45753545) 6.818 6.6359011012080x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关.【小问2详解】()()()()7515()()()()()357()()P AB P B A P AB n AB P A L B A P AB P B A P AB n AB P A ======∣∣∣，所以估计()L BA ∣的值为157.21.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是13；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是12，第二个路口遇到红灯的概率是23．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min ，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min ）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．【答案】（1）1927（2）小李应选择路线1；理由见解析【解析】【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X ，则1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对立事件概率公式(1)1(0)P X P X ≥=-=计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为1Y ，则11~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得期望1EY ，设路线2第i 个路口遇到红灯为事件i A （1i =，2），则()112P A =，()223P A =，设路线2累计增加时间的随机变量为2Y ，则2Y 的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望2EY ，比较可得．【小问1详解】设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X ，则1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以至少遇到一个红灯的事件为()1P X ≥，由对立事件概率公式，得()()033121101C 33P X P X ⎛⎫⎛⎫≥=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81912727=-=，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为1927．【小问2详解】设路线1累计增加时间的随机变量为1Y ，则11~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11313E Y =⨯=，设路线2第i 个路口遇到红灯为事件i A （1i =，2），则()112P A =，()223P A =，设路线2累计增加时间的随机变量为2Y ，则2Y 的所有可能取值为0，1，2，则()()()2121110236P Y P A P A ===⨯=，()()()2121212111123232P Y P A A P A A ==+=⨯+⨯=，()()2121212233P Y P A A ===⨯=，所以()211170126236E Y =⨯+⨯+⨯=．因为()()12E Y E Y <，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．22.已知函数()()211e ,2xf x x a x ax a =---+∈R（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有极小值点1x ，极大值点2x ，且对任意()()3120,a f x f x ka >-<，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()f x 的递增区间为(),0∞-和()(),,a f x ∞+的递减区间为()0,a （2）16k ≥-【解析】【分析】（1）易知()()()e 1xf x x a '=--，解()0f x '=可得x a =或0x =，即可知其单调区间；（2）由（1）知12,0x a x ==，对参数0k ≥和0k <进行分类讨论，再通过构造函数研究单调性结合不等式恒成立，即可求得实数k 的取值范围.【小问1详解】由题()()()()e 1e e 1xxxf x x a x a x a '=+---+=--，令()0f x '=，解得x a =，或0x =.当0a >时，令()0f x ¢>得0x <或x a >，所以()f x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，令()0f x '<得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调递减.综上所述，当0a >时，()f x 的递增区间为(),0∞-和()(),,a f x ∞+的递减区间为()0,a 【小问2详解】解法一：当0a >时，由（1）得；12,0x a x ==，且()()12f x f x <，所以()()120f x f x -<.当0k ≥时，()()3120f x f x ka -<≤，符合题意；当0k <时，()()()()231210e 12af x f x f a f a a ka -=-=-+++<，即3211e 2a ka a a -+<++，得3211e 102a ka a a -⎛⎫-+++-⎪⎝⎭< 令()3211e 12a g a ka a a -⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭得()()213e 2a g a k a a -⎡'⎤=--⎢⎥⎣⎦令()0g a '=得132a k=+①若1302k+>，即16k <-，则当10,32a k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()g 0a '>，所以()g a 在10,32k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；所以()13002g g k ⎛⎫+>=⎪⎝⎭，不符合题意：②若1302k +≤，即106k -≤<，则()()g 0,a g a '<在()0,∞+上单调递减，所以()()00g a g <=成立综上所述实数k 的范围为16k ≥-.解法二：由（1）知，当0a >时，12,0x a x ==()()()()21210e 12a f x f x f a f a a -=-=-+++所以问题转化为任意2310,e 12a a a a ka>-+++<即321e 12a ka a a 0+-->-令()321e 12a F a ka a a =+---，则()2e 31a F a ka a '=+--令()2e 31ag a ka a =+--，则()e 61ag a ka =+-'令()e 61ah a ka =+-，则()e 6ah a k=+'①若16k ≥-，则当0a >时，()160h a k >+≥'，所以()h a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h a h >=，即()0g a '>，所以()g a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g a g >=，即()0F a '>，所以()F a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00F a F >=，即任意2310,e 12aa a a ka >-+++<.②若16k <-，则令()0h a '=，得()ln 6a k =-.当()0ln 6a k <<-时，()0h a '<，所以()h a 在()()0,ln 6k -上单调递减.此时()()00h a h <=，即()0g a '<，所以()g a 在()()0,ln 6k -上单调递减，所以()()00g a g <=，即()0F a '<，所以()F a 在()()0,ln 6k -上单调递减，所以()()00F a F <=，即当()0ln 6a k <<-时，231e 12aa a ka -<+++不成立.综上所述实数k 的范围为16k ≥-.。

高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得；由232213,315x x x ===+得；由343315,518x x x ===+得；由454518,8113x x x ===+得；由5658113,13121x x x ===+得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21．解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ，（Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-，所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=，所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =．设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭．设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++，所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6．解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥．又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥．（Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ．过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ，即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒．在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===．在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ，则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角，在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===．在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===，所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==，当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数；当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数；所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。

2023年高二下学期数学期末试卷(有答案)

高二下学期数学期末试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）i D、2 2－i C、 i B、－2 A、－2－i ）（Z ，则复数i 2i 11、若复数Z ++=+=、既不充分也不必要、充分必要、必要不充分、充分不必要）条件有实数解”的（”是“一元二次方程＜、“D CB A 0m x x 41m 22=++D、－1 C、1 B、－2 A、2 ）（，0，x 10lgx，x＞0{3、已知f（x）x =≤=））2则f（f（－－│x│232y 、D 1－x y 、C1│x│y 、B x A、y ）（）上单调递增的函数是偶函数又在（0，4、下列函数中，既是=+=+==∞+）（2， D、（1,4） C、 B、（0,3），2）A、（－）的单调增区间是（（x－3）e 5、函数f（x）x ∞+∞= a c b D c a b C b c a B c b a A 2c 3.0log b 0.3a 63.022＜＜、＜＜、＜＜、＜＜、），则（，，、已知===2D 21C 21B 2A a 01y ax 2,31x 1x y 7、－、－、、）等于（则垂直，）处的切线与直线在点（－、设曲线=+++=8.盒子中有大小相同的3只白球，1只为黑球，从中随机摸出两只球，则两球的颜色不同的概率是（）A.21B. 31C. 41D. 32 43D 31C 21B 32A cb 5:7bx 2y ,0b a 1by a x y 9221212222、、、、）为（两段，则的焦点分成物线被抛线段，）的左右焦点分别是＞＞（－、双曲线===F F F F），、），、（），、（），、（）的圆心为（、圆π471(D π451C π431B 4π1A ）4πcos （210+=θP34D 43C 34B 43A x sin 3y 2cos x {11、、、－、－）（所在直线的斜率之积为与在曲线上，则，点、轴的交点为为参数）与（、设曲线PN PM P N M θθθ==、不确定）316（）＞21－（、）316（）＜21－（、）316（）21－（、A ）系是（）的大小关316（）与21－（），则（2x x ）[2，4]时，f（x 且当x 2），f（x ）f（x），f（x－2）f（x）满足f（－x 可导函数定义在R上的、，2D f f C f f B f f f f 2f 12=+=∈+==12.定义在R 上的可导函数)(x f 满足)()(x f x f =-，)2()2(+=-x f x f ，且当[]4,2∈x 时，)2(2)(2f x x x f '+=，则)21(-f 与)316(f 的大小关系是（） A. )316()21(f f =- B. )316()21(f f ＜- C. )316()21(f f ＞- D.不确定二、填空题（本题共4小题，每题5分）. 1a 0a a 1x ）必过定点且＞（－213、函数f（x）≠=+. 增区间是－2x－3）的单调递（x log 14、函数f（x）231=. 取值范围是，则α的处的切线的倾斜角是α3上的任意一点，P点x 3－x 15、设点P是曲线y 3+=. 的斜率K 垂直，则直线交点处的切线相互2y交于两点，且两个与抛物线x 0）的直线16、经过点P（3,2==三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）B.A)1}，求（C 2x 5{x│－2}，B （3－x）{x│log 17、已知集合A R 21 ≥+=≥=范围.R恒成立，求a的取值2a－1对一切x （2）若f（x） f（x）的图象（1）作出y │x－2││x－1│18、设函数f（x）∈≥=+=的方程.线PB│取得最小值时直（2）求│PA│·│ 的参数方程（1）求直线 A、B两点分别交于与x轴和y轴的正半轴倾斜角为α，又过点P（3,2），且19、已知直线f（x）的值域.4时，函数y （2）当a 义域(1）求f（x）的定 0的常数)－2）（其中a是大于x a lg（x ）20、已知函数f（x ==+=面积的最大值.，求ΔAOB 23的距离为点，原点O到直线与椭圆C交于A、B两（2）设直线（1）求椭圆C的方程3的距离为点，短轴一个端点到右焦36心率为1（a＞b＞0）的离b y a x 21、已知椭圆C：2222 =+值范围.2ax下方，求a的取象恒在直线y 上，函数f（x）的图 )(2)若在区间(1, 值e]上的最大值与最小间[1,1时，求f（x）在区（1）当a R）lnx（a ）x 21（a－）22、已知函数f（x 2=+∞=∈+=v教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。

高二数学试卷期末题及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

浙江高二期末考试卷子数学

浙江高二期末考试卷子数学浙江高二期末考试数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(-1)的值。

3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。

4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。

5. 某工厂生产的产品，每件产品的成本为20元，售价为50元，若该工厂希望获得的利润率为40%，则每件产品需要销售多少件？6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，判断三角形ABC的形状。

7. 求下列不等式组的解集：\[\begin{cases}x + y \geq 3 \\x - y \leq 1\end{cases}\]8. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的极值点。

9. 一个正方体的体积为27立方厘米，求该正方体的边长。

10. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 函数y = log_2(x)的定义域为_________。

12. 若向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的夹角为_________。

13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

14. 一个圆的周长为44厘米，求该圆的直径。

15. 已知正弦函数y = sin(x)的图像，求其在x = π/6处的导数值。

三、解答题（本题共4小题，共40分）16. 证明：若a, b, c为正实数，且a + b + c = 1，则(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9。

17. 解下列二元一次方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - y = 5\end{cases}\]18. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 12，求该函数的单调区间。

黑龙江省2023-2024学年高二上学期期末考试数学含解析

黑龙江省2023-2024学年度高二学年上学期期末考试数学学科试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（每题5分）1.已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为（）A.1y =- B.=1x - C.12x =-D.12y =-2.对于事件A ，B ，下列命题不正确．．．的是（）A.若A ，B 互斥，则()()1P A P B +≤B.若A ，B 对立，则()()1P A P B +=C.若A ，B 独立，则()()()P A P B P AB =D.若A ，B 独立，则()()1P A P B +≤3.与双曲线2212x y -=有相同渐近线，且与椭圆2214y x +=有共同焦点的双曲线方程是（）A.2212y x -= B.2212x y -= C.22142x y -= D.2212y x -=4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.()()P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12D.()()1P X c P Y c >+≤=5.已知圆2221:2160C x y mx m +-+-=与圆222:20C x y y +-=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m 的值为（）A. B. C.2± D.±6.五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（）A.18种B.12种C.36种D.24种7.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A.)+∞B.(C.(D.)+∞8.已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A. B.C. D.二、多选题（每题5分，少选给2分，全选对得满分，选错不得分）9.下列结论错误的是（）A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a = C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是9510D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是610.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是 0.32y x a=-+，相关系数0.9923r =-，则下列说法正确的有（）A.变量x 与y 负相关且相关性较强B.40a =$C.当85x =时，y 的估计值为13D.相应于点()105,6的残差为0.4-11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%,5%,4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5:6:9，现任取一个零件，记事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则（）A.()10.25P A =B.()216P B A =C.()0.048P B = D.()1516P A B =12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是（）A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为4πC.设()4,0N ，则AN 的最小值为D.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()4,0三、填空题（每题5分）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）14.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为，则C 的离心率为______.15.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________.16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是1F ，2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则122e e +的取值范围是_____________．四、解答题（共70分）17.已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程．18.某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X 为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）现增加一名女生A 得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为20s ，新女生样本阅读量的方差为21s ．若女生A 的阅读量为8本，写出方差20s 与21s 的大小关系．（结论不要求证明）19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ；（2）若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．20.钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人）166720173女生（人）25581082（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；比较了解不太了解合计男生女生合计（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X 为这4人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d=+++.21.“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利800-元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的三角形，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设12,F F 是椭圆E 的左､右焦点，椭圆E 的一个内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过点1F和2F，求这个平行四边形的面积的取值范围.黑龙江省2023-2024学年度高二学年上学期期末考试数学学科试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（每题5分）1.已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为（）A.1y =- B.=1x - C.12x =-D.12y =-【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】因为抛物线22x y =的焦点在y 轴正半轴上，所以准线方程为12y =-.故选：D ．2.对于事件A ，B ，下列命题不正确．．．的是（）A.若A ，B 互斥，则()()1P A P B +≤B.若A ，B 对立，则()()1P A P B +=C.若A ，B 独立，则()()()P A P B P AB =D.若A ，B 独立，则()()1P A P B +≤【答案】D 【解析】【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.【详解】因为A ，B 互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以()()1P A P B +≤，故选项A 正确；因为A ，B 对立，对立事件概率和为1，所以()()1P A P B +=，故选项B 正确；因为A ，B 独立，则A ,B 也相互独立，所以()()()P A P B P AB =，故选项C 正确；因为A ，B 独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率()()()P AB P A P B =，由概率大于零可知：()()1P A P B +≤不一定成立，故选项D 错误；所以命题不正确的是D ，3.与双曲线2212x y -=有相同渐近线，且与椭圆2214y x +=有共同焦点的双曲线方程是（）A.2212y x -= B.2212x y -= C.22142x y -= D.2212y x -=【答案】B 【解析】【分析】根据2212x y -=求出双曲线的渐近线方程22y x =±，从而得22a b =，由2214y x +=求得c =，从而求解.【详解】由题意设双曲线方程为22221y x a b -=，因为2212x y -=的渐近线方程为22y x =±，所以得2a b =，又因为2214y x +=的焦点为(0,，所以c =.由222c a b =+，所以可得：1a =，b =，故双曲线的方程为2212x y -=，故B 项正确.故选：B.4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.()()P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12D.()()1P X c P Y c >+≤=【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A ，Y 的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B ，因为c 与2μ之间的与密度曲线围成的面积1S 1,c μ＞与密度曲线围成的面积2S ，()()()()1211,,22P Y c S P X c S P X c P Y c =+=+∴＜＜＜＜＜，正确；对于C ， 21μμ＜，∴甲种茶青每500克超过2μ的概率()212P P X μ=＞＞，正确；对于D ，由B 知：()()()()211211,,1122P X c S P Y c S P X c P Y c S S =-=+∴+=+->＞＜＞＜，错误；故选：D.5.已知圆2221:2160C x y mx m +-+-=与圆222:20C x y y +-=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m 的值为（）A. B. C.2± D.±【答案】D 【解析】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可.【详解】圆2221:2160C x y mx m +-+-=可化为()221:16C x my -+=，圆心()1,0C m ，半径14r =；圆222:20C x y y +-=可化为()222:11C x y +-=，圆心()20,1C ，半径21r =；因为1C 与2C 有且仅有一条公切线，所以两圆内切，所以1212C C r r =-3=，解得m =±故选：D6.五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（）A.18种B.12种C.36种D.24种【答案】D 【解析】【分析】利用分类加法计数原理，分小丁单独旅游与小丁与他人一起旅游两种情况，根据分组分配的解题思路，可得答案.【详解】第一种情况：当小丁独自去旅游，从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为12C 2=；小赵、小陈、小吴三人去另外两个地方旅游，利用分组分配的思路，可得方法数为212312C C A 31216=⨯⨯⨯=；则该情况下，总的方法数为2612⨯=.第二种情况：当小丁与他人组队去旅游，再从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为1132C C 326=⨯=，其他两人去另外两个地方，其方法数为22A 2=，则该情况下，总的方法数为6212⨯=.故不同的旅游方法共有121224+=种.故选：D.7.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A.)+∞ B.( C.(D.)+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线可得渐近线方程为by x a =±，对于y kx =与双曲线无交点只需b k a ≤-或b k a≥，即可得3ba-≥-，进而求离心率的范围.【详解】由题设，双曲线渐近线方程为by x a=±，要使直线30x y +=与双曲线无交点，则3ba-≥-，即3b a ≤，而1e a<=≤.故选：C8.已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，结合角平分线的性质可得1PQF △是正三角形，再运用椭圆定义求得1PF ，2PF ，根据三角形面积公式求12F PF △的面积即可.【详解】设椭圆2221(03)9x y b b+=<<的长半轴为a ，则3a =设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，由椭圆对称性及角平分线性质可知P ，2F ，Q 三点共线且1PQ PF =又因为12π3F PF ∠=，所以1PQF △是正三角形，设11||PF QF PQ m ===，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，126QF QF +=，又22||PQ PF QF =+，所以1112122PQ PF QF m =--=-，所以4m =，即14PF =，22PF =，所以12F PF △的面积121211sin 42222S PF PF F PF =∠=⨯⨯⨯=故选：C.二、多选题（每题5分，少选给2分，全选对得满分，选错不得分）9.下列结论错误的是（）A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a =C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是10D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是6【答案】AD【解析】【分析】A 选项，求出直线AB 的斜率，进而判断出倾斜角的大小；B 选项，利用两直线垂直关系得到方程，求出a ；C 选项，利用两平行线间距离公式求出平行线间距离；D 选，作出辅助线，利用对称思想求出最小值.【详解】对于A ，直线AB 的斜率131312k -==--，设其倾斜角为θ，则1tan 23θ=<，由于tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故30θ<︒，故倾斜角小于30︒，A 错误；对于B ，由直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，得230a -=，解得32a =，B 正确；对于C ，直线240x y +-=化为2480x y +-=，因此两平行直线的距离10d ==，C 正确；对于D ，点(1,1)B -关于x 轴的对称点为(1,1)B '--，连接AB '交x 轴于点0P ，点P 是x 轴上任意一点，连接0,,,BP AP BP PB '，于是0000PA PB PA PB AB AP B PAP BP '''+=+≥=+=+，当且仅当点P 与0P 重合时取等号，因此min ()5PA PB AB '+====，D 错误.故选：AD10.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是 0.32y x a=-+，相关系数0.9923r =-，则下列说法正确的有（）A.变量x 与y 负相关且相关性较强B .40a =$C.当85x =时，y 的估计值为13D.相应于点()105,6的残差为0.4-【答案】ABD 【解析】【分析】根据相关性、相关系数判断A ，利用样本中心点判断B ，将85x =代入回归直线方程判断C ，求得105x =时y 的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.【详解】对A ，由回归直线可得变量x ，y 线性负相关，且由相关系数0.9923r =可知相关性强，故A 正确；对B ，由题可得()190951001051101005x =++++=，()1111086585y =++++=，故回归直线恒过点()100,8，故 80.32100a =-⨯+，即40a =$，故B 正确；对C ，当85x =时， 0.32854012.8y =-⨯+=，故C 错误；对D ，相应于点()105,6的残差()60.32105400.4e=--⨯+=- ，故D 正确.故选：ABD.11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%,5%,4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5:6:9，现任取一个零件，记事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则（）A.()10.25P A =B.()216P B A =C.()0.048P B =D.()1516P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】AB 选项，根据题意可得到()1515694P A ==++，()25%P B A =，判断AB ；C 选项，根据全概率公式进行求解；D 选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB 选项，事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则()1515694P A ==++，()26356910P A ==++，()39956920P A ==++，()16%P B A =，()25%P B A =，()34%P B A =，故A 正确，B 错误；C 选项，()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++1396%5%4%0.04841020=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；D 选项，()()()()()()11110.256%50.04816P B A P A P A B P A B P B ⨯====，故D 正确．故选：ACD ．12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是（）A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为4πC.设()4,0N ，则AN 的最小值为D.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()4,0【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：利用A ，B ，F 三点的位置与,,AF BF AB 的关系及抛物线的定义求AB 的最大值；对于B ：利用点A ，B 在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A ，B 两点纵坐标间的关系；对于C ：利用点A 在抛物线上及两点间的距离公式，将AN 转化为点A 纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求AN 的最小值；对于D ：设直线AB 的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A ，B 纵坐标的一元二次方程，结合OA OB ⊥及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB 方程中的参数，确定直线AB 所过的定点【详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ．对于选项A ：若AB 中点M 的横坐标为3，则6A B x x +=，可得28A B AB AF BF x x ≤+=++=，当且仅当A ，B ，F 三点共线时，等号成立，所以AB 的最大值为8，故A 正确；对于选项B ：若AB 中点M 的纵坐标为2，则4A B y y +=，由题意可知直线AB 的斜率存在，则A B ABA B y y k x x -=-224144A B A B A B y y y y y y -===+-，所以直线AB 的倾斜角为4π，故B 正确；对于选项C ：设2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭，则AN ===≥，当且仅当t =±时，等号成立，所以AN的最小值为，故C 错误；对于选项D ：设直线AB 的方程()0x my n n =+≠，代入抛物线24y x =，得2440y my n --=，则216160m n ∆=+>，可得44A B A By y my y n +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，所以()()⋅=+=+++A B A B A B A BOA OB x x y y my n my n y y uu r uu u r()()()222222141404=++++=-++==+-A B A B m y y mn y y n n m m n n n n ，因为0n ≠，解得4n =，满足0∆>，则直线AB 的方程为4x my =+，所以直线AB 过定点()4,0，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（每题5分）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】根据4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可求出结果.【详解】4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()4k4k 421441C 3=C 13kk k k k k T x x x ---+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令420k -=，得2k =，所以4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开始得常数项为()2224C 1354-=.故答案为：54.14.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为，则C 的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为:0bx ay +=,，圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2),半径为2，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为1==，等式两边同时平方即有222241,4a c a c==，可得2224c e a==，即2e =.故答案为：2.15.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________.【答案】22134y x +=．【解析】【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．【详解】由题意1(,0)2F ，P 在线段AB 的垂直平分线上，则PB PA =，所以2PF PA PF PB FB +=+==，又1AF =，所以P 在以,A F 为焦点，长轴长为2的椭圆上，22a =，1a =，12c =，则22234b a c =-=，所以轨迹方程为22134y x +=．故答案为：22134y x +=．16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是1F ，2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则122e e +的取值范围是_____________．【答案】7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得12112e e -=，进而可得到122e e +关于2e 的表达式，构造函数()2f e ，再根据函数()2f e 在()1,+∞上的单调情况即可解得122e e +的取值范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，由110PF =，即有10m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，则15a c =+，25a c =-，相减可得122a a c -=，即12112e e -=，得21221121242e e e e ==-++，所以12221122242e e e e +=-++，11e >，显然()222112242f e e e =-++在()1,+∞上单调递增，所以()()2713f e f >=，所以122e e +的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭．故答案为：7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：根据题意得到12112e e -=，从而得到122e e +关于2e 的表达式，构造函数()2f e ，再根据函数()2f e 在()1,+∞上的单调性是解答本题的关键．四、解答题（共70分）17.已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程．【答案】（1）22(2)1x y -+=（2）3x =或3410x y --=【解析】【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【小问1详解】由题可知10123AB k -==--,所以线段AB 的中垂线的斜率等于1，又因为AB 的中点为51,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段AB 的中垂线的直线方程为1522y x -=-，即20x y --=，联立240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩，所以圆心(2,0)C 又因为半径等于1AC =,所以圆C 的方程为22(2)1x y -+=.【小问2详解】设圆C 的半径为r ，则1r =，若直线的斜率不存在，因为直线过点()3,2，所以直线方程为3x =，此时圆心(2,0)C 到直线3x =的距离1d r ==，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离1d ==，解得34k =，所以切线方程为392044x y -+-=，即3410x y --=.所以切线方程为3x =或3410x y --=.18.某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X 为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）现增加一名女生A 得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为20s ，新女生样本阅读量的方差为21s ．若女生A 的阅读量为8本，写出方差20s 与21s 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）517（2）分布列见解析；期望为712（3）2201s s >【解析】【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解，（2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解，（3）根据方差的计算公式即可求解.【小问1详解】共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为517．【小问2详解】由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为3193=；从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为2184=．由题设，X 的可能取值为0，1，2．且111(0)11342P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；11115(1)11343412P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111(2)3412P X ==⨯=．所以X 的分布列为：X12P12512112X 的数学期望1517()0122121212E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】2201s s >．理由：设原女生的8个阅读量分别为{},1,2,3,4,5,6,7,8i x i ∈，原女生阅读量的平均数为556789111388x +++++++==，新增一名女生后，平均数依然为8，则()()()()88822222211111118,8888899i i i i i i s x s x x ===⎡⎤=-=-+-=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑所以2201s s >19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ；（2）若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．【答案】（1）16（2）10x y +-=【解析】【分析】（1）首先可得直线l 的方程，设()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线l 与抛物线的方程消元，然后可得12x x +的值，然后可得答案.（2）利用点差法求出l 的斜率即可得答案.【小问1详解】因为l 的倾斜角为6π，()1,0F ，所以直线l 的方程为()313y x =-，联立()2134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得21410x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1214x x +=，所以1216x x p AB +=+=；【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==，所以()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，因为线段AB 的中点坐标为()3,2-，所以124y y +=-，所以()()121244y y x x --=-，所以l 的斜率为12121y y x x -=--，所以l 的方程为()23y x +=--，即10x y +-=.20.钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人）166720173女生（人）25581082（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；比较了解不太了解合计男生女生合计（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X 为这4人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6.【解析】【分析】（1）依题意填写22⨯的列联表，根据公式求出2K ，然后判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．（2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到X 的分布列，然后求数学期望()E X ．【详解】（1）依题意填写22⨯的列联表如下：比较了解不太了解合计男生402060女生202040合计604010022100(40202020) 2.78 3.84160406040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”.（2）抽取的女生人数为40104100⨯=（人），男生人数为60106100⨯=（人）.所以X 的可能取值为0,1,2,3,4，则041322464646444101010183(0),(1),(2),14217C C C C C C P X P X P X C C C =========31446444101041(3),(4)35210C C C P X P X C C ======.因此X 的分布列为X1234P114821374351210数学期望为18341()01234 1.61421735210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，属于基础题．21.“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利800-元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）15（2）分布列见解析，640【解析】【分析】（1）求一个批次杨梅不能销售的概率，可用对立事件来求解，即两轮检查都通过.（2）每个批次杨梅销售情况相互独立且重复，基于此可快速利用独立事件的计算公式求出分布列,进而算出期望.【小问1详解】记“一个批次杨梅不能销售”为事件A ，则111()1(1)(1)9105P A =--⨯-=，所以一个批次杨梅不能销售的概率为15.【小问2详解】依据题意，X 的取值为3200-，2000-，800-，400，1600，411(3200)()5625P X =-==，()31414162000C 55625P X ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241496(800)C ()()55625P X =-==，313414256(400)C ()()55625P X ===，44256(1600)()5625P X ===，所以X 的分布列为：X3200-2000-800-4001600P1625166259662525662525662511696256256()320020008004001600640625625625625625E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的三角形，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设12,F F 是椭圆E 的左､右焦点，椭圆E 的一个内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过点1F 和2F ，求这个平行四边形的面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）(]0,6【解析】【分析】（1）由题意列出方程租，解方程组即可得出答案；（2）可设直线AB 的方程为1x ty =+，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出OAB S 的面积，椭圆E 的内接平行四边形ABCD 的面积4OAB S S = ，再由基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意可知22222,1914a b c ab bc ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线AB 的斜率不为0.由（1）得()21,0F ，故可设直线AB 的方程为1x ty =+，联立221,3412,x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理，得()2234690t y ty ++-=，显然Δ0>恒成立，12122269,3434t y y y y t t --∴+==++.12234y y t ∴-===+，连接,OA OB，2221221234OAB OF A OF BS S S OF y y t ∴=+=⨯⨯-=+ ，∴椭圆E的内接平行四边形ABCD 的面积2434OABS S t ==+.令1m =≥，则224241313m m m mS =+=+.设()13f m m m=+，易知在[)1,+∞上单调递增，()[)4,f m ∞∴∈+(]0,6S ∴∈，故平行四边形的面积取值范围是(]0,6.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出OAB S 的面积，椭圆E 的内接平行四边形ABCD 的面积4OAB S S = ，再由基本不等式求解即可.。

山东济宁2024年高二下学期期末考试数学试题+答案

2023-2024学年度第二学期质量检高二数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（）A.1B.2C.3D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃> 3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（）A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9 D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力有潜力合计男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项；（2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值；（3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因为()()ln2ln4ln34,3243a f b f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼，由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ =−====，A 正确；对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确；对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i 最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =，所以11n =.所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x +−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =，所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′，所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立）所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′，所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′，所以01,12x ∃∈ ，使得()00h x ′=，即01e 1x x =+. 所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln x h x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈ ，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ，所以()ln f x x >成立.。

(word版)高二数学期末考试试题及其答案

禄劝一中高中 2021-2021学年高二〔上〕期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.1．〔5分〕集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，那么以下式子正确的选项是〔〕A ．M?NB ．N?MC ．M∩N={2，3}D ．M∪N={1，4}2.向量，那么2 等于〔〕A ．〔4，﹣5〕B ．〔﹣4，5〕C ．〔0，﹣1〕D ．〔0，1〕3.在区间〔1，7〕上任取一个数，这个数在区间〔 5，8〕上的概率为〔〕A ．B ．C ．D ．4.要得到函数y=sin 〔4x ﹣〕的图象，只需将函数y=sin4x 的图象〔〕A ．向左平移单位B ．向右平移单位C ．向左平移单位D ．向右平移单位5.两条直线m ，n ，两个平面 α，β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α?n ⊥α②α∥β，m?α，n?β?m ∥n ③m ∥n ，m ∥α?n ∥α④α∥β，m ∥n ，m ⊥α?n ⊥β其中正确命题的序号是〔〕A ．①③B．②④C．①④D．②③6.执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=〔〕A ．2B ．3C ．4D ．57.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，假设求出yx 3 4 5 6 关于x 的线性回归方程为? ，那么表中 t 的值为y t 4 yx A ．3 B ． C ．D ．8.f 〔x 〕=〔x ﹣m 〕〔x ﹣n 〕+2，并且α、β是方程f 〔x 〕=0的两根，那么实数m ，n ，α，β的大小关系可能是〔〕A．α＜m＜n＜βB．m＜α＜β＜n C．m＜α＜n＜βD．α＜m＜β＜n9.某锥体的三视图〔单位：cm〕如下列图，那么该锥体的体积为〔〕A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm310.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，那么的值为〔〕A．B．C．D．11.一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，假设不考虑蚂蚁的大小，那么某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是〔〕A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣12.函数f〔x〕=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f〔x〕=m的五个不等的实数根，那么x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是〔〕A．〔0，π〕B．〔﹣π，π〕C．〔lg，π1〕D．〔π，10〕二、填空题〔每题5分，总分值20分〕13．假设直线2x+〔m+1〕y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，那么m=．14.=﹣1，那么tanα=．15.假设变量x、y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为．kx3,x016.函数fx k，假设方程ffx20恰有三个实数根，那么实数k的1,x02取值范围是三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=〔2a+c〕sinA+〔2c+a〕sinC．〔Ⅰ〕求B的大小；〔Ⅱ〕假设b=，A=，求△ABC的面积．r18.：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中 a =(1，2).①假设|c |=25，且c ∥a ，求c 的坐标.②假设|b |=5，且a +2b 与2a -b 垂直，求a 与b 的夹角.219．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和， S 3=6，a 4=4．〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕假设b n=3﹣3，求证： + ++ ＜．20为了了解某省各景点在群众中的熟知度，随机对 15～65岁的人群抽样了n 人，答复以下问题“某省有哪几个著名的旅游景点？〞统计结果如以下列图表．组号分组答复正确的人数答复正确的人数占本组的频率第1组 [15，25〕 a0．5第2组 [25，35〕 18x第3组 [35，45〕 b0．9 第4组 [45 ，55〕 9 0．36第5组[55，65] 3y〔1〕分别求出 a,b,x,y 的值；〔2〕从第2，3，4组答复正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？〔3〕在〔2〕抽取的6人中随机抽取 2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D、E分别是线段BB1、AC1的中点．1〕求证：DE∥平面A1B1C1；2〕假设平面ABC⊥平面BB1C1C，BB1=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．22.圆C：x2+y2+2x﹣3=0．1〕求圆的圆心C的坐标和半径长；2〕直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕两点，求证：为定值；C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积〔3〕斜率为1的直线m与圆最大．禄劝一中高中 2021-2021学年高二〔上〕期末数学模拟试卷参考答案一.选择题〔每题5分，共12分〕123456789101112C B C B C B A B A A C D二、填空题〔每题5分，共12分〕13.-314.15.316.1,1317〔Ⅰ〕解：∵2bsinB=〔2a+c〕sinA+〔2c+a〕sinC，由正弦定理得，2b2=〔2a+c〕a+〔2c+a〕c，化简得，a2+c2﹣b2+ac=0．∴．0＜B＜π，∴B=．〔Ⅱ〕解：∵A=，∴C=．∴sinC=sin==．由正弦定理得，，∵，B=，∴．∴△ABC的面积=．18.解：①设c(x,y)∵c∥a且|c|=252x y0∴y220x2∴x2∴c=(2,4)或c=(-2，-4).②∵〔a+2b〕⊥〔2a-b〕∴〔a+2b〕·〔2a-b〕=0, 2a2+3a·b-2b2=0∴2|a|2+3|a|·|b cos-2|b|2=0∴2×5+3×5×5cos-2×5=0,∴cos=-124∴θ=π2kπ,∵θ∈[0，π],∴θ=π. 19．解：〔1〕设公差为d，那么，解得，a n=n．〔2〕证明：∵b n=3﹣3=3n+1﹣3n=2?3n，=，{}是等比数列．∵=，q=，∴+++==〔1﹣〕＜．20解：〔1〕由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为9〔1分〕25，再结合频率分布直方图可知25100,n10a 100100.5 5b1001027，183〔4〕x0.9,y2015〔2〕因为第2，3，4组答复正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1862人；54第3组：2763人；54第4组：961人〔8分〕54〔3〕设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．那么从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：〔A1,A2〕，〔A1,B1〕，〔A1,B2〕，〔A1,B3〕，〔A1,C1〕，〔A2,B1〕，〔A2,B2〕，〔A2,B3〕，〔A2,C1〕，〔B1,B2〕，〔B1,B3〕，〔B1,C1〕，〔B2,B3〕，〔B2,C1〕，〔B3,C1〕共15个根本领件，其中恰好没有第3组人共3个根本领件，〔10分〕∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：P31〔12分〕15．521.〔1〕证明：取棱A1C1的中点F，连接EF、B1F 那么由EF是△AA111AA 1C的中位线得EF∥AA，EF=又DB1∥AA1，DB1=AA1所以EF∥DB1，EF=DB1故四边形DEFB1是平行四边形，从而1 DE∥BF所以DE∥平面A1B1C1〔Ⅱ〕解：因为E是AC1的中点，所以V A﹣DCE=V D﹣ACE=过A作AH⊥BC于H因为平面平面ABC⊥平面BB1111C，CC，所以AH⊥平面BB C 所以==所以V A﹣DCE=V D﹣ACE==22.解：〔1〕圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得〔x+1〕2+y2=4，那么圆心C的坐标为〔﹣1，0〕，圆的半径长为2；〔2〕设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得〔1+k2〕x2+2x﹣3=0，那么有：；所以为定值；〔3〕解法一：设直线m的方程为y=kx+b，那么圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由〔1〕知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，那么圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．。

浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】

宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知复数12z i =+，则1z的虚部为（）A ．25B ．2i5C ．2i5-D ．25-3．已知角α的终边过点()4,3-，则sin cos sin ααα+=（）A ．12-B ．13-C ．14D ．734．已知a ，b 均为单位向量，则a b ⊥是22a b a b -=+ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误．．的是（）A ．若//m α，//n α，m ，n 共面，则//m nB ．若m α⊂，//n α，m ，n 共面，则//m nC ．若m β⊥，且//αβ，则m α⊥D ．若m α⊥，且//m β，则αβ⊥6．若22ln ln x y y x ->-，则（）A ．e 1x y ->B ．e 1x y -<C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<7．袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()e e cos 2x x h x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为()e e sin 2x xh x --=．若关于x 的不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知平面向量()1,2a =，()2,b x =- ，则（）A ．当2x =时，()1,4a b +=-B ．若a b，则=1x -C ．若a b ⊥，则1x =D ．若a 与b的夹角为钝角，则()(),44,1x ∞∈--⋃-10．已知函数()2121x x m f x ⋅-=+是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．1m =B ．()1f x =-无解C ．()f x 是减函数D ．()()202420230f f +->11．如图，点P 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，11113A E AB =，11113A F A D =，1B P 平面AEF ，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥A PEF -的体积是定值B ．存在一点P ，使得11C P A C ⊥C ．动点P的轨迹长度为+D ．五面体EF ABD -非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()2f f =．13．已知正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，则xy 的最大值为．14．在ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，22213b a c -=，当1tan tan A B+取得最小值时，角C 的大小为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅= ．(1)求1223e e + ；(2)求123e e - 在1e 上的投影向量（用1e表示）．16．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图，2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,3Q ⎛ ⎝均在函数()f x 的图象上，且Q 是图象上的最低点．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若()0f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0πcos 2x 的值．17．如图，在三棱锥-P ABC 中，45ABC PBC ∠=∠=︒，PA ，2AB BC PB ===，AD BC ⊥，点D 在BC 上，点E 为PA 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)求BE 与平面PBC 所成角的正弦值．18．为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在[]0,140，将得分数据按照[)0,20，[)20,40，…，[]120,140分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；(3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在[)100,120内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在[]120,140内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．19．已知函数()3243f x x ux u =-+．(1)当1u =时，求54f ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断函数()f x 零点的个数；(2)当1,13u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有三个零点123123,,,()x x x x x x <<，记223i i u t x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1i =，2，3．证明：①1232235x x x <++<；②13231181t t t t +<．参考公式：()()()()()32123123122331123x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+++++-．1．C【分析】利用集合的交集和补集做题即可.【详解】{}3,5U A =ð，则()U A B ⋂=ð{}5.故选：C.2．D【分析】利用复数的除法化简1z，然后确定其虚部即可.【详解】复数12z i =+，则()()i 11i 11221212i i 2i 155z -===-++-，所以1z 的虚部为25-.故选：D.3．B【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα，然后代入计算即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3-，所以34sin ,cos 55αα====-，所以34sin cos 1553sin 35ααα-+==-，故选：B 4．C【分析】a ，b 均为单位向量，等式|2|2|a b a b -=+两边平方，利用数量积运算性质化简，即可得答案；【详解】 a ，b均为单位向量，∴|2||2|144414a b a b a b a b -=+⇔-⋅+=++⋅ ⇔0a b ⋅= ．∴a b⊥ 是|2||2|a b a b -=+ 的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积运算、向量垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力．5．A【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面之间的位置关系及其性质选项进行判断.【详解】若//m α，//n α，m ，n 共面，则直线m ，n 可能平行可能相交，A 选项错误；若m α⊂，//n α，则直线m ，n 没有公共点，当m ，n 共面，则//m n ，B 选项正确；若m β⊥，且//αβ，由面面平行的性质可得m α⊥，C 选项正确；//m β时，当m ⊂平面γ，l γβ= ，有//m l ，若m α⊥，则l α⊥，由l β⊂，有αβ⊥，D选项正确.故选：A 6．A【分析】构建()2ln ,0f x x x x =+>，根据题意结合单调性分析可得0x y >>.对于AB ：结合指数函数单调性分析判断；对于CD ：举反例说明即可.【详解】若22ln ln x y y x ->-，可得22ln ln x x y y +>+，且,0x y >，构建()2ln ,0f x x x x =+>，因为2,ln y y x x ==在()0,∞+内单调递增，可知()y f x =在()0,∞+内单调递增，由22ln ln x x y y +>+，即()()f x f y >，可得0x y >>.对于选项AB ：因为0x y >>，则0x y ->，且e x y =在R 内单调递增，所以0e e 1x y ->=，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：利用2,1x y ==，满足0x y >>，但ln ln10x y -==，故CD 错误；故选：A.7．C【分析】利用超几何分布求解.【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件A ,242C 1P(A),C 6n ==即,(1)6162n n -=解得9,n =设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B,115429C C 5P().C 9B ==故选：C.8．B【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，通过换元有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题.【详解】不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->，即222e e e e 441022x x x xm --⎛⎫+--⨯-> ⎪⎝⎭，化简得224222422e 2e 2e 2e e e 2e 2e 11x x x xx x xx m --++--=++>++，不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，即42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，令2e x t =，则1t >，有()22222222211t t t t m t t t -++->=+++对任意的1t >恒成立，令1k t =+，则2k >，有222231312m k k k k k --->=-对任意的2k >恒成立，令1s k =，则102s <<，有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，令()223g s s s =--，()g s 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()02m g ≥=，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.故选：B.9．ACD【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A ；根据向量平行的标公式计算即可判断B ；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C ；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.【详解】对A ，当2x =时，()2,2b =- ，所以()1,4a b +=-，故A 正确；对B ，若a b，则()220x -⨯-=，解得4x =-，故B 错误；对C ，若a b ⊥，则()1220x ⨯-+=，解得1x =，故C 正确；对D ，若a 与b 的夹角为钝角，则220a b x ⋅=-+<且a 与b 不共线，解得1x <且4x ≠-，即()(),44,1x ∞∈--⋃-，故D 正确，故选：ACD10．ABD【分析】利用奇函数()00f =可求得1m =，再根据指数函数值域可知B 正确，利用复合函数单调性可得C 错误；结合单调性和奇偶性可知D 正确.【详解】对于A ，易知函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以()1002m f -==，解得1m =；经检验1m =满足题意，即A 正确；对于B ，由()1f x =-可得21121x x -=-+，即20x =，显然此时无解，即B 正确；对于C ，化简可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++，易知21x y =+为单调递增函数，由复合函数单调性可知()f x 为增函数，即C 错误；对于D ，由于()f x 为奇函数可得()()202320230f f +-=，结合C 选项可得()()20242023f f >，所以()()()()20242023202320230f f f f +->+-=，可得D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】根据等体积变换判断A,D ，利用题意分析出点P 的轨迹判断B,C ；【详解】根据题意正方体的棱长为3，111,1A E A F ==，利用勾股定理可得AE AF EF ====，如图所示，在AB 边上取点,2G AG GB =，在AD 边上取点,2H AH HD =，在平面11ABB A 中，11,,EB AG EB AG = 四边形1EB GA 为平行四边形，则1AE B G又AE ⊂平面AEF ,1B G ⊄平面AEF ,所以1B G ∥平面AEF ；同理11EF B D ∥,FE ⊂平面AEF ,11B D ⊄平面AEF ,所以11B D ∥平面AEF 因为1111111,,B D B G B B D B G ⋂=⊂平面11D B GH ,所以平面11D B GH 平面AEF 点P 是正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，1B P 平面AEF ，则点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ）对于A ，三棱锥A PEF -的体积等于三棱锥P AEF -的体积，在AEF △中，1224AEF S =⨯ ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，且平面11D B GH 平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离为111133A C ==11193833412AEF P AEF V S h -=⨯⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），在正方体中，1111,,,A C BD A C BC BD BC ⊥⊥是平面1BDC 内两条相交直线，所以1A C ⊥与平面1BC D ，在平面1BC D 任意一条直线都已1A C 垂直，所以从点1C 出发的直线在平面1BC D 内才能使11A C C P ⊥成立，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），则可知不存在点P ，使得11A C C P ⊥，所以B 错误；对于C ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，利用勾股定理计算动点P 的轨迹长度为11110321025105221D B D G HG B H +++=++++=，所以C 正确；对于D ，五面体EF ABD -是四棱锥A EFDB -，四边形EFDB 是等腰梯形，22223332,2,2313BD EF BE DF =+====+=,10,3AE AF AB AD ====，设ABD △所在圆的圆心为N ,M 是11B D 的中点,四棱锥A EFDB -的外接球球心为O ,连接MN ，根据题意ABD △是直角三角形,N 是BD 的中点，O 在线段MN 上，设ON a =，因为,3OE OD R MN ===，222221332(3)()()()222a a -++=+解得76a =所以四棱锥A EFDB -的外接球半径为226732()()26211R =+=.故选：ACD.【点睛】三棱锥体积求解方法：直接法；等体积变换法；12．1-【分析】根据分段函数定义，先计算出()2f 的值，然后计算()()2f f 即可得出结果.【详解】函数()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()3112log 133f f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：1-.13．12##0.5【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，所以221244xy x y xy +=+≥，解得12xy ≤.当且仅当2x y =，即11,2x y ==时取等号，所以xy 最大值为12．故答案为：12．14．2π##90 【分析】先根据余弦定理化简得2c s 3o c b A =,再由正弦定理把边的关系化为角的关系s 2i si c 3n s n o A B C =,得到2sin cos cos sin A B A B =,最后根据基本不等式求最值的可求得结果.【详解】由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=,又因为22213b a c -=,所以2212cos 3c c bc A +=,即242cos 3c bc A =,化简得2c s 3o c b A =,由正弦定理可得,s 2i si c 3n s n o A B C =,即()2sin 3sin cos A B B A +=,n 2sin cos 2cos sin cos 3si A B A B B A =+,化简得2sin cos cos sin A B A B =.1sin cos tan 222tan cos sin A B A B A B +=+≥当且仅当sin cos cos sin A B A B =时,等号成立,1tan tan A B +取得最小值.即cos cos sin sin 0A B A B -=，cos cos sin sin ,A B A B =()cos 0,cos 0A B C +==,因为()0,πC ∈,所以π2C =.故答案为:π215．(2)112e - 【分析】（1）利用模长计算公式和数量积的运算规律计算即可；（2）由投影向量的概念和公式求解123e e - 在1e上的投影向量即可.【详解】（1）1223e e +=（2）123e e - 在1e 上的投影向量为()121111312e e e e e e -⋅⋅=-．16．(1)154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)【分析】（1）根据图象得出A =，34T ，求出ω，再将11,3Q ⎛ ⎝代入，结合π2ϕ<，求出ϕ，得出解析式，在求出单调递增区间即可．（2）()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用同角三角函数关系式，得出0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，00ππππcos cos 2233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，用和角关系式展开求值即可．【详解】（1）由题得A =，334T =，故4T =，π2=ω．由113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得π113π2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，故π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，π2ϕ<，故π3ϕ=-，故()ππ23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．ππππ152π2π44,Z 223233k x k k x k k -+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，即()f x 单调递增区间为154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦17．(1)证明见解析(2)2114【分析】（1）要证明平面PAD ⊥平面PBC ，只需证明BC ⊥平面PAD ，进而转化为证明PD BC ⊥；（2）通过把AM 平移至EN ，从而证明出EBN ∠就是BE 与平面PBC 所成的角，再计算出EN 和BE 即可求解。

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（）A. B. C. D. 8 设，，，则（）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或（2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

杭州高级中学2023学年第一学期期末考试高二数学考试试题(附答案解析)

杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷命题：高二数学备课组审题：高二数学备课组1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。

本卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。

3. 答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卡。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线10x ++=的倾斜角的大小为( ) A. 30B. 60C. 120D. 1502.若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+,则12100111a a a +++= ( ) A.100101B.1101 C.101100D.991003.若数列{}n a 满足112,1n nn a a a a +==−,则2024a =( ) A. 3B. 2C.12D. 1−4.在空间四边形ABCD 中,,,DA a DB b DC c === ,且,2DM MA BN NC == ,则MN =( ) A.112233a b c −−B. 121233a b c −++C. 112233a b c −++D. 111222a b c −++5.以下四个命题中,正确的是( )A. 若1123OP OA OB =+,则,,P A B 三点共线 B. 若{},,a b c为空间的一个基底,则{},,a b b c c a +++ 构成空间的另一个基底C. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D. 若a b a c ⋅=⋅,且0a ≠ ,则b c =6.已知圆221:(2)(4)16C x y −++=,圆222:230C x y x ++−=,则两圆的公切线的条数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 47.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10301,13S S ==,则40S =( ) A. 20−B. 40C. 27D. 51−8.双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 是双曲线左支上一点,1290F MF ∠= ,直线2MF 交双曲线的另一支于点N ,22MN NF =,则双曲线的离心率( )A. 3B. 9C.D. 2二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.下列求导运算正确的是( )A. 若()cos(23)f x x =+,则()2sin(23)f x x ′=+ B. 若21()x f x e −+=,则21()x f x e −+′= C. 若()x x f x e =,则1()xxf x e −′=D. 若()ln f x x x =,则()ln 1f x x ′=+ 10.某次辩论赛有7位评委进行评分,首先7位评委各给出某选手一个原始分数,评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分,得到5个有效评分.则这5个有效评分与7个原始评分相比,数字特征可能不同的是( ) A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 方差11.在直三棱柱111ABC A B C −中,90BAC ∠= ,12AB AC AA ===,,E F 分别是11,BC A C 的中点,D 在线段11B C 上,则下面说法中正确的有( )A. //EF 平面11AA B BB. 若D 是11B C 上的中点,则BD EF ⊥C. 直线EF 与平面ABCD. 存在点D 使直线BD 与直线EF 平行12.在平面直角坐标系xOy 中,已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A −−,若动点P 满足126,PF PF +=则( )A. 存在点P ,使得21PF =B. 12PF F ∆面积的最大值为 C. 对任意的点P ,都有292PA PF +>D. 椭圆上存在2个点P ,使得1PAF ∆的面积为32三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中,12565,7a a a a +=+=,则910a a += .14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .15.若函数2()1ln f x x x a x =−++在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 .16.高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数,其中,[]x x ∈R 表示不超过x 的最大整数,如[]3,[ 3.5]4π=−=−.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ,设1n n a a +的前n 项和为n S ,[]{}n S 的前n 项和为n T .则(1)3T = ；(2)满足2024n T ≥的最小正整数n 为．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = (1)求C ； (2)若5c =,ABC ∆的面积为求ABC ∆的周长.18.如图，在平行四边形ABCD 中,1,2,60AB BC ABC ==∠= ,四边形ACEF 为正方形,且平面ABCD ⊥平面ACEF .(1)证明:AB CF ⊥；(2)求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.19.已知函数32()2f x x ax =−. (1)讨论()f x 的单调性；(2)已知1a =时,直线:l y kx =为曲线32()2f x x ax =−的切线,求实数k 的值．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若112 1 2n n n b n a n −−= 为奇数为偶数,{}n b 的前n 项和为n T ,求2n T .21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点11(,)A x y 是曲线C 上一点． (1)若154AF y =,求点A 的坐标； (2)若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ,求||AB .22.已知双曲线2222:1(0,0)x C a b a b y −=>>的渐近线方程为y =,焦点到渐近线的距离为1,过点(0,4)M 作直线AB (不与y 轴重合)与双曲线C 相交于,A B 两点,过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ,使得直线EB 过定点P ,若存在,求t 的值及定点P 的坐标；若不存在,说明理由.杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷命题：高二数学备课组审题：高二数学备课组1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
第一学期高二年级期末考试数学试卷
答卷须知：1.请认真阅读每题的答题要求后，再按要求解题；
2.本卷共19道题，试卷满分为100分，其中一卷1
－10题共40分，二卷11－19题共60分；本科目考试时间为100分钟
第一卷
一、
选择题（本题共10小题，每题4分，共40分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案前的字母填入对应的答题
1．给出下列命题：(1)
2≥+b a ；(2)若ac 2 <bc 2，则a<b ；(3) ab b a 2≥+； (4) 若a > b ，则b
a 1
1<；(5)若a>b ，c>d ，则a-d > b-c ；其中正确的命题有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个(D) 4个
2．若x < 0，则x
x 432-
-有 (A) 最大值342-(B)最大值342+ (C)最小值342-(D)最小值342+
3．直线2
365sin -⋅=πx y 的斜率等于 (A) 23-(B) 23 (C) 2
1(D) 21-
4．经过两点A(-2，0)，B(-5，-3)的直线倾斜角大小为 (A)
4π(B) 4
3π (C)
4
5π
(D)
4
π
-
5．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 (A)y ＝|x|(B) y = x(C) y=±x(D)
x
y 1=
6．若x 2 + y 2 + ( m －1 ) x + 2 my + m = 表示圆，则m 的取值范围是
(A) m > 0 (B) m > 1或m <5
1
(C) 151≤≤m (D) m ∈R
7．抛物线2
2x y -=的准线方程是
(A) 81=
y (B) 21=y (C) 41
=x (D) 8
1
=x
8．直线方程为13
2-=-y
x ，则该直线在x 、y 轴上的截距分别为
(A) 2，3 (B) 2，－3 (C) －2，－3 (D) －2，3
9．与曲线
1492422=+y x 共焦点，而与曲线164
362
2=-y x 共渐近线的双曲线方程为 (A)191622=-y x (B) 191622=-x y (C) 116922=-x y (D) 116
92
2=-y x 10．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
(A) 04
122
2
=---+y x y x (B) 0122
2=+-++y x y x
(C) 0122
2=+--+y x y x (D) 04
1222=+--+y x y x
新疆克拉玛依市20XX —20XX 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷
第二卷
二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分，请将答案直接填在题后的横线上）
11．不等式08
25
32
2<+--++x x x x 的解集为
______________________________________
12．直线2x －7y －6＝0和x －2
7
y ＋4＝0间的距离等于
____________________________
13．若直线03)1()2(=--++y a x a 与直线02)32()1(=+++-y a x a 垂直，则
a =___
14．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19
72
2=-y x 有下列命题： ① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;
② 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点;
④ 椭圆与双曲线有两个顶点相同.。

其中正确命题的序号是___________ .
解答题（本大题5小题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演
．（8分）已知双曲线方程为5x 2－4y 2＝20，分别求出该双曲线的中心坐标、
顶点坐标、焦点坐标、准线方程、渐进线方程、离心率、双曲线上到一个焦点距离为6的点P 到两准线的距离。

．（10分）半径为5的圆过点A (－2, 4)，并且以M (－1, 3)为中点的弦长为43，
求此圆的方程．．（10分）已知双曲线1C 和椭圆2C ：
124
492
2=+y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是1e 和2e ，且21
12
1=+
e e ，求双曲线1C 的标准方程．．（10分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(a , －3)
到焦点的距离等于5，求a 的值，并写出抛物线的方程，准线方程，焦点坐标．
19．（10分）已知ΔABC的两个顶点为B(1,2)和C(-1,-1), ∠A的平分线AD所在直线的方程是2x+y-1=0，求顶点A的坐标．
参考答案：
二、填空题
11．{x | x < - 4或x > 2 }；12．53
53
14；13．±1；14．①、②；三、
解答题（解答题出现其它解法，阅卷时根据答题情况酌情给分）
15．解：∵5x 2－4y 2＝20 ∴双曲线标准方程为15
422=-y x 所以中心坐标为（0，0），顶点坐标为（±2，0）………2分
焦点坐标为（±3，0），准线方程为x ＝±
3
4
………4分渐进线方程为x y 25±=，离心率e ＝2
3
………6分 P 到两准线的距离分别为4和3
20
………8分
16．解：设所求圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝25………2分
则⎩⎨⎧-=-++=-+--2
2222)
32(25)3()1(25)4()2(b a b a ………6分
解之可得：⎩⎨⎧⎩⎨⎧====1b 2
a 0
1或b a ………8分
所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25 或(x －2)2＋(y －1)2＝
25………10分 17．解：由题易知椭圆C 2的焦点坐标为（±5，0），离心率7
5
2
=
e ………2分所以可设双曲线C 1方程为：12522
22=--a
y a x ………5分
因为2112
1=+e e ，所以35257111=∴=+e e ………7分
由53
5
1===
c a c e 及可得a ＝3 ………9分
所以所求双曲线C 1的方程为
116
92
2=-y x ………10分 18．解：由题可知抛物线标准方程为x 2 =－2py ( p > 0 ) ………2分由抛物线定义知5)3(2
=--p
，解得p ＝4
………5分
所以所求抛物线方程为x 2 =－8y ………6分
焦点坐标F （0，－2），准线方程为y ＝2 ………
8分
由点（a ，－3）在抛物线上，则a 2 ＝－8×（－3）＝
24 ………9分
所以a ＝±62………10分
19．解1：设A （a,1-2a ）
AD AB AD
AB
AC AD AC AD AB AD AC k k k k k k k k a a k k a a k -+-=⋅+--+=
-=++-=11:121,2,122由到角公式得
解得：513-=a ∴ )5
31
,513(-A
解2：解方程 3x-2y+1=0、2x+y-1=0联立组成的方程组，可得点D(7
5
,71)
∵）（I x x x x BD CD AB AC D B C D 3
4=--== 设A （a ,1-2a ）代入（I ），解出)5
31
,513(513-∴-=A a 解3：∵∠A 的平分线是∠A 的对称轴
∴点B （1，2）关于直线AD ：2x+y-1=0对称点'B 在直线AC 上，设'B （x 0,y 0）
∵:'1
'可得上中点在及AD BB k k AD
BB -=⋅
)
5
4,57(':012
22121)2(1
2
0000-⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+++⋅-=-⋅--B y x x y 解得
由C （-1，-1）及)5
4,57('-B 解出AC 方程：9x+2y+11=0,
由)5
31
,513(:0
1201129-⎩⎨
⎧=-+=++A y x y x 解得。