湖北省“四校联合体”高三第一次联考(数学文)
2025届湖北省重点高中协作体高三一诊考试数学试卷含解析
2025届湖北省重点高中协作体高三一诊考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．232．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(33．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B 15C 26D ．155．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．26．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②7．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 58．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A 3B ．2C ．4D ．2310．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．)31±C ．)31±D ．511．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18B ．17C ．16D ．1512．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43B ．54C ．65D ．76二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。
湖北省部分重点中学2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含解析
湖北省部分重点中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3. 函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.4. 已知满足，则目标函数的最小值是（）A. 2B. 3C. 5D. 65. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.6. 下列结论中正确的是（）A. “”是“”的必要不充分条件B. 命题“若，则.”的否命题是“若，则”C. “”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件D. 命题：“，”的否定是“，”7. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（）A. 3B.C.D.8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.9. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）A. B. C. D.10. 已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 已知数列满足，，则数列的前40项的和为（）A. B. C. D.12. 设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量的夹角为，且，，则__________．14. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差__________．..........间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．16. 在中，若，则的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知向量，，函数.（Ⅰ）求函数的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域.18. 中，角的对边分别为，，，为边中点，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.19. 如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，.现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.20. 已知数列的各项为正数，其前项和满足.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项的和；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.21. 已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；（Ⅱ）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.23. 设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围.湖北省部分重点中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故故答案为C。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三数学上学期第一次联考试题文
荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三第一次联考文科数学试题本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卡上.1．设复数z 满足)1(3i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合{}4,3,2,1=A ，{}0))(1(<--=a x x x B ，若集合{}3,2=B A ，则实数a 的范围是（ ）A ．43<<aB ．43≤<aC ．43<≤aD ．3>a3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=2)(x xx f α)0()0(<≥x x ，且)2()2(f f =-，则=)4(f （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 4．已知数列}{n a 为等差数列，3321=++a a a ，9765=++a a a ，则=10a （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．若锐角α满足53)4cos(=+πα，则=α2sin （ ）A ．257 B ．2516 C ．2518 D ． 2524 6．已知与的夹角为3π2=2=-=+（ ） A ．6 B ．7 C ．22 D ． 32 7．函数)sin(2)(ϕω+=x x f )22,0(πϕπω<<->的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移6π个单位后的解析式为（ ）A ．)62sin(2π-=x yB ．)2sin(2x y =C ．)62sin(2π+=x yD ．)32sin(2π+=x y8．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若20x x -=，则0x =或1x =”的否命题为“若02=-x x ，则0x ≠且1x ≠”D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤9．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是（ ）A B C D10．已知函数x ax ax x f ln 4)(2--=，则)(x f 在)3,1(上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．是（ ） A ．)61,(-∞∈a B ．),21(+∞-∈a C ．)61,21(-∈a D ． ),21(+∞∈a第7题图11．下列函数在]2,0[π上是增函数的是（ ）A ．x x y 2cos 2sin -=B ．x x y 2cos 2sin +=C ．x x y cos 22sin -=D ．x x y cos 22sin +=12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧---=m xx mx f x 22)(2)0()0(≤>x x ，若函数m x f x g -=)()(恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)21,(-∞ B ．)1,(-∞ C ．)1,21( D ．),1(+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
湖北省重点高中联考协作体2022年高三下第一次测试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．162．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④3．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29B ．2932-C ．1923-D ．54．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤5．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．47．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．3210．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ） A ．0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,311．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-12．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题含答案
高三数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,Z |M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊂ B.N P⊂ C.P M N = D.M N =∅2.已知b ，R λ∈，虚数1i z b =+是方程2230x x λ++=的根，则λ=（）A.4- B.2- C.4D.23.已知向量(cos ,sin )m θθ= ，(1,2)n = ，若//m n，则2sin 2cos θθ+=（）A.2B.85C.1D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是（）cm.A.5400πB.90πC.180πD.40π5.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()1P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（）A.5B.112C.203D.1636.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A.147π4B.3433π16C. D.48π7.设函数320.5()()log ()f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则a ，b 满足的关系式为（）A.a b= B.a b=- C.1a b += D.1b a -=8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为()01p p <<，他掷了k 次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X 表示每掷N 次骰子出现1点的次数，现以使()6P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .（若有多个N 使()6P X =最大，则取其中的最小N 值）.下列说法正确的是（）A.()6E x >B.()6E X <C.()6E X = D.()E X 与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()332f x x x =--，则（）A.()f x 的极小值点为1B.()f x 有三个零点C.点()0,2-为曲线()y f x =的对称中心D.过点()0,2可以做曲线()y f x =的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的关系都符合函数sin()y A x h ωϕ=++（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<，R h ∈）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（）A.水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的函数关系为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24)x ∈B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆()22:201M x ax y a -+=>-，过点()2,0P -向圆M 引切线l，切点为Q ，记Q 的轨迹为曲线C ，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1-C.C 的渐近线为1x =D.当点()00,x y 在C 上时，0y ≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在()3nx -的展开式中，若2x 的系数为()2n a n ≥，则2323333nna a a +++= --_____.13.M 、N 分别为曲线e 2xy x =+与直线31y x =-上的点，则MN 的最小值为______.14.将椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>上所有的点绕原点逆时针旋转π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角，得到椭圆2C 的方程：223x y xy +-=，椭圆2C 的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin b C B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =2b a -=，求AB 边上的中线长.16.（本题满分15分）已知平面内一动圆过点()2,0P ，且在y 轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点()4,0Q 的直线l 与曲线C 交于点M ，N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.（本题满分15分）某学校有A ，B 两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A 餐厅用餐的概率是23.如果第1天去A 餐厅，那么第2天继续去A 餐厅的概率为13；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为12，如此往复.（1）计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.（2）记王同学第n 天去A 餐厅用餐概率为n P ，求n P ；（3）求九月（30天）王同学去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率的天数.18.（本题满分17分）已知函数()()()2ln 1cos 2g x t t =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.19.（本题满分17分）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S 的方程，若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解；②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上，则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =，方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=.（1）写出坐标平面xOz 的方程（无需说明理由），并说明xOz 平面截曲面C 所得交线是什么曲线；（2）已知直线l 过曲面C 上一点()1,1,2Q ---，以()1,0,2d =为方向量，求证：直线l 在曲面C 上（即l 上任意一点均在曲面C 上）；（3）已知曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ，求异面直线l （第二间中的直线l ）与l '所成角的余弦值.2024年高三9月起点考试高三数学答案1234567891011C AC BD ACBACABDABD12.()181n n-13.514.31.因为6为2和3的公倍数，故P M N= 2.1i z b =+是方程的根，则方程另一根为1i z b =-，故242λλ-=⇒=-.3.由于//sin 2cos tan 2m n θθθ⇒=⇒=，2222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 2sin cos cos 1sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ+++=+===++.4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动453302=周，当大轮的转速为180/min r 时，小轮转速为2180270/min 3r ⨯=，小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：2702π609π⨯÷=.又小轮的半径为10cm ，所以小轮周上一点每1s 转过的弧长为：9π1090cm ⨯=.5.143a a +=⇒=，1911913916(3)1033333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等. 6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为732，边长为12的正三角形内切圆半径为4>，故能放入最大球半径为4，表面积为42147π4π44⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭7.3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立， y x a =-在定义域上单调增且零点为x a =，()0.5log y x b =+在定义域上单调减且零点为1x b =-，故y x a =-与()0.5log y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=.8.X 服从二项分布(),B N P ，则666(6)C (1)N N P X p p -==-，()6P X =最大即为满足66666511C (1)C (1)N N N N p p p p --++-≥-的最小N ，即为6666651C (1)15611111C (1)N N N N p p N N p N p p p -----≥⇔⋅≥⇔≥--+-，又N N +∈，故61p -为整数时，61N p=-，()6E X Np =<；61p -不为整数时N 为大于61p -的最小整数，为6p的整数部分，()6E X Np =<.故()6E X <，9.2()3301f x x x '=-=⇒=±，其中1-为极大值点，1为极小值点，A 对；()10f -=，()14f =-，故()f x 有两个零点，B 错；()600f x x x ''==⇒=，()02f =-，故()0,2-为曲线()y f x =的对称中心，C 对；()0,2在对称中心()0,2-处的切线上方，故只能做一条切线，D 错.10.依题意3A =，10472h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数3sin 76y x πϕ=+⎛⎫⎪⎝⎭+的图象过点()2,10，即πsin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24]x ∈.故A 对依题意，ππ3sin 76 2.566024x x ⎧⎛⎫++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin 662024x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B 对.该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为ππ3sin 1977 5.5662y ⎛⎫=⨯++=+<⎪⎝⎭，故C 错，该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 2.5y x =-++函数0.36 2.5y x =-++与ππ3sin 766y x ⎛⎫⎪⎝⎭=++的图像交于点()5,7，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D 对.11.圆222:()M x a y a -+=，圆心(,0)M a ，半径a ，且1a >-，且0a ≠.()2240440a a -++=+> ，则点()2,0P -在圆M 外.由题意知MQ PQ ⊥，设(),Q x y ，则22(,)(2,)(2)20MQ PQ x a y x y x y a x a ⋅=-⋅+=++--= ①又点Q 在圆M 上，则2220x ax y -+=②，①-②得，()22a x a +=，解得22xa x=-③，由1a >-且0a ≠，解得22x -<<，且0x ≠将③代入②消a 得，22(2)2x x y x+=-，(2,0)(0,2)x ∈- 即为曲线C 的方程.设2(2)()2x x f x x +=-，[2,2)x ∈-，则222(24)()(2)x x x f x x --'=--，令()0f x '=解得1x =-，或0x =，或1x =+当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.且()20f -=，()00f =，当2x →时，y →+∞.且当0y ≥时，函数()g x =与()f x 单调性相同，且()20g -=，()00g =，当2x →时，y →+∞.故()g x 的大致图象如下图，又由方程22(2)2x x y x+=-可知曲线C 关于x 轴对称，2x ≠-且0x ≠.故曲线C的大致图象为如下图，故C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为15-，浙近线为2x =，A 、B 项正确，C 错误；D 项，当点00(,)x y 在C 上时，则2200022x y x x +=⋅-由020x -<<，或002x <<.得2004x <<，又00202x x +>-，2200000022422x x y x x x ++=⋅<⋅--，则00022x y x +<-，所以000222x y x +≤-D 正确；12.由二项式定理通项公式得222(1)332n n n n n n a C ---==⋅，则2323181818(1)1(1)3n n n n a n n n nn n -⋅===----⋅，则23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- .13.x()e 2(31)e 10xf x x x x =+--=-+>恒成立，则曲线e 2x y x =+在直线31y x =-上方，则当M 处切线与直线31y x =-平行时MN 最小，e 2x y x =+求导得e 230x y x '=+=⇒=，此时点()0,1M 到直线距离即为最短距高，此时5MN ===∣∣.14.设点(),P x y 在该椭圆上，则其关于y x =的对称点(),P y x '代入椭圆方程有223y x yx +-=，即223x y xy +-=，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y x =-的对称点(),P y x '--也位于椭圆方程上，则223x y xy +-=关于y x =±对称，将y x =代入223x y xy +-=可得23x =，可得椭圆长轴的顶点为，(，所以a ==将y x =-代入223x y xy +-=可得21x =，可得椭圆短轴的顶点为(1,1)-，(1,1)-，所以b ==，则2c ==，则e3c a ===.15.（1）π3C =（2解：（1）因为()1cos sin b C B +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin B C C B +=.又因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以1cos C +=.整理得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πC ∈，所以ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，所以π3C =.（6分）（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且c =则有22252()a b ab a b ab =+-=-+，又2b a -=，故48ab =.（8分）设AB 边上中线为CM ，则1()2CM CA CB =+∣，222211()[()3]3744CM a b ab a b ab =++=-+= ，故AB （13分）16.（1）24y x =；（2）过定点，定点为原点.解：（1）设动圆圆心(),x y ，当0x ≠=24y x =；当0x =时，点C 的轨迹为点()0,0，满足24y x =.综上可知，点C 的轨迹方程为24y x =.（5分）（2）设直线l 方程为：4x my =+，则22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，0∆>恒成立，1212416y y m y y +=⎧⇒⎨=-⎩，设圆心为P ，则2p y m =，224p x m =+，2(24,2)P m m +，（8分）直径12MN y =-=，故圆P 的方程为222222[(24)](2)4(1)(4)2MN x m y m m m ⎛⎫-++-==++ ⎪⎝⎭，由对称性可知，若存在定点，则必在x 轴上，令0y =，则22222[(24)](2)4(1)(4)x m m m m -++=++，（12分）化简得：()22420x m x -+=对R m ∀∈恒成立，故0x =，∴存在定点()0,0，故以MN 为直径的圆过定点()0,0.（15分）17.（1）718；（2）13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭；（3）1天.解：（1）设1A 表示第1天去A 餐厅，2A 表示第2天去A 餐厅，则1A 表示第1天去B 餐厅，根据题意得，12()3P A =，()113P A =，()2113P A A =，()2111122P A A =-=，所以()()()()()212112121117333218P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.（4分）（2）设n A 表示第n 天去A 餐厅用餐，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，根据题意得，()113n n P A A +=∣，()111122n n P A A +=-=，由全概率公式得，()()()()()()111111113262n n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-=-+，即11162n n P P +=-+，（7分）整理得，1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列，13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（10分）（3）由题意，只需1n n P P >-，即1(1,2,,10)2n P n >= ，则1351172162n -⎛⎫+⨯-> ⎪⎝⎭，即113(1,2,,30)610n n -⎛⎫->= ⎪⎝⎭ ，显然n 必为奇数，n 为偶数时不成立，当1,3,,29n = 时，考虑111136610n n --⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解，当1n =时，3110>显然成立，当3n =时，2130610⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不成立，由116n y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减得，5,7,,29n = 时，也不成立，综上，该同学只有1天去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率.（15分）18.（1）()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（2）2a =；（3）证明见解析.解：（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则000()(2)y f x g x ==--，则0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++，0(1)x >-故()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（5分）（2）令()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，()1x >-，则在()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，又()00h =，且()h x 在)1(,x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=，下证当2a =时，()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111x x x x ϕ'=-=-++,当()1,0x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当,()0x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，故()()00x ϕϕ≤=，()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣恒成立，综上，2a =.（11分）（3）证明：由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122n k n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭∑，又由（2）可知：()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在()0,+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，*N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f n =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.（17分）19.（1）0y =，双曲线：（2）证明见解析：（3）810+.解：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz 的方程为0y =，已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=，当0y =时，xOz 平面截曲面C 所得交线上的点(),0,M x z 满足2214z x -=，从而xOz 平面截曲面C 所得交线是平面xOz 上，以原点O 为对称中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）（2）设000(,,)P x y z 是直线l 上任意一点，由()1,0,2d = ，QP 均为直线l 的方向向量，有//QP d ，从而存在实数λ，使得//QP d λ ，即()()0001,1,21,0,2x y z λ+++=，则00011022x y z λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得01x λ=-，01y =-，022z λ=-，所以点p 的坐标为()1,1,22λλ---，于是22222(1)(1)(22)211(21)1114λλλλλλ---+-=-++--+=，因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程，从而直线l 在曲面C 上.（10分）（3）直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点，直线!的方向向量为(,,)d a b c '= ，由d ' ，TM 均为直线l '的方向向量，有//TM d ' ，从而存在实数t ，使得TM td '= ，即()()1111,,,,x y z t a b c -=，则1111x at y bt z ct -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得11x at =+，1y bt =，1z ct =，所以点M 的坐标为()1,,at bt ct +，111(,,)M x y z 在曲面C 上，222(1)()()1114at bt ct +∴+-=，整理得2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意，对任意的t ，有2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭恒成立，22204c a b ∴+-=，且20a =，2c b ∴=或2c b =-，不妨取1b =，2c =或2-，(0,1,2)d '∴= ，或(0,1,2)d '=- ，又直线l 的方向向量为(0,1,2)d =则异面直线l 与l '所成角的余弦值均为45d d d d '⋅==' .（17分）。
2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题(解析版)
2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题一、单选题1．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-【答案】B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+， 又22z i =-+，所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+， 因此其虚部为75-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型.2．设x ∈R ，则“2x >”是“22x >”的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出22x x >⇔>或x <【详解】22x x >⇔>或x <2x >⇒x >x <，但后面推不出前面，∴“2x >”是“22x >” 充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的关系求解充分不必要条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.3．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩， ∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题. 4．若正数,x y 满足135y x+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245 B ．285C ．5D ．25【答案】C【解析】根据正数,x y 满足135y x +=，可得11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11334(34)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求得结果.【详解】 正数,x y 满足135y x+=， 则1131312131234(34)131325555x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21x y ==时取等号， 34x y ∴+的最小值是5.故选：C . 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题方法为“1”的代换法，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0,上单调递减，()30f -=，则不等式()10f x ->的解集为（ ） A ．()3,3- B ．()(),21,4-∞-C ．()(),41,2-∞--D ．()()303,,-∞-【答案】B【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x 的取值范围，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0,上单调递减，则()f x 在,0上递减，又由()30f -=，则()30f =，则函数()f x 的草图如图：若()10f x ->，则有13x -<-或013x <-<，解得2x <-或14x << 即不等式的解集为()(),21,4-∞-；故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集. 6．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26C ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为MA MB +的最小值. 【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且()()22=32+61=26A B '--故选：B . 【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.7．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，12AA AB==，60BAD∠=︒，M是1BB的中点，则异面直线1A M与1B C所成角的余弦值为（）A．105-B．15-C．15D．105【答案】D【解析】用向量1,,AB BC BB分别表示11,AM BC,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,22B C BC BB B C BC BB=-=+=()2111111111112cos,210210AB BB BC BB AB BC BBA MB CA MB CA MB C⎛⎫-⋅-⋅+⎪⋅⎝⎭〈〉===122cos6041025210⨯⨯+⨯==故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.8．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s为（）A．52B．3 C．72D．4【解析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 9．()621x y ++的展开式中，3xy 的系数为（ ）. A ．120 B ．480 C ．240 D ．320【答案】A【解析】直接根据三项的二项展开式的特点，写出3xy 项，即可得答案； 【详解】()621x y ++的展开式中，3xy 项是由6个因式()21x y ++中，1个因式出2x ，3个因式出y ，2个因式出1，∴含3xy 的项为31332652(2)1120C x C y C xy ⋅⋅⋅⋅⋅=，∴3xy 的系数为120，故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据二项式定理知识的生成过程，直接求解.10．已知圆O ：221x y +=上恰有两个点到直线l ：1y kx =+的距离为12，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．20,,323πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B ．20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．2,,3223ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2,,323ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】根据圆心到直线的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围. 【详解】设圆心到直线的距离为d .因为圆O ：221x y +=上恰有两个点到直线l ：1y kx =+的距离为12，故13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1322<<，解得k << 故倾斜角的范围为20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线的距离的范围，本题属于中档题.11．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A ．14B ．516C ．38D ．12【答案】B【解析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题. 则每次都有加1或者减1两种选择，共有6264=种可能； 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：3620C =种可能.故满足题意的概率2056416P ==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.12．若函数()2()24xf x x mx e =-+在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2017,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2017,32⎛⎫⎪⎝⎭ C ．205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先求出导函数，使()f x '在区间(2,3)上有解，分离参数可得22242(1)411x m x x x -==++-++，设1,(3,4)x t t +=∈，从而可得22()m t g t t=+=，利用导数即可求解. 【详解】因为函数()2()24xf x x mx e =-+， 所以()22()24(4)2(4)4xx x f x exmx e x m e x m x m '⎡⎤=-++-=+-+-⎣⎦，若()f x 在区间(2,3)上不是单调函数， 则()0f x '=在区间(2,3)上有解，即22(4)40x m x m +-+-=在区间(2,3)上有解，即2222(1)4(1)2242(1)4111x x x m x x x x +-++-===++-+++设1,(3,4)x t t +=∈，则22()m t g t t=+=， 22()20g t t '=->， 2017(3)()(4)32g g t g =<<= 所以201732m <<， 实数m 的取值范围是2017,32⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为________. 【答案】3-【解析】根据向量垂直则数量积为零，即可由坐标计算求得结果. 【详解】容易知a b +()2,1k =-+ 因为()a b a +⊥， 故可得210k ++=， 解得3k =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算，属简单题.14．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778≈≈≈，ln160009.6803≈.【答案】199【解析】设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000xN N +=，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知00(10.05)16000xN N +=，解得ln16000198.4ln1.05x =≈，又因为x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍. 故答案为：199. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F 且斜率为3的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B （B 在右侧），若()220BA BF AF+⋅=，则C 的离心率为______.【答案】1132+ 【解析】先由()220BA BF AF +⋅=，得出2BF BA =，再由双曲线的定义，求出112AF BF BA a =-=，2124AF a AF a =+=，根据直线斜率得到1260AF F ∠=，由余弦定理列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由()()()22222220BA BF AF BA BF BF BA BF BA +⋅=+⋅-=-=得2BF BA =， 又由题意可得，A 为双曲线左支上的点，B 为双曲线右支上的点， 根据双曲线的定义可得，122BF BF a -=，212AF AF a -=， 所以112AF BF BA a =-=，因此2124AF a AF a =+=， 因为直线AB 的斜率为3，所以1260AF F ∠=， 又122F F c =， 所以22222222112211244163cos 602422AF F F AF a c a c a AF F F a c ac+-+--===⋅，即2230c ac a --=，所以230e e --=， 解得1132e +=或1132e -=（舍，双曲线的离心率大于1）. 故答案为：1132+.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的定义和双曲线的简单性质即可，属于常考题型.16．在数列{}n a 中，11a =，且()131nn n a a +=+-，则数列{}n a 的前2021项和为______.【答案】2022318- 【解析】由已知条件可得1111(1)3(=1)44n n n n a a ++⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦，即得数列的通项公式31(1)44n n n a =--，从而可得前2021项和.【详解】由()131nn n a a +=+-可得1111(1)3(=1)44n n n n a a ++⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦， 所以数列1(1)4n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为3的等比数列，所以31(1)44nn n a =--，212212212123131(1)(1)34444n n n n n n n a a ----+=--+--=，()()()()12342020201010202120222021220191319313114489S a a a a a a a -=+++++++=++=-- 故答案为：2022318-【点睛】本题考查由递推关系式求通项，考查求数列的前n 项和，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，37a = ，且249,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.【解析】（1）根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解； （2）根据（1）中所求，用裂项求和法即可求得结果. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为2a ， 4a ，9a 成等比数列2429a a a ∴=，可得()()2111(3)8a d a d a d +=++，213d a d ∴=，0d ≠，所以13d a =，又3127a a d =+=,解得11a =，3d =，32n a n ∴=-；（2）111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭1211111111131434733231n n S b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111313131n n S n n ⎛⎫∴=-= ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查利用等差数列的基本量求通项公式，以及用裂项求和法求数列的前n 项和，涉及等比中项的应用，属中档题. 18．已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和. 【答案】（1）满足的条件为①③；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）2π3【解析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得ω的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式； （2）将()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入方程()10f x +=，求得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而确定出()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ，结合题中所给的范围，得到结果. 【详解】（1）函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，πT =，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 由①可知2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为()10f x +=，所以π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ， 所以()ππ6x k k =-+∈Z 或()ππ2x k k =+∈Z ，又因为[]π,πx ∈-，所以x 的取值为π6-，5π6，π2-，π2，所以方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有的解的和为2π3. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且3EC BE =，设ACBD O =.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）15-【解析】（1）由已知可得BD AC ⊥，BD PA ⊥，由直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ，得到BD PO ⊥，再由PO AC ⊥，进一步得到PO ⊥平面ABCD ； （2）由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，BD AC ⊥，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设四边形ABCD 的边长为4，PO a =，由PA PE ⊥列式求解a ，可得所用点的坐标，再求出平面PAE 与平面PEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A PE C --的余弦值. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，BD AC ⊥， ∵BD PA ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥.∵PA PC =，O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥. ∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，BD AC ⊥.∴以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 设四边形ABCD 的边长为4，PO a =.∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴ABD △与BCD 都是等边三角形. ∴23OA OC ==∴()0,0,P a，()A，()C -，3,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()2PA a =-，3,2PE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,02EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∵PA PE⊥，∴()32,02PA PE a a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，即230a -+=，得a =∴(2PA =，3,2PE ⎛=- ⎝.设平面PAE 的法向量为()111,,m x yz =，由1111123033022m PA m PE xy ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12z =，得2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；设平面PEC 的一个法向量为()222,,n x y z =，由2222233023302n EC x y n PE y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取21x =-，得()1,3,2n =-. 设二面角A PE C --的平面角为θ，由图可得，θ为钝角，则15cos 5m n m nθ⋅=-=-⋅. ∴二面角A PE C --的余弦值为. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半120+=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1) 2211612x y +=;(2)12k k 为定值127-.【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于,,a b c 的方程组，过得,,a b c ，从而得到椭圆的方程；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程消去x ，得到关于y 的方程，再利用韦达定理得到12,y y 之间的关系，从而得到12k k 的关系．试题解析：（1）由题意得2221,2,,c a b a b c ===+解得4,{2,a b c ===故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由221,{16123,x y x my +==+ 得22(34)18210m y my ++-=．∴1221834m y y m -+=+，1222134y y m -=+， 由A ，P ，M 三点共线可知，111643M y y x =+，所以112834M y y x =⋅+； 同理可得222834N y y x =⋅+ 所以1291616493333N M N My y y y k k =⨯=--121216(4)(4)y y x x =++． 因为1212(4)(4)(7)(7)x x my my ++=++212127()49m y y m y y =+++，所以121221212167()49y y k k m y y m y y =+++222221161234211877493434m m m m m -⨯+==---⨯+⨯+++．【考点】1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率． 【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式AB ＝2121k x x +-或AB ＝解决，往往会更简单．21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()2,n n n *≥∈N个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y . ①求X 的分布列及数学期望()E X ；②当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.【答案】（1）分布列见解析；期望为34；（2）①分布列见解析；期望为()222n +；②n的值为2.【解析】（1）由题意，根据分层抽样，确定抽取的二级、一级口罩个数分别为6，2，得出X 的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可求出期望； （2）①先由题意，得到X 的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而求出对应的期望；②根据题意，得到Y nX =，由（1）的结果，根据期望的运算性质，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，样本中一级口罩和二级口罩的频率之比为：()()0.20.05:10.20.051:3+--=，按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2. 故X 的可能取值为0，1，2.()3062385014C C P X C ⋅===，()21623815128C C P X C ⋅===，()1262383228C C P X C ⋅===， 所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. （2）①由题知，X 的可能取值为0，1，2，()()221012P X n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+⎝⎭，()()()221112122P X n n ⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭， ()()4122P X n ==+，所以X 的分布列为所以()()()()()42222222112122E X n n n n ⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪++=⎝⎭++=.②因为Y nX =，所以()()()22214424nE Y nE X n n n ===≤=+++，当且仅当2n =时取等号，所以()E Y 取最大值时，n 的值为2. 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，熟记离散型随机变量的分布列和期望的概念，以及期望的运算性质即可，属于常考题型. 22．设()()2sin cos ,4f x x x x g x x =+=+.（1）讨论()f x 在[],ππ-上的单调性；（2）令()()()4h x g x f x =-，试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先求导得到()cos f x x x '=，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据2()44sin 4cos h x x x x x =+--，(0)0h =得到0x =是()h x 的一个零点，再根据()h x 是偶函数得到()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可，再求出()h x 在0x >时的单调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()0f x '=，则0x =或2x π=±.,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.()f x ∴的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）2()44sin 4cos h x x x x x =+--，因为(0)0h =，所以0x =是()h x 的一个零点.22()()44()sin()4cos()44sin 4cos ()h x x x x x x x x x h x -=-+-----=+--=所以()h x 是偶函数，即要确定()h x 在R 上的零点个数，需确定0x >时，()h x 的零点个数即可. ①当0x >时，'()24cos 2(12cos )h x x x x x x =-=- 令'()0h x =，即1cos 223x x kx π==+，或23x kx π=-+()k N ∈. (0,)3x π∈时，'()0,()h x h x <单调递减，且2()2039h ππ=+<， 5(,)33x ππ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，且2525()2039h ππ=++> ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点②当53x π≥时，由于sin 1x ≤，cos 1≤x . 2()44sin 4cos h x x x x x =+-- 224444()x x x x t x ≥+--=-=而()t x 在5(,)3π+∞单调递增，5()()03t x t π≥> 所以()0h x >恒成立，故()h x 在5(,)3π+∞无零点，努力的你，未来可期!精品 所以()h x 在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，所以()h x 在(,0)-∞有一个零点，而(0)0h =，综上()h x 在R 有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.。
湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联合测评数学试题(含答案)
湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评数学本试卷共4页，22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220M x x x =--≤，{N x y ==+，则M N =U （）A.[]2,2- B.[]1,1- C.[]2,1- D.[]1,2-2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，则z =（）A.i- B.iC.1i- D.1i+3.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（）A.310B.35C.38D.134.设命题p ：若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则点(),n P n a 必在一次函数图象上；命题q ：若正项数列{}n a 是公比不为1的等比数列，则点(),n Q n a 必在指数函数图象上.下列说法正确的是（）A.p 、q 均为真命题B.p 、q 均为假命题C.p 真q 假D.p 假q 真5.某人从A 地到B 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A 地到B 地迟到的概率是（）A.0.16B.0.31C.0.4D.0.326.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则min t 后物体的温度θ℃满足公式010()kteθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（）A.ln2k = B.2ln2k =C.牛奶的温度降至35℃还需4minD.牛奶的温度降至35℃还需2min7.已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.34B.23C.53D.748.记a =b =c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （4n ≥）均为正数，且.12n x x x <<⋅⋅⋅<，若由21k k y x =-()1,2,,k n =⋅⋅⋅生成一组新的数据1y ，2y ，…，n y ，则这组新数据与原数据的（）可能相等.A.极差B.平均数C.中位数D.标准差10.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则N ，O ，P 三点不共线B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若直线l 过焦点F ，则抛物线C 在M ，N 处的两条切线的交点在某定直线上D.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 11.已知正四面体P ABC -的棱长为2，下列说法正确的是（）A.正四面体P ABC -的外接球表面积为6πB.正四面体P ABC -内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体P ABC -的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D.正四面体Q MNG -在正四面体P ABC -的内部，且可以任意转动，则正四面体Q MNG -的体积最大值为8112.若()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，且对任意1x ，210,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，则下列说法正确的是（）A.()1f 一定为正数B.2是()f x 的一个周期C.若()11f =，则202314f ⎛⎫=⎪⎝⎭D.若()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则1(1)2024f ≠三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()52x y x y -+的展开式中33x y 的系数是______.14.已知Rt ABC △的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______.15.小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n 层（2030n ≤≤，n N *∈），设第1层的“环境满意度”为1，且第k 层（2k n ≤≤，k N *∈）比第1k -层的“环境满意度”多出2331k k -+；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k 层（2k n ≤≤，k N *∈）比第1k -层的“高层恐惧度”高出13倍.在上述条件下，若第k 层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为k a ，k b ，记小王对第k 层“购买满意度”为k c ，且kk ka cb =，则小王最想买第______层住宅.（参考公式及数据：2222(1)(21)1236n n n n ⋅⋅⋅++++++=，ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈1.1006≈）16.已知()221:21O x y +-=e ，()()222:369O x y -+-=e ，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当PM PN +取到最小值时，点P 坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数241()log )R (2x xm f x m ⋅+=∈.（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，求实数m 的值；（Ⅱ）若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =.成立，求实数m 的取值范围.18.（12分）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.（Ⅰ）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；（Ⅱ）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记ξ表示抽到一等品的箱数，求ξ的分布列和期望.19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11ABB A 均为矩形，2AB =，6BC =，1BB =14AC =.（Ⅰ）求证：1A D DC ⊥；（Ⅱ）求1AC 与平面11BAA B 所成角的正弦值.20.（12分）已知数列{}n a 满足10a >，212log ,2,n n n a a n a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数（Ⅰ）判断数列{}21n a -是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 的前10项和为361，记221221(log )n n n b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：716n T <.21.（12分）已知双曲线22149x y -=与直线3:()2l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M .（Ⅰ）若点()2,9N 在直线l 上，求直线l 的方程；（Ⅱ）过点M 且与直线l 垂直的直线分别交x 轴于10(),A x ，y 轴于1(0,)B y 两点.是否存在定点G ，H ，使得M 在双曲线上运动时，动点11(),P x y 使得PG PH -为定值.22.（12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若两个不相等的正实数a ，b 满足()()f a f b =，求证：1a b +<；（Ⅲ）若42ππα<<，求证：()()c i s s n o f f αα<.湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评数学试卷参考答案与评分细则题号123456789101112答案ABACBDCDBCBCDABDBCD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】由{}[]2201,2M x x x =--≤=-，{[]2,1N x y ===-，得[]2,2M N =-U .故选A.2.B 【解析】21i (1i)i 1i 2z ++===-，故选B.3.A 【解析】从5条线段中任取3条，可能的情况有：()2,4,6，()2,4,8，()2,4,10，()2,6,8，()2,6,10，()2,8,10，()4,6,8，()4,6,10，()4,8,10，()6,8,10共有10种可能，其中，能构成三角形的只有()4,6,8，()4,8,10，()6,8,10共3种可能，所以，能构成三角形的概率为310.选A.4.C 【解析】若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则()111()n a a n d dn a d =+-=+-，故点(),n P n a 必在一次函数1()y dx a d =+-图像上，故p 真；若12n n a -=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列12n n n a a -=≠ ，(N )n *∀∈，(),n Q n a ∴不恒在指数函数图像上，故q 假.故C 正确.5.B 【解析】设事件A 表示“乘火车”，事件B 表示“乘轮船”，事件C 表示“乘飞机”，事件D 表示“迟到”，则()0.3P A =，()02|.P D A =，()0.3P B =，()03|.P D B =，()0.4P C =，()04|.P D C =，()()()D D A D B D C =I U I U I ，由全概率公式得：()()()()()()||P D P A P D A P B P D B P C =++()0.30.20.30.30.40.40.31|P D C =⨯+⨯+⨯=.选B.6.D 【解析】由条件及公式010()kteθθθθ-=+-，得()250208020te-=+-，故1ln 22k =，AB 错误；又由3520(8020)kt e -=+-，1ln 22k =，得4t =，故牛奶的温度从80℃降至35℃需4min ，从50℃降至35℃还需422min -=.故选D.7.C 【解析】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-在2Rt MNF △中()()()2223222n a n a n +-=-22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =123a MF ∴=，243a MF =在12Rt MF F △中，222416499a a e =+，223620e a ∴=2205369e ==，又()0,1e ∈，3e ∴=，故选C.8.D 【解析】设12023()f x x=，则()f x 在R 上单调递增，故()(2022)2023f f <，即a b <；设()ln 1xg x x =+，2x e >，则()22211ln ln 1g ()0(1)(1)12ln x x xx x x x x x x -+-+-'==<<+++()2x e >，()g x 在()2,e +∞.单调递减，故()()02023222g g <，即c a <；综上得，b a c >>，故D 正确.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC 【解析】极差分别为1n x x -和11(2)n n y y x x -=-，10n x x -> ，1112()n n n y y x x x x ∴-=->-，故A 错误；由21y x x =-=知，当1x =时，平均数相等，故B 正确；当21n m =-时，中位数分别为m x 与21m m y x =-，同理可知当1m x =时，中位数相等，当2n m =时，中位数分别为12m m x x ++与111(21)(21)21222m m m m m m y y x x x x ++++-+-+==⨯-，同理可知当112m m x x ++=时，中位数相等，故C 正确；由.2y x s s =，0x s >知，2y x x s s s =>，标准差不可能相等，故D 错误.综上，选BC.10.BCD 【解析】设直线:l x ty m =+，联立方程22x ty m y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pty pm --=设11(),M x y ，22(),N x y ，则121222y y pty y pm+=⎧⎨=-⎩选项A 若直线l 过焦点F ，则2p m =212y y p ∴=-，1,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1222OP y p k p y ∴==-又22222222,22ON OPy y p y k y p y k pN ⎛∴⎫=== ⎪⎝⎭Q N ∴，O ，P 三点共线，∴A 错选项B 由抛物线的定义和平行线的性质知：1MFP MPF PFO ∠=∠=∠=∠，2NFQ NQF QFO ∠=∠=∠=∠又2(12)π∠+∠=，122π∴∠+∠=，所以B 对；选项C 抛物线C 在点M 处的切线为11()y y p x x =+抛物线C 在点N 处的切线为22()y y p x x =+，联立得1122()()y y p x x y y p x x =+⎧⎨=+⎩解得：1222y y px p ==-抛物线在点M ，N 处的切线的交点在定直线2px =-上，所以C对选项D 因为OM ON ⊥，12120x x y y ∴+=，221212022y y y y p p∴+=将韦达定理代入得：2m p =所以直线l 恒过点()2,0p ，所以D 对11.ABD 【解析】A.棱长为2的正四面体P ABC -2的正方体的外接球半径相同，设为R ，则：26R =，所以246S R ππ==，所以A 对B.设四面体P ABC -内任意一点到四个面的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，设四面体P ABC -的高为d ，由等体积法可得：123411()33s d d d d sd +++=，所以1234d d d d d +++=为定值.所以B 对C.设BC 中点为D ，连接PD ，AD ，则PDA ∠为求，3341cos 63PDA +-==∠，所以正弦值为223，所以C 错D.要使正四面体Q MNG -在四面体P ABC -的内部，且可以任意转动，则正四面体Q MNG -的外接球在四面体P ABC -内切球内部，当正四面体Q MNG -的外接球恰好为四面体P ABC -内切球时，正四面体Q MNG -的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为13，所以正四面体Q MNG -的外接球半径为66，设正四面体Q MNG -为a 226a ⎫=⨯⎪⎪⎭，所以23a =，故体积32221281V a ==，所以D 对因此：正确答案为ABD12.BCD 【解析】因为()0f x =符合条件，故A.错误；因为偶函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()2f x f x f x +=-=，故B 正确；因为对任意1x ，210,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，所以对任意[]0,1x ∈，取122x x x ==得2()02x f x f⎡⎤⎛⎫=≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；若()11f =，即2411(1)124f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故114f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由2是()f x 的周期得202311150614444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；假设1(1)2024f =，由24111(1)242024f ff ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦及()0f x ≥，[]0,1x ∈，得12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这与()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.上单调递增矛盾，故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-40【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y -+=-+-，所以33x y 的系数为332255(2)(2)40C C -+-=-14.485π【解析】由勾股定理知斜边为5，斜边上的高为125，该几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为125，两个圆锥的高之和为5，所以该几何体体积为485π15.10【解析】依题意，11a =，且21331k k a a k k --=-+，(2)k ≥；11b =，1113341k k k k b b b ---=+=所以121321()()()k k k a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2221(32321)(33331)(331)k k =+⨯-⨯++⨯-⨯++⋅⋅⋅+-+()()()()2222313113232133331331k k =⨯-⨯++⨯-⨯++⨯-⨯++⋅⋅⋅+-+22223(123)3(123)k k k=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++3(1)(21)3(1)22k k k k k k k +++=-+=143k k b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【注】利用()32313311k k a a k k k k --=-+=--，（2k ≥）求解k a 更易.143k k b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故小王对第k 层住宅的购买满意度3143k k k c -=⎛⎫ ⎪⎝⎭.【方法一】由13313411(1)314433k k kkc k k c k -+⎛⎫+ ⎪+⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭⎭=⋅=>⎛⎫⎪⎝⎭.即1)1k -<解得9.9404k <，所以123910c c c c c <<<⋅⋅⋅<<同理有101112c c c >>>L ，小王最想购买第10层住宅.【方法二】设31()43x x f x -=⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)x ≥，则214()(3ln )343x x f x x -'=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故314ln3x ≤≤时()f x 单调递增；34ln 3x ≥时()f x 单调递减.由于3310.431242ln 2ln 3ln 3=≈-，33(11)3111(10)410f f ⨯=<⨯故()10f 最大，小王最想购买第10层住宅.16.3,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0P t则PM ==，PN =PM PN +=取(0,A，B 则PM PN PA PB AB +=+≥=此时，AB 直线：43(0)3y x +=-令0y =，则34x =，3,04P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数知，()()f x f x -=.故224141log log 22x x x x m m --⋅+⋅+=，即22441log log 22x x x x m m +⋅+=，化简得，()()1410xm a --=恒成立.故1m =，实数m 的值为1.（Ⅱ）若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =，则002041log 2x x m x ⋅+=，即00414xxm ⋅+=，[]00,1x ∈能成立.于是，0114x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]00,1x ∈由指数函数单调性，得01310,44xm ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故实数m 的取值范围为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法二】若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =，则002041log 2x x m x ⋅+=，即00414xxm ⋅+=，[]00,1x ∈能成立.于是，0141x m=-，[]00,1x ∈，由指数函数单调性，得[]0141,41x m=∈-解得304m ≤≤，故实数m 的取值范围为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.【解析】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件1A ，则121613101()2C C P A C ==；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为12，（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率42105=，由题可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:03302327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21322336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为ξ0123P271255412536125812526()355E ξ=⨯=.19.（Ⅰ）证明： 四边形ABCD 和四边形11ABA B 均为矩形，1AB AA ∴⊥，AB AD⊥又1AA AD A ∴= AB ∴⊥平面11AA D D1AD 平面11AA D D ，1AB A D ∴⊥//AB CD ，1A D DC ∴⊥.（Ⅱ）设1A AD θ∠=，1A D DC⊥ 22222211112cos A C DC A D DC A A AD A A AD θ∴=+=++-⋅164123626cos θ∴=++-⨯，cos 2θ∴=[]0,θπ∈ ，6πθ∴=，过C 点作CM 垂直交1BB 于点M ，由（1）可知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂ 平面11BCC B AB CM ∴⊥1CM BB ⊥ ，1AB BB B= CM ∴⊥平面11ABB A ，设1AC 与平面11BAA B 所成的角为α，又116B BC A AD π∠=∠=，1632CM ∴=⨯=1//CC 平面11AA B B ，1C ∴到平面11AA B B 的距离等于3在平行四边形11A ACC 中，()()()()22221112A C AC A A AC ⎡⎤+=+⎣⎦2116()2(4012)AC ∴+=+，1AC ∴=1322sin 44CM AC α∴==，1AC ∴与平面11BAA B所成角的正弦值44，20.【解析】（Ⅰ）数列{}21n a -成等比数列.根据212log ,2,.n n n a a n a n ++⎧=⎨⎩当为奇数时,当为偶数时得22212log 222121212224n n a a n n n a a a -+++--====；10a >Q ，210n a -∴>，21214n n a a +-=，即数列{}21n a -成等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12114n n a a --∴=⋅，()222121log log 21n n a a a n -==+-，故()0123410121121444445log 201234()3415log 20S a a a a =++++++++++=++由10361S =，得1213415log 20361a a ++=.显然，()23415log 20f x x x =++，0x >单调递增，且()11361()f f a ==，故11a =，22142n nn a -==，2221log 22n a a n n +=+=.22212211(log )4n n n b a a n ++=∴⋅=，111744T b ==<，212571616T b b =+=<当3n ≥时，()21111144141n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭122111111171177142231444416n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+<++-+⋅⋅⋅+=-<⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦综上，知716n T <.21.【解析】（1）联立22149x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=又Q 点()2,9N 在直线:l y kx m =+上，所以：92k m =+，2940k -≠Q 时，()2222644944(3)60k m k m ∴∆=----=，则：2249m k =-所以：()229249k k -=-，即，则52k =当52k =时，4m =；所以：直线l 的方程：542y x =+（Ⅱ）联立22149x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=，因为32k ≠±，M 是双曲线与直线的唯一公共点，所以()()2222644944360k m km∆=----=，化简得2249m k =-，解得点M 的坐标为2249,9494km m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，即为49,k m m ⎛⎫⎪--⎝⎭于是，过点M 且与l 垂直的直线为914k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，可得13,0k A m ⎛⎫⎪-⎝⎭，130,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1313,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即113k x m =-，113y m=-，于是222211222211691699169916991699114444413k m x m m m y ⎛⎫⎪⎛⎫+ ⎪⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫ ⎪⎝- ⎪⎝⎭⎭即P 的轨迹方程为：221(0)16916949x y y -=≠所以存在定点1313,06G ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，1313,06H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，使得当点M运动时，PG PH -为定值1322.【解析】（Ⅰ）函数()ln f x x x =的定义域是()0,+∞.由()ln 10f x x '=+>，得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；由()ln 10f x x '=+<，得()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上知，()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为1,0e⎛-⎫ ⎪⎝⎭，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域为1,e⎛-+∞⎫ ⎪⎝⎭.注意到()10f =，()()f a f b =.不妨设101a b e<<<<则欲证1a b +<，即证1b a <-.由于11b a e <<-由（Ⅰ）得()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故只需证()()1f b f a <-，由已知()()f a f b =，即证()()1f b f a <-，也即()()10a f a f --<【方法一】令()()()1F x f x f x =--，10x e<<.[]()()(1)ln(1)2ln (ln 1)2F x f x f x x x x x '''=+-=+-+=-+，10x e<<由[]211(1)24x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，得()()ln 12F x x x '=-⎤⎣⎦+⎡单调递增且()()()()ln 12,ln 1F x x x e ⎡⎤'=-+⎦∈⎣-∞-.由于()ln 10e ->，故010,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭满足00()F x '=.由()F x '单调递增知：当0()0,x x ∈时()()00F x F x ''<=，()F x .单调递减，值域为()0,(0)F x ；当01,x x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0()0F x F x ''>=，()F x 单调递增，值域为0111(),1ln 1F x e e e ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎫ ⎪⎝⎭；设ln 1()1g x x x =+-，01x <<，则22111()0x g x x x x-'=-=<，()g x 单调递减，故()()10g x g >=，即ln 11x x>-，01x <<取11x e =-，得11ln 1111e e⎛⎫->- ⎪⎝⎭-，即1111ln 10e e e ⎛⎫⎛⎫----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，得()0F x <，即()()()10f a f a F x --=<，1a b +<得证.【方法二】（重新同构）()()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1111a a a f a a a a a a a a f a --<-⇔<--⇔<=---令ln ()1xF x x =-，即01x <<，证：()()1F a F a <-，由于1102a e <<<，从而011a a <<-<.故要证()()1F a F a <-成立，只需ln ()1xF x x =-在()0,1单调递增成立即可.2211(1)1()(1ln ln )(1)x x x x x F x x x -++-'==--，令1()1ln G x x x =+-，01x <<，则22111()0x G x x x x-'=-+=<，()G x 在()0,1单调递减，()()10G x G >=，2()()0(1)G x F x x '=>-，故ln ()1xF x x=-在()0,1单调递增成立，原命题成立.【方法三】（比值代换）由对称性，不妨设0a b <<，1bt a=>，则()()l ln ln ln n()1t t f a f b a a ta ta a t==⇔⇔=-由于b ta =，欲证1a b +<，即证：()()11ln 1ln 0t a t a +<⇔++<，即证：ln ln(1)01t tt t++<-【方法四】（切、割线放缩）1、由于10a e<<故()1n 0l a a +<，即ln a a a <-；2、由方法二知110ln x x+->，01x <<，故110ln b b +->，即1ln 1b b >-，故ln 1b b b >-，11b e<<；由1、2知1ln ln b b b a a a -<=<-，故1a b +<成立，原命题成立.（Ⅲ）由（Ⅱ）知()()222221a b a b ab a b +=+-<+<.（1）当12cos sin 12e αα≤<<<时，()f x 在1,e ⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故()()sin f c s f o αα<.（2）当120cos sin 12e αα<<<<<时，由221a b +<，取10cos a eα<=<，得()()f a f b =（10cos 1a b eα<=<<<）时，。
2022届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三文上联考一数学试
2022届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三文上联考一数学试试卷（带解析）一、选择题1.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】试题分析：由题意，对应点为，在第四象限．故选D．考点：复数的运算与几何意义．2.集合，，若集合，则实数的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由，知，因此有．故选B．考点：集合的运算．3.已知函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由得，，．故选D．考点：分段函数．4.已知数列为等差数列，，，则（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】试题分析：由题意，，同理，所以．故选B．考点：等差数列的性质．5.若锐角满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，又，所以．故选A．考点：二倍角公式，诱导公式．6.已知与的夹角为，其中，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，（0舍去），，∴．故选B．考点：向量的模．7.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意最小正周期为，∴，由五点法，，，符合题意，∴，向左平移个单位后得．故选B．考点：的解析式，三角函数图象变换．8.下列命题中错误的是（）A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B．命题“若，则或”为真命题C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”D．命题p：，则p为【答案】C【解析】试题分析：命题与命题中只要有一个是真命题，则就是真命题，A正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若，则”，这是真命题，因此原命题也是真命题，B正确；命题“若，则或”的否命题为““若，则且”，C错误；命题p：的否定为，D正确．故选C．考点：命题真假的判断．9.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）【答案】D【解析】试题分析：由题意，，当时，，当时，，因此当时，，当时，，这样只有D符合．故选D．考点：导数与极值．【名师点睛】是为函数极值点的既不充分也不必要条件，当然对我们所研究的基本初等函数，在定义区间内，一般用来求极值点，只是要求，如果在的左侧有，在的右侧有，则是极大值点，如果在的左侧有，在的右侧有，则是极小值点．10.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，在（1,3）上不单调，则在上有解，此方程可化为，，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在是只有一解，充要条件是，或，因此D是要求的一个充分不必要条件．故选D．考点：充分必要条件．【名师点睛】充分必要条件判断，一般可根据它们的定义证明相应的命题的真假，但诸多时候也可以根据它们与集合的包含关系进行判断．记命题对应的参数集合为，命题对应的参数集合是，则是的充分条件等价于，是的必要条件等价于，是的充要条件等价于．11.下列函数在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：A．函数为，当时，，不是增函数；B．函数为，当时，，不是增函数；C．，当时，，函数为增函数；D．，当时，不恒成立，函数不为增函数；故选C．考点：函数的单调性．【名师点睛】要判断三角函数的单调性，一般要把函数化为的形式，然后利用正弦函数的单调性判断，对不能转化的函数可通过导数来研究，如在某区间上有导数恒成立，则函数在此区间上增函数，本题C、D两个函数就是用导数来说明其单调的．12.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：有三个零点，即直线与函数的图象有三个交点，在时，是增函数，至多有一个交点，在时，是二次函数，至多有2个交点，因此直线与函数,在时有一个交点，在时有两个交点，有两个零点0和，如果，则在上是递增的，不合题意，所以，即，所以，解得．故选D．考点：函数的零点与方程的根．【名师点睛】本题考查函数零点与方程有关系，解题方法是数形结合法．函数的零点可转化函数图象与直线的交点，象本题有三个零点，就是直线与函数的图象有三个交点，因此只要研究的性质，特别是单调性易得结论．二、填空题1.已知，，则与方向相同的单位向量．【答案】【解析】试题分析：，，这就是与同向的单位向量．考点：向量的平行．2.已知定义在上的函数满足，当时，，则．【答案】【解析】试题分析：由，得，所以是周期函数，且周期为2，因此．考点：函数的周期性．3.已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是．【答案】6【解析】试题分析：不妨以为原点，建立平面直角坐标系，如图，圆的方程为，不妨设，则，，设，则，，显然当时，取得最大值6．考点：向量的数量积．【名师点睛】本题考查向量的数量积，求数量积的最大值，因此我们要把这个数量积用一个参数表示出来，其中由弦的长度固定，因此只可以假设是固定不变的，动的只是点，为了方便，建立直角坐标系，把圆心放到坐标原点，同时让与轴垂直，点坐标可表示为，这样就可顺利地把表示为的函数，而求得最大值．4.三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远。
【市级联考】湖北省部分重点中学2021届高三第一次联考数学(文)试题
【市级联考】湖北省部分重点中学2019届高三第一次联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．已知集合(]2,5A =-,{|121}B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是( ) A ．(]3,3-B ．[]3,3-C ．(],3-∞D ．(),3-∞3．已知函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的是（ ） A ．()f x 的对称轴为()6x k k Z ππ=+∈B ．()f x 的对称中心为()5,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．()f x 的单调增区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的周期为4π4．已知数列{}n a 的前n 项之和241n S n n =-+，则1210a a a ++⋯+的值为( )A ．61B ．65C ．67D ．685．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于（ ） A ．60° B ．120° C ．45°D ．135°6．若α，β均为锐角，sin α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=（ ）A B C D ． 7．等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若141,0k a a a =+=，则k=（ ）A ．10B ．7C ．4D ．38．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知log 12(x +y +4)<log 12(3x +y −2)，若x −y <λ+9λ恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．(−∞,1)∪(9,+∞)B ．(1,9)C ．(0,1)∪(9,+∞)D ．(0,1]∪[9,+∞) 10．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝4-，则2a ＋b ＋c 的最小值为 A1 B1 C．2D．211．已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题12．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．13．已知向量a 的模为1，且a ，b 满足|a ﹣b |=4，|a +b |=2，则b 在a 方向上的投影等于_______.14．设实数,x y 满足20223010x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则x y m y x =-的取值范围是____________15．设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则1232h h h a ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=___________．三、解答题16．设函数()f x a b =⋅，其中2sin ,cos24a x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin ,4b x π⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝，x R ∈()1求()f x 的最小正周期和对称轴；()2若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围． 17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．18．已知首项为1的等差数列{}n a 中，8a 是513,a a 的等比中项. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若数列{}n a 是单调数列，且数列{}n b 满足213n n n a b +=，求数列{}n b 的前项和n T . 19．已知等差数列{}n a 满足2(1)2,n n a n n k k R +=++∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．21．已知函数1()xf x e ax=+（0,0a x ≠≠）在1x =处的切线与直线(1)20180e x y --+=平行.（1）求a 的值并讨论函数()y f x =在(,0)x ∈-∞上的单调性； （2）若函数1()()1g x f x x m x=--++（m 为常数）有两个零点12,x x （12x x <） ①求实数m 的取值范围；②求证：120x x +<参考答案1．D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．C 【分析】由题意分类讨论集合B 为空集和非空集合两种情况求解实数m 的取值范围即可. 【详解】当集合B =∅时，121m m +>-，解得2m <，此时满足B A ⊆；当B ≠∅，即2m ≥时，应有：12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，据此可得：33m m ≥-⎧⎨≤⎩，则23m ≤≤，综上可得：实数m 的取值范围是(],3-∞. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的包含关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性，判断A 、B 的正误，利用函数的单调区间判断C ，再利用函数的周期性判断D ，即可确定正确答案.【详解】 对称轴：()262x k k Z πππ+=+∈，即对称轴为()26k x k Z ππ=+∈，故A 错误；对称中心：()26x k k Z ππ+=∈，即对称中心为(),0212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，等价于()5,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故B 正确； 单调增区间：()22,2622x k k k Z πππππ⎛⎫+∈-++∈ ⎪⎝⎭，即递增区间为(),36x k k k Z ππππ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；周期性：最小正周期22T ππ==，故D 错误. 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的基本性质，确定三角函数的对称性、单调性和周期性时，一般根据三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．如果是复合函数根据“同增异减”的原则判断函数的单调性。
湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高三上学期起点考试 数学试题
高三数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{|1},|340A x x B x x x =>=+-≥，则（）A.A B =∅B.A B = RC.A B ⊆D.B A⊆【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】()()234410x x x x +-=+-≥，解得4x ≤-或1≥x ，所以(][),41,B =-∞-⋃+∞.所以()(][)1,,,41,A B A B ⋂=+∞⋃=-∞-⋃+∞，AB 选项错误.,A B ⊆反之不成立，故C 选项正确，D 选项错误.故选：C 2.已知点cos ,13P π⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（）A.55B.2C.12D.255【答案】D 【解析】【分析】先求出点P 到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.【详解】依题意点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2OP ==，25sin 5α∴==；故选：D.3.火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（）A.35C 种 B.35A 种C.35种D.53种【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，直接利用排列列式作答.【详解】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，所以不同的停放方法有35A 种.故选：B4.sin109cos 296cos71sin 64︒︒+︒︒=（）A.12B.22 C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.【详解】()()sin109cos 296cos71sin 64sin 18071cos 36064cos71sin 64︒︒+︒︒=︒-︒︒-︒+︒︒()2sin 71cos 64cos 71sin 64sin 7164sin1352=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=.故选：B5.要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（）A.向左平移24π个单位长度 B.向右平移24π个单位长度C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度【答案】A 【解析】【分析】先将函数()f x 化为()sin 42f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后由正弦函数的图像平移可得答案.【详解】22()cos 2sin 2cos 4sin 42f x x x x x π⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭又2sin 4sin 42423x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以将22()cos 2sin 2f x x x =-的图像向左平移24π个单位长度，可得2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像故选：A6.定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（）A.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.【详解】因为当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--，所以12,0 2()122,12x x f x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又因为函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，所以函数()f x的部分图像如下，由图可知，若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则113m ≥.故A ，C ，D 错误.故选：B.7.如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A.23条B.24条C.25条D.26条【答案】D 【解析】【分析】先假设CD 是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过CD 的最短路径的条数，从而求得正确答案.【详解】先假设CD 是实线，则从A 到B ，向上3次，向右4次，最短路径有773434A 35A A =条，其中经过CD 的，即先从A 到C ，然后C 到D ，最后D 到B 的最短路径有339⨯=条，所以，当CD 不通时，最短路径有35926-=条.故选：D8.当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的最大值为（）A.2- B.1- C.0D.1【答案】C 【解析】【分析】根据题意转化为1ln 3(ln )4x k x x x<++在(1,)+∞上恒成立，设()ln 3ln ,1x g x x x x x =++>，求得()2ln 2x x g x x--'=，令()ln 2x x x ϕ=--，求得()0x ϕ'>，单调()0x ϕ=在(1,)+∞上仅有一个实数根，设为0x ，根据()()30,40g g ''<<，得到0(3,4)x ∈，将00ln 2x x =-代入得到()00min 011,(3,4)g x x x x =+-∈，即可求解.【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，可得1ln 3(ln 4x k x x x<++在(1,)+∞上恒成立，不妨设()ln 3ln ,1x g x x x x x =++>，可得()2ln 2x x g x x --'=，令()ln 2x x x ϕ=--，可得()1110x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为()()110,40ϕϕ=-<>，所以()0x ϕ=在(1,)+∞上仅有一个实数根，设为0x ，所以当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()000min 00ln 3()ln x g x g x x x x ==++，因为()()1ln 31ln 330,4099g g --''=<=<，所以0(3,4)x ∈，且00320x x -+=，将00ln 2x x =-代入可得()()00000min 00023121,(3,4)x g x g x x x x x x x -==-++=+-∈，因为0011t x x =+-在(3,4)上单调递增，所以713(,34t ∈，所以()min 1713(,41216g x ∈，因为k 为整数，所以0k ≤.故选：C.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =-=，全集U =R ，若()U A B =R ð，则实数m 的集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.命题[]:2,1p x ∃∈-，20x x m +-≤成立的充要条件是2m ≥C.设,a b ∈R ，则“1ab a b +≠+”的充要条件是“,a b 都不为1”D.已知0a >，0b >，1a b +=，则1a b ab+的最小值为2+【答案】CD 【解析】【分析】解方程求得集合A ，当0m =时，可知B =∅，由此可得()U A B =R ð，知A 错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得m 范围，由其与2m ≥的推出关系可知B 错误；根据()()1110ab a b a b +--=--≠可知C 正确；由()22122a a b a a b b ab ab b a+++==++，利用基本不等式可求得最小值，知D 正确.【详解】对于A ，集合{}{}2603,2A x x x =+-==-；当0m =时，B =∅，U B ∴=R ð，满足()U A B =R ð，但110,23⎧⎫∉-⎨⎬⎩⎭，A 错误；对于B ，若[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤，则()2minm x x≥+，当[]2,1x ∈-时，()22min111224xx ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，14m ∴≥-；由124m m ≥-≥¿，124m m ≥⇒≥-，2m ∴≥是[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤成立的充分不必要条件，B 错误；对于C ，由题意知：()()1110ab a b a b +--=--≠，1a ∴≠且1b ≠，∴“1ab a b +≠+”的充要条件是“,a b 都不为1”，C 正确；对于D ，()222221122222a a b a a a ab b a b b ab ab ab ab b a ++++++====+≥2=（当且仅当2a bb a=，即1a =-，2b =，1ab ab∴+的最小值为2+，D 正确.故选：CD.10.已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞B.当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a =C.当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D.设定义域为R 的函数()g x 关于(2,2)-中心对称，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为(),i i i A x y （1i =，2，…，2022），则()()1122x y x y ++++()20222022x y ++L 的值为0【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：由20x +≠即可判断；对B ：由13()2af x a x -=++，可得()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，从而即可判断；对C ：13()2af x a x -=++，且130a ->，即可判断；对D ：由函数()f x 和()g x 图象关于(2,2)-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A ：要使函数1()2ax a f x x -+=+有意义，则20x +≠，即2x ≠-，∴()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞，所以选项A 正确；对B ：∵1(2)21()22ax a a x a a f x x x -++--+==++132aa x -=++，∴()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，∴当函数()f x 的图象关于点(2,3)-成中心对称时，3a =，所以选项B 不正确；对C ：由选项B 知13()2af x a x -=++，当13a <时，130a ->，∴13()2af x a x -=++在(2,)-+∞单调递减，所以选项C 正确；对D ：∵2a =，135()222a f x a x x --=+=+++，∴()f x 的图象关于(2,2)-对称，又函数()g x 的图象关于(2,2)-对称，∴()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，()()()112220222022x y x y x y ∴++++++ ()()()1220221220222022220222x x x y y y =++++++=⨯-+⨯ 404440440=-+=，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知()12P A =，()13P BA =，()34P B A =，则下列结论正确的是（）A.()23P B A = B.()14P B A =C.()23P B =D.()37P A B =【答案】AD 【解析】【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：()()()23P BA P B A P A ==，因为()()()()()314P BA P BA P B A P A P A ===-，所以()38P B A =，因此()()()13173824P B P BA P BA =+=+=，()()17124P B P B =-=，又()()114P B A P B A =-=，所以()()()()113274724P A P A B P B A P B ==⨯=.故选：AD.12.已知方程30x ax b ++=，其中,R a b ∈.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（）A.1,2a b ==B.3,2a b =-=C.1,3a b >=-D.3,2a b =->【答案】ACD 【解析】【分析】分别对所给的,a b 值逐个分析；B 选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意;A,C,D 中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.【详解】对于选项A.方程为:320x x ++=,令3()2f x x x =++,2()310f x x '=+>,所以()f x 在R 上单调递增,且(2)80,(0)20f f -=-<=>，(2)(0)0f f -⋅<,所以函数()f x 仅有一个零点,所以方程仅有一个实根,所以A 正确.对于选项B.方程为:3320x x -+=,可得322320x x x x -+-+=,即2(1)(1)(2)0x x x x -+--=,即()2(1)20x x x -+-=,即2(1)(2)0x x -+=，可得方程有两个根1，-2,不符合题意,所以B 不正确;对于选项C.方程为:330x ax +-=,令3()3f x x ax =+-,则2()3f x x a '=+；当1a >时，()0f x '>，()f x 单调递增；(2)110,(2)520f a f a -=--<=+>所以函数()f x 只有一个零点，即方程仅有一个实根,所以C 正确;对于选项D.方程为:330x x b -+=，令3()3f x x x b =-+,2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，1x <-时()0f x '>，1x >-时()0f x '<，故(1)f -为极大值，(1)2f b -=+，2b >时,(1)20;(1)f b f -=+>为极小值,且(1)2f b =-+,当2b >时,(1)0f >,所以函数()f x 仅有一个零点,即方程仅有一个实根,所以D 正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如果函数()sin(2)(02)f x x ϕϕπ=+<<是奇函数，则ϕ的值为______.【答案】π【解析】【分析】根据奇函数的定义()()f x f x -=-，将()sin(2)f x x ϕ=+代入，求出ϕ的表达式，再根据02πϕ<<确定ϕ的取值.【详解】 函数()()sin 2(02π)f x x ϕϕ=+<<是奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()sin(2)sin 2sin 2x x x ϕϕϕ-+=-+=--，222π,Z x x k k ϕϕ∴-+=--+∈或()()222π+,Z x x k k ϕϕπ-++--=∈恒成立，解得：π,Z k k ϕ=∈，又 02πϕ<<，πϕ∴=.故答案为：π.14.抽样表明，某地区新生儿体重X 近似服从正态分布()2,N μσ.假设随机抽取r 个新生儿体检，记ξ表示抽取的r 个新生儿体重在()3,3μσμσ-+以外的个数.若ξ的数学期望()0.05E ξ<，则r 的最大值是___________.（()3399.7%P P σσ-≤≤=）【答案】16【解析】【分析】根据正太分布的3σ原则进行计算.【详解】根据正太分布的3σ原则可知：()0.0030.05E r ξ=<，得：503r <，因为r 为正整数，故r 的最大值为16.故答案为：1615.函数)6()lg e 1x f x x =++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=______.【答案】6【解析】【分析】求解()()f x f x +-可得()f x 的对称中心，再根据取得最大与最小值的点关于对称中心对称求解即可.【详解】由题意，()()))66lg lg e 1e 1xxf x f x x x-+-=++++-++()2266e lg 16e 11ex x x x x =+++-=++，故()f x 关于()0,3对称.故取得最大与最小值的点关于()0,3对称，所以236M N +=⨯=.故答案为：616.已知m 、n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对R x ∀∈恒成立，则n m m-的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】求出函数的导函数，判断可得0m >，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得()min ln 10f x m m m n =-+-≥，即可得到ln 1n m m m ≥-+，从而得到1ln 2n m m m m -≥-+，再令()1ln 2g x x x=-+，()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出n mm-的取值范围.【详解】解：因为()e 1x f x mx n =-+-，所以()e x f x m '=-，若0m ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，且当x →-∞时()f x →-∞，不符合题意，所以0m >，令()0f x '=，解得ln x m =，当ln x m <时()0f x '<，当ln x m >时()0f x '>，所以()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增，所以()()min ln ln 10f x f m m m m n ==-+-≥，所以ln 1n m m m ≥-+，则ln 21n m m m m -≥-+，则1ln 2n m m m m-≥-+，令()1ln 2g x x x=-+，()0,x ∈+∞，则()22111x g x x x x-'=-=，所以当1x >时()0g x '>，当01x <<时()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g ==-，所以1n m m -≥-，即n mm-的最小值为1-.故答案为：1-【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()7270127x m a a x a x a x -=++++ 的展开式中4x 的系数是-35，（1）求127a a a +++ 的值；（2）求1357a a a a +++的值.【答案】（1）1（2）613572a a a a +++=【解析】【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出()717,07,rr r r T C x m r r Z -+=-≤≤∈，令74r -=，从而求出m 的值为1，于是问题转化为()71x -的展开式，采用赋值法，首先令0x =，求出0a 的值，再令1x =，可以求出0127a a a a ++++ 的值，这样得出127a a a +++ 的值；（2）两次赋值，分别令1x =，1x =-，两个式子相减得到1357a a a a +++的值.试题解析：∵()717,07,rr rr T C x m r r Z -+=-≤≤∈，∴()33735C m -=-，∴1m =.（1）令1x =时，()7127110a a a +++=-=，①令0x =时，()7011a =-=-.∴1271a a a +++= .（2）令1x =-时，()77017112a a a -+-=--=- .②①-②得613572a a a a +++=.18.已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期;（2）若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.【答案】（1）π（2）5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为sin()y A x ωϕ=+的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,(2)根据[]0,x π∈,令26t x π=-，则可求出t 的范围,从而得出()f x 的单调递减区间.【小问1详解】2()sin cos sin sin44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2222(sin cos )(sin cos )222x x x x x x -=+++-()221cos 212cos sin22x x x x -=+--1cos 212cos 222x x x -=-12cos 22x x =-+12sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()f x ∴的最小正周期为22ππ=.【小问2详解】[0,],x π∈∴ 令26t x π=-，则11,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又 函数12sin 2y t =+在3,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，即32,622x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递减，∴当[0,]x π∈时，()f x 的单调减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎣⎦.19.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求:（1）(2)P ξ=的值;（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）35（2）分布列见解析，ξ的数学期望为2.5【解析】【分析】(1)先求从袋中不放回的摸球两次的所有取法，再求出事件2ξ=所包含的取法数，利用古典概型概率公式求(2)P ξ=，(2)由条件确定随机变量ξ的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.【小问1详解】由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有1154C C 种，事件2ξ=表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件2ξ=包含11113223C C C C +种取法，所以1112325114315C C C C 3(2)C C P ξ===+【小问2详解】随机变量ξ可取的值为111132231154C C C C 32,3,4.(2)C C 5P ξ==+=21213123323211111115435432A C A C A C 31(3);(4).C C C 10C C C C 10P P ξξ+======得随机变量ξ的概率分布列为:ξ234P35310110随机变量ξ的数学期望为：331()234 2.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=20.已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数.（1）求实数k 的值;（2）解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;（3）设()()()2log 20xg x a aa =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1-（2）()(),20,-∞-⋃+∞（3）()2,1【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x x a a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【小问1详解】函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；【小问2详解】()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x ≥时，21x ≥，122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；【小问3详解】函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x xxx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x xa a +⋅+==+，20xa a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t+=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1.21.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .试验后统计数据显示，当90X =时，()P X 取最大值，求参加人体接种试验的人数n 及()E X .参考公式：2χ2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)参考数据：20()P k χ≥0.500.400.250.150.1000.0500.025k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i ）0.9；（ii ）当接种人数为n =99时，()89.1E X =；当n =100时，()90E X =.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i ）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii ）根据()90P X =最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X ，最后求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[)20,40内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[)40,60内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[)60,80内有0.025********⨯⨯=（只）；在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得()220.05200502020110 4.945 3.8411604070130x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯.根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则()1600.8200P A ==，()200.540P B ==，()()()0.20.1150.9P C P A P B -⨯==-=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =.（ii ）由题意，知随机变量(),0.9X B n ，()C 0.90.1kkn kn P X k -==⨯⨯（0,1,2,,k n =⋅⋅⋅）.因为()90P X =最大，所以909090919191909090898989C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n n n ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤，因为n 是整数，所以99n =或100n =，所以接受接种试验的人数为99或100.①当接种人数为99时，()990.989.1E X np ==⨯=；②当接种人数为100时，()1000.990E X np ==⨯=.22.已知函数2()ln ,()1f x x x g x x ==-.（1）求证:当12a ≥时，|()||()|f x a g x ≤;（2）已知函数()|()|h x f x b =-有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，（i ）求证:221222ex x +>;（ii ）求证:32e(e 2.71828x x b <-<= 是自然对数的底数).【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】(1)在1≥x 条件下利用导数求()2()ln 1F x x x a x =--的最大值，在01x <<时利用导数求()2()ln 1F x x x a x =--的最小值，由此完成证明；(2)（i ）利用证明极值点偏移的方法证明122e x x +>，再结合基本不等式证明221222ex x +>；（ii ）根据(1)证明32x x -，结合切线方程证明32e x x b -<.【小问1详解】①当1,()0,()0x g x f x ≥≥≥，即证()()f x ag x ≤，令()2()ln 1,()1ln 2F x x x a x F x x ax '=--=+-，令()()G x F x '=，则当1x >时1()20G x a x'=-<，所以()F x '在(1,)+∞上单调递减，则有当1x >时()(1)120F x F a ''<=-≤，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，所以当1≥x ()(1)0F x F ≤=，()()f x ag x ∴≤成立②当01x <<时，()0,()0g x f x <<，即证()(),()()f x ag x f x ag x -≤-≥，令()2()ln 1,()1ln 21ln F x x x a x F x x ax x x'=--=+-≤+-设()1ln (01)x x x x ϕ=+-<<，则1()10x xϕ'=->，所以()1ln x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递增，所以1ln 0x x +-<所以()0F x '<，()F x ∴在(0,1)上单调递减，()(1)0F x F ≥=，即()()f x ag x ≥，综合①②当12a ≥时，|()||()|f x a g x ≤【小问2详解】()()ln ,01ln ,1x x b x h x f x b x x b x --<≤⎧=-=⎨->⎩，当01,()(ln 1),()x h x x h x '<≤=-+∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当1,()ln 1,()x h x x h x '>=+∴在(1,)+∞上单调递增，又函数()|()|h x f x b =-有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，所以10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，(1)0f <，1231101,0e ex x x b ∴<<<<<<<（i ）令()()21,0,e e H x h x h x x ⎛⎫⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()[222211ln 1ln 1ln 20e e e e H x h x h x x x x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤=+-=-+--+=---++>⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦''⎪⎪⎩⎭'()H x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()()11111210,,0e e e x H x h x h x H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴=--<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2112e h x h x h x ⎛⎫∴=<- ⎪⎝⎭，又12211,,()e e x x h x e ->>在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，212e x x ∴>-，即()2221212122221142,e 22e ex x x x x x +>∴+>+>⨯=（ii)ln y x x =在1x =处的切线方程1y x =-与y b =交点的横坐标31x b '=+，过点11,e e A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,0)B 的直线方程1(1)1ey x =--与y b =交点的横坐标()211e x b =+-'，323211(1e)e x x x x b b b ''∴-<-=+---=由（1）取12a =，则21|()|12a g x x =-与y b =在y 轴右侧交点横坐标为45x x ==，32541212x x x x b b ∴->-=+--，综上:321212eb b x x b +--<-<【点睛】本题第二小问中的第一个小题的解决的关键在于利用证明极值点偏移的方法证明122ex x +>，再利用基本不等式证明结论.。
湖北省部分重点中学高三第一次联考——数学(文)数学(
参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.三、解答题：本大题共5小题，18、19题每题12分，20题13分，21、22题14分，共65分.19. （Ⅰ） 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪ ⎪⎪ =⎭平面； …………………………6分（Ⅱ）325)3(21331)3(23111=⋅⋅⋅-=-=-BC A B V V V 立方体…………………12分20.（Ⅰ）∵为常数，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴． ∴.又成等比数列，∴，解得或．当时，不合题意，舍去．∴． …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．∴)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-=+++=)121121()5131()311(2121n n b b b R n n ，而． 所以不存在正整数，使得成立．…………………13分21.（Ⅰ）由图象在处的切线与轴平行，知，∴. …………………4分② 当时，34max 3)()(a a a f x f -==,∴.由 得.记143)(23-+-=a a a a g ,∵01)1(3463)(22>+-=+-='a a a a g ,∴在上是增函数，又，∴,∴在上无实数根.综上，的值为. …………………14分22.（Ⅰ）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长3232)21(122=⨯=- …………………4分 （Ⅱ）设圆心，则圆的半径222)121(-+=a a r ， 圆的方程是为：222222)121()21()(-+=-+-a a a y a x令，得，得，，是定值．…………………8分。
湖北省部分重点中学高三数学第一次联考试题 文 新人教A版
数学（文）试题试卷满分：150分注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分，11—21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将答题卷收回。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置。
3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
4．非选择题的作答：用0 5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。
答在指定区域外无效。
第一部 分选择题一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分。
共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑1．已知全集=|0,1,2,3||1A =，，2|,B=|3，4|,则)U A B =(C（ ）A. |0| B ．|1| C ．|2| D ．|3|2．命题“存在实数x ，使x<l ”的否定是（ ） A ．对任意实数x ，都有x<1 B ．对任意实数x ，都有1x ≥ C ．不存在实数X ，使x ≥l D ．存在实数x ，使x ≥l3．函数11(1)y n x =+（ ）A ．[－3，3]B ．（－1，3）C ．（0，3）D ．（－1，0）(0，3]4．已知 1.10.651(),2,2122a b c og -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，命题:p l ∥,,l αβ⊥则αβ⊥；命题:,q l αββ⊥⊥则l ∥α；命题:,r l αβ⊥∥α，则l β⊥，则下列命题中，真命题是（ ）A ．p q ∧B ．q r ∨C ．p q ∨D ．p ⌝6．等腰△ABC 中，底边BC=4，则AB ·BC =（ ） A ．6B ．－6C ．8D ．－87．设函数()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1,f x x =-+则(1.5)f =（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．528．某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以31)海里／时的速度向正北方向航行，该船在A 点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到( )海里 A ． 6 B ．8 C ． 10 D ． 12 9．等比数列{a n }为递增数列的一个充要条件是（ ） A ．前三项递增 B ．所有奇数项递增 C ．前n 项和数列S n 为递增数列 D ．首项为正数，且公比大于1 10．用若干个棱长为l 的单位正方体堆放在一起，拼成一个几何体，若这个几 何体的正视图和左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积的最 大值与最小值的差为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第二部分 非选择题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分11．已知对任意x ∈R ，都有220x ax a -+>恒成立；则a 的取值范围为 。
湖北省补习学校高三上学期联合体大联考(数学文).doc
湖北省补习学校高三上学期联合体大联考（数学文）考试时间：12月27日15::00 注意事项：1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共l00分，全卷满分150分；全卷共4页，考试时间1。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡指定位置。
3．选择题的作答：选出答案后，按要求填在答题卡指定位置。
答在试题卷或其他位置无效。
4．非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。
答在指定区域外无效。
——————————————————————————————————————————第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=，则AB 为 （ ）A ．{1}-B ．{0}C ．{0,1}-D ．{1,1}-2．过点P （0,1）且以(1,2)a =-为方向向量的直线方程为 （ ）A ．21y x =-+B ．21y x =+C ．112y x =-+ D ．112y x =+ 3. 等差数列{a n }中，若公差d ≠0，且a 2、a 3、a 6成等比数列，则公比q 等于 （ ）A ． 1B ． 2C ．3D ． 4 4. 设函数2()f x ax bx c =++，若()0f x >的解集为{x|x ＜－2或x ＞4},则 （ ） A ．f(5)＜f(2)＜f(－1) B ．f(－1)＜f(2)＜f(5) C ．f(2)＜f(－1)＜f(5) D ．f(2)＜f(5)＜f(－1)5. 把函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象按向量a 平移得到y ＝2sinx cosx 的图象，则a 可以是 （ ）A ． (2π-,0) B ．(2π,0) C ． (4π-,0) D ． (4π,0) 6．若lg lg 0a b +=，则函数()(1)xf x a a a =>0≠且与()log b g x x =-(1)b b >0≠且的图象可能是7. 已知两直线110l y ++=，230l y +-=，P （x ，y ）是坐标平面上动点，若P 到1l 和2l 的A ．B ．C ．D ．第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行距离分别是12d d 、，则2212d d +的最小值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．D．8.在△ABC 中，3AB BC =,其面积S ∈3[,]22，则AB 与BC 的夹角的取值范围是 （ ）A ．[,43ππB ．[,]64ππC ．35[,]46ππD ．23[,34ππ9.在曲线331y x x =-+-的所有切线中，斜率为正整数的切线的条数是 （ ） A ． 1条 B ． 3条 C ． 5条 D ． 6条10.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。
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湖北省“四校联合体”2008届高三第一次联考数学试卷（文科）命题学校：随州一中 命题教师：彭 凯考试时间：2007年12月28日上午9：00—11：30 试卷满分：150分 一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知集合M={y|y=x-1},N={（x,y ）|x 2+y 2=1}, 则集合M∩N 中的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．以上均有可能2、如果不等式|x-t|≤1 成立的充分条件是1＜x ≤2，则实数t 的取值范围是A ．)2,1(B ．(]2,1C ．[)2,1D ．]2,1[3、数列{2312++n n }的前n 项和为 A ．4212++n n B ．2212+-n nC ．42+n nD ．221+-n n4、函数f （x ）有反函数f 1-（x ）,已知f （x ）的图像经过（0，—1），则f 1-（x+1）的图像经过A ．（—1，—1）B ．（—2，0）C ．（—2，—1）D ．（0，—2） 5、在平面直角坐标系中，O 为平面上任一点，已知点A （3，1），B （—1，—3），若点C 满足OB OA OC )1(λλ-+=，其中λ∈R ，则点C 的轨迹是A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线6、若函数的图象沿向量=（2,3--π）平移后，得函数y=cosx 的图象，则原函数的解析式为A ．y=cos （x+3π）+2 B ．y=cos （x 3π-）+2 C ．y=cos （x+3π）-2D ．y=cos （x 3π-）-27、若直线L 1：y-2=（k-1）x 和直线L 2关于y=x+1对称，则直线L 2恒过定点A ．（2，0）B ．（1，—1）C ．（1，1）D ．（—2，0） 8、若b a ,∈R +,且a 1+b9=1，则b a +的最小值是 A ．16B ．12C ．10D ．89、过抛物线y=x 2的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长度分别为q p ,，则qp 11+等于 A ．2B ．21C ．4D ．41 10、函数f :{1，2，3}→{1，2，4}满足f {f （x ）}=f （x ）,则这样的函数共有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题5分，共25分） 11、函数f （x ）=alog xx-+11的定义域为_________________ 12、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2:a 4=7:6,则S 7:S 3等于_______________。
13、设函数f （x ）=cosωx （3sinωx+cosωx ），其中0＜ω＜2,若f （x ）的周期为π,则当x ∈[3,6ππ-]时，f （x ）的值域是______________14、椭圆2322y x +=1的左焦点F ，左准线L 1，动直线L 2垂直于L 1于点P ，线段PF 的垂直平分线交L 2于点M ，则点M 的轨迹图形的形状为________________。
15、对R b a ∈,，记max{b a , }=⎩⎨⎧≤≥)()(b a b b a a ,函数f （x ）=max{|x+1|,|x-2|}（x ∈R ）的最小值是________________。
三、解答题（共75分） 16、（本小题满分12分）一个等差数列{}n a 的第6项是5，第3项与第8项的和也是5。
（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和。
在△ABC 中，已知·=9，sin B =cos A sin C ,面积S ABC ∆=6。
（1）求△ABC 的三边的长；（2）以△ABC 的内接圆圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，请写出△ABC 内接圆的方程，若点P （x,y ）是圆上的动点，求3x+4y 的最大值。
18、（本小题满分12分）已知函数f y =（x ）是奇函数且)6()(x f x f -=,若)1(f =1,x cos -x sin =253，求f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+)4cos(2sin 15πx x 的值。
已知a为实数，函数f（x）=x|x-a|．（1）讨论f（x）的奇偶性。
（2）若a=2时，请利用函数f（x）的图像讨论：当1≤x≤m，（m＞1）时，f（x）的最大值。
20、（本小题满分12分）已知f（x）=x3+ax+b定义在区间[—1，1]上，且f（0）=f（1），又P（x1,y1），Q（x2，y2）是其图象上任意两点（x1≠x2）（1）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2;（2）若0≤x1＜x2≤1，求证：|y1—y2|＜1．如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端点B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为12 。
（1）求椭圆的标准方程；（2）过)2,0(D 的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，=λ,求λ的取值范围。
四校联考数学（文）参考答案一、选择题1-10：ADCBA 、BCACC 二、填空题11、（-1，1） 12、2 13、[0,23] 14、842+=x y 15、23三、解答题16、（1）由583=+a a 得565=+a a又∵56=a ，∴05=a ，∴公差556=-=a a d∴)(2555)5()5(5+∈-=⨯-=-+=N n n n d n a a n …………………6分 （2）由255-=n a n 得201-=a∴前n 项和)(245252455225520)2(21+∈-=-=-+-=+=N n n n n n n n n a a S n n …12分17、设a BC b AC c AB ===，，（1）⎩⎨⎧=⇒==34tan 12sin 9cos A A bc A bc ，54sin =A ，53cos =A ，15=bc ，…3分53cos sin sin =⇒=c b A C B ，由⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒==535315c b c b bc，用余弦定理得4=a …6分（2）设内接圆半径为r ，则由r S ABC )543(216++==△，得1=r ，∴方程为122=+y x …………8分 设⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，则5)sin(5sin 4cos 343≤+=+=+φθθθy x∴y x 43+的最大值为5 ………………………………………12分18、由253sin cos =-x x 得：253)4cos(2=+πx ，∴53)4cos(=+πx ……… 2分 又∵25182sin 1)sin (cos 2=-=-x x x ，∴2572sin =x ………………4分∴)7(]5325715[])4cos(2sin 15[f f x x f =⨯=+π …………………………………6分 由)6()(x f x f -=，得)1()7(-=f f …………………………………7分 又由函数)(x f y =为奇函数，得1)1()1(-=-=-f f ………………9分 ∴1)1()7(])4cos(2sin 15[-=-==+f f x x f π………………………………12分19、（1）当0=a 时，)(||)(x f x x x f -=-=-，此时)(x f 为奇函数。
当0≠a 时，||||)(a x x a x x x f +-=---=-， ∴)()()()(x f x f x f x f ≠--≠-，，此时)(x f 为非奇非偶函数 ……………………………………………6分 （2）∵2=a ，且0≥x ，∴|1)1(||2|)(22--=-=x x x x f …………7分①当121+≤<m 时，)(x f 在1=x 处取得最大值，且1)1(=f ……9分 ②当12+>m 时，)(x f 在m x =处取得最大值，最大值为m m m m m f 2|2|)(22-=-=……………………………………………12分20、（1）∵)1()0(f f -，∴11-=⇒++=a b a b ，∴b x x x f +-=3)(∴)]()[(1131232121212b x x b x x x x x x y y k +--+--=--=121x x -=·1)]()[(212122123132-++=---x x x x x x x x ， …………4分∵]11[21，，-∈x x ，且21x x ≠，∴0222121>++x x x x ，3212122<++x x x x ， 即30222121<++<x x x x ， ∴211222121<-++<-x x x x ，∴2|1|222121<-++x x x x ，即2||<k ； ……………………………………………………………6分 （2）∵1121≤<≤x x ，由（1）知)(2||2||121212x x x x y y -=-<- ① …………………8分 又211212|||()()||()(0)(1)()|y y f x f x f x f f f x -=-=-+-121212|()(0)||(1)()|2(0)2(1)2()2f x f f f x x x x x ≤-++≤-+-=-+ ② 10分①+②得2||221<-y y ，即1||21<-y y ……………………………12分 补充说明，也可用导数求最大值与最小值差的绝对值小于1。
21、（1）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因为2211F B F B 是正方形，所以c b =，又222c b a +=，所以b a 2=① 由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ， ②由①②知12===c ，b a ，∴椭圆的标准方程为：1222=+y x …………………………………6分 （2）当直线的斜率存在时，设直线MN 的方程为2+=kx y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y ， 消去y 得034)21(22=+++kx x k ，由0>△得232>k 设)()(2211y x N y x M ，，，，则221214k k x x +-=+， ③ 221213k x x += ④又因M 在DN 之间，所以λ=， 即)2()2(2211-=-y x y x ，，λ，∴21x x λ=，于是2221x x x λ=，221)1(x x x λ+=+，λλ21221)1(x x x x =++， ⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得λλ22)1(312116+=+k，∴22)1(316121λλ+=+k ∵232>k ，∴34)1(31612<+<λλ，由此解得331<<λ 又10<<λ，∴131<<λ ………………………………………………11分 当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为0=x ，这时DM 31=，∴31=λ综上所述，λ的取值范围是)131[， ……………………………………14分。