子空间-精选文档
§5子空间的交与和直和
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L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
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例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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( A B) A B A B ( A B)
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定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
第3-4章 子空间
第3章 子空间、积空间、商空间§3.1 子空间3.1.A 度量子空间设(,)X ρ是度量空间；Y 是X 的子集。
易证 :Y Y Y Y ρ⨯⨯→ 满足度量三公理；称为由X 的度量ρ诱导出来的度量，仍记为ρ。
称(,)Y ρ为(,)X ρ的度量子空间。
例如：1221111{(,,): 1}n n n n S x x x x x +++==∈++= ； 2211{(,,): 1}n n n n D x x x x x ==∈++< ；2211{(,,): 1}n n n n E x x x x x ==∈++≤ ；(0,1)(0,1)(0,1)n =⨯⨯ ；[0,1][0,1][0,1]n =⨯⨯ ；其中n S 是1n + 的度量子空间，后4个是n的度量子空间。
分别记点y 在X ,Y 中的球形邻域为(,)X B y ε,(,)Y B y ε。
则容易证明：(,)(,)Y X B y B y Y εε=⋂。
在此基础上不难得到：命题：设Y 是X 的度量子空间。
则U 是Y 的开集⇔U V Y =⋂，其中V 是X 的开集。
3.1.B 拓扑子空间设Y 是一个集合。
设A 是一个集族，它在Y 上的限制定义为：{: }Y A Y A =⋂∈AA 。
命题：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。
则Y T是Y 的一个拓扑。
证明： (1) , , Y X Y X Y Y ∅∈⇒=⋂∅=∅⋂∈T T。
(2) 1111, , : , Y A B A B A A Y B B Y ∈⇒∃∈=⋂=⋂T T ；111111: ()()()Y A B A B A Y B Y A B Y ⇒⋂∈⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂∈T T。
(3) , : Y A A A A Y γγγγγ∈∈Γ⇒∃∈=⋂ T T 。
因A γγ∈Γ∈ T ，故 ()()YA A Y A Y γγγγγγ∈Γ∈Γ∈Γ=⋂=⋂∈ T 。
定义：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算空间解析几何的子空间空间解析几何是数学中的一门分支，研究空间中的点、线、面等几何元素之间的关系。
在空间解析几何中，子空间是一个重要的概念。
本文将介绍子空间的定义、性质以及如何进行计算。
一、子空间的定义子空间是指一个向量空间中的一个子集，且满足向量加法和数乘运算在该子集内封闭的性质。
通常用线性方程组的解空间来表示一个子空间。
对于n维向量空间V，若存在一组向量v1, v2, ..., vk，满足以下条件：1. 向量v1, v2, ..., vk属于向量空间V；2. 对于任意实数c1, c2, ..., ck，向量c1v1 + c2v2 + ... + ckvk也属于向量空间V。
则称这组向量v1, v2, ..., vk张成的子集为向量空间V的一个子空间。
二、子空间的性质1. 子空间中的零向量：子空间中必然包含零向量，即所有元素之和为零的向量。
2. 子空间的封闭性：子空间中的任意两个向量进行加法运算，其结果仍然在子空间内。
3. 子空间的伸缩性：子空间中的任意一个向量进行数乘运算，其结果仍然在子空间内。
4. 子空间的维度：子空间的维度小于等于父空间。
例如在三维空间中，一个平面是一个二维子空间，而直线是一个一维子空间。
三、子空间的计算在空间解析几何中，计算子空间常常涉及到线性方程组的解空间。
下面通过一个例子来说明如何计算子空间。
例：考虑以下线性方程组：2x + y - z = 0x - y + z = 0要求解该线性方程组的解空间，即求出满足该方程组的所有解向量。
首先将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 1 -1 | 0 ][ 1 -1 1 | 0 ]接着，对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：[ 1 -1 1 | 0 ][ 0 3 -3 | 0 ]由于阶梯形矩阵的最后一行全为0，所以该线性方程组有一个自由变量，即z可以取任意实数。
令z = t（其中t为任意实数），则该线性方程组的解向量可以表示为：x = 2ty = tz = t因此，该线性方程组的解空间可以表示为向量：[ 2t ][ t ][ t ]其中t为任意实数，这就是该线性方程组的解空间。
子空间
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
作成V3的子空间(6.1,例1)。
例4 F n中一切形如
(1,2 ,,n1,0),i F 的向量作成 F n的一个子空间。
例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
运算封闭，VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
（2）可以知道，在β≠0 的时候，
V
不一定是
A,
F的n
子空间。因为对任何 X ,Y VA，, 都有A (X + Y) = AX
+AY =β+β≠β，故
对 VA, 的加法F集W是V的一个子空间，要 且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有 aα+bβ∈W
1）。这样，V3 中过原点的直线都是 V3 的子空间。 同理，V3 中以过原点的平面π上的点为终点的所有 向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3
的子空间（图6-2-2）。
zl
o x
图6-2-1
z
π
y
o
x
图6-2-2
α+β
z
α
l1
β
y o
y
x
图6-2-3
l1
yβ
α
l2
oγ x
图6-2-4
。
其次，如果 X1, X 2 VA,0 , 即X1, X 2 F n ,
且AX1 0, AX 2 0, 那么 A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 0,
所以 X1 X 2 VA,0 ，对于任何 a F, X VA,0,
子空间
应用
数学方面 线性空间
概念 科幻方面
子空间指的是维度小于等于全空间的部分空间。所谓空间，所指为带有一些特定性质的集合，是故子空间可 以算是子集合。
另见：
线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若： 1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个 元素α+β，称为α与β的和。 2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k， 都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。 3.加法与纯量乘法满足以下条件： 1) α+β=β+α，对任意α，β∈V. 2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V. 3)存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元. 4)对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α. 5)对P中单位元1，有1α=α(α∈V). 6)对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
子空间的另外主要用途是拿来减少惯性质量，出现在星际旅行第二代系列—星际旅行：下一代第三季电视系 列剧“Déjà Q”中，用以减轻卫星惯性质量，使其容易被推动以改变轨道高度，避免逐渐下坠最后撞上行星而 造成灾难。
实例
某数域F上的所有n阶矩阵的集合对于通常的矩阵加法与数乘运算，构成数域F上的线性空间。数域F上的所有 n阶对称矩阵的集合在同样运算下也构成数域F上的线性空间。而后者作为集合石前者的子集。我们把后一个线性 空间称为前一个线性空间的子空间。
子空间
数学术语
01 概念
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
子空间
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定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间， y∈Y．则 （1）如果B是拓扑空间 X的一个基，则 B |Y 是子空间 Y的一个基； （2）如果 y是点y在拓扑空间X中的一个邻 域基，则 y |Y 是点y在子空间Y中的一个邻域基．
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3、嵌入
定义 3.1.4 设 X和 Y是两个拓扑空间，f: X→Y． 映射 f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是 从X到它的象集f(X)的一个同胚． 如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X 可嵌入拓扑空间Y．
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n维单位球面:
S n {x ( x1 , x2 ,..., xn 1 ) R n 1 | xi2 1}
n维单位开、闭球体:
i 1
n 1
D n {x ( x1 , x2 ,..., xn ) R n | xi2 1} E n {x ( x1 , x2 ,..., xn ) R n | xi2 1}
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另一方面，设 U＝ V∩Y，其中 V是X中的开集 ． 如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．
B X ( y, ) V
有 BY ( y, ) BX ( y, ) Y U
∴U是Y中的一个开集.
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二、拓扑空间子空间
1、定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集 合．集族{A∩Y|A∈A} 称为集族A在集合Y上的限制，记作A |Y
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三、子空间的性质
1. 子空间的传递性 定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y 是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X 的一个子空间． 证明 当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空 间时，我们有 Z Y X ; 并且若设T 为X的拓扑时，Z的拓扑是 （
3-3 子空间
r 称为向量空间V
的维数，并称V 为 r 维向量空间．
说明： （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它 没有基． V 的基就是向量 （2）若把向量空间V 看作向量组，那末 组的最大无关组, V 的维数就是向量组的秩.显然基是不唯一的。
（3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一个基，则 V可表示为
二、向量空间的基与维数
定义2 设 V是向量空间，向量组 1 , 2 ,, r V ,且满足 (1) 1, 2 ,,r 线性无关; (2) V中任一向量 都可由1,2 ,, r 线性表示 : a11 a22 arr . 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间V 的一个基，
第三章 向量
§3 子空间
一、子空间
定义1 设有数域P，W是n维向量空间Pn的一个非空子集。如果
， W , k P, 有 W W , k W ,
则W叫做Pn的一个子空间。
例1 向量空间Pn是自己的子空间。 单独一个零向量的集合{0}是Pn 的一个子空间。 Pn和{0}叫做Pn的平凡子空间， 其他的子空间称为非平凡子空间。． 例2 向量空间Pn的两个子空间W1,W2的交集W1∩W2是Pn 的子空间。 例3
设a1 , a2 , , as 是n维向量空间P n的向量，集 ) { ki i ki P, i 1, 2, s}是P n的子空间。
L(1 , 2 ,, s )叫做向量组1， 2， ， s的生成子空间。
例5 设有数域P，W={(a,b,0,0)│a,b P}是P4的一个子空间。
向量组1 (1,0,0,0),2 (1,1,0,0)是W的基。 (a b, b). 向量 (a, b,0,0)在这组基下的坐标是：
4.4子空间 (向量空间)的概念
结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．
2 1 0 0 3 2 0 3 1 7 那么 b 0 21 3 2 7 3 7 0 0 1
b 在基 ε1, ε2, ε3 中的坐标
b1, n r x1 b11 b12 b x b b 2, n r 2 21 , 22 , , b x b b r r1 r 2 r , n r
0 0
b1,n r b2,n r br ,n r 0 0 0 m n
令 xr+1, …, xn 作自由变量，则
x1 b11 xr 1 b1,n r xn , x b x b 2 21 r 1 2, n r x n , xr br 1 xr 1 br ,n r xn .
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设 r(A) = r ，为叙述方便不 妨设 A 对应的阶梯形矩阵 为
1 0 0 B 0 0 0 0 0 b11 0 0 0 1 0 b21 0 1 br ,1 0 0 0 0
前r列
对应的齐次线性方程组
b11 xr 1 b1,n r xn 0, x1 x2 b21 xr 1 b2,n r xn 0, xr br 1 xr 1 br ,n r xn 0.
线性空间--子空间
线性空间子空间子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而span{ v1,v2...,vn }表示由v1,v2...,vn 张成的子空间，即v1,v2...,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。
子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。
综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量v1,v2...,vn 张成的空间span{ v1,v2...,vn }一定是一个子空间。
2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。
按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。
这里的加法是向量加法，数乘是数和向量的数乘。
易知，对于过原点的直线来说，其上任意两点对应的两个向量（原点为起点，直线上的点为终点对应的向量）必共线，从而可知相加之后，起点仍选为原点，终点必落在原来的直线上，因此，对加法封闭。
其次，对于数乘，很容易验证也封闭。
故，R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。
对于不过原点的直线，构不成子空间。
3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。
这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法：只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算：加法和数乘封闭即可！比如：向量（0，0，。
，0）本身构成Rn的一个零维子空间，因为这个集合只有一个元素0,0+0=0，k0=0，所以对加法和数乘封闭。
向量（1,0，。
，0）的倍数的全体就构成Rn的一个一维子空间，因为这个集合的元素都是（1,0，。
，0），易知（1,0，。
，0）的倍数相加仍是它的倍数，且任何一个数k乘以它的倍数仍是它的倍数，即k*d（1,0，...，0）=kd*（1,0， 0所以对加法数乘封闭。
向量（1,0,...，0）和（0,1,0，...，0）的所有线性组合构成Rn的一个2维子空间等。
同样道理，可知对加法数乘都封闭。
线性子空间——精选推荐
目 录绪论.................................................................................... (1) 1 预备知识 (1)1.1 线性空间 (1)1.2 子空间 (2)1.3 商空间 (2)1.4 线性变换 (3)1.5 有限域........................................................................... (5) 2 线性空间的同态、同构定理 (5)2.1 秩与零度定理 (6)2.2 线性空间的同态定理 (7)2.3 线性空间的同构定理......................................................... (8) 3 有限域上的线性子空间...............................................................(10) 4 线性空间的－结构............................................................... (12) q F 参考文献 (17)线性子空间摘 要线性空间及其子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用．态射的观点已经是现代数学的基本观点之一，同构分类也是现代数学的主要内容．本文基于线性空间的秩与零度定理，首先建立了线性空间的同态基本定理及三个同构定理，这可以看作是群、环等代数结构的类似．其次，我们讨论了有限域上的线性子空间．随着计算机技术的空前发展，有限域已经成为现代工程、技术等许多发展领域的数学基础．在数学中扮演着越来越重要的角色．因而有限域上的线性空间的研究已成为现代数学的一个重要领域．本文的第二部分主要运用组合的方法，讨论了有限域上的线性子空间的个数问题．当系数域的特征大于零时，我们讨论了通过扩张系数域的方法，将研究线性空间的问题转化为研究它的较小的特殊子空间，即线性空间的-结构．我们给出了线性空间存在-结构的判定定理，以及-结构的唯一性定理．q F q F q F 【关键词】线性空间 线性子空间 线性变换 有限域 -结构 q F Frobenius 映射Linear SubspaceAbstractLinear spaces and subspaces are one of important contents of linear algebra ，and they have been applied to mathematics or other fields extensively ．Morphism is a basic viewpoint of modern mathematics and classification up to isomorphism is also a main content of modern mathematics ．Firstly ，in this paper we establish the homomorphism and three isomorphism theorems of linear spaces based on rank and nullity theorem ，which can be regarded as an analog of the corresponding theorems on the algebraic systems such as group ，ring and so on ．Secondly ， we discuss linear subspaces over finite field ．With the unprecedented development of computer science ，finite field has been the mathematical fundament of modern engineering ，technology and so on ．And it plays a more and more important role in mathematics ．So the study of linear subspace over finite field has been an important subject of modern mathematics ．We discuss the number of linear subspace of a given linear space over finite field in terms of combinatorics in the second part of this paper ．Finally ，in case the characteristic of the coefficient field is positive ，we transform the study of linear space into that of a smaller ，special subspace of it by extending the coefficient field ，that is ，we discuss the -structures of linear spaces ．Moreover ，we give the criterion theorems of existence and uniqueness of -structure of linear spaces ．q F q F 【Key words 】Linear space Linear subspace Linear transformation Finite field q F -structure Frobenius map绪论线性空间及其子空间理论是高等代数中的重要内容，在数学、物理、通信、化学等各方面有广泛应用．线性空间的概念是维向量空间概念的抽象和提高，它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间．线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭．n 邓春红，唐建国]1[给出并证明了若干个子空间的并以及两个子空间的交构成子空间的充要条件．从而本质地揭示了除子空间的交与和是构造新的子空间的方法外，集合的其它运算不能构造新的子空间．最后分析了子空间直和的两种不同定义的优缺点，指出了张禾瑞教材中子空间直和定义 推广时应注意的一个问题.杨闻起和金志英引入了线性空间的极大子空间的概念，主要得出了三个]2[结论：（1）线性空间V 的子空间M 是极大子空间当且仅当M 是一维子空间的余子空间．（2）线性空间的任意子空间都可表示成一些极大子空间的交．（3）在满足子空间降链条件的线性空间中，每个子空间可表示成有限个极大子空间的交．在本篇论文中,我们首先给出了线性空间的同态以及三个同构定理．这与近世代数中群或环的同态、同构定理的证明思想类似．通过已经证明的定理，我们可以得出两个有限维线性空间同构的充要条件．有限域是一类特殊的域，在编码理论、正交试验设计、信息论、密码学以及计算机技术中都有广泛应用．我们考虑有限域上的线性空间的子空间的一些问题．本论文给出了给定维数的线性子空间的个数定理的证明．这个定理为我们提供一个计算有限域上线性空间的有限维子空间个数的方法．已知域K 上的线性空间V 且V 是维的．能否通过用扩大系数域的方法而只研究V 的一个特定的子空间来达到研究V 的目的呢？为此我们引入-结构的定义．利用Frobenius 映射我们证明了-结构的存在性和唯一性定理，从而回答了上述问题．设n 0V q F q F K 是的代数闭域．研究域q F K 上的线性空间V 可以转化为研究它的-结构．粗略地说即研究V 的子空间，使得．这里是V 上的Frobenius 映射的稳定点集．q F 0V V K V q F ≅⊗00V F F V 1预备知识线性空间是数学中最基本的概念之一．线性空间理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中．因而线性空间理论既是现代数学的支柱，又是应用广泛的理论之一．线性空间又称为向量空间．在一定意义上，线性空间是几何学特别是解析几何学的推广与升华．1.1线性空间定义1.1.1 若是域，其中元素称为纯量．F 上的向量空间是一个非空集合V ，它的元素称为向量，有运算加法，对，有F V V v u ×∈),(V v u ∈+；以及与V 的运算数乘，用毗连表示，对．并且满足下列条件：F V ru V F u r ∈×∈有,),(（1）V 对“+”成Abel 群，令其单位元是0，称为零向量；（2）任取F r ∈， ，有一双向运算（通常称为乘法“.”）存在，使及V v ∈V v r ∈⋅v v =⋅1．此处1为的乘法单位元（乘法符号经常忽略不写）； F （3）四种运算（域的加法与乘法，V 的加法与对V 的数量乘法）适合结合律与分配律．即 F F 对所有的V v u F s r ∈∈,,，有分配律．；su ru u s r rv ru v u r +=++=+)()( 结合律．；u u su r u rs ==1)()( 性质1.1.1 线性空间除了对加法作成Abel 群，对数量乘法满足结合律与分配律之外，还有如下性质：（1）零元是唯一的．（2）对，都有唯一的（），使得V u ∈u −0)(=−+u u ，称（u −）为的负元或负向量．u （3）消去律： 若，且V w v u ∈,,w u v u +=+，则w v =．（4）u u u V u r F r −=−=⋅∈∀=⋅∈∀)1(0000； ， ；，．（5）F r ∈， ，且，则V u ∈0=ru 0=r 或0=u ．1.2子空间本节介绍了运算的封闭性定义，子空间的定义以及要注意的问题．运算的封闭性 设是域上的线性空间V 的子集．如果对任意的S F S v u ∈,，有，则称对加法封闭．如果对任何S v u ∈+S F r ∈， S u ∈，有S ru ∈，则称对数量乘法封闭．S 定义1.2.1 设是域上的线性空间V 的非空子集．如果对V 的加法与数量乘法也构成一个线性空间，则称是V 的子空间，简称子空间．S F S S 注意 子空间的定义应该注意下面两点．（1）设是线性空间V 的非空子集，则下面三个命题等价：S （i）是V 的子空间．S （ii）S 对V 的加法，数量乘法封闭．（iii ）任意的V v u F s r ∈∈,,, ，有S sv ru ∈+．（2）在子空间的定义中，要求中的两种运算与V 中的两种运算一致．因而如果在子集中另外定义加法与数量乘法使成为线性空间，不能叫做V 的子空间．S 1S 1S 1S 1.3商空间商空间可看成是整数、多项式等代数体系中同余概念的推广．商空间也是线性代数中的重要概念．本节介绍了同余及同余类的性质，给出了商空间的定义．定义 1.3.1设是域上的线性空间V 的子空间．称u 与模同余，如果有．记作． ]6[S F v S S v u V v u ∈−∈，,)(mod S v u ≡将所有与同余的元素的全体记作[]．[]= v v v }{)(mod S v u u ≡：．则有)(mod ][S v u v u ≡⇔∈．称[]为线性空间V 中的陪集．v S 性质1.3.1 同余、同余类有以下性质．（1）（自反性）． （2）若)(mod S u u ≡)(mod S v u ≡，则)(mod S u v ≡（对称性）． （3）若，则)(mod ),(mod S w v S v u ≡≡)(mod S w u ≡（传递性）．由以上三条知道同余是一种等价关系，它可以将V 进行划分．（4）][][,,v u V v u =∈当且仅当Φ≠∩][][v u 当且仅当)(mod S v u ≡．证明 若，则必有][][v u =Φ≠∩][][v u ．设∈w ][][v u ∩，则有、，进而)(mod S w u ≡)(mod S w v ≡)(mod S v u ≡．若)(mod S v u ≡，则)(mod S u ≡γ当且仅当)(mod S v ≡γ，即 [u ]=[]．v 性质1.3.1中的（4）说明两个同余类或者相等，或者不相交．定理1.3.1 设V 是上的线性空间, 是V 的子空间．用F S S V表示V 中元素模的同余类的集合．在S S V中定义 加法[u ]+[v ]=[]，∀[u ]，[] v u +v ∈S V．数量乘法 ][u r = []，[u ] ru ∀∈S V，F r ∈． 则S V 构成域上的线性空间，称为V 对的商空间．F S 证明思路 首先证明上述两种运算定义的合理性．即证：① 对任意[]=[u ]，[]=[]，其中[]，[]，[]，[v ]∈1u 1v v 1u u 1v S V ，有[][]11v u v u +=+ (加法的合理性)；② 对任意F r ∈，[]=[u ] 1u ∈S V ，则= []（数量乘法的合理性）；③ 再验证上述两种运算满足线性空间定义的条件．证明从略．][1ru ru 1.4线性变换这一节主要介绍了映射乘积的概念及性质，线性变换的概念和性质．为了将有限维线性空间分类，先介绍映射的乘积．定义1.4.1 设，．现定义的映射为：，对任意 ，称为21S S f →：32S S g →：31S S →gf ))(()(a f g a gf =1S a ∈gf g 与的乘积．f 性质1.4.1 映射乘积有如下性质：（1）若，是一一的，则也是一一的．g f gf （2）若，是满的，则也是满的．g f gf （3）若g ，是一一对应，则也是一一对应，而且．f gf 111−−−=g f gf ）（定义 1.4.2 设V 与是域W F 上的两个线性空间．映射W V →:τ称为线性变换，若，有V v u F s r ∈∈∀,,，)()()(v s u r sv ru τττ+=+．记从V 到W 的所有线性变换的全体为．特别地，若),(W V L ∈τ),(W V L 且τ是一一对应，则称τ是V 到W 的同构映射，此时称V 与W 同构．定义1.4.3 )(V τ=}{w v t s V v W w =∈∃∈)(,τ ． 是W 的子空间，称)(V τ为V 在τ下的象，记为)(τim ．事实上，由)()0(0V ττ∈=，知)(V τΦ≠．又任意V v u F s r ∈∈,,，，有)()()(sv ru v s u r +=+τττ∈)(V τ．故)(V τ是W 的子空间（可用子空间的定义证明）． 定义1.4.4 }{0)()ker(=∈=u V u ττ称为τ的核，则)ker(τ为V 的子空间（可用子空间的定义证明）．性质1.4.2 τ是同构映射当且仅当)(V τ=W 和0)ker(=τ．证明 设τ是同构映射，故τ为满射，则)(V τ=W ．由τ是一一映射且0)(=u τ，必有=0．即u 0)ker(=τ．反之，设W V =)(τ且0)ker(=τ．由W V =)(τ，知τ为满射．若)()(v u ττ=，则0)(=−v u τ，有)ker(τ∈−v u ．由0)ker(=τ，知0=−v u ，从而v u =．即τ是同构映射．证毕．性质1.4.3 同态和同构映射有如下性质：（1）若W V →：τ是同构映射，则是同构映射．V W →−：1τ（2）若W V →：τ是同态映射，G W →：φ是同态映射，则φτ是V 到G 的同态映射．特别地，若φτ,都是同构映射，则φτ也是同构映射．（3）由V 到V 的恒等映射I ：，V V →αα=)(I 是V 到V 的同构映射．由性质1.4.3，知线性空间的同构关系具有自反性、对称性和传递性．故可将F 上线性空间按同构关系分类．在同一类中只要找到一个具有代表性的空间进行研究即可．性质1.4.4 对于映射τ我们有如下结论：（i ）τ是满射的充分必要条件是)(τim =W ． （ii ）τ为单射的充分必要条件是0)ker(=τ． 证明 （i ）可以根据象的定义得出．（ii ）如果τ为单射，则对任意，有y x V y x ≠∈,,)()(y x ττ≠．即若 则必有0≠−y x 0)(≠−y x τ，从而)ker(τ∉−y x ．故0)ker(=τ．反过来，如果0)ker(=τ，不妨设)()(y x ττ=，则根据τ为线性映射，有0)(=−y x τ．即)ker(τ∈−y x ⇒0=−y x ⇒y x =⇒ τ为单射．证毕．特别地，若线性变换),(W V L ∈τ是双射，则称τ为从V 到 的同构变换．称V 与W 同构，记作．W W V ≅1.5有限域有限域是一类特殊的域，在编码理论、正交试验设计、信息论、密码学以及计算机技术中都有广泛应用．定义1.5.1 只含有有限个元素的域叫有限域．下面我们给出有限域的三个同构定理．]3[定理1.5.1 设F 是一个特征为的有限域，那么的元素个数一定是的方幂．（这个定理给出了有限域的元素个数与域的特征的关系．）p F p 定理1.5.2 设p 是一个素数，而是一个正整数，那么总存在一个有个元素的有限域． n n p 注 把包含个元素的有限域称为阶Galois 域，记作．n p n p )(np GF 定理 1.5.3 任意两个元素个数相同的有限域一定同构．定理1.5.1的推广 设F 是一个有限域，它包含一个有q 个元素的有限域作为子域．那么的元素个数一定是的一个方幂．q F F q 接下来给出有限域子域的存在性与唯一性．定理1.5.4 对n 的每个正因数，中存在唯一的阶子域，并且这些是m )(n p GF m p )(n p GF 中仅有的子域． 2线性空间的同态、同构定理在高等代数中有：若V 是一个线性空间，是V 的一个子空间，则存在的补空间，]54[，S S c S使得并且．Φ=∩S S c S S V c ⊕=2.1秩与零度定理下面在给出秩与零度概念的基础上，给出秩与零度定理及其证明．]6[定义 2.1.1 若V ，W 为两个线性空间，),(W V L ∈τ．称))dim(ker(τ为τ的零度，记作)(τnull ．称))(dim(τim 为τ的秩，记作)(τrk ．定理2.1.1（秩与零度定理）若),(W V L ∈τ，则)(τrk +)(τnull =．)dim(V 证明 由于),(W V L ∈τ，故)ker(τ为的一个子空间．于是有补，满足．设是V c )ker(τc V )ker()ker(ττ⊕=Κ)ker(τ的基，C 是的基．由c )ker(τΦ=∩C K 及是V 的基，知．将C K ∪))dim(ker())dim(ker()dim(c V ττ+=]6[τ限制在上，记作．易证：是同构．c)ker(τc τc τ)()ker(ττim c →(1) 先证为单射：若，则．由是c τ∈v c )ker(τ0)(=v c τc ττ在)ker(τc 上的限制，故0)(=v τ（只将零向量映到零向量），则，进而c v )ker()ker(ττ∩∈0=v ． (2) 再证为满射：若c τ，)()(ττim v ∈则w u v +=，这里．故 cw u )ker(),ker(ττ∈∈)()()()(w u w u v ττττ+=+==，．)()(w w c ττ=)()(c im v ττ∈即，而是显然的．从而． ）（）（c im im ττ⊂)()(ττim im c ⊂)()(ττim im c=(3) 显然是线性的．故由(1)，(2)，(3) 可知是将映到c τc τc )ker(τ)(τim 的同构映射．即．有)()ker(ττim c ≅)()())(dim())dim(ker())dim(ker())dim(ker()dim(ττττττrk null im V c +=+=+=．证毕． 由秩与零度定理，可得如下定理．定理2.1.2 若),(W V L ∈τ，且∞<=)dim()dim(W V ，则下面三个条件等价：(i)τ为单射． (ii) τ为满射． （iii ）τ为双射．证明 由),(W V L ∈τ，故τ：是一个线性映射．不妨设． W V →n W V ==)dim()dim((i)(ii) 如果⇒τ为单射，则有)ker(τ=0，故0)0)dim(ker()(===ττnull ．据秩与零度定理得n n null V rk =−=−．即n rk im ==)())(dim(ττ．又)(τim 是W 的子空间，=0)()dim()(ττ故W im =)(τ．即τ为满射．(ii)(i) 如果⇒τ为满射，则W im =)(τ，有n rk im ===)dim()())(dim(τττ．据秩与零度定理得0)()dim()())dim(ker(=−=−==．得)ker(τ=0，即τ为单射．n n rk V null τττ(ii)(iii) 如果⇒τ为满射，则τ为单射，即τ为双射．(iii)(ii) 如果⇒τ为双射，则τ为满射是显然的．证毕．定理2.1.3 若是线性空间V 的一个子空间，是的补空间，则有S c S S c S S V ≅，．)dim()dim()dim(V S S c =+证明 由于V =+，故V 中的任何一个向量均可以唯一地写成．其中,．现定义线性算子S c S v c s s v +=S s ∈c c S s ∈ρ：V V → ．c s s +a c s (1) 这样定义的映射是合理的：任意V v ∈，v 可唯一写成．其中， c s s v +=S s ∈c c S s ∈．由于，故在c c s s s =+)(ρv ρ下有唯一象．c s (2) 及c S im =)(ρ}{}{S s S s s s s V s s c c c ==+∈===+∈+=0)0(0)()ker(ρρρ：：．由同构第一定理得：c S S V≅．由秩与零度定理得： )dim()dim()dim(V S S c =+．证毕．说明 这是高等代数线性空间理论中的一个定理，但是证明思路换了一个角度．2.2线性空间的同态定理在近世代数中曾经接触过群的同态基本定理和环的同态定理，与这些定理的证明类似，本节给出线性空间的同态定理．]7[定理2.2.1（线性空间的同态定理）若),(W V L ∈τ，)ker(τV 是V 模)ker(τ的商空间，则有)()ker(ττim V ≅．证明 由),(W V L ∈τ，故τ：是一个线性变换．我们定义一个映射W V →W V →)ker('ττ：)ker(τ+v a )(v τ．(1) 这样定义的映射是合理的：若V v u ∈,且)ker()ker(ττ+=+u v ，则)()(u v ττ=．即证若)ker(τ∈−v u ，则0=−）（v u τ．据核的定义即得． (2) 这样定义的'τ是单射：如果)ker()ker(ττ+≠+v u ，则)ker(τ∉−v u ．进而0)(≠−v u τ， 有0)()(≠−v u ττ，即)()(v u ττ≠．(3) 显然W V →)ker('ττ：是一个线性变换．)))ker(())ker((('τττ+++v s u r ))ker()(('ττ++=sv ru)(sv ru +=τ))()(v s u r ττ+=)ker((')))(ker(('ττττ+++=v s u r ．(4) 由秩与零度定理与'τ是单射知：)'())ker(dim()'())'(dim(ττττnull Vrk im −==))ker(dim(0))ker(dim(ττVV =−=．}{}{)()()ker()ker())ker((')'(τττττττim V v v Vv v im =∈=∈++=：：．故'τ为)ker(τV到)(τim 的满射．据（1），（2），（3），（4）知W V →)ker('ττ：是线性同构映射．故)()ker(ττim V ≅．证毕．说明 线性空间的同态定理又称为第一同构定理．2.3线性空间的同构定理定理2.3.1（第二同构定理）若V 是一个向量空间，为其两个子空间，则有T S ,TS STTS ∩≅+．证明 （1）首先证明和T S +S ∩T 均为V 的子空间．]8[不妨设V 是域F 上的向量空间．对任意''t s t s ++，∈T S +，F b a ∈,．其中S s s ∈',，．由与T 是V 的子空间，知T t t ∈',S S bs as ∈+'，．从而T bt at ∈+'T S bt at bs as +∈+++)'()'(．故+T 是V 的子空间．S 对任意，，有T S v u ∩∈,F b a ∈,T v u S v u ∈∈,,，．由与是V 的子空间，故S T au+, +bv ．从而bv ∈S au ∈T T S bv au ∩∈+．所以S ∩T 是V 的子空间．（2）现在定映射τ：TT S +→TS S∩，使得T S s T t s ∩，对任意，S s ∈T t ∈．+++a 由，则．即T t ∈T t =+T T S s T s ∩++a ：τ， 对任意S s ∈．(i) 首先τ是合理的：对任意TTS T s T s +∈+=+'，其中S s s ∈',．故，又T s s ∈−'S s s ∈−'，则有T S s T s ∩+=+)(τ，T S s T s ∩+=+')'(τ．故 T S s s ∩∈−'．即T S s ∩+＝．因此T S s ∩+')(T s +τ＝)'(T s +τ．(ii)再证τ是一个一一映射．①τ是一个单射：对任意T s T s +≠+'∈TTS +，其中S s s ∈',．有，故，也就是T s s ∉−'T S s s ∩∉−'T S s ∩+≠T S s ∩+'．即)(T s +τ≠)'(T s +τ．②τ是一个满射：对任意TS ST S s ∩∈∩+，其中S s ∈．则存在TTS T s +∈+，满足T S s T s ∩+=+)(τ．（iii ）不妨设V 是域F 上的线性空间．现在证明τ是一个线性映射：对任意，F s r ∈,TT+S T s T s ∈++21,，其中．则有21,s s S ∈=++=+++))(())()((2121T ss rs T s s T s r ττT S ss rs ∩++)(21=)()(21T S s s T S s r ∩++∩+=)()(21T s s T s r +++ττ综上，结论TS STTS ∩≅+成立．证毕．定理2.3.2（第三同构定理）若V 是一个向量空间，均为V 的子空间，则有V T S ⊂⊂TV STSV≅．分析 要证明这个定理成立，分为以下步骤： (1) 设S V V ST T ==____,，则__T 为的一个子空间；__V (2) 定义一个映射TVSV →：τ，证明τ是一个满线性映射且它的核为ST；(3) 根据第一同构定理即得结论． 证明 （1）由分析中知要证__T =ST是=__V SV的子空间．不妨设V 是域F 上的向量空间．如果∈++S S βα，__T =ST，其中βα,∈T ．对F b a ∈∀,，)(S a +α+=+)(S b β(βαb S a ()+++) (是V 的子空间，则S S S bS S aS ==,)． S b a ++=)(βα． (T 为W 的子空间，则T b a ∈+βα)．从而有S b a ++)(βα∈__T =ST，即__T =ST是=__V SV的子空间．(2) 下面证τ是满线性映射且核为ST．首先映射τ是合理的：若有SVS v S v ∈+=+21，其中V v v ∈21,．则．由，则．故有S v v ∈−21T S ⊂T v v ∈−21T v T v +=+21，即)()(21S v S v +=+ττ．其次τ是满射：任意TVT v ∈+，其中V v ∈． 存在SVS v ∈+，使得T v S v +=+)(τ．然后τ是一个线性映射：不妨设V 是域F 上的线性空间．对F s r ∈∀,，SV T v T v ∈++21，，其中．则21,v v V ∈))(())()((2121S sv rv S v s S v r ++=+++ττT sv rv ++=)(21)()(21T v s T v r +++= )()(21S v s S v r +++=ττ．即τ是一个线性映射．最后τ的核为ST ： }{}{S T T v S V S v T T v S v SVS v =∈∈+==+=+∈+=)()ker(ττ．根据同构第一定理TV STSV≅成立．证毕．3有限域上的线性子空间我们在这一章考虑：计算一给定维数的有限域上线性空间的特定维数的线性子空间的个数问题．令是有个元素的有限域，是域上的线性空间．如果给定，那么V 的维子空间的个数是多少，该如何去计算呢？q F q nq F V =q F n m ≤≤1m 定理3.1 若是域上的线性空间，则V 有个向量．nq F V =q F nq 证明 不妨设}{n ααα,,,21⋅⋅⋅是V 的一组基，对V v ∈∀，有n n a a a v ααα⋅⋅⋅++=2211，其中q i F a ∈．每个的取法有q 种，故的取法有种．即V 有个向量．证毕．i a v n q n q ]9[问题 中线性无关的向量组V }{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有多少个？}计算方法 计算V 中线性无关的向量组{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有多少个，可应用排列组合的思想．即先确定的取法有种，然后再确定的取法有种．依次类推，最后计算的取法个数有种．则中有线性无关的向量组的个数为1v 1n 2v 2n m v m n V }{v ,1m v v ,,2⋅⋅⋅m n n n ⋅⋅⋅21．定理3.2 中线性无关的向量组V }{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有个．）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m nnnqq q q q 证明 由是线性无关的向量组中的向量，故是一非零向量．即的取法有种．在取定后，可取V 中任何一个与线性无关的向量．若与线性相关，则存在1v 1v 1v 1−nq 1v 2v 1v 2v 1v ，，011≠∈r F r q 使得．由的取法有种，知与线性相关的向量的个数为个．故的取法有种．在与取定后，可以取V 中任何一个与线性无关的向量．若与线性相关，则存在或，使得112v r v =1r q 1v q ]10[2v qq n−1v 2v 3v 21,v v 3v 21,v v 0,121≠∈r F r r q ，02≠r 22113v r v r v +=．从而与线性相关的向量的个数为个．故的取法有种．21,v v 2q 3v 2q q n −依次类推，一旦,,确定，则可以是V 中任何一个与,,线性无关的向量．但,,是线性无关的，则的取法有种．因此V 中线性无关的向量组有个．证毕． 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v m v 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v m v 1−−m nq q}{m v v v ,,,21⋅⋅⋅）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m n n n q q q q q 注 特别地，任意维子空间W ，中线性无关的向量组有个．m W }{m u u u ,,,21⋅⋅⋅）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m m m m q q q q q 最后给出本章主要的定理．定理3.3 的维子空间的个数为V m )1()1)(1()1()1)(1()())(1()())(1(11111−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−+−−−−q q q q q q q q q q q q q q q q m m m n n n m m m m m n n n ． 证明 设V 有t 个m 维子空间．不妨设为t W W W ,,,21⋅⋅⋅．据“两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同”，得．其中]11[j i W W ≅=j i ,1,2,t ,⋅⋅⋅．若取中的一个线性无关的向量组，则存在一个线性同构映射和线性子空间．根据同构映射的性质，知这个线性无关的向量组在i W j W线性映射下的象仍然是线性无关的．由上面分析知：中线性无关向量组i W }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅的个数必然和中线性无关向量组j W }{mj j jw w w,,,21⋅⋅⋅的个数相同．在维数是的线性子空间中，任何一组由m 个向量组成的线性无关向量组必然生成．m i W }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅i W 故可把V 中线性无关的向量组进行分类，则一共有t 类．每一类中共有＝个线性无关的个向量组成的线性无关组．在每一类中，任意取一个由个向量组成的线性无关组i W )()−q )(1(1−−⋅⋅⋅−m m m m q q q q 2A m i W m }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅，由这一组向量生成的线性空间即是（的维数是）．如果把这些所有类中的线性无关组全部取出，加起来的个数之和即为V 中的线性无关的向量组的个数＝．i W i W m )())(1(1−−⋅⋅⋅−−m nnnqq q q q 1A 我们可以很容易得出V 的维子空间的个数m t 满足：2A t ＝，也就是说V 的维子空间的个数为1A m )1()1)(1()1()1)(1()())(1()())(1(11111−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−+−−−−q q q q q q q q q q q q q q q q t m m m n n n m m m m m n n n ．证毕． 4线性空间的-结构q F 线性空间有两个要素：系数域和向量集合V ．对一个给定的维向量空间V ，能否通过用扩大系数域的方法，只研究V 的一个特定的子空间来达到研究V 的目的呢？为此我们引入线性空间-结构的定义．表示有个元素的有限域，其中为素数的方幂．是的代数闭域．F n F 0V q F q F q q __q F K =q F 定义4.1(-结构)一个代数闭域qF ]13[K 上的线性空间的-结构是：一个V 的-子空间，满足标准同态是一个同构．其中q F q F 0V V K V q F →⊗0⊗表示上的张量积．我们通常记V 为． q F K V q F ⊗0定义4.2(Frobenius 映射)映射称为Frobenius 映射，如果映射 满足：]12[F V V F →：（a ），对所有的)()(v F v F qλλ=V v ∈且K ∈λ； （b ）对任意的，存在某一个使得． V v ∈1≥n v v F n=)(下面将给出这一章的主要定理．定理4.1(-结构的存在性定理)q F K -空间V 有一个-结构当且仅当存在一个Frobenius 映q F 0V射，使得0V ＝}{v v F V v V F =∈=)(：． 证明 必要性：若V 有一个-结构，则V ＝q F 0V K V q F ⊗0．现在定义映射 ， 亦即 V V F →：K V K V F q q F F ⊗→⊗00：λ⊗v ． q v λ⊗a λ⊗v ．q v λ⊗a 其中Ｋ，∈∈λ0V v ． 则有)()()(v F v v v F v F q q ==⊗=⊗=λλλλ．其中．即（a ）成立．现在对任意V 中元，有0V v ∈v i iivv λ⊗=∑，m i ,,2,1⋅⋅⋅= ．可得∑∑∑⊗=⊗=⊗=iqi i ii i i ii v v F v F v F λλλ)()()(．由于Ｋ∈i λ，从而i λ必是某一有限域中的元素，并且这一有限域是的扩域．则对每一个q F i λ，都存在一个，使得．取i n i q i in λλ=}{m n n n n ,,,max 1⋅⋅⋅=２，可得对任意i λ，有成立．也就是存在，使得i q inλλ=n v v v v F i ii q iii nn=⊗=⊗=∑∑λλ)(．即（b ）成立．充分性：设是一个-结构，满足条件（a ）和（b ）且令＝．如果是上的线性无关元，我们断言它们在V V F →：q F 0V F V 021,,,V v v v n ∈⋅⋅⋅q F K 上仍线性无关：否则，设021,,,V v v v n ∈⋅⋅⋅是上的线性无关元，它们在q F K 上是线性相关的．设是满足这样的向量组的最小的向量个数(最小数原理)．即有不全为零的，使得n K a i ∈01=∑=n i i i v a ．)1.2.4(不妨设（如果11=a 11≠a 并且．由01≠a K 是域，则可以把转化成1．若，则可以适当地调换的位置，使得的左边求和中第一个系数不为零）．对式两边作用1a 01=a i a )1.2.4()1.2.4(F ，就有 )()()(111i ni qi i i n i n i i i v F a v a F v a F ∑∑∑=====．由，有．我们可以得到0V v i ∈i i v v F =)(i ni i qi i n i qi i i n i n i i i v a v F a v a F v a F ∑∑∑∑========1111)()()(．)2.2.4(用式减去式，可得)2.2.4()1.2.4(0)(2=−∑=ni i i qi v a a ．我们知道为i q i a a −K 中元，是不全为零的．否则，对所有的n i ≤≤2，有，即有得出．这将与0=−i q i a a i qi a a =q i F a ∈K a i ∈矛盾．故不全为零．从而我们有i qi a a −02,,V v v n ∈⋅⋅⋅是上的线性无关元，但在q F K 上是线性相关的，而此时的向量个数为1−n ．这与我们对的取法矛盾．因此自然映射是一个单射．n K V q F ⊗0V →为证明结论成立，须证这个映射为满射．即V 是由的固定点集生成的．条件（b ）说明对任意，有v 是有限维稳定子空间的元素．现在假设V 是有限维的．F 0V V v ∈F 对V 的维数用数学归纳法来讨论生成V ．设V 是域0V K 上的线性空间．若＝1，令，则，对某一非零元)dim(V V v ∈≠0av v F =)(K a ∈．若对任意K b ∈，取，有q b a −=1bv v b b av b v F b bv F q q q q ====−1)()(．此时有V 是生成的．0V 现在假设V 有一个非空-稳定的真子空间W ．设F n m W <=dim ，W 有基．根据据归纳法，}{m w w w ,,,21⋅⋅⋅W V存在被固定的非零向量F W v +．不妨设存在K 上的元，使得i a ∑+=+i i i w a v W v ．)3.2.4(由于在的作用下保持不动，因此有W v +F W v W v F W F v F W v F +=+=+=+)()()()(．)4.2.4(根据和，得)2.2.4()4.2.4(∑=−i i i w a v v F )(．对．对任意，存在m i ≤≤1K a i ∈K b i ∈，使得．定义且．则qi i i b b a −=∑∈+=i iiVw b v v 0'：''Kv W W +=： '')(v v F −)()(ii iii iw b v w b v F ∑∑+−+=)()]()([ii iii iw b v w b F v F ∑∑+−+=))(())((i i i i i qi w b w F b v v F ∑∑−+−=i i qi i w b b v v F ∑−−−=)())((i i i w a v v F ∑−−=))(( 0=−=∑∑i i i i i i w a w a ．即．故是由生成的'')(v v F =''Kv W W +=：F W W '0'=1+m 维子空间．归纳地我们可以得V 是由生成的．0V 最后证明V 上任何非空真子空间W ，W 不是的稳定子空间．如果，则V 是由生成的．设F V v ∈≠0⋅⋅⋅),(),(,2v F v F v n V =)dim(，由是一个单射，则是F )(,),(),(,12v F v F v F v n −⋅⋅⋅K -线性无关的 ，因而∑−==1)()(n i ii n v F a v F ， K a a a n ∈⋅⋅⋅−110,,,且00≠a ． 则当且仅当010)(V v F b n i i i ∈∑−= ．i qn qi i a b b b 11−−−=)5.2.4(对，其中．即n i ≤≤101=−：b ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=⋅⋅⋅−=−=−=−−−−−−−112121121101010n qn q nn qn q qn q qna b b b a b b b a b b b a b b ')5.2.4(在中消去，得出一个关于的次数为的可分多项式方程．用这种方法，可被逆推解出．')5.2.4(210,,,−⋅⋅⋅n b b b 1−n b 1−n q)5.2.4(110,,,−⋅⋅⋅n b b b 且01≠−n b ，从而00≠V ．由于在中有q 组解，故．证毕．)5.2.4(q F 1=n 注 一个V 上的-结构等价于一个Frobenius 映射的存在性．从证明过程来看，若是一个Frobenius 映射，则存在一组V 中的基q F V V F →：}{i v 满足∑∑=ipi iii v v F λλ)(．定义4.3 设V 和W 是两个K -线性空间．一个上的线性同构称为一个q -扭转映射，如果，对所有的q F W V F →：)()=(v F v F qλλK V v ∈∈λ且．由上面定理的证明可得出如下推论．推论 令V 是一个有限维K -空间，则一个映射是一个Frobenius 映射当且仅当是一个-扭转映射．V V F V →：V F q 定理4.2（-结构的唯一性）若和是q F F 'F K -空间V 上的两个Frobenius 映射，则是1'−F F o K -线性的．更进一步，如果V 是有限维的，则存在一个正整数，满足n n nF F'=．证明 第一步的证明是显然的．令V 是有限维的且，则． l V K =)(dim l V V FF F F q q ==)(dim )(dim '取，，且}{l F v v v V ,,,21⋅⋅⋅的基}{l F w w w V ,,,'21⋅⋅⋅的基ii ijj v x w ∑=．其中．令满足所有的在中，则．可容易验证在上有，因此在V 上有．证毕．K xij∈1≥n ij x n q F n q n q n q F F q F F q F V F V F V ⊗=⊗=')(：)(n q F V n n F F '=n n F F '=参考文献[1] 邓春红，唐建国．由给定的子空间构造新的子空间．数学理论与应用[J]．辽宁师专学报：自然科学版，2003年，23卷，２期：53～55[2] 杨闻起，金志英．线性空间的极大子空间[J]．宝鸡文学院学报：自然科学版，2001年，21卷，4期：265～267[3] 万哲先．有限域上典型群的几何学[M]．第二版．北京：科学出版社，1993．95～97[4] 丘维声．高等代数[M]．第二版．北京：高等教育出版社，2003．102～103[5] 潘仲等．高等代数与几何[M]．西安交通大学出版社，1999．200～201[6] 龚升．线性代数五讲[M]．北京：科学出版社，2005． 50～55[7] 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高等代数6-2
但是, Fn中子集 S={(a1, …, ai1, 1, ai+1, …, an) | ajF}
不是Fn的子空间.
例4 F[x]n 是F[x] 的一个真子空间.
子空间的充分必要条件
定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非
空子集W是V的一个子空间当且仅当对任意
空间V的多个子空间的和：
m
V1+ V2 +…+ Vm = Vi i 1
例 在三维几何空间中，用V1表一条通过原 点的直线, 用V2表通过原点的一个平面, 并且 V1不与V2平行. 求V1V2和V1+V2.
Exercises P. 218-219:
课堂练习：1(ii), (iv)； 作业：2，3； 思考题：其他.
Exercises P. 218-219:
k∈W .
子空间的例子
例1 {o}是向量空间V的一个子空间, 称为
零子空间; V自身是V的子空间. 这两个子空间 统称为V的平凡子空间.
V的非平凡子空间称为V的真子空间.
例3 Fn中令 W={(a1, …, ai1, 0, ai+1, …, an) | ajF}
则W Fn, W是Fn的子空间. 且子空间W是Fn
§6.2 子空间 (vector subspaces)
定义 设W是数域F上向量空间V的一个非空
子集. 如果W对于V的两种运算也构成域F上的 向量空间, 则称W是V的一个子空间.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一
个非空子集. W是V的子空间当且仅当
(i) 对任意, ∈W ，均有+ ∈W; (ii) 对任意的 ∈W 和任意的k∈F，有
线性代数笔记-子空间
线性代数笔记-⼦空间⼦空间我们在空间中找到其中⼀部分空间，它⾥⾯的向量进⾏线性组合，结果仍然在这个空间中，这被称为⼦空间。
反例：我们将⼆维的⼀象限作为这个部分，它其中的向量线性组合会逃逸出⼀象限，如将向量乘以⼀个负数。
⼆维中的正例：1. 整个⼆维空间2. ⼀条穿过原点的直线，构成⼦空间3. 0向量，因为它⽆论如何组合都是0。
三维空间的正例：1. 整个三维空间2. 穿过原点的直线3. 穿过原点的⾯4. 0向量列空间由矩阵中每⼀列向量组成的空间被称为列空间。
三维的列向量组成的列空间可能是⼀条直线或⼀个⾯或整个三维空间。
如果矩阵如下A，由于它的三列都线性相关，因此它的列空间就是⼀条通过原点的直线，我们称它的秩为1。
A=138 138 138如果矩阵如下B，它的列空间就是⼀个穿过原点的平⾯，因为第3列是第1列和第2列的线性组合，它的RANK就是2。
将第三列这种由其他列线性组合出来的向量称为不独⽴的。
如果第三列和1、2列不在⼀个平⾯上，那么列空间将是整个三维空间，RANK将是3。
B=213 314 5712RANK（秩）= 独⽴列向量的数量奇异矩阵什么时候有解如果矩阵A满⾜以下⽅程，只有当b在A的列空间中，⽅程才存在解。
A的列空间记作C(A)Ax=112213314415x=b零空间（Null-Space）[] [] []还是上⾯这个⽅程，当b=0时，⽅程的解x构成零空间。
Ax=112213314415x=0 [][]Processing math: 100%。
《点集拓扑学》章§.子空间.docx
第3章子空间（有限），积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法. 为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§ 3.2 中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作.§ 3.1 子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法.讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察. 所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发.考虑一个度量空间和它的一个子集. 欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离.由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的. 我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X, P）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y XY _ X X X.显然「: Y X Y^R是Y的一个度量（请自行验证）.我们称Y的度量「，是由X的度量p诱导出来的度量.度量空间（Y,p）称为度量空间（X,p）的一个度量子空间.我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的.我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明. 例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a, b）,[a, b] , （a, b]等；n + 1维欧氏空间匚中的料10 =（迢內宀和）訂「工分=1}n维单位球面：M+1{"（兀和…凡就疋去武|工卡＜1}n维单位开、闭球体: .-1»+1{"（心出宀砧）訂「工分＜1）以及n维单位开、闭方体•’和I等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间(考虑相应的度量诱导出来的拓扑).定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间•则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U= V P Y.证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆•对于x€X (y€ Y)，临时记度量空间X( Y)中以x( y )为中心以£> 0为半径的球形邻域为"二二门, 儿* .首先指出：「有二一」-P Y.这是因为z€X属于牛当且仅当z€Y且「二二(z,y)< £.现在设U€ 1,由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y 中的一族球形邻域，设为A的并•于是U畑M仇沪u =(U M仇W设卩叫加肿口‘ US另一方面，设U= V P Y,其中V€ '二.如果y € U,则有y €Y和y € V. V,龙J'按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务.定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合.集族｛A P Y|A€ A｝称为集族A在集合Y 上的限制，记作■■■!/引理3.1.2 设Y是拓扑空间(X, T)的一个子集.则集族「「是Y的一个拓扑.证明我们验证'】「满足拓扑定义中的三个条件：(1)由于X€T和Y=XH Y,所以Y€:;由于匚€「[=[ n Y,所以:_：€ -:（2）如果A, B€，即丄兰匸二-：丿-■ A-Q I I：j4n5 = (2ny)n(5 n?) =(^n£)nK;; 2n5er,/^n5eT|r 于是（3）如果辽是集族'「的一个子集族，即对于每一个A€辽，丫f・U知上已门丫定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集.Y的拓扑*「称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y, •' 〕「，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间.我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑•此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明.假设Y是度量空间X的一个子空间.现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y 的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑. 事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的•下面把这层意思重新叙述一遍.定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间•则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间.定理3.1.4 设X, Y, Z都是拓扑空间•如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，贝V Z是X的一个子空间.证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有ZcYcX；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）={U n Y|U€ T}::={u n Y n z|U€ T}={U n z|U€ T}=■'二因此Z是X的一个子空间.定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y€ Y.贝V(I )分别记T和「为X和Y的拓扑，贝V「=' :;(2)分别记F和F为X和Y的全体闭集构成的族，则 F =「L(3)分别记&和方y为点y在X和Y中的邻域系，贝方y= S .证明(1)即是子空间和相对拓扑的定义.(2)成立是因为：F\^{X-U\UeT}\r={(X-U ) n Y|U€ T}={Y - U n Y|U€ T}= ；：■- 」三「一：'(3)设---则- --，因此存在’「」使得V= : n Y,令吋叫由于冋帆:卫冋并且L/1ny = ^uU)ny=U= U所以U€ 1：'.以上证明」---------- -■.类似的论证指出丄-L . -r定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集•则(1)A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；(2)A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交.证明为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为 d (A)和二；而记A在Y中的导集和闭包分别为八(A)和一「(A).(I ) 一方面，设y€(A).则对于y在X中的任何一个邻域U,根据定理3.1.5 ,U nY是y在Y中的一个邻域，所以切仏为2©灯)门冶仞)奔0因此y €d (A).此外当然有y€ Y.所以y€ d(A) n y.这证明灯(A) _d (A)n Y.另一方面，设涉d(A)n Y,「—v U n(j4- (j/)) ^0AJ4C X?=>V n(A-(y}) c Y二7 c 僅一OO) = (P c (乂一{》})) cY = " c 僅一3})工0所以y€ = (A).这证明 d (A _ d (A)n Y.(2)成立是因为-.'(A)=A U h(A)=A U (d(A) n Y)=(A U d(A)) n (A U Y)= J n Y定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y€ Y.贝V(1)如果B是拓扑空间X的一个基，贝V * b是子空间Y的一个基；(2)如果*是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中的一个邻域基.证明(1 )设B是X的一个基.对于Y中的任何一个开集U,存在X中的一个开集V使得U=V1Y;存在B的一个子族'1,使得y 八-•因此U=」--由于上式中的每一个B nY是：b中的一个元素，所以在上式中u已经表示成了；卜中的某些元素之并了•因此；卜是Y的一个基.(2)证明(略).“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分. 这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味，然而我们在§ 2. 2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间•在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X T Y.映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚.如果存在一个嵌入f: X T Y,我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y.事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚•换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X “就是” Y 的一个子空间.不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．本节关键: 掌握拓扑空间中的子集（这里称为子空间）的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样．作业:P95 1.2.5.7.。
子空间定稿
L
α+
α
例3：判断下列 V0 是否为 1)V0 = {(a，0)|aÎ R} 2)V0 = {(a，2a)|aÎ R} 3)V0 = {(a，2)|aÎ R}
的子空间:
例4:判断下列说法是否正确 1）F[x]中次数不超过n的多项式，连同零多项式构成F[x] 上的子空间. 2）数域K上所有n阶上三角矩阵构成的集合构成Mn(F)的 子空间. 3）闭区间[a,b] 上的一切可导函数作成C[a,b]上的子空间. 4）V3里平行于一条固定直线的一切向量作成实数域上V3 的子空间. 5)平面上不平行于一固定直线的全体向量构成实数域上V2 的子空间.
§6.2 子空间
目的与要求 掌握子空间、子空间的交、子空间的和 的概念 熟练掌握证明子空间的方法 掌握生成子空间的元素表示方法 掌握子空间的直和的概念及直和的等 价刻画 理解维数公式及含义
子空间-1
一 定义：
上向量空间 的一 个非空子集，如果 对 的 加法以及标量与向量的乘法是 封闭的，那么就称 是 的一 个子空间. 是数域
高等代数
§6.2 子空间
平顶山教育学院
邵毓敏
复习回顾
向量空间的定义：令 是一个数域， 是一个非空 集合，如果下列条件满足，就称 是数域 上的 一个向量空间： （1）加法封闭 （2）数乘封闭 （3）八条算律： 1)α+β=β+α 2)(α+β)+γ=α+(β+γ) 3)在V中存在一个零向量，0+α=α 4)对于V中每一个向量α，在V中存在一个向量α'，使 得α+α'=0 5）a（α+β）=aα+aβ 6）（a+b）α=aα+bβ 7）（ab）α=a（bα） 8）1α=α
子空间聚类算法共44页文档
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
子空间聚类算法
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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n 否也是 F n 的一个字空间？这里 F ,0
证明 （1）首先，
0 0 0 0 F
n
，且A0 = 0，所以，VA,0 。
对于W 中任意两个向量α ，β ，它们的和α +β 是V中
一个向量. 一般说来，α +β 不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α 和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与
向量的乘法是封闭的.
定理6.2.1
子空间？ W { A M ( F ) |A | 0 } 是不是 M n (F ) 的子空间？ n
解
U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 是 M n (F ) 的 一个子空间。
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.
作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
i
W W { |1 W ,2 W } 1 2 1 2 1 2
由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设a, b∈F, α ,β ∈W1+W2, 那么, W1,W2都是子空间,所以 a b W 1 1 1, ,于是 a 间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2
是不是 M n (F ) 的 U { A ( a ) M ( F ) | a 0 , i j 时 } ij n ij
这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
例8 在 V 3 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W 本身也作成F上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间. 由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
+AY =β+β≠β，故
n 对 V A , 的加法不封闭。 F
定理6.2.2
向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，要
且只要对于任意a,b∈F和任意α ,β ∈W，都有
aα+bβ∈W
6.2.2子空间的交与和
设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的 交W1∩W2也是V的一个子空间. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以 有限，也可以无限）.令 W i 表示这些子空间的交。
6.2 子空间
一、内容分布 6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
6.2.1 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.
12
因为 , , , W , , W
12 1 11 2 22
a b a ( ) b ( ) 1 2 1 2
( a b ) ( a b ) W W 1 1 2 2 1 2
n , X V , 即 X , X F , 其次，如果 X 1 2 A , 0 1 2
且 AX 0 , AX 0 ,那么 A ( X X ) AX AX 0 , 1 2 1 2 1 2
所以 X ，对于任何 a F ,X V , X V A , 0 1 2 A ,0
n 的两种 。故 对于 有 A ( aX ) a ( AX ), 即 aX V V F A , 0 A ,0
运算封闭， V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
n （2）可以知道，在β≠0 的时候， V A 不一定是 的 F , 子空间。因为对任何 X,Y ，都有 A (X + Y) = AX V A ,
例4 n F 中一切形如
n
( , , , , 0 ), F 1 2 n 1 i
的向量作成 F 的一个子空间。
例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
例6
闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
例7
( a ),a F 设A m n ij ij
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n n { X F |AX 0 } 显然 X Fn。并记AX = 0的解集为 V A , 0
证明 V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
W { A M ( F ) || A | 0 } 不是 M n (F) 的子空间，因 n
为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I ( I ) O W
例3
在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V3的子空间(6.1,例1)。