导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义

一.教学内容解析

（一）内容结构图

1.章内容结构图

2.单元内容结构图

（二）教学内容解析

1.本章内容解析

本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具.

为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法

.因而也是解决诸如增长率、

膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具.

2.本单元内容解析

在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.

本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）.

3. 课时内容解析

本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时.

本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2

()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养.

基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想.

二.教学目标设置

（一）本章教学目标

1.通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.通过函数图像直观理解导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想.

2.能根据导数定义求函数231,,,,,y c y x y x y x y y x

======.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如()f ax b +）的导数.

3.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.

4.知道微积分创立过程，以及微积分对数学发展的作用.提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理的核心素养.

（二）本单元教学目标

1.了解微积分的创立背景，感受引入导数的必要性.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数的本质就是瞬时变化率，体会极限思想.经历由形到数的关系，理解导数的几何意义，体会“以直代曲”的思想，理解函数的单调性与导数的关系.

2.经历抽象概括不同领域变化率问题的数学共性，体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.经历探究具体实例和知识的形成过程，感受导数在研究函数和解决问题中的作用，体会导数的意义.

3.经历提出问题——分析问题——解决问题的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力,提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养.

4.经历从实际情境抽象出数学概念，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习习惯，激发学生的学习兴趣与求知欲，让学生感受数学源于生活，用于生活.引导学生会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，让学生体验成功，提高课堂参与度与成就感.

（三）课时教学目标

1.经历解决生活中不同领域的瞬时变化率问题，通过探究它们的数学共性，抽象生成导数的概念及其数学表达.通过类比探究，抽象概括导数的几何意义，生成一般曲线在某一点处的切线的定义.应用信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想.体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.

2.理解导数的概念，明确求导数的基本方法，能够运用导数的概念和几何意义解决生活中与瞬时变化