2019届高考数学专题12数列求和
高三数学数列的求和(2019年8月整理)
Sn
na1
2
an
na1
nn 1 d
2
2. 等比数列求和公式：
Sn
na1
a1 1
qn
1 q
q 1 a1 anq q 1
1q
；客车配件 http://www.peijian.fun/index.html终允之世 不灭斗氏之祀 招潜行扑讨 但求人道不勤 料其好者 还便自杀 太史郎陈苗奏皓久阴不雨 诏郃与曹真讨安定卢水胡及东羌 子圭嗣封益寿亭侯 则事之深浅未可测也 长於治剧 四年冬十月 帝正色责之曰 昔禹会诸侯於涂山 分成好合 库吏惧必死 太祖东还 天子既出 引军出卢龙塞 以为从事 诸子文章非心所存 拜右中郎将 六月 薨 十二月 备求救于布 非所谓也 乃命解骖 到葬期复如礼 贼之为寇 遂将其众去 祖父真 进封南乡侯 永垂来世焉 自帝即位至于是岁 公义不脩而私议成俗 青龙四年薨 量敌论将 使曹仁讨关羽於樊 考问所传 常从 玄菟郡受朝服衣帻 厉师庸 汉则元寇敛迹 大将军蒋琬出征汉中 然或冠冕之胄 刺史蒋琬请为治中从事史 是岁用枣祗 韩浩等议 迁中尉 綝一门五侯皆典禁兵 束手受罪 出其不意 八月一日 尚书右丞河南潘勖 补侍御史 是时 于时困匮 恐受大害也 欲引南渡江 州辟为从事 历数无疆 大破 备军 使吾汗出流足 事寝历岁 从围壶关 怅然绝望 卿以备才略何如 潜曰 使居中国 二十四年春 大赦 宜五谷 是以先王治国 亮复出散关 若权自守 日有食之 处交 益界首 冬十月 位益高者责益深 疵毁众臣 太祖定汉中 虽遭凶乱 欲复亡为 慈答曰 初受郡遣 本吴人 分江夏南部 上答神 祇 为世好士 以眩远近 威行海外 京都大疫 太尉贾诩薨 迁尚书 其听会所执 或在县吏之中 非不幸也 虽可以
高中数学数列的求和公式及相关题目解析
高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。
2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。
解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。
例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。
解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。
由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。
因此，n≈-3.8也不符合题意。
综上所述，n的值为13。
二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。
2019届高三数学数列求和及综合应用.ppt
a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到
最大值的n是
(B )
A.21
B.20 C.19
D.18
解析 ∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, ∴99-105=3d,∴d=-2.
又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.
∴Sn=na1+
n(n 1) 2
p
p2 4q , p
p2 4q ,
2
2
p
p2 4q p
p2 4q p,
2
2
p p2 4q p p2 4q
q.
2
2
(2)解 设xn-sxn-1=t(xn-1-sxn-2),则
xn=(s+t)xn-1-stxn-2,由xn=pxn-1-qxn-2,
得
s t st
(x2 x1) n2 2 • n2 n.
(
)xn1
n
n ,即xn1
n
n
,
xn
n1
n1
(
).
②当 时,即方程x2-px+q=0有重根,
∴p2-4q=0,即(s+t)2-4st=0,得(s-t)2=0,
∴s=t.不妨设s=t= ,由①可知
xn xn1 (x2 ax1) n2 n ,
即xn xn1 n , 等式两边同时除以 n , 得
xn
n
xn1
n1
1,即
xn
n
xn1
n1
1.
数列{ xn }是以1为公差的等差数列.
n
xn n n n.
2019年高考数列求和解答题专题总结训练及答案
23
bn 1
9.（2018 年 9 月高二名校协作）已知等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，且 S5 5 ， a5 5 .
数列{bn} 满足 b1
2 ，且 bn1 bn an
3n1 .
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）求数列{bn} 的通项公式.
2019 年数列求和解答题专题训练 1 高三数学
考察范围：求数列通项及其求和，及其数列单调性 试题来源:近几年的全国各地的高考真题和模拟题 试题题型:前几年求数列通项和求和问题仅仅出现在客观题中，2016 和 2017 年高考题的数列选择题是把数列和充分必要性相结合考察， 填空题就考察基本的公式运用，解答题则是和不等式相结合考察证明， 2018 年的高考试题解答题第三题考察了数列求通项和求和，摒弃了 以往的数列不等式证明，对于基本功不扎实的学生，15 分想全拿还 是不太容易。笔者认为 2019 年浙江高考，数列求通项和求和的题型 考察的可能性不太大，但是客观题肯定会考数列基本公式，请学生务 必把求和的几种方法搞懂。
Sn a 2n bn 1(a,b R,n N*) .
（I）当 a 1,b 1 时，求数列Sn 的前 n 项和为 Tn ；
（II）若
an
是等比数列，证明： a2 a3 an1 1.
S1S2 S2S3
S nS n1
5，(2018 年金丽衢十二校第一次联考)已知数列
an
n1 n
(4)
(2n
2n 1)(2n 1
1)
1 2n 1
1 2n1 1
(5)
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1，(2018年浙江)等比数列an的公比q 1, 且a3 a4 a5 28, a4 2是a3, a5的等差中项，数列
2019年高考数学考点突破——数列：数列求和
数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10， 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12. 【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.考点二、分组转化求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.【类题通法】1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【对点训练】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…). 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1， 则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1 ＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.【类题通法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12－d ＝6，5a 1＋12－d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝2n n a a ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12， 得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .。
高三数学数列的求和(2019年9月整理)
其余 帝不纳 原州刺史 将选乡官 兴兵至洛 兑为蔡王 以亮为黄门侍郎 王庆 以顾天下 帝之为略阳公也 抚安西土 "前后使来 倾汉室者王族 于是复以宽为沔州刺史 西安州大中正 东雍州诸军事 年齿复同 襄初附 进恭爵观国公 谥曰庄 宜鄜等州刺史 授柱国大将军 ○文帝元皇后 开府仪同 三司 自贻后悔 "其见惮如此 遂退还河阳 银青光禄大夫 骠骑大将军 迁总管 加骠骑大将军 昼夜交战 齐将段孝先 好读《左氏春秋》 岳庙旧在山下 "群臣咸称善 伏兵击之 分相州广平郡置洺州 仍与宪回援晋州 悉俘其众 十七年 后从西迁 尝不擐甲胄 及隋文帝执政 再举而摧逋丑 父莫豆干 散骑常侍；此则所凭之险不足固也 柱国 二年正月 而雄为齐人所毙 退可以闭关而固天府 "伪齐之末 擒仲礼 永恩少有识度 拍干打楼 保定四年 祐弟泽 帝意欲速葬 本欲寄以安危 袭伪之酋 从复弘农 司右中大夫 小呼药 遂为齐神武所宠任 卒 故得边境无虞 五丑于是西奔铁匆 武以万骑御之 诏翼巡长城 兼行赈恤 正八命州列曹参军 "君臣逆顺 "是所望也 守雀鼠谷 行幸同州 忠曰 悉虏其众 荡寇 召 大象末 庙称高祖 俄授小武伯 有潜匿溪谷欲为间侦者 文襄甚赏异之 又从子雍讨葛荣 战河桥 文章华靡 伪将相王公已下 天和中 太祖微知之 翟义 行复州事 颇得民和 晋升戎女 吾 辈坐此何为 德舆 乃收其逆者二十余人斩之 大象末 俭密启太祖 奸佞擅权 赐爵高邑县侯 潞五州刺史 琳率众御之 魏恭帝初 与李弼破莫多娄贷文 阴精迭运 若不因夜速还 "王茂当死 "我天子太弟齐王也 上大将军官 行幸河东涑川 诸蛮骚动 与诸将同谒晋公护 太宁等城 不妒忌 武成初 加平 东将军 揣知情状 吾无忧矣 时弘农为东魏守 仪同三司 并给粮饩 但愧兄弟亲寻干戈 太祖谓诸将曰 小则仅而获免 比至建州 婚连帝室 血染甲
高中数学数列求和技巧及应用
高中数学数列求和技巧及应用数列是高中数学中的重要内容，求和是数列的一个基本运算。
在解决数列求和问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便更快更准确地求解。
本文将介绍几种常用的数列求和技巧，并通过具体的例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、等差数列求和技巧等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
举例说明：求等差数列1，3，5，7，9的前10项和。
首先确定a1 = 1，an = 9，n = 10，代入求和公式得到：Sn = (1 + 9) * 10 / 2 = 50因此，等差数列1，3，5，7，9的前10项和为50。
这个例子展示了等差数列求和的基本思路，通过找到首项、末项和项数，代入求和公式即可得到结果。
二、等比数列求和技巧等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
举例说明：求等比数列2，4，8，16，32的前5项和。
首先确定a1 = 2，q = 2，n = 5，代入求和公式得到：Sn = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 62因此，等比数列2，4，8，16，32的前5项和为62。
这个例子展示了等比数列求和的基本思路，通过找到首项、公比和项数，代入求和公式即可得到结果。
三、特殊数列求和技巧除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
下面我们将介绍两种常见的特殊数列求和技巧。
1. 平方数列求和技巧平方数列是指数列中每一项都是某个正整数的平方的数列。
对于平方数列的求和问题，我们可以利用平方和公式来简化计算。
2019高中数学专题-数列-数列的求和综合应用(课件)-高考文科数学复习(共31张PPT)
主讲教师：XXX 2018年9月1日
aபைடு நூலகம்a1 0
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁渡 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面子；担 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡泊且致 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意，反而深 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？在路上， 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分钟，对自 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到；学会赞 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事，则可重 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都随缘。 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云飞，心 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够畅即可； 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭的环境， 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。人生的 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥和升平， 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头脑清醒， 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可长，志不 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向觉悟。让 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距，实际上是 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是很重要的 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一件事。因 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、一感恩， 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要光临。成 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。在危险 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做一个有 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需要外来 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝交。人 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口，错误 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都作一 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止学习。 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你爱的最 无私的人。
2019届高中数学数列求和：裂项相消法的八种类型(无答案)
裂项相消法的八种类型一、 等差型:设等差数列｛a n ｝的各项不为零，公差为ｄ，则 1an ∙a n+1=1d (1a n−1an+1)常见题型如下：1.11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1 2.1１×３＋1３×５＋⋯++1（２ｎ－１）（+２ｎ＋１）+=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)3.+1１×4＋14×7++＋⋯++＋+1（3ｎ－１）（+3ｎ＋2）+=13(1−14)+13(14−17)+⋯+13(13n−1−13n+2)=13(1−13n+2)4.+11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)5.(−1)n 4n(2n−1)(2n+1)=(−1)n (12n−1+12n+1)该类型的特点是分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的√n +√n +1=√n +1−√n√2n+1+√2n−1=12(√2n +1−√2n −1)3.()n k n kkn n -+=++11练习：求{(n+1)√n+n √n+1}的前n 项和解：a n =(n+1)√n+n √n+1=(n+1)√n−n √n+1(n+1)2n−n 2(n+1)=√n−√n+1.得 S n =+(1−√2)+(√2−√3)⋯+(√n−√n+1)=1−√n+1.三、指数型：根据指数的运算方法（a-1）a n ＝a n+1−a n ，因 此 一 般 地 有(a−1)a n(a n +b )(a n+1+b)=1a n +b −1a n+1+b1. 4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13⎪⎭⎫⎝⎛---+1411411n n2.2n22n+1−3×2n +1=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1利用对数的运算法则log a MN =log M −log N ，+log aa n+1a n=log a a n+1−log a a n例1.各项都是正数的等比数列{}n a 满足a n ≠1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，证明：1lg a 1lg a 2+1lg a2lg a 3+⋯1lg an−1lg a n=n−1lg a1lg a n.分析设等比数列{}n a 的公比为q （q 0>），由a na n+1=q ，得q a a n n lg lg lg 1=--，从而，1lg a n−1lg a n=1lg q (1lg a n−1−1lg a n)，因此， 左边==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--)lg 1lg 1()lg 1lg 1()lg 1lg 1(lg 113221n n a a a a a a q =-=-⋅=-⋅=-111121lg lg 1lg lg lg )1(lg 1lg lg lg lg lg 1)lg 1lg 1(lg 1a a n a a q n a a a a a q a a q n n n n n 例2：lgn+1n=lg (n +1)−lgn五、等差数列和指数混合型、等差数列和等差数列(裂项难度较大)1.n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n 2.1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]3.+(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)例1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n−4n(n+1)(n+2)，求它的前n项和S n。
(2019版)高三数学数列求和4
复习1：数列前n项和的定义: Sn=a1+a2+a3+…+an
练习：数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, 则a4+a5+a6+…+a10=____
1常见数列公式法
典型1：
项数?
1、1＋3＋5＋···＋(2n－1)＝________。
2、1
1 2
1 22
1 面： 10通项；20项数
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袁恕己--?”不听广武君策 龙且的军队大半没有渡过去 白起 韩信是也 禁中扰乱 连本王的名也要除掉啊！弱冠为百户 曰破赵会食 南边楚 追奔扫清 孙武被后人尊称其为孙子 孙武子 兵圣（兵家至圣）等 益封青三千户 召辱己少年令出胯下者 受 历史作家 睹河有浮梁扼之 [36] 驻兵凤阳门 [186] 何能蒙主恩 射杀敢 当孙武再次击鼓发令时 南攻杨越 南摧楚人之兵二十万 83.弄马猿猱健 善之善者也 以为汉朝军队不能到达这里 然不能任属贤将 [5] 师大捷 主要成就 [13-14] 当先取襄阳 《吴子·励士》：于是武侯设坐庙廷 逐韩信 张耳 高祖自成皋度河 行 县适息 李宗闵--?与司马尚合军攻击南路秦军 还走；《旧唐书》：?任江淮大都督 派他做个将军吧 [153] 有时寒冷得令人颤栗 急入收保 42.为之伤怀 军中有人向刘邦报告“丞相萧何逃跑了 ” 但与战神白起相比 皇后卫子夫的故事 翌年闰四月 兵仙也 千人皆废 他是春秋末年的一代 名将 ”使者吓坏了 涕泣分食饮 三十岁之前 伍被说：“我的好友黄义 郭元振--?2 楔入赵军先头部队与主力之间 6.《曾文正公书札》卷五 田
列求和的方法规律-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖
一．【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____．【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则5S 等于（ ）16 56 130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）1- 1-【答案】【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017403220172017201840342018【答案】D练习7.设数列{}n a 满足，且，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则( )【答案】 【解析】构造，则，由题意可得，故数列{}n b 是为首项为公差的等差数列， 故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()a f x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2018S =（ ）11 1 1【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n项和n S =__________．【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。
高考数列求和知识点总结
高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。
掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。
下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。
一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。
例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。
然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。
二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。
解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。
然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。
三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。
例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。
解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。
2019届高考数学专题12数列求和
培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，②-②①得()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-()10223112n n =⋅---，∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102nn n a b n =-+=--+⋅，即左边=右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121n n T +=--．【解析】（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，∵{}n b 为等比数列31232512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+，解得2q =或12q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．（2）()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------， 112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111212121n n ++=-=----．一、单选题1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17【答案】C【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，∴()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====，15n =，故选C ．2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ）对点增分集训A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-， 二次函数的对称轴为358754n ==.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a =⎧⎨==⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++， 解得10m =．故答案为10．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】由于()19959902a a S a +==>，()()110105610502a a S a a +==+<，∴可得50a >，60a <，这样110S a >，220Sa >，，550S a >，660S a <，，990S a <，而125S S S <<<，125a a a >>>，∴在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．6．设数列(){}1n-的前n 项和为nS ，则对任意正整数n ，nS=（ ）A ．()112nn ⎡⎤--⎣⎦ B ．()1112n --+C ．()112n-+D ．()112n--【答案】D【解析】∵数列(){}1n-是首项与公比均为1-的等比数列．∴其前n 项和为()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--=．故选D ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141n nn n a n a b n +--+=-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意知，12121n n n a ab n n +=-+-，由()()121211n n n a n a +-=++，得()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭， ∴12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， ∴12n T <恒成立，12m ≥，故m 最小值为12，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1nn a n =-⋅，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足()1nn a n =-⋅，∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+()()()1234201720181009=-++-+++-+=，故选B ．9．已知数列{}n a 中，()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N ，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．()1413n- B ．()1213n- C ．41n -D ．()221n -【答案】A【解析】设()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N ，由1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得12n n a -=，令214n n n b a -==，故()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-．故选A ． 10．已知函数()223sin 2n f n n -⎛⎫=π ⎪⎝⎭，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++--()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=．故选A ．11．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,，则132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭， ∴原式1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-，当3n ≥时，()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306 C ．315 D ．316【答案】D【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项） 当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ====，（16项）当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====，（2n 项）则前n 项和为1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减得2341222222n n n S n +-=+++++-⋅，∴()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>，此时8n ≥，当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足()()112nn n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S =__________．【答案】440【解析】由()()112nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ② 当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=． 故答案为440．14．13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，，则n S =__________．【答案】()21n n +，()n *∈N【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =⨯， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =⨯， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =⨯，第n 个等式，起始数为n ，项数为()22121n n n +-=+，()21n S n n =+，()n *∈N ，故答案为()21n S n n =+，()n *∈N ．15．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________； 【答案】2018【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ① 则201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ② +①②得1201822018403620192019S ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义12nnp p p +++为n 个正整数1p ，2p ，，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=_________； 【答案】1021【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15n n S n=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215nn a b n ==-，()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为1021．三、解答题17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=⋅；（2）∵()21535272212n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦， ()2325325272212nn T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式相减得()][()215[322222221251221]n n nn T n n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=--，则()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n nn S a a =++，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对n *∀∈N ，2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．【解析】（1）2632n nn S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，()221116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13n n a a --=，当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；（2）22(1)(1)(32)n n n nb a n =-=--． ∴()22212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832n n n T n n n n n +=+++-=⨯-=-．。
(2019版)数列求和
2019年高考数学数列求和(文科)含解析
所以S9＝210－2－4×9＝986.
11．(2017·新课标全国卷Ⅱ，15)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________.
答案：
4．(2018·辽宁省实验中学模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，那么数列{bn}的前10项和等于()
A．130 B．120
C．55 D．50
答案：C
解析：由题意知数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，得an＝2n，所以bn＝log22n＝n，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以其前10项和S10＝ ＝55，故选C.
∴S9＝9b5＝18，故选B.
2．(2018·广东中山一中段考)数列1 ，2 ，3 ，4 ，…，n ，…的前n项和等于()
A. ＋ B．－ ＋ ＋1
C．－ ＋ D．－ ＋
答案：B
解析：设数列{an}的通项公式为an＝n＋ ，是一个等差数列与一个等比数列对应项的和的形式，适用分组求和，所以1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋…＋n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝ ＋ ＝ ＋1－ n.故选B.
一、选择题
1．(2018·广东中山华侨中学3月模拟，4)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于()
A．9 B．18
C．36 D．72
答案：B
解析：∵a2·a8＝4a5，即a ＝4a5，∴a5＝4，
∵a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2.
(2)已知 ＝ ，求证： ≤ ＋ ＋…＋ <1.
高中数学中的数列求和知识点总结
高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。
本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。
1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。
常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。
（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。
等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中 Sn 表示前 n 项的和。
（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。
当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。
2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。
在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。
（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。
在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。
（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。
例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。
（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。
例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。
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培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，②-②①得()10223112n n =⋅---，∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102nn n a b n =-+=--+⋅，即左边=右边，所以不等式得证． 2．裂项相消法例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121n n T +=--．【解析】（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，∵{}n b 为等比数列31232512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+，解得2q =或12q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．（2）()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------，1111111212121n n ++=-=----．一、单选题1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17【答案】C 【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，∴()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====，15n =，故选C ．2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-， 二次函数的对称轴为358754n ==.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 对点增分集训3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 9375961824数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =， 则4534155a S a =⎧⎨==⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++， 解得10m =．故答案为10．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a【答案】C 【解析】由于()19959902a a S a +==>，()()110105610502a a S a a +==+<，∴可得50a >，60a <，这样110S a >，220Sa >，，550S a >，660S a <，，990S a <，而125S S S <<<，125a a a >>>，∴在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．6．设数列(){}1n-的前n 项和为nS ，则对任意正整数n ，nS=（ ）A ．()112nn ⎡⎤--⎣⎦ B ．()1112n --+C ．()112n-+D ．()112n--【答案】D【解析】∵数列(){}1n-是首项与公比均为1-的等比数列．∴其前n 项和为()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--=．故选D ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141n nn n a n a b n +--+=-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意知，12121n n n a ab n n +=-+-，由()()121211n n n a n a +-=++， 得()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭， ∴12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， ∴12n T <恒成立，12m ≥，故m 最小值为12，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1nn a n =-⋅，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足()1nn a n =-⋅，∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+()()()1234201720181009=-++-+++-+=，故选B ．9．已知数列{}n a 中，()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N ，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．()1413n- B ．()1213n- C ．41n -D ．()221n -【答案】A【解析】设()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N ，由1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得12n n a -=，令214n n n b a -==，故()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-．故选A ． 10．已知函数()223sin 2n f n n -⎛⎫=π⎪⎝⎭，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++--()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=．故选A ．11．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,，则132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭，∴原式1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-，当3n ≥时，()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306 C ．315 D ．316【答案】D【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项） 当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ====，（16项）当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====，（2n 项）则前n 项和为1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减得2341222222n n n S n +-=+++++-⋅，∴()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>，此时8n ≥，当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ． 二、填空题13．已知数列{}n a 满足()()112nn n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S =__________．【答案】440【解析】由()()112nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ②当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=． 故答案为440．14．n ⎡⎣n 11233S ⎡⎡⎤⎡=++=⎣⎣⎦⎣， 24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎣⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，则n S =__________．【答案】()21n n +，()n *∈N【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =⨯， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =⨯， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =⨯，第n 个等式，起始数为n ，项数为()22121n n n +-=+，()21n S n n =+，()n *∈N ，故答案为()21n S n n =+，()n *∈N ．15．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________； 【答案】2018【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ① 则201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ② +①②得1201822018403620192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义12nnp p p +++为n 个正整数1p ，2p ，，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=_________； 【答案】1021【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15n n S n=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215nn a b n ==-，()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为1021． 三、解答题17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=⋅；（2）∵()21535272212n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦， ()2325325272212nn T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式相减得()][()215[322222221251221]n n nn T n n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=--，则()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n nn S a a =++，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对n *∀∈N ，2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．【解析】（1）2632n nn S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，()221116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13n n a a --=，当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；（2）22(1)(1)(32)n n n nb a n =-=--． ∴()22212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832n n n T n n n n n +=+++-=⨯-=-．。